無錫市2021-2022九年級初三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題+答案

無錫市2021-2022學(xué)年九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題本試卷分試題和答題卡兩部分，所有答案一律寫在答題卡上．考試時間為120分鐘．試卷滿分150分．注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、班級、學(xué)校以及考試證號填寫在答題：卡的相應(yīng)位置上，并將考試證號下方對應(yīng)的數(shù)字方框涂黑．2．答選擇題必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目中的選項標號涂黑．如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．答非選擇題必須用0.5毫米黑色墨水簽字筆作答，寫在答題卡上各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置，在其他位置答題一律無效．3．作圖必須用2B鉛筆作答，并請加黑加粗，描寫清楚．4．卷中除要求近似計算的結(jié)果取近似值外，其他均應(yīng)給出精確結(jié)果．參考公式：一組數(shù)據(jù)、、…、的平均數(shù)為，則方差．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題所給出的四個選項中，只有一項是正確的，請用2B鉛筆把答題卡上相應(yīng)的選項標號涂黑）1.下列方程是一元二次方程的是（）A. B. C. D.2.已知⊙O的半徑為4，，則點A在（）A.⊙O內(nèi) B.⊙O上 C.⊙O外 D.無法確定3.若a是從“、0、1、2”這四個數(shù)中任取的一個數(shù)，則關(guān)于x的方程為一元二次方程的概率是（）A.1 B. C. D.4.一組樣本數(shù)據(jù)為1、2、3、3、6，下列說法錯誤的是（）A.平均數(shù)是3 B.中位數(shù)是3 C.方差是3 D.眾數(shù)是35.一種藥品經(jīng)過兩次降價，藥價從每盒60元下調(diào)至48.6元，設(shè)平均每次降價的百分率為x，根據(jù)題意所列方程正確的是（）A B. C. D.6.在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度數(shù)之比為2：4：7，則∠B的度數(shù)為（）A.140° B.100° C.80° D.40°7.如圖，在平面直角坐標系中，，，．則△ABC的外心坐標為（）A. B. C. D.8.如圖，AB是的直徑，CD是的弦，且，，，則圖中陰影部分的面積為（）A. B. C. D.9.定義一種新運算：，，則方程解是（）A.， B.， C.， D.，10.如圖，在Rt△ABC中，，，點D、E分別是AB、AC中點．將△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°，射線BD與射線CE交于點P，在這個旋轉(zhuǎn)過程中有下列結(jié)論：①△AEC≌△ADB；②CP存在最大值為；③BP存在最小值為；④點P運動的路徑長為．其中，正確的（）A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④二、填空題（本大題共8小題，每空3分，共30分．不需寫出解答過程，只需把答案直接填寫在答題卡上相應(yīng)的位置）11.請寫出一個一元二次方程，使得它的一個根為0，另一個根不為0：________．12.用配方法將方程化成的形式：________．13.轉(zhuǎn)盤中6個扇形的面積相等，任意轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次，當轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動，指針落在扇形中的數(shù)為3的倍數(shù)的概率是__________．14.如圖，在RtΔABC中，∠C=90°，AC=5cm，BC=12cm，以BC邊所在的直線為軸，將ΔABC旋轉(zhuǎn)一周得到的圓錐側(cè)面積是____．15.某電視臺要招聘1名記者，某應(yīng)聘者參加了3項素質(zhì)測試，成績?nèi)缦拢簻y試項目采訪寫作計算機操作創(chuàng)意設(shè)計測試成績（分）828580如果將采訪寫作、計算機操作和創(chuàng)意設(shè)計的成績按5：2：3計算，則該應(yīng)聘者的素質(zhì)測試平均成績是________分．16.一個直角三角形的斜邊長cm，兩條直角邊長的和是6cm，則這個直角三角形外接圓的半徑為______cm，直角三角形的面積是________．17.古代數(shù)學(xué)家曾經(jīng)研究過一元二次方程的幾何解法．以方程為例，三國時期的數(shù)學(xué)家趙爽在其所著的《勾股圓方圖注》中記載的方法是：構(gòu)造如圖所示的大正方形ABCD，它由四個全等的矩形加中間小正方形組成，根據(jù)面積關(guān)系可求得AB的長，從而解得x．根據(jù)此法，圖中正方形ABCD的面積為________，方程可化為________．18.將點繞x軸上的點G順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到點，當點恰好落在以坐標原點O為圓心，2為半徑的圓上時，點G的坐標為________．三、解答題（本大題共10小題，共90分請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19.解方程：（1）；（2）．20.已知：關(guān)于x的一元二次方程．（1）求證：方程總有兩個實數(shù)根；（2）若方程有兩個相等的實數(shù)根，求m的值及方程的根．21.小明每天騎自行車．上學(xué)，都要通過安裝有紅、綠燈4個十字路口．假設(shè)每個路口紅燈和綠燈亮的時間相同．（1）小明從家到學(xué)校，求通過前2個十字路口時都是綠燈的概率．（請用“畫樹狀圖”或“列表”或“列舉”等方法給出分析過程）（2）小明從家到學(xué)校，通過這4個十字路口時至少有2個綠燈的概率為．（請直接寫出答案）22.如圖，正三角形ABC內(nèi)接于，的半徑為r，求這個正三角形的周長和面積．23.第24屆冬季奧林匹克運動會將于2022年2月在中國北京和張家口舉行．為迎接本次冬奧會，某校組織初一年級學(xué)生開展“迎冬奧”知識競賽活動（滿分為50分）．從競賽成績中隨機抽取了20名男生和20名女生的成績（單位：分）進行整理、描述和分析（成績用x表示，共分成四個等級：A：，B：，C：，D：），下面是這40名學(xué)生成績的信息：20名男生的成績：50，46，50，50，46，49，39，46，49，46，46，43，49，47，40，48，44，43，45，44．20名女生中成績?yōu)锽等級的數(shù)據(jù)是：45，46，46，47，47，46，46．所抽取學(xué)生的競賽成績統(tǒng)計表性別平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)男464646女46.5b48所抽取的20名女生的競賽成績扇形統(tǒng)計圖根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1），．（2）該校初一年級共有400名男生參與此次競賽，估計其中等級為A的男生約有多少人？24.如圖，AB是的直徑，AN、AC是的弦，P為AB延長線上一點，AN、PC的延長線相交于點M，且，．（1）試判斷直線PC與的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若，，求MN的長．25.如圖，已知銳角△ABC中，．（1）請在圖中用無刻度的直尺和圓規(guī)作△ABC的內(nèi)切圓．（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）的條件下，若，，則△ABC內(nèi)切圓的半徑為．26.某讀書興趣小組計劃去書店購買一批定價為50元/本的書籍，書店表示有兩種優(yōu)惠方案方案一：若購買數(shù)量不超過10本，每本按定價出售；若超過10本，每增加1本，所有書籍的售價可比定價降2元，但售價不低于35元/本．方案二：前5本按定價出售，超過5本以上的部分可以打折．（1）該興趣小組按照方案一的優(yōu)惠方式支付了600元，請你求出購買書籍的數(shù)量；（2）如果該興趣小組用方案二的優(yōu)惠方式購買（1）中的數(shù)量，請問書店折扣至少低于幾折才能使得實付金額少于600元？27.如圖，在平面直角坐標系中，已知，點B在x軸正半軸上，且，C為線段OB上一點，作射線AC交△AOB的外接圓于點D，連接OD，．（1）求的度數(shù)；（2）在射線AD上是否存在點P，使得直線BP與△AOB的外接圓相切？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．28.如圖，在Rt△ABC中，，cm．點D從A出發(fā)沿AC以1cm/s的速度向點C移動；同時，點F從B出發(fā)沿BC以2cm/s的速度向點C移動，移動過程中始終保持（點E在AB上）．當其中一點到達終點時，另一點也同時停止移動．設(shè)移動時間為t（s）（其中）．（1）當t為何值時，四邊形DEFC面積為18？（2）是否存在某個時刻t，使得，若存在，求出t的值，若不存在，請說明理由．（3）點E是否可能在以DF為直徑的圓上？若能，求出此時t的值，若不能，請說明理由．

答案與解析一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題所給出的四個選項中，只有一項是正確的，請用2B鉛筆把答題卡上相應(yīng)的選項標號涂黑）1.下列方程是一元二次方程的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接利用一元二次方程的定義分析得出答案．【詳解】解：A.，是二元一次方程，故本選項不符合題意．B.，是一元三次方程，故本選項不符合題意．C.，是分式方程，故本選項不符合題意．D.，該一元二次方程，故本選項符合題意．故選D．【點睛】此題主要考查了一元二次方程的定義，正確把握定義含有一個未知數(shù)，并且含未知數(shù)的項的次數(shù)為2，系數(shù)不為0的整式方程是解題關(guān)鍵．2.已知⊙O的半徑為4，，則點A在（）A.⊙O內(nèi) B.⊙O上 C.⊙O外 D.無法確定【答案】C【解析】【分析】根據(jù)⊙O的半徑r=4，且點A到圓心O的距離d=5知d>r，據(jù)此可得答案．【詳解】解：∵⊙O的半徑r=4，且點A到圓心O的距離d=5，∴d>r，∴點A在⊙O外，故選：C．【點睛】本題主要考查點與圓的位置關(guān)系，點與圓的位置關(guān)系有3種．設(shè)⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP=d，則有：①點P在圓外?d＞r；②點P在圓上?d=r；③點P在圓內(nèi)?d＜r．3.若a是從“、0、1、2”這四個數(shù)中任取的一個數(shù)，則關(guān)于x的方程為一元二次方程的概率是（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程的定義，二次項系數(shù)不為0，四個數(shù)中有一個1不能取，a是從“、0、1、2”這四個數(shù)中任取的一個數(shù)，有四種等可能的結(jié)果，其中滿足條件的情況有3種，然后利用概率公式計算即可．【詳解】解：當a=1時于x的方程不是一元二次方程，其它三個數(shù)都是一元二次方程，a是從“、0、1、2”這四個數(shù)中任取的一個數(shù)，有四種等可能的結(jié)果，其中滿足條件的情況有3種，關(guān)于x的方程為一元二次方程的概率是，故選擇B．【點睛】本題考查一元二次方程的定義，列舉法求概率，掌握一元二次方程的定義，列舉法求概率方法是解題關(guān)鍵．4.一組樣本數(shù)據(jù)為1、2、3、3、6，下列說法錯誤的是（）A.平均數(shù)是3 B.中位數(shù)是3 C.方差是3 D.眾數(shù)是3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)和方差的定義逐一求解可得．【詳解】A、平均數(shù)為，故此選項不符合題意；B、樣本數(shù)據(jù)為1、2、3、3、6，則中位數(shù)為3，故此選項不符合題意；C、方差為，故此選項符合題意；D、眾數(shù)為3，故此選項不符合題意．故選：C．【點睛】本題考查了眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)、方差．平均數(shù)平均數(shù)表示一組數(shù)據(jù)的平均程度．中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大（或從大到小）重新排列后，最中間的那個數(shù)（或最中間兩個數(shù)的平均數(shù)）；方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的量．5.一種藥品經(jīng)過兩次降價，藥價從每盒60元下調(diào)至48.6元，設(shè)平均每次降價的百分率為x，根據(jù)題意所列方程正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等量關(guān)系：原價×（1－x）2=現(xiàn)價列方程即可．【詳解】解：根據(jù)題意，得：，故答案為：B．【點睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系列出方程是解答的關(guān)鍵．6.在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度數(shù)之比為2：4：7，則∠B的度數(shù)為（）A.140° B.100° C.80° D.40°【答案】C【解析】【分析】，，，進而求解的值．【詳解】解：由題意知∵∴∴∵∴故選C．【點睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形中對角互補．解題的關(guān)鍵在于根據(jù)角度之間的數(shù)量關(guān)系求解．7.如圖，在平面直角坐標系中，，，．則△ABC的外心坐標為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由BC兩點的坐標可以得到直線BC∥y軸，則直線BC的垂直平分線為直線y=1，再由外心的定義可知△ABC外心的縱坐標為1，則設(shè)△ABC的外心為P（a，-1），利用兩點距離公式和外心的性質(zhì)得到，由此求解即可．【詳解】解：∵B點坐標為（2，-1），C點坐標為（2，3），∴直線BC∥y軸，∴直線BC的垂直平分線為直線y=1，∵外心是三角形三條邊的垂直平分線的交點，∴△ABC外心的縱坐標為1，設(shè)△ABC的外心為P（a，1），∴，∴，解得，∴△ABC外心的坐標為（-2，1），故選D．【點睛】本題主要考查了坐標與圖形，外心的性質(zhì)與定義，兩點距離公式，解題的關(guān)鍵在于能夠熟知外心是三角形三邊垂直平分線的交點．8.如圖，AB是的直徑，CD是的弦，且，，，則圖中陰影部分的面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】如圖，連接OC，OD，可知是等邊三角形，，，，計算求解即可．【詳解】解：如圖連接OC，OD∵∴是等邊三角形∴由題意知，故選C．【點睛】本題考查了扇形的面積，等邊三角形等知識．解題的關(guān)鍵在于用扇形表示陰影面積．9.定義一種新運算：，，則方程的解是（）A.， B.， C.， D.，【答案】A【解析】【分析】根據(jù)新定義列出關(guān)于x的方程，解方程即可．【詳解】解：由題意得，方程，化為，

整理得，，，

∴，

解得：，，故選A．【點睛】本題考查了公式法解一元二次方程，正確理解新運算、掌握公式法解一元二次方程的一般步驟是解題的關(guān)鍵．10.如圖，在Rt△ABC中，，，點D、E分別是AB、AC的中點．將△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°，射線BD與射線CE交于點P，在這個旋轉(zhuǎn)過程中有下列結(jié)論：①△AEC≌△ADB；②CP存在最大值為；③BP存在最小值為；④點P運動的路徑長為．其中，正確的（）A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④【答案】B【解析】【分析】根據(jù)，，點D、E分別是AB、AC的中點．得出∠DAE=90°，AD=AE=，可證∠DAB=∠EAC，再證△DAB≌△EAC（SAS），可判斷①△AEC≌△ADB正確；作以點A為圓心，AE為半徑的圓，當CP為⊙A的切線時，CP最大，根據(jù)△AEC≌△ADB，得出∠DBA=∠ECA，可證∠P=∠BAC=90°，CP為⊙A的切線，證明四邊形DAEP為正方形，得出PE=AE=3，在Rt△AEC中，CE=，可判斷②CP存在最大值為正確；△AEC≌△ADB，得出BD=CE=，在Rt△BPC中，BP最小=可判斷③BP存在最小值為不正確；取BC中點為O，連結(jié)AO，OP，AB=AC=6，∠BAC=90°，BP=CO=AO=，當AE⊥CP時,CP與以點A為圓心，AE為半徑的圓相切，此時sin∠ACE=，可求∠ACE=30°，根據(jù)圓周角定理得出∠AOP=2∠ACE=60°，當AD⊥BP′時，BP′與以點A為圓心，AE為半徑的圓相切，此時sin∠ABD=，可得∠ABD=30°根據(jù)圓周角定理得出∠AOP′=2∠ABD=60°，點P在以點O為圓心，OA長為半徑的圓上運動軌跡為，L=L可判斷④點P運動的路徑長為正確即可．【詳解】解：∵，，點D、E分別是AB、AC的中點．∴∠DAE=90°，AD=AE=，∴∠DAB+∠BAE=90°，∠BAE+∠EAC=90°，∴∠DAB=∠EAC，在△DAB和△EAC中，，∴△DAB≌△EAC（SAS），故①△AEC≌△ADB正確；作以點A為圓心，AE為半徑的圓，當CP為⊙A的切線時，CP最大，∵△AEC≌△ADB，∴∠DBA=∠ECA，∴∠PBA+∠P=∠ECP+∠BAC，∴∠P=∠BAC=90°，∵CP為⊙A的切線，∴AE⊥CP，∴∠DPE=∠PEA=∠DAE=90°，∴四邊形DAEP為矩形，∵AD=AE，∴四邊形DAEP為正方形，∴PE=AE=3，在Rt△AEC中，CE=，∴CP最大=PE+EC=3+，故②CP存在最大值為正確；∵△AEC≌△ADB，∴BD=CE=，在Rt△BPC中，BP最小=，BP最短=BD-PD=-3，故③BP存在最小值為不正確；取BC中點為O，連結(jié)AO，OP，∵AB=AC=6，∠BAC=90°，∴BP=CO=AO=，當AE⊥CP時,CP與以點A為圓心，AE為半徑的圓相切，此時sin∠ACE=，∴∠ACE=30°，∴∠AOP=2∠ACE=60°，當AD⊥BP′時，BP′與以點A為圓心，AE為半徑的圓相切，此時sin∠ABD=，∴∠ABD=30°，∴∠AOP′=2∠ABD=60°，∴點P在以點O為圓心，OA長為半徑的圓上運動軌跡為，∴L=L．故④點P運動的路徑長為正確；正確的是①②④．故選B．【點睛】本題考查圖形旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，線段中點定義，三角形全等判定與性質(zhì)，圓的切線，正方形判定與性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，弧長公式，本題難度大，利用輔助線最長準確圖形是解題關(guān)鍵．二、填空題（本大題共8小題，每空3分，共30分．不需寫出解答過程，只需把答案直接填寫在答題卡上相應(yīng)的位置）11.請寫出一個一元二次方程，使得它的一個根為0，另一個根不為0：________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】一元二次方程可表示為的形式，任取的值代入求解即可．【詳解】解：由題意知，一元二次方程可表示為，的形式當時，一元二次方程為故答案為：（答案不唯一）．【點睛】本題考查了一元二次方程．解題的關(guān)鍵在于正確的寫出方程的因式分解的形式．12.用配方法將方程化成的形式：________．【答案】【解析】【分析】配方法表示方程即可．【詳解】解：故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程的配方法．解題的關(guān)鍵在于識別方程的形式并正確的表示．13.轉(zhuǎn)盤中6個扇形的面積相等，任意轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次，當轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動，指針落在扇形中的數(shù)為3的倍數(shù)的概率是__________．【答案】【解析】【分析】直接利用概率公式計算可得答案．【詳解】在這6個數(shù)字中，為3的倍數(shù)的有3和6，共2個，∴任意轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次，當轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動，指針落在扇形中的數(shù)為3的倍數(shù)的概率是＝，故答案為：．【點睛】本題主要考查概率公式，解題的關(guān)鍵是掌握隨機事件A的概率P（A）＝事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)÷所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)．14.如圖，在RtΔABC中，∠C=90°，AC=5cm，BC=12cm，以BC邊所在的直線為軸，將ΔABC旋轉(zhuǎn)一周得到的圓錐側(cè)面積是____．【答案】【解析】【詳解】解：根據(jù)題意得：∵∠C=90°，AC=5cm，BC=12cm，∴母線長l=13，半徑r為5，∴圓錐的側(cè)面積是S=．故答案為：15.某電視臺要招聘1名記者，某應(yīng)聘者參加了3項素質(zhì)測試，成績?nèi)缦拢簻y試項目采訪寫作計算機操作創(chuàng)意設(shè)計測試成績（分）828580如果將采訪寫作、計算機操作和創(chuàng)意設(shè)計的成績按5：2：3計算，則該應(yīng)聘者的素質(zhì)測試平均成績是________分．【答案】82【解析】【分析】根據(jù)加權(quán)平均數(shù)公式采訪寫作的成績×權(quán)重+計算機操作的成績×權(quán)重+創(chuàng)意設(shè)計的成績×權(quán)重計算即可．【詳解】解：該應(yīng)聘者的素質(zhì)測試平均成績是．故答案為82．【點睛】本題考查加權(quán)平均數(shù)，掌握加權(quán)平均數(shù)公式是解題關(guān)鍵．16.一個直角三角形的斜邊長cm，兩條直角邊長的和是6cm，則這個直角三角形外接圓的半徑為______cm，直角三角形的面積是________．【答案】①.②.4【解析】【分析】設(shè)一直角邊長為x，另一直角邊長為（6-x）根據(jù)勾股定理，解一元二次方程求出，根據(jù)這個直角三角形的斜邊長為外接圓的直徑，可求外接圓的半徑為cm，利用三角形面積公式求即可．【詳解】解：設(shè)一直角邊長為x，另一直角邊長為（6-x），∵三角形是直角三角形，∴根據(jù)勾股定理，整理得：，解得，這個直角三角形的斜邊長為外接圓的直徑，∴外接圓的半徑為cm，三角形面積為．故答案為；．【點睛】本題考查直角三角形的外接圓，直角所對弦性質(zhì)，勾股定理，一元二次方程，三角形面積，掌握以上知識是解題關(guān)鍵．17.古代數(shù)學(xué)家曾經(jīng)研究過一元二次方程的幾何解法．以方程為例，三國時期的數(shù)學(xué)家趙爽在其所著的《勾股圓方圖注》中記載的方法是：構(gòu)造如圖所示的大正方形ABCD，它由四個全等的矩形加中間小正方形組成，根據(jù)面積關(guān)系可求得AB的長，從而解得x．根據(jù)此法，圖中正方形ABCD的面積為________，方程可化為________．【答案】①.89②.【解析】【分析】先求正方形四邊邊長，用完全平方公式展開兩條邊長之積，再利用已知條件得出所求正方形面積．第二問則把第一問的最前面和最后面聯(lián)系起來即可得解．【詳解】①正方形邊長為x+x+3=2x+3故面積為（2x+3）2=4x2+12x+9=4（x2+3x）+9因為x2+3x=20所以4（x2+3x）+9=80+9=89故答案為89；②由①結(jié)合最前面和最后面可得：（2x+3）2=89故答案為（2x+3）2=89．【點睛】本題考查完全平方公式的應(yīng)用、結(jié)論的遷移，掌握這些是本題關(guān)鍵．18.將點繞x軸上的點G順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到點，當點恰好落在以坐標原點O為圓心，2為半徑的圓上時，點G的坐標為________．【答案】或##或【解析】【分析】設(shè)點G的坐標為，過點A作軸交于點M，過點作軸交于點N，由全等三角形求出點坐標，由點在2為半徑的圓上，根據(jù)勾股定理即可求出點G的坐標．【詳解】設(shè)點G坐標為，過點A作軸交于點M，過點作軸交于點N，如圖所示：∵，∴，，∵點A繞點G順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到點，∴，，∴，∵軸，軸，∴，∴，∴，在與中，，∴，∴，，∴，∴，在中，由勾股定理得：，解得：或，∴或．故答案為：，．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理，掌握相關(guān)知識之間的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共10小題，共90分請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19.解方程：（1）；（2）．【答案】（1），（2），【解析】【分析】（1）利用直接開平方法求解即可；（2）利用公式法求解即可．【小問1詳解】解：∵（x-1）2=4，∴x-1=2或x-1=-2，解得x1=3，x2=-1；【小問2詳解】解：，，，，，，【點睛】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．20.已知：關(guān)于x的一元二次方程．（1）求證：方程總有兩個實數(shù)根；（2）若方程有兩個相等的實數(shù)根，求m的值及方程的根．【答案】（1）見解析（2），【解析】【分析】（1）進行判別式的值得到，利用平方非負數(shù)的性質(zhì)得，然后根據(jù)判別式的意義可判斷方程總有兩個實數(shù)根；（2）根據(jù)方程有兩個相等的實數(shù)根得，先求出的值，再代入一元二次方程中求解即可．【小問1詳解】由題意得：，，，∴方程總有兩個實數(shù)根；【小問2詳解】∵方程有兩個相等的實數(shù)根，∴，∴，此時方程為，∴，∴．【點睛】本題考查了根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的個數(shù)與根的判別式之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．21.小明每天騎自行車．上學(xué)，都要通過安裝有紅、綠燈的4個十字路口．假設(shè)每個路口紅燈和綠燈亮的時間相同．（1）小明從家到學(xué)校，求通過前2個十字路口時都是綠燈的概率．（請用“畫樹狀圖”或“列表”或“列舉”等方法給出分析過程）（2）小明從家到學(xué)校，通過這4個十字路口時至少有2個綠燈的概率為．（請直接寫出答案）【答案】（1），見解析（2）【解析】【小問1詳解】列表如下第一個十字路口\第二個紅燈綠燈紅燈紅紅紅綠綠燈綠紅綠綠∵共有4種等可能情形，滿足條件的有1種．∴通過前2個十字路口時都是綠燈的概率．【小問2詳解】畫樹狀圖如圖，表示紅燈，表示綠燈，∵共有16種等可能情形，滿足條件的有11種．小明從家到學(xué)校，通過這4個十字路口時至少有2個綠燈的概率為故答案為：【點睛】本題考查了列表法或畫樹狀圖法求概率，掌握列表法或畫樹狀圖法是解題的關(guān)鍵．22.如圖，正三角形ABC內(nèi)接于，的半徑為r，求這個正三角形的周長和面積．【答案】周長為．面積為．【解析】【分析】連接OB，OA，延長AO交BC于D，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出AD⊥BC，BD=CD=BC，∠OBD=30°，求出OD，根據(jù)勾股定理求出BD，即可求出BC，BC的三倍即為周長，根據(jù)三角形的面積公式即可求出面積．【詳解】解：連接OB，OA，延長AO交BC于D，如圖所示：

∵正△ABC外接圓是⊙O，

∴AD⊥BC，BD=CD=BC，∠OBD=∠ABC=×60°=30°，

∴OD=OB=r，

由勾股定理得：BD=，

即三角形邊長為BC=2BD=r，AD=AO+OD=r+r=，

則△ABC的周長=3BC=3×r=3r；

△ABC的面積=BC×AD=×r×=．∴正三角形ABC周長為；正三角形ABC面積為．【點睛】本題考查了等邊三角形、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角形的外接圓、三角形的面積等知識點；關(guān)鍵是能正確作輔助線后求出BD的長．23.第24屆冬季奧林匹克運動會將于2022年2月在中國北京和張家口舉行．為迎接本次冬奧會，某校組織初一年級學(xué)生開展“迎冬奧”知識競賽活動（滿分為50分）．從競賽成績中隨機抽取了20名男生和20名女生的成績（單位：分）進行整理、描述和分析（成績用x表示，共分成四個等級：A：，B：，C：，D：），下面是這40名學(xué)生成績的信息：20名男生的成績：50，46，50，50，46，49，39，46，49，46，46，43，49，47，40，48，44，43，45，44．20名女生中成績?yōu)锽等級的數(shù)據(jù)是：45，46，46，47，47，46，46．所抽取學(xué)生的競賽成績統(tǒng)計表性別平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)男464646女46.5b48所抽取的20名女生的競賽成績扇形統(tǒng)計圖根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1），．（2）該校初一年級共有400名男生參與此次競賽，估計其中等級為A的男生約有多少人？【答案】（1）10，47（2）140人【解析】【分析】（1）先求出B組占女生百分比，然后用1-A的百分比-B組的百分比-D組的百分比=C的百分比，將B在數(shù)據(jù)從大到小排序，取出最高的兩個數(shù)的平均數(shù)為女生的中位數(shù)即可；（2）將20名男生成績從高到低排序，找出A組：有7人，求出所占男生百分比×400即可．小問1詳解】解：∵20名女生中成績?yōu)锽等級的數(shù)據(jù)是：45，46，46，47，47，46，46．∴7÷20×100%=35%，∴a%=1-0,45-0.35-0.10=0.10=10%，A組有：20×45%=9人，B組有7人，9+7=16＞11，把B組數(shù)據(jù)從大到小排序為：47，47，46，46，46，46，45．第10個數(shù)據(jù)為47，第11個數(shù)據(jù)為47，∴中位數(shù)b=，故答案為10；47；【小問2詳解】解：將20名男生的成績從高到低排序：50，50，50，49，49，49，48，47，46，46，46，46，46，45，44，44，43，43，40，39．其中A：，有7人，占男生7÷20×100%=35%，該校初一年級共有400名男生參與此次競賽，估計其中等級為A的男生約有400×35%=140人，答：該校初一年級男生競賽成績等級為A約有140人．【點睛】本題考查統(tǒng)計表與扇形統(tǒng)計圖獲取信息與處理，中位數(shù)，扇形統(tǒng)計圖的部分數(shù)據(jù)，用樣本的百分比含量估計總體中的數(shù)量，掌握統(tǒng)計表與扇形統(tǒng)計圖獲取信息與處理，中位數(shù)，扇形統(tǒng)計圖的部分數(shù)據(jù)，用樣本的百分比含量估計總體中的數(shù)量是解題關(guān)鍵．24.如圖，AB是的直徑，AN、AC是的弦，P為AB延長線上一點，AN、PC的延長線相交于點M，且，．（1）試判斷直線PC與的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若，，求MN的長．【答案】（1）直線PC與⊙O相切，證明見解析（2）【解析】【分析】（1）如圖，連接OC，，，，，是半徑，進而可說明直線PC與⊙O相切．（2）如圖，連接ON，，，為等邊三角形；可知的值，，求得的值，求解即可．【小問1詳解】解：直線PC與⊙O相切．如圖，連接OC，則∴∵∴∴∵AB為⊙O的直徑∴∴即∴直線PC與⊙O相切．【小問2詳解】解：如圖，連接ON∵，，，∴，，∵，∴∴∴∵，∴等邊三角形∴∴．【點睛】本題考查了切線的判定，等邊三角形的判定與性質(zhì)，的直角三角形，三角形相似等知識點．解題的關(guān)鍵在于靈活綜合運用知識．25.如圖，已知銳角△ABC中，．（1）請在圖中用無刻度的直尺和圓規(guī)作△ABC的內(nèi)切圓．（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）的條件下，若，，則△ABC內(nèi)切圓的半徑為．【答案】（1）作圖見解析（2）【解析】【分析】（1）內(nèi)切圓的圓心是角平分線的交點；作的角平分線，作的角平分線交于點，兩條角平分線的交點即為內(nèi)切圓的圓心，為內(nèi)切圓半徑，畫圓即可．（2）過圓心向作垂線，交點為，由角平分線的性質(zhì)可知，，在中，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則，在中，解出的值即可．【小問1詳解】解：如圖：以為圓心，大于長為半徑畫弧，交點為，連接交于點；以為圓心畫弧，交于點，以為圓心，大于為半徑畫弧，交點為，連接，與的交點即為的內(nèi)切圓的圓心，即為半徑，畫圓．【小問2詳解】解：如圖，過圓心向作垂線，交點為；由角平分線的性質(zhì)可知：∵∴為等腰三角形∴∴在中設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則在中∵∴解得：∴內(nèi)切圓的半徑為．【點睛】本題考查了角平分線的畫法，角平分線的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形等知識．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握角平分線的作法．26.某讀書興趣小組計劃去書店購買一批定價為50元/本的書籍，書店表示有兩種優(yōu)惠方案方案一：若購買數(shù)量不超過10本，每本按定價出售；若超過10本，每增加1本，所有書籍的售價可比定價降2元，但售價不低于35元/本．方案二：前5本按定價出售，超過5本以上的部分可以打折．（1）該興趣小組按照方案一的優(yōu)惠方式支付了600元，請你求出購買書籍的數(shù)量；（2）如果該興趣小組用方案二的優(yōu)惠方式購買（1）中的數(shù)量，請問書店折扣至少低于幾折才能使得實付金額少于600元？【答案】（1）該興趣小組按照方案一的優(yōu)惠方式購買書籍15本（2）書店折扣至少低于7折才能使得實付金額少于600元【解析】【分析】（1）設(shè)讀書興趣小組購買書籍x本，列出等量關(guān)系式，求解即可；（2）設(shè)書店折扣至少低于折才能使得實付金額少于600元，列出不等式為，解出即可．【小問1詳解】設(shè)讀書興趣小組購買書籍x本，根據(jù)題意，當購買數(shù)量不超過10本時每本按50元出售，∵，∴興趣小組購買書籍數(shù)量超過10本，∴，解得，，∵，∴，∴，答：該興趣小組按照方案