習(xí)題：從平面向量到空間向量

從平面向量到空間向量1．“兩個(gè)向量(非零向量)的模相等”是“兩個(gè)向量相等”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．給出下列命題：①兩個(gè)空間向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同；②若空間向量a，b滿足|a|＝|b|，則a＝b；③在正方體ABCD-A1B1C1D1中，必有＝；④若空間向量m，n，p滿足m＝n，n＝p，則m＝p.其中正確的個(gè)數(shù)為()A．4 B．3 C．2 D．13．在四邊形ABCD中，若＝，且||＝||，則四邊形ABCD為()A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．不確定4．把空間所有單位向量歸結(jié)到一個(gè)共同的始點(diǎn)，那么這些向量的終點(diǎn)所構(gòu)成的圖形是()A．一個(gè)圓 B．兩個(gè)孤立的點(diǎn) C．一個(gè)球面D．一個(gè)平面5．下面幾個(gè)命題：①向量的模是一個(gè)正實(shí)數(shù)；②所有的單位向量相等；③所有的零向量相等；④一條直線的方向向量是相等的．其中錯(cuò)誤的命題個(gè)數(shù)為()A．4 B．3 C．2 D．16．下列說(shuō)法中不正確的是()A．平面α的一個(gè)法向量垂直于與平面α共面的所有向量B．一個(gè)平面的所有法向量互相平行C．如果兩個(gè)平面的法向量垂直，那么這兩個(gè)平面也垂直D．如果a，b與平面α共面，且n⊥a，n⊥b，那么n就是平面α的一個(gè)法向量7．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AD，BC，CC1的中點(diǎn)，則〈，〉＝______.8.在如圖所示的直三棱柱中，(1)指出直線AC的方向向量；(2)指出平面ABC的法向量．9．如圖，在正方體ABCD-A′B′C′D′中，求：(1)〈，〉，〈，〉，〈，〉；(2)〈，〉，〈，〉．

參考答案1.解析：模相等方向不相同的兩個(gè)向量不相等，兩個(gè)相等向量的模一定相等．答案：B2.解析：當(dāng)兩個(gè)空間向量的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同時(shí)，這兩個(gè)向量必相等，但兩個(gè)向量相等，不一定有起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同，故①錯(cuò)誤；根據(jù)向量相等的定義，要保證兩個(gè)向量相等，不僅模要相等，而且方向還要相同，但②中向量a與b的方向不一定相同，故②錯(cuò)誤；根據(jù)正方體的性質(zhì)，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，向量與的方向相同，模也相等，所以＝，故③正確；命題④顯然正確．答案：C3.解析：若＝，則AB＝DC，且AB∥DC，所以四邊形ABCD為平行四邊形．又||＝||，即AC＝BD，所以四邊形ABCD為矩形．答案：B4.解析：半徑為1的球面上所有點(diǎn)到球心的距離為1.答案：C5.解析：0的模為0，故①錯(cuò)；所有單位向量的模相等，但方向不一定相同，故②錯(cuò)，③對(duì)；一條直線的方向向量不唯一，故④錯(cuò)．答案：B6.解析：A，B，C正確，而D中，若a∥b，雖然n⊥a，n⊥b，但n不一定是平面的法向量．答案：D7.解析：連接DB，BC1，DC1，∵正方體ABCD-A1B1C1D1，∴△BDC1為等邊三角形．∵E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AD，BC，CC1的中點(diǎn)，∴EF∥BD，GH∥BC1.∴〈，〉＝〈，〉＝eq\f(π,3).答案：eq\f(π,3)8.解：(1)直線AC的方向向量為：，，，；(2)平面ABC的法向量為：，，，，，.9.解：(1)∵正方體ABCD-A′B′C′D′，∴AB∥A′B′，AD⊥D′C′，AB∥C′D′.∴〈，〉＝0，〈，〉＝eq\f(π,2)，〈，〉＝π.(2)∵正方體ABCD-A′B′C′D′，∴AD∥BC.∴〈，〉＝〈，〉＝eq\f(π,4)，連接AC.∴△ACD′為等邊三角形．∴〈，〉＝eq\f(2π,3).備選習(xí)題1.答案：B2.解析：正方體中與BC′垂直的線段有B′C，A′D，AB，DC，A′B′，D′C′，所以與向量BC′垂直的向量有，，，，，，，，，，，，共12個(gè)．答案：123.解：(1)∵＝，∴〈，〉＝〈，〉．∵∠CAB＝e