新高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題36 運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求和（教師版）

公眾號(hào)拾穗者的雜貨鋪x思維方糖研究所專(zhuān)題36運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求和把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得前n項(xiàng)和．常見(jiàn)的裂項(xiàng)技巧①eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1).②eq\f(1,nn＋2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋2))).③eq\f(1,2n－12n＋1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1))).④eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n).⑤eq\f(1,nn＋1n＋2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,nn＋1)－\f(1,n＋1n＋2))).一、題型選講例1、（2020屆山東省九校高三上學(xué)期聯(lián)考）已知數(shù)列是等比數(shù)列，且，，成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公比為，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即：，解得：.∴，∴.（2），∴.例2、（華南師大附中2021屆高三綜合測(cè)試）在①；②；③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，然后解答補(bǔ)充完整的題目．已知Sn為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若．(1)求an；(2)令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【解析】：(1)若選擇條件(1)，在等差數(shù)列中，，解得若選擇條件(2)，在等差數(shù)列中，解得；若選擇條件(3)，在等差數(shù)列中al=Sl=3，當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=n2+2n-[(n-l)2+2(n-1)]=2n+l，a1也符合，∴an=2n+1；(2)由(1)得，例3、（江蘇鹽城中學(xué)2021屆高三年級(jí)第三階段檢測(cè)數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿(mǎn)足，且.（1）求數(shù)列的前n項(xiàng)和及通項(xiàng)公式；（2）記，為的前n項(xiàng)和，求．【解析】(I)由已知有，∴數(shù)列為等差數(shù)列，且，∴，即，當(dāng)時(shí)，，又也滿(mǎn)足上式，∴；(II)由(1)知，，∴，例4、（2020屆山東省德州市高三上期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，整理得，，解得；當(dāng)時(shí)，①，可得②，①－②得，即，化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，，所以，從而是以為首?xiàng)，公差為的等差數(shù)列，所以；（2）由（1）知，因?yàn)椋?例5、（2020屆山東省濱州市三校高三上學(xué)期聯(lián)考）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿(mǎn)足，且.（1）求數(shù)列的前n項(xiàng)和，及通項(xiàng)公式；（2）記，為的前n項(xiàng)和，求.【解析】（I）由已知有，∴數(shù)列為等差數(shù)列，且，∴，即，當(dāng)時(shí)，，又也滿(mǎn)足上式，∴；（II）由（1）知，，∴，例6、（2020屆山東省濰坊市高三上期末）已知各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且是等比數(shù)列的前項(xiàng).(1)求;(2)設(shè)，求的前項(xiàng)和.【解析】(1)設(shè)數(shù)列的公差為，由題意知:①又因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，，，又因?yàn)?，所?②由①②得，所以，，，，.(2)因?yàn)?，所以所以?shù)列的前項(xiàng)和.例7、（2020屆山東省泰安市高三上期末）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列滿(mǎn)足為數(shù)列的前n項(xiàng)和，是否存在正整數(shù)m，，使得?若存在，求出m，k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由得，解得，；（2），，，若，則，整理得，又，，整理得，解得，又，，，∴存在滿(mǎn)足題意．例8、【2020屆河北省衡水中學(xué)全國(guó)高三期末大聯(lián)考】在數(shù)列中，有.（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【解析】（1）因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，上述兩式相減并整理，得.又因?yàn)闀r(shí)，，適合上式，所以.從而得到，所以，所以數(shù)列為等差數(shù)列，且其通項(xiàng)公式為.（2）由（1）可知，.所以.二、達(dá)標(biāo)訓(xùn)練1、【2020屆中原金科大聯(lián)考高三4月質(zhì)量檢測(cè)】已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且an（1）求數(shù)列an（2）若bn=S1?Sn【解析】（1）當(dāng)n=1時(shí)，4a1=a12+2當(dāng)n≥2時(shí)，4Sn=①－②得4an=化簡(jiǎn)得an因?yàn)閍n>0，∴a從而an是以2為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列，所以a（2）由（1）知Sn因?yàn)閎n∴=12、（2020屆山東省臨沂市高三上期末）設(shè)，向量，，.（1）試問(wèn)數(shù)列是否為等差數(shù)列？為什么？（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（1），.，為常數(shù)，是等差數(shù)列.（2），.3、（2020屆山東省濟(jì)寧市高三上期末）已知等差數(shù)列滿(mǎn)足,前7項(xiàng)和.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d,由可知,前7項(xiàng)和.,解得..(2)前項(xiàng)和.4、（2020屆浙江省溫州市高三4月二模）已知等差數(shù)列和等比數(shù)列滿(mǎn)足：(I)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(II)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】(I)，故，解得，故，.(II)，故.5、（南通市2021屆高三年級(jí)期中學(xué)情檢測(cè)）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為成等差數(shù)列，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由成等差數(shù)列知，，所以，即.又，所以，所以，所以等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）由（1）知所以所以數(shù)列的前項(xiàng)和：所以數(shù)列的前項(xiàng)和6、（金陵中學(xué)2021屆高三年級(jí)學(xué)情調(diào)研測(cè)試（一））已知數(shù)列{an}中，a1＝1，當(dāng)n≥2時(shí)，其前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足Sn2＝an(Sn－eq\s\do1(\f(1,2)))．(1)求Sn的表達(dá)式；(2)設(shè)bn＝eq\s\do1(\f(Sn,2n＋1))，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．【解析】：(1)因?yàn)镾n2＝an(Sn－eq\s\do1(\f(1,2)))，當(dāng)n≥2時(shí)，Sn2＝(Sn－Sn－1)(Sn－eq\s\do1(\f(1,2)))，即2Sn－1Sn＝Sn－1－Sn．①…………2分由題意得Sn－1·Sn≠0，所以eq\s\do1(\f(1,Sn))－eq\s\do1(\f(1,Sn－1))＝2，即數(shù)列{eq\s\do1(\f(1,Sn))}是首項(xiàng)為eq\s\do1(\f(1,S1))＝eq\s\do1(\f(1,a1))＝1，公差為2的等差數(shù)列．…………5分所以eq\s\do1(\f(1,Sn))＝1＋2(n－1)＝2n－1，得Sn＝eq\s\do1(\f(1,2n－1))．…………7分(2)易得bn＝eq\s\do1(\f(Sn,2n＋1))＝eq\s\do1(\f(1,(2n－1)(2n＋1)))……………8分＝eq\s\do1(\f(1,2))(eq\s\do1(\f(1,2n－1))－eq\s\do1(\f(1,2n＋1)))，……………10分所以Tn＝eq\s\do1(\f(1,2))[(1－eq\s\do1(\f(1,