線性代數(shù)-第三章四、直線與位置關(guān)系

空間直三、一般式方五、直線與平面的位置關(guān)3.4空間直一、點向式方sz方向向量的sz.如果一非零向量s平 ..于一條已知直線L，向量 稱為直線L的方向向量 M0(x0,y0,z0

M(

y, xM

M0M//s(m,

M0

(x

x0,y

y0,z

z0s(m,

M0

(x

x0,y

y0,z

z0xx0yy0z

直線的點向式 直線的一組方向方向向量的余弦稱為直線的方向余弦例1求過空間兩點A(x1y1,z1),B(x2y2,z2)的直線解s=AB(x2x1y2-y1z2-l:

yy1y2

z z2例說明

l:x32

y20

z

s

0,(2)

y2

即，l在平y(tǒng)=2上 所以交點

s

BA=所求直線

x22

y30

z44二、參數(shù)式方設(shè)直l的方xx0yy0zz0 則xyy

x0mty0zzzz 上式稱為直線l的參數(shù)方程，t稱為參數(shù)，不同t對應于直線l上不同的點4求過點M(2,1,3且與直線x13相交的直線方程

y12

z垂1解先作一過點M且與已知直線垂直的平面

2)

3)再求已知直線與該平面的交點x

y

x

3t

1

yy

t

代入平面方程

t37

N(27

,13,3) 取所求直線的方向向量為

(27

137

37

3)

(127

6,7

7所求直線方程

x2y1z3 三、一般式方z空間直線可看成兩平面的交線z1

C1zD1 12

B2

C2zD22

C1zD1 AxByCzD x空間直線的一般式方例5用點向式方程及參數(shù)方程表示直xy

1.2x

y3z4解一在直線上任取一點

(x0

y0,z0x

2,y y 3z 3z

6

z0M0點的坐

因所求直線與兩平面的法向量都垂 s

n1 2

點向式方

x1y0z2 參數(shù)方

x1y t y

2由解法一已得直線上點M0的坐標(10x1=0 y1z11

4

1,

5,得點

15)

4M0

(1,14

4

取直線的方向向量為

=(4,-1,-得直線方

x1y0z2 x

yz1

由直線

2x

y

4

(2)+(2):3x+4z+5

z

3x54(1)2-(2):3y-z-2=

z=3y-3x 3y

x y ,

3

z3

方程(3)的方向向量(-4,1,3)與(4,-1,-3)平行，且(53

2,3

在解法一、二所確定的直線上，故(3)與解法一、二所得的方程表示的為同一直線解四( 消元法——行初等變換 xyz12xy3z4A

1

1 1 4 2 2 x14z 23z參數(shù)式

xyy

1

2點向式

x1yz2 例6確定直線l外一點M0(x0y0z0)到l的距離設(shè)M1(x1y1z1)是直線l上任意一確定的M是l上另一點， M1M=s=(m,n,

. 則直線l的方程

xx1

y

zz1 如圖所示平行四邊形面S=||M1M0M1M||=||sM1M0||=d||sd

sM1M0

||s例7求點M0(1,2,1)到直的距離

l:

xy

yz2z=0x=1y=1M1(11,0) 1111s

1

j

2k356M1M0=(0,3,356d

sM1M0

||s四、直線與直線的位置關(guān)兩直線的夾兩直線L1與L2的方向向量與s1的夾角稱（通常銳角）稱為L1與L2的夾角，記為L1L2L

xx1

y

z

z1 L2

xx2m

yy2

zz2p

|m1m2|m1m2n1n2p1p2m2n2p2111m2n2p222由此公式可計算兩條直線的夾角

L1

m1m2

n1n2

p1

L2mm

p1例如

s1

L2

s2

s1

L1L2例8求過點(32

且與兩平面

32x

y

解設(shè)所求直線的方向向量

s(m,

根據(jù)題意

sn1

sn2 s

n1

所求直線的方

x34

y23

z51五、直線與平面的位置關(guān)1、直線與平面的夾02L

m

yy0

zz0p

s(m,

Ax

ByCz

D

n(A,B,C

s,n 2

s,n 2

cos2

cos2sin

|Am

Bn

CpA2B2A2B2C2m2n2p22.直線與平面的位置關(guān)系

L

AB

Cp

L//

Am

BnCp9設(shè)直線L

x1 y

z2:x

y

n

(1,1,

s(2,1,A2A2B2C2m2n2p2

|Am

Bn

Cp|12

(1)(1)22| 6

為所求夾角例10直線l過點M(2,5,-2)且與直l:xy2z4 3x4y MlN垂直相交，求lMlN解只需求出交點N的坐標即可.過M作平面與l1垂直，與l1的交點即il1的方向向量s13

5

7k過M(2,5,-2)且與l垂直的平:-9(x-2)+5(y-5)+7(z+2)=9x-5y-7z-7=將直線l1與的方程聯(lián)立x

y2z4 3

4yzx

y7z7解得：x=1y=-1z這就是l1與的交點N的坐標(11直線l的方向向s=MN=(-1,-6,l的方

x2y5z2 3面設(shè)直線l的方程

C1zD1

AxByCzD

除方程(2)所表示的平面外，經(jīng)過直線l的所有平

B1

C1z

(A2x

B2

C2z

經(jīng)過直線l的平面全體稱為過l的平面束.方程(3)稱為過直線l的平面束方程.例11求直l:x4y5z在平

：2x+2y+z-上的投影直線解過直線l作一平面’與垂直，’與的交線l’就是l在上的投影將l的方程改寫為一般x4y243yz17過l的平面束方程x+4y-24+(3y+z-17)=即x+(4+3)y+z-(24+17)=其法向量

n’=(1,4+3,由’可nn'

21

2(4

3)1

10’的方程

7x(4即

30)7

107

(24170)77x-2y-10z+2=直線l在上的投影l(fā)':

7x2

10z22

2yz11解2作過l且與垂直的'，則l上的點M(4,5,2)在'上 n'

sn

(7,

4)

2(y5)

2) 7x

2y10z2所以l在上的投影直線

l':

7x2y10z22x

2y

z11: