2022-2023學(xué)年人教A版必修第二冊 6.2.3　向量的數(shù)乘運(yùn)算 課件（37張）

6.2.3向量的數(shù)乘運(yùn)算第六章2023課標(biāo)要求1.通過實(shí)例分析,掌握平面向量數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算律,理解其幾何意義.2.理解兩個(gè)平面向量共線的含義.3.了解平面向量的線性運(yùn)算性質(zhì),能用已知向量表示未知向量.內(nèi)容索引0102基礎(chǔ)落實(shí)?必備知識全過關(guān)重難探究?能力素養(yǎng)全提升03學(xué)以致用?隨堂檢測全達(dá)標(biāo)基礎(chǔ)落實(shí)?必備知識全過關(guān)知識點(diǎn)1

向量的數(shù)乘運(yùn)算

定義一般地,我們規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)

,這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘,記作

長度|λa|=

方向λ>0λa的方向與a的方向

λ<0λa的方向與a的方向

規(guī)定當(dāng)λ=0或a=0時(shí),λa=0向量

λa|λ||a|相同

相反

名師點(diǎn)睛1.λa的幾何意義就是把向量a沿著與a相同(λ>0)或相反(λ<0)的方向伸長(|λ|>1)或縮短(|λ|<1)到原來的|λ|倍或|λ|.2.要注意實(shí)數(shù)與向量可以求積,但是不能進(jìn)行加減運(yùn)算,如:2+a,1-0無意義.過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量.(

)(2)若λa=0,則a=0(其中λ為實(shí)數(shù)).(

)(3)|λa|=λ|a|.(

)2.向量λa的方向和大小與向量a的關(guān)系是怎樣的?√××提示

λa是一個(gè)向量,當(dāng)λ>0時(shí),與a方向相同;當(dāng)λ<0時(shí),與a方向相反;當(dāng)λ=0時(shí),λa=0,方向不確定.|λa|=|λ||a|.知識點(diǎn)2

數(shù)乘向量的運(yùn)算律1.數(shù)乘向量的運(yùn)算律(1)λ(μa)=

;

(2)(λ+μ)a=

+

;

(3)λ(a+b)=

.

特別地,有(-λ)a=

=

;λ(a-b)=

.

2.向量的

、

、

運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算.向量線性運(yùn)算的結(jié)果仍是向量.對于任意向量a,b,以及任意實(shí)數(shù)λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=

.

(λμ)aλaμaλa+λb-(λa)λ(-a)λa-λb加

減

數(shù)乘

λμ1a±λμ2b過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)3(2a)=6a.(

)(2)(2+3)a=2a+3a.(

)(3)2(a+b)=2a+2b.(

)A.2a-b B.2b-a C.b-a

D.a-b√√√答案B

知識點(diǎn)3

向量共線定理1.向量a(a≠0)與b共線的充要條件是:存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使

.

2.要證明向量a(a≠0),b共線,只需證明存在實(shí)數(shù)λ,使得b=λa即可.b=λa名師點(diǎn)睛該定理中a≠0的原因(1)若a=b=0,則實(shí)數(shù)λ存在,但λ并不唯一,此時(shí)定理不成立.(2)若b≠0,a=0,則不存在實(shí)數(shù)λ,使b=λa,此時(shí)定理也不成立.過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)若向量a和b共線,則存在實(shí)數(shù)λ,有b=λa.(

)××√重難探究?能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一向量的線性運(yùn)算【例1】

(1)化簡下列各向量表達(dá)式:(2)已知2x+3y=a,x-4y=2b,試用a,b表示x,y.解(1)①原式=18a+3b-9a-3b=9a.②原式=5a-4b+c-6a+4b-2c=-a-c.規(guī)律方法

向量數(shù)乘運(yùn)算的方法向量的數(shù)乘運(yùn)算類似于多項(xiàng)式的代數(shù)運(yùn)算,如實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、提取公因式等變形手段在數(shù)與向量的乘積中同樣適用,但是這里的“同類項(xiàng)”“公因式”指向量,實(shí)數(shù)看作是向量的系數(shù).變式訓(xùn)練1(2)已知2a-b=m,a+3b=n,那么a,b用m,n可以表示為a=

,b=

.

=0·a+0·b=0+0=0.(2)由2a-b=m,可得2a-m=b,代入a+3b=n可得a+3(2a-m)=n,解得探究點(diǎn)二用已知向量表示未知向量(1)

答案

D規(guī)律方法

用已知向量表示其他向量的一般步驟

變式探究本例(1)中,設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O,F是線段OD的中點(diǎn),AF的延長線交DC于點(diǎn)G,試用a,b表示

.探究點(diǎn)三向量共線問題【例3】

設(shè)a,b是不共線的兩個(gè)非零向量.(2)若8a+kb與ka+2b共線,求實(shí)數(shù)k的值.(2)解

∵8a+kb與ka+2b共線,∴存在實(shí)數(shù)λ,使得8a+kb=λ(ka+2b),即(8-λk)a+(k-2λ)b=0.規(guī)律方法

證明或判斷三點(diǎn)共線的方法

(2)利用向量共線求參數(shù)的方法已知向量共線求λ,常根據(jù)向量共線的條件轉(zhuǎn)化為相應(yīng)向量系數(shù)相等求解,利用待定系數(shù)法建立方程,從而解方程求得λ的值.變式訓(xùn)練2設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線.(2)試確定實(shí)數(shù)k,使ka+b和a+kb共線.又它們有公共點(diǎn)B,∴A,B,D三點(diǎn)共線.(2)解

∵ka+b與a+kb共線,∴存在實(shí)數(shù)λ,使ka+b=λ(a+kb),即ka+b=λa+λkb,∴(k-λ)a=(λk-1)b.∵a,b是不共線的兩個(gè)向量,∴k-λ=λk-1=0,∴k2-1=0,∴k=±1.本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識清單:(1)向量的數(shù)乘及其運(yùn)算律.(2)向量共線定理.(3)三點(diǎn)共線的常用結(jié)論.2.方法歸納:數(shù)形結(jié)合、分類討論.3.常見誤區(qū):忽視零向量這一個(gè)特殊向量.學(xué)以致用?隨堂檢測全達(dá)標(biāo)1.設(shè)a是非零向量,λ是非零實(shí)數(shù),則下列結(jié)論正確的是(

)A.a與λa的方向相同B.a與-λa的方向相反C.a與λ2a的方向相同D.|λa|=λ|a|答案C

解析

因?yàn)棣恕?,所以λ2>0,于是向量a與λ2a的方向相同.2.4(a-b)-3(a+b)-b等于(

)A.a-2b

B.a

C.a-6b

D.a-8b答案D

解析

原式=4a-4b-3a-3b-b=a-8b.3.(多選題)(2023上海交大附中階段練習(xí))已知m,n是實(shí)數(shù),a,b是向量,則下列結(jié)論中正確的是(

)A.m(a-b)=ma-mbB.(m-n)a=ma-naC.若ma=mb,則a=bD.若ma=na,則m=n答案

AB

解析

對于選項(xiàng)A,根據(jù)向量數(shù)乘的運(yùn)算律可得m(a-b)=ma-mb,故A正確;對于選項(xiàng)B,根據(jù)向量數(shù)乘的運(yùn)算律可得(m-n)a=ma-na,故B正確;對于選項(xiàng)C,由ma=mb可得m(a-b)=0,當(dāng)m=0時(shí)也成立,所以不能推出a=b,故C錯(cuò)誤;對于選項(xiàng)D,由ma=na可得(m-n)a=0,當(dāng)a=0時(shí)也成立,所以不能推出m=n,故