全國(guó)各地中考數(shù)學(xué)分類匯編圖形的相似與位似(含解析)

匠心文檔，專屬精選。一、圖形的相像與位似選擇題1．（2016·山東省濟(jì)寧市·3分）如圖，AB∥CD∥EF，AF與BE訂交于點(diǎn)G，且AG=2，GD=1，DF=5，那么的值等于．【考點(diǎn)】平行線分線段成比率．【剖析】第一求出AD的長(zhǎng)度，而后依據(jù)平行線分線段成比率定理，列出比率式即可獲得結(jié)論．【解答】解：∵AG=2，GD=1，∴AD=3，∵AB∥CD∥EF，∴=，故答案為：．2．（2016·山東省東營(yíng)市·3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（―3，6）、B（―9，一3），以原點(diǎn)O為位似中心，相像比為13，把△ABO減小，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)是( )A．（―1，2）B．（―9，18）C．（―9，18）或（9，―18）D．（―1，2）或（1，―2）A(-3，6)yOxB(-9，-3)第8題圖匠心教育文檔系列1匠心文檔，專屬精選。【知識(shí)點(diǎn)】相像三角形——位似圖形、位似變換【答案】D.【分析】方法一：∵△ABO和△A′B′O對(duì)于原點(diǎn)位似，∴△ABO∽△A′B′O且OA′1A′EOA＝.∴＝3ADOE111OD＝.∴A′E＝AD＝2，OE＝OD＝1.∴A′（－1,2）.333同理可得A′′（1,―2）.1方法二：∵點(diǎn)A（―3，6）且相像比為，11∴點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)是（―3×，6×），∴A′（－1,2）.33∵點(diǎn)A′′和點(diǎn)A′（－1,2）對(duì)于原點(diǎn)O對(duì)稱，∴A′′（1,―2）.應(yīng)選擇D.yA(-3，6)A'B''DEOxB'A''B(-9，-3)第8題答案圖【點(diǎn)撥】每對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線所在的直線都訂交于一點(diǎn)的相像圖形叫做位似圖形．位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離比等于位似比（相像比）；在平面直角坐標(biāo)系中，假如位似圖形是以原點(diǎn)為位似中心，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)比等于相像比．注意：本題中，△ABO以原點(diǎn)O為位似中心的圖形有兩個(gè)，所以本題答案有兩解.3．（2016·山東省東營(yíng)市·3分）如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊的中點(diǎn)，BE⊥AC，垂足為點(diǎn)F，連結(jié)DF，剖析以下四個(gè)結(jié)論：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④tan∠CAD＝2．此中正確的結(jié)論有( )A.4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)匠心教育文檔系列2匠心文檔，專屬精選。AEDFB第10題圖C【知識(shí)點(diǎn)】特別平行四邊形——矩形的性質(zhì)、相像三角形——相像三角形的判斷與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)——銳角三角函數(shù)值的求法【答案】B.【分析】∵矩形ABCD中，∴AD∥BC.∴△AEF∽△CAB.......................①正確；∵△AEF∽△CAB，∴AF＝AE＝1，∴CF＝2AF②正確；CFBC2過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AC于點(diǎn)H.易證△ABF≌△CDH(AAS).∴AF＝CH.∵EF∥DH,∴AF＝AEFHED＝1.∴AF＝FH.∴FH＝CH.∴DH垂直均分CF.∴DF＝DC.③正確；AEDFHBGC第10題答案圖AFBF設(shè)EF＝1，則BF＝2.∵△ABF∽△EAF.∴EF＝AF.∴AF＝EF?BF＝1×2＝2.∴tan∠ABF＝AF＝22BF2.∵∠CAD＝∠ABF，∴tan∠CAD＝tan∠ABF＝2.④錯(cuò)誤.應(yīng)選擇B.【點(diǎn)撥】本題考察了矩形的性質(zhì)、相像三角形的判斷和性質(zhì)，圖形面積的計(jì)算，銳角三角函數(shù)值的求法，正確的作出協(xié)助線是解本題的重點(diǎn)．（2016·重慶市A卷·4分）△ABC與△DEF的相像比為1：4，則△ABC與△DEF的周長(zhǎng)比為（）A．1：2B．1：3C．1：4D．1：16【剖析】由相像三角形周長(zhǎng)的比等于相像比即可得出結(jié)果．匠心教育文檔系列3匠心文檔，專屬精選?！窘獯稹拷猓骸摺鰽BC與△DEF的相像比為1：4，∴△ABC與△DEF的周長(zhǎng)比為1：4；應(yīng)選：C．【評(píng)論】本題考察了相像三角形的性質(zhì)；熟記相像三角形周長(zhǎng)的比等于相像比是解決問(wèn)題的重點(diǎn)．5．（2016廣西南寧3分）有3個(gè)正方形以下圖擱置，暗影部分的面積挨次記為S1，S2，則S1：S2等于（）A．1：B．1：2C．2：3D．4：9【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)．【剖析】設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為x，再依據(jù)相像的性質(zhì)求出S1、S2與正方形面積的關(guān)系，而后進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．【解答】解：設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為x，依據(jù)圖形可得：=，=，∴=，∴S1=S正方形ABCD，∴S1=x2，=，∴=，∴S2=S正方形ABCD，匠心教育文檔系列4匠心文檔，專屬精選?！郤2=x2，∴S122：x2=4：9；：S=x應(yīng)選D．【評(píng)論】本題考察了正方形的性質(zhì)，用到的知識(shí)點(diǎn)是正方形的性質(zhì)、相像三角形的性質(zhì)、正方形的面積公式，重點(diǎn)是依據(jù)題意求出S1、S2與正方形面積的關(guān)系．6.(2016河北3分）如圖，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6.將△ABC沿圖示中的虛線剪開(kāi)，剪下的暗影三角形與原三角形不相像的是（C）．．．第15題圖答案：Ｃ分析：只需三個(gè)角相等，或許一角相等，兩邊成比率即可。Ｃ項(xiàng)不行比率。知識(shí)點(diǎn)：相像三角形7.（2016·內(nèi)蒙古包頭·3分）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E是AB上一點(diǎn)，且DE⊥CE．若AD=1，BC=2，CD=3，則CE與DE的數(shù)目關(guān)系正確的選項(xiàng)是（）匠心教育文檔系列5匠心文檔，專屬精選。A．CE=DEB．CE=DEC．CE=3DED．CE=2DE【考點(diǎn)】相像三角形的判斷與性質(zhì)；勾股定理；矩形的判斷與性質(zhì)．【剖析】過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC，利用勾股定理可得AB的長(zhǎng)，利用相像三角形的判斷定理可得△ADE∽△BEC，設(shè)BE=x，由相像三角形的性質(zhì)可解得x，易得CE，DE的關(guān)系．【解答】解：過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC，AD=1，BC=2，∴CH=1，DH=AB===2，∵AD∥BC，∠ABC=90°，∴∠A=90°，∵DE⊥CE，∴∠AED+∠BEC=90°，∵∠AED+∠ADE=90°，∴∠ADE=∠BEC，∴△ADE∽△BEC，∴，設(shè)BE=x，則AE=2，即，解得x=，∴，∴CE=，應(yīng)選B．匠心教育文檔系列6匠心文檔，專屬精選。（2016·湖北隨州·3分）如圖，D、E分別是△ABC的邊AB、BC上的點(diǎn)，且DE∥AC，AE、CD訂交于點(diǎn)O，若S△DOE：S△COA=1：25，則S△BDE與S△CDE的比是（）A．1：3B．1：4C．1：5D．1：25【考點(diǎn)】相像三角形的判斷與性質(zhì)．【剖析】依據(jù)相像三角形的判斷定理獲得△DOE∽△COA，依據(jù)相像三角形的性質(zhì)定理得到=，==，聯(lián)合圖形獲得=，獲得答案．【解答】解：∵DE∥AC，∴△DOE∽△COA，又S△DOE：S△COA=1：25，=，∵DE∥AC，==，=，∴S△BDE與S△CDE的比是1：4，應(yīng)選：B．（2016·江西·3分）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均相等．網(wǎng)格中三個(gè)多邊形（分別標(biāo)志為①，②，③）的極點(diǎn)均在格點(diǎn)上．被一個(gè)多邊形覆蓋的網(wǎng)格線中，豎直部分線段長(zhǎng)度之和記為m，水平部分線段長(zhǎng)度之和記為n，則這三個(gè)多邊形中知足m=n的是（）匠心教育文檔系列7匠心文檔，專屬精選。A．只有②B．只有③C．②③D．①②③【考點(diǎn)】相像三角形的判斷與性質(zhì)；三角形中位線定理．【剖析】利用相像三角形的判斷和性質(zhì)分別求出各多邊形豎直部分線段長(zhǎng)度之和與水平部分線段長(zhǎng)度之和，再比較即可．【解答】解：假定每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，①：m=1+2+1=4，n=2+4=6，則m≠n；②在△ACN中，BM∥CN，∴=，∴BM=，在△AGF中，DM∥NE∥FG，∴=，=，得DM=，NE=，∴m=2+=2.5，n=+1++=2.5，m=n；③由②得：BE=，CF=，m=2+2++1+=6，n=4+2=6，m=n，則這三個(gè)多邊形中知足m=n的是②和③；應(yīng)選C．匠心教育文檔系列8匠心文檔，專屬精選。（2016·遼寧丹東·3分）如圖，在△ABC中，AD和BE是高，∠ABE=45°，點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，AD與FE、BE分別交于點(diǎn)G、H，∠CBE=∠BAD．有以下結(jié)論：①FD=FE；②AH=2CD；③BC?AD=AE2；④S△ABC=4S△ADF．此中正確的有（）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)【考點(diǎn)】相像三角形的判斷與性質(zhì)；全等三角形的判斷與性質(zhì)．【剖析】由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出FD=AB，證明△ABE是等腰直角三角形，得出AE=BE，證出FE=AB，延伸FD=FE，①正確；證出∠ABC=∠C，得出AB=AC，由等腰三角形的性質(zhì)得出BC=2CD，BAD=∠CAD=∠CBE，由ASA證明△AEH≌△BEC，得出AH=BC=2CD，②正確；證明△ABD～△BCE，得出=，即BC?AD=AB?BE，再由等腰直角三角形的性質(zhì)和三角形的面積得出BC?AD=AE2；③正確；由F是AB的中點(diǎn)，BD=CD，得出S△ABC=2S△ABD=4S△ADF．④正確；即可得出結(jié)論．【解答】解：∵在△ABC中，AD和BE是高，∴∠ADB=∠AEB=∠CEB=90°，∵點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，∴FD=AB，∵∠ABE=45°，匠心教育文檔系列9匠心文檔，專屬精選。∴△ABE是等腰直角三角形，AE=BE，∵點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)E=AB，F(xiàn)D=FE，①正確；∵∠CBE=∠BAD，∠CBE+∠C=90°，∠BAD+∠ABC=90°，∴∠ABC=∠C，AB=AC，∵AD⊥BC，BC=2CD，∠BAD=∠CAD=∠CBE，在△AEH和△BEC中，，∴△AEH≌△BEC（ASA），AH=BC=2CD，②正確；∵∠BAD=∠CBE，∠ADB=∠CEB，∴△ABD～△BCE，=，即BC?AD=AB?BE，AE2=AB?AE=AB?BE，BC?AD=AC?BE=AB?BE，∴BC?AD=AE2；③正確；F是AB的中點(diǎn)，BD=CD，∴S△ABC=2S△ABD=4S△ADF．④正確；應(yīng)選：D．11.（2016·遼寧丹東·3分）如圖，正方形ABCD邊長(zhǎng)為3，連結(jié)AC，AE均分∠CAD，交BC的延伸線于點(diǎn)E，F(xiàn)A⊥AE，交CB延伸線于點(diǎn)F，則EF的長(zhǎng)為6\sqrt{2}．【考點(diǎn)】相像三角形的判斷與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．匠心教育文檔系列10匠心文檔，專屬精選?！酒饰觥坷谜叫蔚男再|(zhì)和勾股定理可得AC的長(zhǎng)，由角均分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可得∠CAE=∠E，易得CE=CA，由FA⊥AE，可得∠FAC=∠F，易得CF=AC，可得EF的長(zhǎng)．【解答】解：∵四邊形ABCD為正方形，且邊長(zhǎng)為3，∴AC=3，∵AE均分∠CAD，∴∠CAE=∠DAE，∵AD∥CE，∴∠DAE=∠E，∴∠CAE=∠E，∴CE=CA=3，F(xiàn)A⊥AE，∴∠FAC+∠CAE=90°，∠F+∠E=90°，∴∠FAC=∠F，∴CF=AC=3，∴EF=CF+CE=3=6，故答案為：6．12.（2016·四川內(nèi)江）一組正方形按如圖3所示的方式擱置，此中極點(diǎn)B1在y軸上，極點(diǎn)C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3在x軸上，已知正方形A1B1C1D1的邊長(zhǎng)為1，∠B1C1O＝60°，BC∥BC∥BC則正方形AB2016CD2016的邊長(zhǎng)是()11223320162016A．(1)2015B．(1)2016C．(3)2016D．(3)20152233y1A1A2BD1B2D2B3A3D3OC1EEC2E3E4Cx123圖3[答案]D[考點(diǎn)]三角形的相像，推理、猜想。匠心教育文檔系列11匠心文檔，專屬精選。B2C2＝B2E2＝D1E1＝tan30°．[分析]易知△B2C2E2∽△C1D1E1，∴C1D1C1E1C1E1∴B2C2＝C1D1·tan30°＝3．∴C2D2＝3．33同理，B3C3＝C2D2·tan30°＝(3)2；3由此猜想Bnn3n－1．C＝(3)當(dāng)n＝2016時(shí)，B2016C2016＝(3)2015．3應(yīng)選D．13．（2016·四川南充）如圖，正五邊形的邊長(zhǎng)為2，連結(jié)對(duì)角線AD，BE，CE，線段AD分別與BE和CE訂交于點(diǎn)M，N．給出以下結(jié)論：①∠AME=108°；②AN2=AMAD；③MN=3﹣；④S△EBC=2﹣1．此中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)【剖析】依據(jù)正五邊形的性質(zhì)獲得∠ABE=∠AEB=∠EAD=36°，依據(jù)三角形的內(nèi)角和即可獲得結(jié)論；因?yàn)椤螦EN=108°﹣36°=72°，∠ANE=36°+36°=72°，獲得∠AEN=∠ANE，依據(jù)等腰三角形的判斷定理獲得AE=AN，同理DE=DM，依據(jù)相像三角形的性質(zhì)獲得，等量代換獲得AN2=AMAD；依據(jù)AE2=AMAD，列方程獲得MN=3﹣；在正五邊形ABCDE中，因?yàn)锽E=CE=AD=1+，獲得BH=BC=1，依據(jù)勾股定理獲得EH==，依據(jù)三角形的面積獲得結(jié)論．【解答】解：∵∠BAE=∠AED=108°，AB=AE=DE，∴∠ABE=∠AEB=∠EAD=36°，∴∠AME=180°﹣∠EAM﹣∠AEM=108°，故①正確；∵∠AEN=108°﹣36°=72°，∠ANE=36°+36°=72°，∴∠AEN=∠ANE，AE=AN，匠心教育文檔系列12匠心文檔，專屬精選。同理DE=DM，∴AE=DM，∵∠EAD=∠AEM=∠ADE=36°，∴△AEM∽△ADE，∴，∴AE2=AMAD；∴AN2=AMAD；故②正確；∵AE2=AMAD，22=（2﹣MN）（4﹣MN），∴MN=3﹣；故③正確；在正五邊形ABCDE中，∵BE=CE=AD=1+，BH=BC=1，∴EH==，∴S△EBC=BCEH=×2×=，故④錯(cuò)誤；應(yīng)選C．【評(píng)論】本題考察了相像三角形的判斷和性質(zhì)，勾股定理，正五邊形的性質(zhì)，嫻熟掌握正五邊形的性質(zhì)是解題的重點(diǎn)．14．（2016·四川瀘州）如圖，矩形ABCD的邊長(zhǎng)AD=3，AB=2，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)在邊BC上，且BF=2FC，AF分別與DE、DB訂交于點(diǎn)M，N，則MN的長(zhǎng)為（）匠心教育文檔系列13匠心文檔，專屬精選。A．B．C．D．【考點(diǎn)】相像三角形的判斷與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)．【剖析】過(guò)F作FH⊥AD于H，交ED于O，于是獲得FH=AB=2，依據(jù)勾股定理獲得AF===2，依據(jù)平行線分線段成比率定理獲得OH=AE=，由相像三角形的性質(zhì)獲得==，求得AM=AF=，依據(jù)相像三角形的性質(zhì)獲得==，求得AN=AF=，即可獲得結(jié)論．【解答】解：過(guò)F作FH⊥AD于H，交ED于O，則FH=AB=2∵BF=2FC，BC=AD=3，∴BF=AH=2，F(xiàn)C=HD=1，∴AF===2，OH∥AE，∴==，∴OH=AE=，∴OF=FH﹣OH=2﹣=，AE∥FO，∴△AME∽FMO，∴==，∴AM=AF=，AD∥BF，∴△AND∽△FNB，∴==，匠心教育文檔系列14匠心文檔，專屬精選?！郃N=AF=，∴MN=AN﹣AM=﹣=，應(yīng)選B．15.（2016·黑龍江龍東·3分）如圖，在正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點(diǎn)，連結(jié)AE，BF交于點(diǎn)G，將△BCF沿BF對(duì)折，獲得△BPF，延伸FP交BA延伸線于點(diǎn)Q，以下結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）①AE=BF；②AE⊥BF；③sin∠BQP=；④S四邊形ECFG=2S△BGE．A．4B．3C．2D．1【考點(diǎn)】四邊形綜合題．【剖析】第一證明△ABE≌△BCF，再利用角的關(guān)系求得∠BGE=90°，即可獲得①AE=BF；②AE⊥BF；△BCF沿BF對(duì)折，獲得△BPF，利用角的關(guān)系求出QF=QB，解出BP，QB，依據(jù)正弦的定義即可求解；依據(jù)AA可證△BGE與△BCF相像，進(jìn)一步獲得相像比，再根據(jù)相像三角形的性質(zhì)即可求解．【解答】解：∵E，F(xiàn)分別是正方形ABCD邊BC，CD的中點(diǎn)，CF=BE，在△ABE和△BCF中，，Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），∴∠BAE=∠CBF，AE=BF，故①正確；匠心教育文檔系列15匠心文檔，專屬精選。又∵∠BAE+∠BEA=90°，∴∠CBF+∠BEA=90°，∴∠BGE=90°，∴AE⊥BF，故②正確；依據(jù)題意得，F(xiàn)P=FC，∠PFB=∠BFC，∠FPB=90°∵CD∥AB，∴∠CFB=∠ABF，∴∠ABF=∠PFB，∴QF=QB，令PF=k（k＞0），則PB=2k在Rt△BPQ中，設(shè)QB=x，∴x2=（x﹣k）2+4k2，∴x=，∴sin=∠BQP==，故③正確；∵∠BGE=∠BCF，∠GBE=∠CBF，∴△BGE∽△BCF，BE=BC，BF=BC，∴BE：BF=1：，∴△BGE的面積：△BCF的面積=1：5，∴S四邊形ECFG=4S△BGE，故④錯(cuò)誤．應(yīng)選：B．二、填空題1．（2016·山東省濱州市·4分）如圖，矩形ABCD中，AB=，BC=，點(diǎn)E在對(duì)角線BD上，且BE=1.8，連結(jié)AE并延伸交DC于點(diǎn)F，則=．匠心教育文檔系列16匠心文檔，專屬精選。【考點(diǎn)】相像三角形的判斷與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)．【剖析】依據(jù)勾股定理求出BD，獲得DE的長(zhǎng)，依據(jù)相像三角形的性質(zhì)獲得比率式，代入計(jì)算即可求出DF的長(zhǎng)，求出CF，計(jì)算即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，又AB=，BC=，∴BD==3，BE=1.8，DE=3﹣1.8=1.2，∵AB∥CD，∴=，即=，解得，DF=，則CF=CD﹣DF=，==，故答案為：．【評(píng)論】本題考察的是矩形的性質(zhì)、相像三角形的判斷和性質(zhì)，掌握矩形的性質(zhì)定理和相像三角形的判斷定理、性質(zhì)定理是解題的重點(diǎn)．2．（2016貴州畢節(jié)5分）在△ABC中，D為AB邊上一點(diǎn)，且∠BCD=∠A．已知BC=，AB=3，則BD=．【考點(diǎn)】相像三角形的判斷與性質(zhì)．【剖析】證明△DCB≌△CAB，得=，由此即可解決問(wèn)題．【解答】解：∵∠BCD=∠A，∠B=∠B，∴△DCB≌△CAB，匠心教育文檔系列17匠心文檔，專屬精選?！?，∴=，∴BD=．故答案為．3.（2016·廣西桂林·3分）如圖，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC=3，CD=1，CH⊥BD于H，點(diǎn)O是AB中點(diǎn)，連結(jié)OH，則OH=．【考點(diǎn)】相像三角形的判斷與性質(zhì)；全等三角形的判斷與性質(zhì)；等腰直角三角形．【剖析】在BD上截取BE=CH，連結(jié)CO，OE，依據(jù)相像三角形的性質(zhì)獲得，求得CH=，依據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)獲得AO=OB=OC，A=∠ACO=∠BCO=∠ABC=45°，等量代換獲得∠OCH=∠ABD，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)獲得OE=OH，∠BOE=∠HOC推出△HOE是等腰直角三角形，依據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可獲得結(jié)論．【解答】解：在BD上截取BE=CH，連結(jié)CO，OE，∵∠ACB=90°CH⊥BD，AC=BC=3，CD=1，∴BD=10，∴△CDH∽△BDC，∴，∴CH=，∵△ACB是等腰直角三角形，點(diǎn)O是AB中點(diǎn)，∴AO=OB=OC，∠A=∠ACO=∠BCO=∠ABC=45°，匠心教育文檔系列18匠心文檔，專屬精選?！唷螼CH+∠DCH=45°，∵∠DCH=∠CBD，∴∠在△CHO與△BEO中，∴△CHO≌△BEO，

ABD+∠DBC=45°，OCH=∠ABD，，∴OE=OH，∠BOE=∠HOC，∵OC⊥BO，∴∠EOH=90°，即△HOE是等腰直角三角形，∵EH=BD﹣DH﹣CH=﹣﹣=，∴OH=EH×=，故答案為：．4（.2016·貴州安順·4分）如圖，矩形EFGH內(nèi)接于△ABC，且邊FG落在BC上，若AD⊥BC，BC=3，AD=2，EF=EH，那么EH的長(zhǎng)為．【剖析】設(shè)EH=3x，表示出EF，由AD﹣EF表示出三角形AEH的邊EH上的高，依據(jù)三角形AEH與三角形ABC相像，利用相像三角形對(duì)應(yīng)邊上的高之比等于相像比求出x的值，即為EH的長(zhǎng)．【解答】解：以下圖：∵四邊形EFGH是矩形，匠心教育文檔系列19匠心文檔，專屬精選?！郋H∥BC，∴△AEH∽△ABC，∵AM⊥EH，AD⊥BC，∴，設(shè)EH=3x，則有EF=2x，AM=AD﹣EF=2﹣2x，∴，解得：x=，則EH=．故答案為：．【評(píng)論】本題考察了相像三角形的判斷與性質(zhì)，以及矩形的性質(zhì)，嫻熟掌握相像三角形的判定與性質(zhì)是解本題的重點(diǎn)．5.（2016·湖北隨州·3分）如圖（1），PT與⊙O1相切于點(diǎn)T，PAB與⊙O1訂交于A、B兩點(diǎn)，可證明△PTA∽△PBT，從而有PT2=PA?PB．請(qǐng)應(yīng)用以上結(jié)論解決以下問(wèn)題：如圖（2），PAB、PCD分別與⊙O2訂交于A、B、C、D四點(diǎn)，已知PA=2，PB=7，PC=3，則CD=．【考點(diǎn)】相像三角形的判斷與性質(zhì)；切線的性質(zhì)．【剖析】如圖2中，過(guò)點(diǎn)P作⊙O的切線PT，切點(diǎn)是T，依據(jù)PT2=PA?PB=PC?PD，求出PD即可解決問(wèn)題．【解答】解：如圖2中，過(guò)點(diǎn)P作⊙O的切線PT，切點(diǎn)是T．匠心教育文檔系列20匠心文檔，專屬精選。PT2=PA?PB=PC?PD，PA=2，PB=7，PC=3，∴2×7=3×PD，∴PD=∴CD=PD﹣PC=﹣3=．（2016·湖北武漢·3分）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD10，DA＝55，則BD的長(zhǎng)為_(kāi)______．【考點(diǎn)】相像三角形，勾股定理【答案】241【分析】連結(jié)AC，過(guò)點(diǎn)D作BC邊上的高，交BC延伸線于點(diǎn)H．在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∴AC＝5，又CD＝10，DA＝55，可知△ACD為直角三角形，且∠ACD＝90°，22241．易證△ABC∽△CHD，則CH＝6，DH＝8，∴BD＝（4+6）8匠心教育文檔系列21匠心文檔，專屬精選。7.（2016·黑龍江龍東·3分）已知：在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在直線AD上，AE=AD，連結(jié)CE交BD于點(diǎn)F，則EF：FC的值是或．【考點(diǎn)】相像三角形的判斷與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．【剖析】分兩種狀況：①當(dāng)點(diǎn)E在線段AD上時(shí)，由四邊形ABCD是平行四邊形，可證得EFD∽△CFB，求出DE：BC=2：3，即可求得EF：FC的值；②當(dāng)當(dāng)點(diǎn)E在射線DA上時(shí)，同①得：△EFD∽△CFB，求出DE：BC=4：3，即可求得EF：FC的值．【解答】解：∵AE=AD，∴分兩種狀況：①當(dāng)點(diǎn)E在線段AD上時(shí)，如圖1所示∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△EFD∽△CFB，EF：FC=DE：BC，∵AE=AD，DE=2AE=AD=BC，∴DE：BC=2：3，EF：FC=2：3；②當(dāng)點(diǎn)E在線段DA的延伸線上時(shí)，如圖2所示：同①得：△EFD∽△CFB，∴EF：FC=DE：BC，∵AE=AD，∴DE=4AE=AD=BC，∴DE：BC=4：3，EF：FC=4：3；綜上所述：EF：FC的值是或；匠心教育文檔系列22匠心文檔，專屬精選。故答案為：或．8．（2016·黑龍江齊齊哈爾·3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形AOCB的兩邊OA、OC分別在x軸和y軸上，且OA=2，OC=1．在第二象限內(nèi)，將矩形AOCB以原點(diǎn)O為位似中心放大為本來(lái)的倍，獲得矩形A1OC1B1，再將矩形A1OC1B1以原點(diǎn)O為位似中心放大倍，獲得矩形A2OC2B2，以此類推，獲得的矩形AnOCnBn的對(duì)角線交點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣，）．【考點(diǎn)】位似變換；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；矩形的性質(zhì)．【剖析】依據(jù)在平面直角坐標(biāo)系中，假如位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相像比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或﹣k，即可求得Bn的坐標(biāo)，而后依據(jù)矩形的性質(zhì)即可求得對(duì)角線交點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：∵在第二象限內(nèi)，將矩形AOCB以原點(diǎn)O為位似中心放大為本來(lái)的倍，∴矩形A1OC1B1與矩形AOCB是位似圖形，點(diǎn)B與點(diǎn)B1是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，∵OA=2，OC=1．∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣2，1），∴點(diǎn)B1的坐標(biāo)為（﹣2×，1×），∵將矩形A1OC1B1以原點(diǎn)O為位似中心放大倍，獲得矩形A2OC2B2，∴B2（﹣2××，1××），匠心教育文檔系列23匠心文檔，專屬精選?！郆n（﹣2×，1×），∵矩形AnOCnBn的對(duì)角線交點(diǎn)（﹣2××，1××），即（﹣，），故答案為：（﹣，）．三、解答題（2016·湖北武漢·10分）在△ABC中，P為邊AB上一點(diǎn)．如圖1，若∠ACP＝∠B，求證：AC2＝AP·AB；若M為CP的中點(diǎn)，AC＝2，①如圖2，若∠PBM＝∠ACP，AB＝3，求BP的長(zhǎng)；②如圖3，若∠ABC＝45°，∠A＝∠BMP＝60°，直接寫出BP的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】相像形綜合，考察相像三角形的判斷和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形中位線性質(zhì)，勾股定理?！敬鸢浮浚?）證△ACP∽△ABC即可；（2）①BP＝5；②71【分析】（1）證明：∵∠ACP＝∠B，∠BAC＝∠CAP，∴△ACP∽△ABC，∴AC：AB＝AP：AC，∴AC2＝AP·AB；（2）①如圖，作CQ∥BM交AB延伸線于Q，設(shè)BP＝x，則PQ＝2x∵∠PBM＝∠ACP，∠PAC＝∠CAQ，∴△APC∽△ACQ，由AC2＝AP·AQ得：22＝（3－x）（3＋x），∴x＝5匠心教育文檔系列24匠心文檔，專屬精選。即BP＝5；②如圖：作CQ⊥AB于點(diǎn)Q，作CP0＝CP交AB于點(diǎn)P0，∵AC＝2，∴AQ＝1，CQ＝BQ＝3，設(shè)P0Q＝PQ＝1－x，BP＝3－1＋x，∵∠BPM＝∠CP0A，∠BMP＝∠CAP0，∴△AP0C∽△MPB，∴AP0P0C，MPBP∴MP?P0C＝1PC2(3)2(1x)203－1＋x），解得x＝73202AP?BP＝x（∴BP＝3－1＋73＝71．2.（2016·遼寧丹東·12分）如圖①，△ABC與△CDE是等腰直角三角形，直角邊AC、CD在同一條直線上，點(diǎn)M、N分別是斜邊AB、DE的中點(diǎn)，點(diǎn)P為AD的中點(diǎn)，連結(jié)AE、BD．1）猜想PM與PN的數(shù)目關(guān)系及地點(diǎn)關(guān)系，請(qǐng)直接寫出結(jié)論；2）現(xiàn)將圖①中的△CDE繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），獲得圖②，AE與MP、BD分別交于點(diǎn)G、H．請(qǐng)判斷（1）中的結(jié)論能否建立？若建立，請(qǐng)證明；若不建立，請(qǐng)說(shuō)明原因；（3）若圖②中的等腰直角三角形變?yōu)橹苯侨切?，使BC=kAC，CD=kCE，如圖③，寫出PM與PN的數(shù)目關(guān)系，并加以證明．匠心教育文檔系列25匠心文檔，專屬精選?！究键c(diǎn)】相像形綜合題．【剖析】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)易證△ACE≌△BCD，由此可得AE=BD，再依據(jù)三角形中位線定理即可獲得PM=PN，由平行線的性質(zhì)可得PM⊥PN；2）（1）中的結(jié)論依舊建立，由（1）中的證明思路即可證明；3）PM=kPN，由已知條件可證明△BCD∽△ACE，所以可得BD=kAE，因?yàn)辄c(diǎn)P、M、N分別為AD、AB、DE的中點(diǎn)，所以PM=BD，PN=AE，從而可證明PM=kPN．【解答】解：1）PM=PN，PM⊥PN，原因以下：∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90°．在△ACE和△BCD中，∴△ACE≌△BCD（SAS），AE=BD，∠EAC=∠CBD，∵點(diǎn)M、N分別是斜邊AB、DE的中點(diǎn)，點(diǎn)P為AD的中點(diǎn)，∴PM=BD，PN=AE，∴PM=PM，∵∠NPD=∠EAC，∠MPN=∠BDC，∠EAC+∠BDC=90°，∴∠MPA+∠NPC=90°，∴∠MPN=90°，即PM⊥PN；（2）∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，匠心教育文檔系列26匠心文檔，專屬精選?！郃C=BC，EC=CD，ACB=∠ECD=90°．∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE．∴∠ACE=∠BCD．∴△ACE≌△BCD．AE=BD，∠CAE=∠CBD．又∵∠AOC=∠BOE，∠CAE=∠CBD，∴∠BHO=∠ACO=90°．∵點(diǎn)P、M、N分別為AD、AB、DE的中點(diǎn)，∴PM=BD，PM∥BD；PN=AE，PN∥AE．∴PM=PN．∴∠MGE+∠BHA=180°．∴∠MGE=90°．∴∠MPN=90°．∴PM⊥PN．3）PM=kPN∵△ACB和△ECD是直角三角形，∴∠ACB=∠ECD=90°．∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE．∴∠ACE=∠BCD．BC=kAC，CD=kCE，∴=k．∴△BCD∽△ACE．BD=kAE．∵點(diǎn)P、M、N分別為AD、AB、DE的中點(diǎn)，∴PM=BD，PN=AE．匠心教育文檔系列27匠心文檔，專屬精選。PM=kPN．（2016·四川瀘州）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，BD為⊙O的直徑，BD與AC訂交于點(diǎn)H，AC的延伸線與過(guò)點(diǎn)B的直線訂交于點(diǎn)E，且∠A=∠EBC．（1）求證：BE是⊙O的切線；（2）已知CG∥EB，且CG與BD、BA分別訂交于點(diǎn)F、G，若BG?BA=48，F(xiàn)G=，DF=2BF，求AH的值．【考點(diǎn)】圓的綜合題；三角形的外接圓與外心；切線的判斷．【剖析】（1）欲證明BE是⊙O的切線，只需證明∠EBD=90°．（2）由△ABC∽△CBG，得=求出BC，再由△BFC∽△BCD，得BC2=BF?BD求出BF，CF，CG，GB，再經(jīng)過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)CG=AG，從而能夠證明CH=CB，求出AC即可解決問(wèn)題．【解答】（1）證明：連結(jié)CD，∵BD是直徑，∴∠BCD=90°，即∠D+∠CBD=90°，∵∠A=∠D，∠A=∠EBC，∴∠CBD+∠EBC=90°，∴BE⊥BD，∴BE是⊙O切線．（2）解：∵CG∥EB，∴∠BCG=∠EBC，∴∠A=∠BCG，∵∠CBG=∠ABC∴△ABC∽△CBG，匠心教育文檔系列28匠心文檔，專屬精選。∴=，即BC2=BG?BA=48，∴BC=4，CG∥EB，∴CF⊥BD，∴△BFC∽△BCD，BC2=BF?BD，∵DF=2BF，BF=4，在RT△BCF中，CF==4，∴CG=CF+FG=5，在RT△BFG中，BG==3，∵BG?BA=48，∴即AG=5，CG=AG，∴∠A=∠ACG=∠BCG，∠CFH=∠CFB=90°，∴∠CHF=∠CBF，∴CH=CB=4，∵△ABC∽△CBG，∴=，∴AC==，∴AH=AC﹣CH=．4．（2016·四川內(nèi)江）(12分)如圖15，已知拋物線C：y＝x2－3x＋m，直線l：y＝kx(k＞0)，匠心教育文檔系列29匠心文檔，專屬精選。當(dāng)k＝1時(shí)，拋物線C與直線l只有一個(gè)公共點(diǎn)．求m的值；(2)若直線l與拋物線C交于不一樣的兩點(diǎn)A，B，直線l與直線l1：y＝－3x＋b交于點(diǎn)P，且OA1＋1＝2，求b的值；OBOP(3)在(2)的條件下，設(shè)直線l1與y軸交于點(diǎn)Q，問(wèn)：能否存在實(shí)數(shù)k使S△APQ＝S△BPQ，若存在，求k的值；若不存在，說(shuō)明原因．l1yl1yQlQlPBEPBDACAOxOx圖15答案圖[考點(diǎn)]二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，三角形的相像，推理論證的能力。解：(1)∵當(dāng)k＝1時(shí)，拋物線C與直線l只有一個(gè)公共點(diǎn)，∴方程組yx23xm,有且只有一組解．·····························2分yx消去y，得x2－4x＋m＝0，所以此一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．∴△＝0，即(－4)2－4m＝0．∴m＝4．····················································4分(2)如圖，分別過(guò)點(diǎn)A，P，B作y軸的垂線，垂足挨次為C，D，E，則△OAC∽△OPD，∴OP＝PD．OAAC同理，OP＝PD．OBBE1＋1＝2，∴OP＋OP＝2．OAOBOPOAOBPD＋PD＝2．ACBE∴1＋1＝2，即ACBE＝2．·····························5分ACBEPDACBEPD解方程組ykx,得x＝b，即PD＝b．····················6分y3xbk3k3匠心教育文檔系列30匠心文檔，專屬精選。ykx,消去y，得x2－(k＋3)x＋4＝0．由方程組x2y3x4∵AC，BE是以上一元二次方程的兩根，∴AC＋BE＝k＋3，AC·BE＝4．···································7分∴k3＝2．bk3解得b＝8．················································8分不存在．原因以下：·········································9分假定存在，則當(dāng)S△APQ＝S△BPQ時(shí)有AP＝PB，于是PD－AC＝PE－PD，即AC＋BE＝2PD．由(2)可知AC＋BE＝k＋3，PD＝8，3k＋3＝2×8，即(k＋3)2＝16．k3解得k＝1(舍去k＝－7)．····································11分當(dāng)k＝1時(shí)，A，B兩點(diǎn)重合，△QAB不存在．∴不存在實(shí)數(shù)k使S△APQ△BPQ＝S．································12分5．（2016·四川南充）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)P為正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)M在AB上，且知足△PBC∽△PAM，延伸BP交AD于點(diǎn)N，連結(jié)CM．1）如圖一，若點(diǎn)2）①如圖二，在點(diǎn)AP⊥BN和AM=AN

在線段AB上，求證：AP⊥BN；AM=AN；P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，知足△PBC∽△PAM的點(diǎn)M在AB的延伸線上時(shí)，能否建立？（不需說(shuō)明原因）②能否存在知足條件的點(diǎn)P，使得PC=？請(qǐng)說(shuō)明原因．匠心教育文檔系列31匠心文檔，專屬精選。【剖析】（1）由△PBC∽△PAM，推出∠PAM=∠PBC，由∠PBC+∠PBA=90°，推出∠PAM+∠PBA=90°即可證明AP⊥BN，由△PBC∽△PAM，推出==，由△BAP∽△BNA，推出=，獲得=，由此即可證明．（2）①結(jié)論仍舊建立，證明方法近似（1）．②這樣的點(diǎn)P不存在．利用反證法證明．假定PC=，推出矛盾即可．【解答】（1）證明：如圖一中，∵四邊形ABCD是正方形，AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠D=90°，∵△PBC∽△PAM，∴∠PAM=∠PBC，==，∴∠PBC+∠PBA=90°，∴∠PAM+∠PBA=90°，∴∠APB=90°，∴AP⊥BN，∵∠ABP=∠ABN，∠APB=∠BAN=90°，∴△BAP∽△BNA，=，=，∵AB=BC，AN=AM．（2）解：①仍舊建立，AP⊥BN和AM=AN．原因如圖二中，∵四邊形ABCD是正方形，AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠D=90°，∵△PBC∽△PAM，∴∠PAM=∠PBC，==，∴∠PBC+∠PBA=90°，∴∠PAM+∠PBA=90°，∴∠APB=90°，匠心教育文檔系列32匠心文檔，專屬精選?！郃P⊥BN，∵∠ABP=∠ABN，∠APB=∠BAN=90°，∴△BAP∽△BNA，=，=，∵AB=BC，AN=AM．②這樣的點(diǎn)P不存在．原因：假定PC=，如圖三中，以點(diǎn)C為圓心為半徑畫圓，以AB為直徑畫圓，CO==＞1+，∴兩個(gè)圓外離，∴∠APB＜90°，這與AP⊥PB矛盾，∴假定不行能建立，∴知足PC=的點(diǎn)P不存在．匠心教育文檔系列33匠心文檔，專屬精選。【評(píng)論】本題考察相像三角形綜合題、正方形的性質(zhì)、圓的有關(guān)知識(shí)，解題的重點(diǎn)是嫻熟應(yīng)用相像三角形性質(zhì)解決問(wèn)題，最后一個(gè)問(wèn)題利用圓的地點(diǎn)關(guān)系解決問(wèn)題，有必定難度，屬于中考?jí)狠S題．6△AOB中，∠AOB為直角，OA=6，OB=8，半徑為2的．（2016·四川攀枝花）如圖，在動(dòng)圓圓心Q從點(diǎn)O出發(fā)，沿著OA方向以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著AB方向也以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t≤5）以P為圓心，PA長(zhǎng)為半徑的⊙P與AB、OA的另一個(gè)交點(diǎn)分別為C、D，連結(jié)CD、QC．1）當(dāng)t為什么值時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合？2）當(dāng)⊙Q經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，求⊙P被OB截得的弦長(zhǎng)．（3）若⊙P與線段QC只有一個(gè)公共點(diǎn)，求t的取值范圍．【考點(diǎn)】圓的綜合題．【剖析】（1）由題意知CD⊥OA，所以△ACD∽△ABO，利用對(duì)應(yīng)邊的比求出AD的長(zhǎng)度，若Q與D重合時(shí)，則，AD+OQ=OA，列出方程即可求出t的值；（2）因?yàn)?＜t≤5，當(dāng)Q經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)，OQ=4，此時(shí)用時(shí)為4s，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OB于點(diǎn)E，利用垂徑定理即可求出⊙P被OB截得的弦長(zhǎng)；（3）若⊙P與線段QC只有一個(gè)公共點(diǎn)，分以下兩種狀況，①當(dāng)QC與⊙P相切時(shí)，計(jì)算出此時(shí)的時(shí)間；②當(dāng)Q與D重合時(shí)，計(jì)算出此時(shí)的時(shí)間；由以上兩種狀況即可得出t的取值范圍．匠心教育文檔系列34匠心文檔，專屬精選?！窘獯稹拷猓海?）∵OA=6，OB=8，∴由勾股定理可求得：AB=10，由題意知：OQ=AP=t，AC=2t，∵AC是⊙P的直徑，∴∠CDA=90°，∴CD∥OB，∴△ACD∽△ABO，∴，∴AD=，當(dāng)Q與D重合時(shí)，AD+OQ=OA，+t=6，t=；（2）當(dāng)⊙Q經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)，如圖1，OQ=OA﹣QA=4，t==4s，PA=4，BP=AB﹣PA=6，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OB于點(diǎn)E，⊙P與OB訂交于點(diǎn)F、G，連結(jié)PF，∴PE∥OA，∴△PEB∽△AOB，∴，∴PE=，∴由勾股定理可求得：EF=，匠心教育文檔系列35匠心文檔，專屬精選。由垂徑定理可求知：FG=2EF=；3）當(dāng)QC與⊙P相切時(shí)，如圖2，此時(shí)∠QCA=90°，∵OQ=AP=t，AQ=6﹣t，AC=2t，∵∠A=∠A，∠QCA=∠ABO，∴△AQC∽△ABO，∴，∴，∴t=，∴當(dāng)0＜t≤時(shí)，⊙P與QC只有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)QC⊥OA時(shí)，此時(shí)Q與D重合，由（1）可知：t=，∴當(dāng)＜t≤5時(shí)，⊙P與QC只有一個(gè)交點(diǎn)，綜上所述，當(dāng)，⊙P與QC只有一個(gè)交點(diǎn)，t的取值范圍為：0＜t≤或＜t≤5．匠心教育文檔系列36匠心文檔，專屬精選?！驹u(píng)論】本題考察圓的綜合問(wèn)題，波及圓的切線判斷，圓周角定理，相像三角形的判斷與性質(zhì)，學(xué)生需要依據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形來(lái)剖析，而且能綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行解答．7.（2016·黑龍江齊齊哈爾·8分）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分別為D，E，AD與BE訂交于點(diǎn)F．1）求證：△ACD∽△BFD；2）當(dāng)tan∠ABD=1，AC=3時(shí)，求BF的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】相像三角形的判斷與性質(zhì)．【剖析】（1）由∠C+∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90°，推出∠DBF=∠DAC，由此即可證明．（2）先證明AD=BD，由△ACD∽△BFD，得==1，即可解決問(wèn)題．【解答】（1）證明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°，∴∠C+∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90°，∴∠DBF=∠DAC，∴△ACD∽△BFD．2）∵tan∠ABD=1，∠ADB=90°∴=1，∴AD=BD，∵△ACD∽△BFD，匠心教育文檔系列37匠心文檔，專屬精選。==1，BF=AC=3．8．（2016·黑龍江齊齊哈爾·12分）以下圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)A（﹣，0）的兩條直線分別交y軸于B、C兩點(diǎn)，且B、C兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的兩個(gè)根1）求線段BC的長(zhǎng)度；2）試問(wèn)：直線AC與直線AB能否垂直？請(qǐng)說(shuō)明原因；3）若點(diǎn)D在直線AC上，且DB=DC，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；4）在（3）的條件下，直線BD上能否存在點(diǎn)P，使以A、B、P三點(diǎn)為極點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明原因．【考點(diǎn)】三角形綜合題．【剖析】（1）解出方程后，即可求出B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出BC的長(zhǎng)度；2）由A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)可知OA2=OC?OB，所以可證明△AOC∽△BOA，利用對(duì)應(yīng)角相等即可求出∠CAB=90°；（3）簡(jiǎn)單求得直線AC的分析式，由DB=DC可知，點(diǎn)D在BC的垂直均分線上，所以D的縱坐標(biāo)為1，將其代入直線AC的分析式即可求出D的坐標(biāo)；（4）A、B、P三點(diǎn)為極點(diǎn)的三角形是等腰三角形，可分為以下三種狀況：①AB=AP；②AB=BP；AP=BP；而后分別求出P的坐標(biāo)即可．【解答】（1）∵x2﹣2x﹣3=0，x=3或x=﹣1，∴B（0，3），C（0，﹣1），匠心教育文檔系列38匠心文檔，專屬精選。BC=4，（2）∵A（﹣，0），B（0，3），C（0，﹣1），∴OA=，OB=3，OC=1，∴OA2=OB?OC，∵∠AOC=∠BOA=90°，∴△AOC∽△BOA，∴∠CAO=∠ABO，∴∠CAO+∠BAO=∠ABO+∠BAO=90°，∴∠BAC=90°，∴AC⊥AB；（3）設(shè)直線AC的分析式為y=kx+b，把A（﹣，0）和C（0，﹣1）代入y=kx+b，∴，解得：，∴直線AC的分析式為：y=﹣x﹣1，∵DB=DC，∴點(diǎn)D在線段BC的垂直均分線上，∴D的縱坐標(biāo)為1，∴把y=1代入y=﹣x﹣1，∴x=﹣2，∴D的坐標(biāo)為（﹣2，1），（4）設(shè)直線BD的分析式為：y=mx+n，直線BD與x軸交于點(diǎn)E，把B（0，3）和D（﹣2，1）代入y=mx+n，匠心教育文檔系列39匠心文檔，專屬精選?！啵獾?，∴直線BD的分析式為：y=x+3，令y=0代入y=x+3，∴x=﹣3，∴E（﹣3，0），∴OE=3，tan∠BEC==，∴∠BEO=30°，同理可求得：∠ABO=30°，∴∠ABE=30°，當(dāng)PA=AB時(shí)，如圖1，此時(shí)，∠BEA=∠ABE=30°，∴EA=AB，∴P與E重合，∴P的坐標(biāo)為（﹣3，0），當(dāng)PA=PB時(shí)，如圖2，此時(shí)，∠PAB=∠PBA=30°，∵∠ABE=∠ABO=30°，∴∠PAB=∠ABO，∴PA∥BC，∴∠PAO=90°，∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為﹣，令x=﹣代入y=x+3，y=2，∴P（﹣，2），匠心教育文檔系列40匠心文檔，專屬精選。當(dāng)PB=AB時(shí)，如圖3，∴由勾股定理可求得：AB=2，EB=6，若點(diǎn)P在y軸左邊時(shí)，記此時(shí)點(diǎn)P為P1，過(guò)點(diǎn)P1作P1F⊥x軸于點(diǎn)F，∴P1B=AB=2，∴EP1=6﹣2，∴sin∠BEO=，F(xiàn)P1=3﹣，令y=3﹣代入y=x+3，∴x=﹣3，∴P1（﹣3，3﹣），若點(diǎn)P在y軸的右邊時(shí)，記此時(shí)點(diǎn)P為P2，過(guò)點(diǎn)P2作P2G⊥x軸于點(diǎn)G，∴P2B=AB=2，∴EP2=6+2，∴sin∠BEO=，∴GP2=3+，令y=3+代入y=x+3，x=3，∴P2（3，3+），綜上所述，當(dāng)A、B、P三點(diǎn)為極點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣3，0），（﹣，2），（﹣3，3﹣），（3，3+）．匠心教育文檔系列41匠心文檔，專屬精選。9．（2016·湖北黃石·12分）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=2∠DAE=2α．（1）如圖1，若點(diǎn)D對(duì)于直線AE的對(duì)稱點(diǎn)為F，求證：△ADF∽△ABC；（2）如圖2，在（1）的條件下，若α=45°，求證：DE2=BD2+CE2；（3）如圖3，若α=45°，點(diǎn)E在BC的延伸線上，則等式DE2=BD2+CE2還可以建立嗎？請(qǐng)說(shuō)明原因．【剖析】（1）依據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得∠EAF=∠DAE，AD=AF，再求出∠BAC=∠DAF，而后依據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比率，夾角相等兩三角形相像證明；匠心教育文檔系列42匠心文檔，專屬精選。（2）依據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得EF=DE，AF=AD，再求出∠BAD=∠CAF，而后利用“邊角邊”證明△ABD和△ACF全等，依據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CF=BD，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠ACF=∠B，而后求出∠ECF=90°，最后利用勾股定理證明即可；（3）作點(diǎn)D對(duì)于AE的對(duì)稱點(diǎn)F，連結(jié)EF、CF，依據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得EF=DE，AF=AD，再依據(jù)同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF，而后利用“邊角邊”證明△ABD和△ACF全等，依據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CF=BD，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠ACF=∠B，而后求出∠ECF=90°，最后利用勾股定理證明即可．【解答】證明：（1）∵點(diǎn)D對(duì)于直線AE的對(duì)稱點(diǎn)為F，∴∠EAF=∠DAE，AD=AF，又∵∠BAC=2∠DAE，∴∠BAC=∠DAF，AB=AC，∴=，∴△ADF∽△ABC；（2）∵點(diǎn)D對(duì)于直線AE的對(duì)稱點(diǎn)為F，EF=DE，AF=AD，∵α=45°，∴∠BAD=90°﹣∠CAD，∠CAF=∠DAE+∠EAF﹣∠CAD=45°+45°﹣∠CAD=90°﹣∠CAD，∴∠BAD=∠CAF，在△ABD和△ACF中，，∴△ABD≌△ACF（SAS），∴CF=BD，∠ACF=∠B，AB=AC，∠BAC=2α，α=45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=∠ACB=45°，∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，匠心教育文檔系列43匠心文檔，專屬精選。在Rt△CEF中，由勾股定理得，EF2=CF2+CE2，所以，DE2=BD2+CE2；3）DE2=BD2+CE2還可以建立．原因以下：作點(diǎn)D對(duì)于AE的對(duì)稱點(diǎn)F，連結(jié)EF、CF，由軸對(duì)稱的性質(zhì)得，EF=DE，AF=AD，∵α=45°，∴∠BAD=90°﹣∠CAD，CAF=∠DAE+∠EAF﹣∠CAD=45°+45°﹣∠CAD=90°﹣∠CAD，∴∠BAD=∠CAF，在△ABD和△ACF中，，∴△ABD≌△ACF（SAS），CF=BD，∠ACF=∠B，AB=AC，∠BAC=2α，α=45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=∠ACB=45°，∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，在Rt△CEF中，由勾股定理得，EF2=CF2+CE2，所以，DE2=BD2+CE2．【評(píng)論】本題是相像形綜合題，主要利用了軸對(duì)稱的性質(zhì)，相像三角形的判斷，同角的余角相等的性質(zhì)，全等三角形的判斷與性質(zhì)，勾股定理，此類題目，小題間的思路同樣是解題的重點(diǎn)．（2016·陜西）如圖，已知△ABC，∠BAC=90°，請(qǐng)用尺規(guī)過(guò)點(diǎn)A作一條直線，使其將△ABC分紅兩個(gè)相像的三角形（保存作圖印跡，不寫作法）匠心教育文檔系列44匠心文檔，專屬精選。【考點(diǎn)】作圖—相像變換．【剖析】過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于D，利用等角的余角相等可獲得∠BAD=∠C，則可判斷△ABD與△CAD相像．【解答】解：如圖，AD為所作．（2016·陜西）某市為了打造叢林城市，建立城市新地標(biāo)，實(shí)現(xiàn)綠色、共享發(fā)展理念，在城南建起了“望月閣”及環(huán)閣公園．小亮、小芳等同學(xué)想用一些丈量工具和所學(xué)的幾何知識(shí)測(cè)量“望月閣”的高度，來(lái)查驗(yàn)自己掌握知識(shí)和運(yùn)用知識(shí)的能力．他們經(jīng)過(guò)察看發(fā)現(xiàn)，觀察點(diǎn)與“”所以經(jīng)過(guò)研究需要兩次丈量，于是他們第一用平面鏡進(jìn)行望月閣底部間的距離不易測(cè)得，丈量．方法以下：如圖，小芳在小亮和“望月閣”之間的直線BM上平放一平面鏡，在鏡面上做了一個(gè)標(biāo)志，這個(gè)標(biāo)志在直線BM上的對(duì)應(yīng)地點(diǎn)為點(diǎn)C，鏡子不動(dòng)，小亮看著鏡面上的標(biāo)記，他往返走動(dòng)，走到點(diǎn)D時(shí)，看到“望月閣”頂端點(diǎn)A在鏡面中的像與鏡面上的標(biāo)志重合，這時(shí)，測(cè)得小亮眼睛與地面的高度ED=1.5米，CD=2米，而后，在陽(yáng)光下，他們用測(cè)影長(zhǎng)的方法進(jìn)行