習題4：平面向量全章綜合測試

章末綜合檢測(時間：100分鐘；滿分：120分)一、選擇題(本大題共10小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))化簡后等于()A．3eq\o(AB,\s\up6(→)) \o(AB,\s\up6(→))\o(BA,\s\up6(→)) \o(CA,\s\up6(→))解析：選B.原式＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→)))＋(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→)))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＋(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＝0eq\a\vs4\al(＋)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，故選B.2．已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b與b垂直，則|a|等于()A．1 \r(2)C．2 D．4解析：選C.由于2a－b與b垂直，則(2a－b)·b＝0，即(3，n)·(－1，n)＝－3＋n2＝0.解得n＝±eq\r(3).所以a＝(1，±eq\r(3))．所以|a|＝eq\r(1＋±\r(3)2)＝2.3．在平行四邊形ABCD中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))＝d，則下列運算正確的是()A．a(chǎn)＋b＋c＋d＝0 B．a(chǎn)－b＋c－d＝0C．a(chǎn)＋b－c－d＝0 D．a(chǎn)－b－c＋d＝0解析：選－b＋c－d＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝0.4．下列說法正確的是()A．兩個單位向量的數(shù)量積為1B．若a·b＝a·c，且a≠0，則b＝c\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))D．若b⊥c，則(a＋c)·b＝a·b解析：選中，兩向量的夾角不確定，故A錯誤；B中，若a⊥b，a⊥c，b與c反方向，則不成立，故B錯誤；C中，應為eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))，故C錯誤；D中，因為b⊥c，所以b·c＝0，所以(a＋c)·b＝a·b＋c·b＝a·b，故D正確．5．設向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向線段首尾相接能構(gòu)成四邊形，則d＝()A．(2,6) B．(－2,6)C．(2，－6) D．(－2，－6)解析：選D.由題意得4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0.∴6a＋4b－4c＋d＝0，∴d＝－6a－4b＋4c＝－6(1，－3)－4(－2,4)＋4(－1，－2)＝(－2，－6)．6．已知圓O的半徑為3，直徑AB上一點D使eq\o(AB,\s\up6(→))＝3eq\o(AD,\s\up6(→))，E、F為另一直徑的兩個端點，則eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DF,\s\up6(→))＝()A．－3 B．－4C．－8 D．－6解析：選C.法一：依題意得，eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DF,\s\up6(→))＝(eq\o(DO,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→)))·(eq\o(DO,\s\up6(→))＋eq\o(OF,\s\up6(→)))＝(eq\o(DO,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→)))·(eq\o(DO,\s\up6(→))－eq\o(OE,\s\up6(→)))＝1－9＝－8，故選C.法二：特殊位置法，令EF⊥AB，然后利用坐標運算即可．7．在直角坐標系xOy中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(3，k)，若三角形ABC是直角三角形，則k的可能值個數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4解析：選B.若∠A＝90°，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝6＋k＝0，k＝－6；若∠B＝90°，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝0，6＋k－5＝0，k＝－1；若∠C＝90°，則eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0，k2－k＋3＝0無解．∴綜上，k可能?。?，－1兩個數(shù)．故選B.8．已知AD、BE分別為△ABC的邊BC、AC上的中線，設eq\o(AD,\s\up6(→))＝a，eq\o(BE,\s\up6(→))＝b，則eq\o(BC,\s\up6(→))等于()\f(4,3)a＋eq\f(2,3)b\f(2,3)a＋eq\f(4,3)b\f(2,3)a－eq\f(4,3)bD．－eq\f(2,3)a＋eq\f(4,3)b解析：選\o(BC,\s\up6(→))＝2eq\o(BD,\s\up6(→))＝2(eq\f(2,3)eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\f(4,3)eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(4,3)b.故選B.9．A，B，C，D為平面上四個互異點，且滿足(eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))－2eq\o(DA,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0，則△ABC的形狀是()A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等邊三角形解析：選B.∵(eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))－2eq\o(DA,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝(eq\o(DB,\s\up6(→))－eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))－eq\o(DA,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))2－eq\o(AC,\s\up6(→))2＝0，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|，∴△ABC為等腰三角形．10．在平面直角坐標系中，若O為坐標原點，則A，B，C三點在同一直線上的等價條件為存在唯一的實數(shù)λ，使得eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(OB,\s\up6(→))成立，此時稱實數(shù)λ為“向量eq\o(OC,\s\up6(→))關(guān)于eq\o(OA,\s\up6(→))和eq\o(OB,\s\up6(→))的終點共線分解系數(shù)”．若已知P1(3,1)，P2(－1,3)，且向量eq\o(OP3,\s\up6(→))與向量a＝(1,1)垂直，則“向量eq\o(OP3,\s\up6(→))關(guān)于eq\o(OP1,\s\up6(→))和eq\o(OP2,\s\up6(→))的終點共線分解系數(shù)”為()A．－3 B．3C．1 D．－1解析：選D.設eq\o(OP3,\s\up6(→))＝(x，y)，則由eq\o(OP3,\s\up6(→))⊥a知x＋y＝0，于是eq\o(OP3,\s\up6(→))＝(x，－x)，設eq\o(OP3,\s\up6(→))＝λeq\o(OP1,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(OP2,\s\up6(→))，(x，－x)＝λ(3,1)＋(1－λ)(－1,3)＝(4λ－1,3－2λ)．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4λ－1＝x，,3－2λ＝－x，))于是4λ－1＋3－2λ＝0，λ＝－1.二、填空題(本大題共5小題，請把正確的答案填在題中的橫線上)11．如圖，在正方形ABCD中，設eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(BD,\s\up6(→))＝c，則在以a，b為基底時，eq\o(AC,\s\up6(→))可表示為________，在以a，c為基底時，eq\o(AC,\s\up6(→))可表示為________．解析：以a，c為基底時將eq\o(BD,\s\up6(→))平移，使B與A重合，再由三角形法則或平行四邊形法則即得．答案：a＋b2a＋c12．已知a＝(1,1)，b＝(1,0)，c滿足a·c＝0，且|a|＝|c|，b·c>0，則c＝________.解析：設c＝(x，y)．由a·c＝0，得x＋y＝0.①再由|a|＝|c|，得x2＋y2＝2.②由①②，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝1.))又b·c>0，∴x>0，∴c＝(1，－1)．答案：(1，－1)13．已知|a|＝eq\r(3)，|b|＝4，|c|＝2eq\r(3)，且a＋b＋c＝0，則a·b＋b·c＋c·a＝________.解析：(a＋b＋c)2＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2(a·c＋b·c＋a·b)＝0，∴a·b＋b·c＋c·a＝－eq\f(31,2).答案：－eq\f(31,2)14．已知|a|＝1，|b|＝1，a與b的夾角為120°，則向量2a－b在向量a＋b方向上的投影為________．解析：(2a－b)·(a＋b)＝2a2＋2a·b－a·b－b2＝2a2＋a·b－b2＝2×12＋1×1×cos120°－12＝eq\f(1,2).|a＋b|＝eq\r(a＋b2)＝eq\r(a2＋2a·b＋b2)＝eq\r(1＋2×1×1×cos120°＋1)＝1.故向量2a－b在向量a＋b方向上的投影為eq\f(2a－b·a＋b,|a＋b|)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)15．如圖所示，在正方形ABCD中，已知|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2，若N為正方形內(nèi)(含邊界)任意一點，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))的最大值是________．解析：∵eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AN,\s\up6(→))|·cos∠BAN，|eq\o(AN,\s\up6(→))|·cos∠BAN表示eq\o(AN,\s\up6(→))在eq\o(AB,\s\up6(→))方向上的投影，又|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))的最大值是4.答案：4三、解答題(本大題共5小題，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)16．已知O，A，B是平面上不共線的三點，直線AB上有一點C，滿足2eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝0，(1)用eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))表示eq\o(OC,\s\up6(→))；(2)若點D是OB的中點，證明四邊形OCAD是梯形．解：(1)2eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝0，2(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＋(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))＝0.2eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝0.∴eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)).(2)證明：如圖，eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(DO,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(2eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))．故eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→)).故四邊形OCAD為梯形．17．設平面上向量a＝(cosα，sinα)(0≤α<2π)，b＝(－eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2))，a與b不共線．(1)證明向量a＋b與a－b垂直；(2)當兩個向量eq\r(3)a＋b與a－eq\r(3)b的模相等時，求角α.解：(1)證明：a＋b＝(－eq\f(1,2)＋cosα，eq\f(\r(3),2)＋sinα)，a－b＝(eq\f(1,2)＋cosα，sinα－eq\f(\r(3),2))，(a＋b)·(a－b)＝cos2α－eq\f(1,4)＋sin2α－eq\f(3,4)＝0，∴(a＋b)⊥(a－b)．(2)由題意：(eq\r(3)a＋b)2＝(a－eq\r(3)b)2得：a·b＝0，∴－eq\f(1,2)cosα＋eq\f(\r(3),2)sinα＝0，得tanα＝eq\f(\r(3),3).又0≤α<2π，得α＝eq\f(π,6)或eq\f(7π,6).18．已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分別確定實數(shù)λ的取值范圍，使得(1)a與b的夾角為直角；(2)a與b的夾角為鈍角．解：設a與b的夾角為θ，|a|＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，|b|＝eq\r(1＋λ2)，a·b＝1＋2λ.(1)因為a與b的夾角為直角，所以a⊥b，所以a·b＝0，所以1＋2λ＝0，即λ＝－eq\f(1,2).(2)因為a與b的夾角為鈍角，所以cosθ<0且cosθ≠－1，所以a·b<0且a與b不反向．由a·b<0得1＋2λ<0，故λ<－eq\f(1,2)，由a與b共線得λ＝2，故a與b不可能反向．所以λ的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2))).19．如圖，平行四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，H、M是AD、DC的中點，BC上點F使BF＝eq\f(1,3)BC.(1)以a、b為基底表示向量eq\o(AM,\s\up6(→))與eq\o(HF,\s\up6(→))；(2)若|a|＝3，|b|＝4，a與b的夾角為120°，求eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(HF,\s\up6(→)).解：(1)由已知得eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋b.∵eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,3)b，∴eq\o(HF,\s\up6(→))＝eq\o(HA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)b＋(a＋eq\f(1,3)b)＝a－eq\f(1,6)b.(2)由已知得a·b＝|a||b|cos120°＝3×4×(－eq\f(1,2))＝－6，從而eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(HF,\s\up6(→))＝(eq\f(1,2)a＋b)·(a－eq\f(1,6)b)＝eq\f(1,2)|a|2＋eq\f(11,12)a·b－eq\f(1,6)|b|2＝eq\f(1,2)×32＋eq\f(11,12)×(－6)－eq\f(1,6)×42＝－eq\f(11,3).20．在平面直角坐標系中，A(1,1)、B(2,3)、C(s，t)、P(x，y)，△ABC是等腰直角三角形，B為直角頂點．(1)求點C(