中學(xué)數(shù)學(xué)教研組何平《直接證明》同步練習(xí)題_第1頁(yè)
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直接證明同步練習(xí)例1、已知a，b，c是不全相等的正數(shù)，求證：證明：∵≥2bc,a＞0,∴≥2abc①同理≥2abc②≥2abc③因?yàn)閍，b，c不全相等，所以≥2bc,≥2ca,≥2ab三式不能全取“=”號(hào)，從而①、②、③三式也不能全取“=”號(hào)∴例2、已知a，b，c都是正數(shù)，且a，b，c成等比數(shù)列，求證：證明：左－右=2（ab+bc－ac）∵a，b，c成等比數(shù)列，∴又∵a，b，c都是正數(shù)，所以≤∴∴∴例3、若實(shí)數(shù)，求證：證明：采用差值比較法：====∴∴例4、已知a,b,c,d∈R,求證:ac+bd≤分析一:用分析法證法一:(1)當(dāng)ac+bd≤0時(shí),顯然成立(2)當(dāng)ac+bd>0時(shí),欲證原不等式成立,只需證(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)即證a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b即證2abcd≤b2c2+a2d即證0≤(bc-ad)2因?yàn)閍,b,c,d∈R,所以上式恒成立,綜合(1)、(2)可知:原不等式成立分析二:用綜合法證法二:(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(a2c2+2abcd+b2d2)+(b2c2-2abcd+a=(ac+bd)2+(bc-ad)2≥(ac+bd)2∴≥|ac+bd|≥ac+bd故命題得證分析三:用比較法證法三:∵(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=(bc-ad)2≥0,∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2∴≥|ac+bd|≥ac+bd,即ac+bd≤例5、設(shè)a、b是兩個(gè)正實(shí)數(shù)，且a≠b，求證：a3+b3＞a2b+ab2．

證明：(用分析法思路書寫)

要證a3+b3＞a2b+ab2成立，

只需證(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，

即需證a2-ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0)

只需證a2-2ab+b2＞0成立，

即需證(a-b)2＞0成立。

而由已知條件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0顯然成立，由此命題得證。

(以下用綜合法思路書寫)

∵a≠b，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2＞0

亦即a2-ab+b2＞ab

由題設(shè)條件知，

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