大二下-概率論高教版多維隨機變量及其分布

第三章隨量及其分布第一節(jié)二維隨量第二節(jié)邊緣分第三節(jié)條件分量的函數(shù)的第四節(jié)隨量的獨立性第五節(jié)兩量的函數(shù)的第一節(jié)二維隨

,Y

定義在樣本空間Ω上的兩個隨量 Y)(為二維隨機向量或二維隨量

x

X

yyoxG{(x,

x1

xx2,y1y

1F(x2,1F(x2,y2)F(x1,y2)F(x2,y1)

F(x1,y10

F(x ,F(,)

F(,)F(xF(x

F(x,

y),F(x,

y0)

F(x,

x2y1 F(x2

y2)F(x2

yi

Y)記

xi

yj}

pij

i,

1,并稱為二維離散型隨(

或稱為隨和

聯(lián)合分布律j jxyyp2F(x,

xixyj

pi例1一箱子裝有5件產(chǎn)品，其中2件正品，30X00Y0

，第二次取到次，第二次取到正解X,Y)可能取的值只有4(0,11,0)及按概率的乘法公式計算得

0,Y

2

P{X

2

P{X

3

P{X

3

F(x,

f(u,則稱(X,Y)是二維連機變

y)稱為機變量(X,Y的概率密

f

y)

f

,Y)G}G

f

2F(x,y)

f(x,y)例2設(shè)G是平面上的一個有界區(qū)域，其面積為A二維隨f(x,

y)

,

y)0,

f

CA故有

(x,

y)

1,

y)0, ，

f(x,

2e(2xy

x0

y

Y}解）F(x,

f

x2e(2xy)dxdy

x0,yy y

F(x

(1e2x)(1ey

x0,y

Y}

y)G}G

f

2e(2xy)dydx

n

則

X2

對于任意n個實x1,x2 ,xn,函F(x1,

x1,X2

x2 ,Xn

稱為n維隨量(

X2

Xn 第二節(jié)分 FX(x)

x}

F(x,F(x)

limF(x,

F(,

其中F(

limF(x,故邊緣故邊緣分布函數(shù)FX(xFYX,Y的分布函數(shù)所確

分布率為pij,FX(x)F(x,

pijxixj1

(i

j

xi}j

pi

記為

xi}

yj}

))

pij，記為

yj}

p

分別稱

(i1,

p

))

FX(x)

F(x,

f

fX(x)為fX(x)為X,Y關(guān)于X的邊緣概fX

f

fY(x)為fY(x)為X,Y

f

1把兩封信隨機地投入已經(jīng)編好號的3個郵筒內(nèi),設(shè)X,Y分別表示投入1,2個郵筒內(nèi)信的數(shù)求X,Y),2(X

0}1 2}1

1}2 1}2

所有計算結(jié)果列表如下：X

X,Y)關(guān)于Y的2919 291901 4949

X,Y)關(guān)于X的例2將２只紅球和２只白球隨機地投入已經(jīng)編好號的Y表示落入第2個盒子內(nèi)白球的數(shù)求X,Y)的分布及邊緣分布律不妨分別把2只紅球和2（例如），由古典概型計算 222

123123XYXY12p494 ,(區(qū)G{(x,y)|0

y上服從均勻分布f(x,y)

0x1,x2

y

6(xx2 0

x則f

(x)

f

yfY(y)y

f(x,

0y

其他

第三節(jié)條件分

xi

yj}

pij

i,

..,,P{Xxi}

j

pij

.P{Yyj}.

p

pij

p

xi|

yj}

yj

p

同樣地,若pi

P{Xxi

yj

P{Y

xi

1把兩封信隨機地投入已經(jīng)編好號的3,Y

別表示1,2個郵筒內(nèi)

求在條件下隨量X的條件分布律解在的條件下XP{X0P{X1P{X2|Y

1949P{Y 1949294149929414999 P{Y x設(shè)X,Y)的概率密度為fx

(

fXx)和

y)分別是關(guān)若

(

0,

P{X

f(x,fY(y)

FX|Y(x|故Y

f(x,y)fX|Y(x|

fY(y)

(y|

f

Y|X (y|

f(x,

fX(x)Y|X

fX(x)f(x,y)

1，x2y2ππ fX|Y(x|

21y2解fY

f

|

x

的一切xf(x,

, x 1y21y2 (xy) 1y21y2fXfY

(

第四 隨量的獨立 及

yxyF二維隨X,Y的分布函數(shù)及邊緣分布函數(shù)若所有x,y

x,Yy即F(xy

FX

(則稱 ,(連續(xù)型隨 (),YXy(f為X,Y)的概率密度和邊緣概率密度,則X和Y獨立條件f(x,y)

fX

fY(在f

fX

是離散型 對于X,Y的所有可能的取值(xi,yi

xi,y

yi

yi pij

pi.p.j

i

j

Ypk11223Ypk11223191Xpi1132Xpi1132131PX

PX

1(1

1PX

PX

1(

2,9

1.此時 ij

p.

對所有xi

yi均成例2一到達的時間均勻分布在8～12時，他的到達的時間均勻分布在7～9們到達的時間相差不超過5分鐘（1/12小時）的概率．

fX(x)

144

8x

fY(y)

122

7y

其他

其他由獨立性得(X,Yf(x,y)

fX(x)

(

1 888

x12,7

y

其他 1

12畫出

xy

x12;7

y僅當(dāng)X,Y)取值于G兩人到達的時間相差才1/12小時。故所求的概率PXY

1

f

G 12 G的面積

11

2

2（2 6

1 PX

125分鐘的概率為iiF(x1x2,xn

(xi)

1,2,,n)分別是n維隨X1X2,Xn的分布函數(shù)和邊緣分布xn,xn, F(x1,x2,,xn)FX(x1 (x2 ( 則稱X1X2,Xn 量

2

Xn

f(x1,x2,,xn)

f (x1)

(x2

(xXnnXn1X21X2

1,,,

第五節(jié)兩個隨量的函數(shù)的分

XY設(shè)二維

xi

yj}

i

j若ZX

y

zk}P{X

xi

yjP{Xi

xi

xi或者

zk}

P{Xj

yj

yj 設(shè)二維

XY解由X,Y可能取的值知Z的可能值為且

0}

1}

0}0.10.1

Z ,則

Y的分布函數(shù)FZ(z)

z} xy

f

(z)

z[

f

xuz

f

y)dx

f(u

y, 于是FZ(z

f(u

y,

f(u

y,上式兩邊對z

fZ(z)

f(z

y,

fZ(z)

f(zx, fZ(z)

fX(z

yfYy)dy或

fZ(z)

fX(x)fY(z例2設(shè)X和Y是兩個相互獨立的隨機變量,都服從正態(tài)分布N(0,1其概率密度為fX(x)

1e1

xfY(y)

1e1

y求ZXY的概解fZ(z)

fX

fY

(zx)22π

e e (xz e

2

t

x2

則

(z)1

et2dt

e例3設(shè)fX(x)

0x

fY(y)

ey

y

其求隨量

利用公

fZ(z)

fX

fY(z

0x 0xzx 即x 由上圖

z1 z1

(x)

fY(z

x)dx

ze(zx)dx,0zfZ(z)

(x)

fY(z

dx

ze(zx)dx,z000 即fZ(z)(e1)ezz1即fZ(z)(e1)ezz1

0z 其解法

ey

0

yf(x,y)fX(x)

fY(y)

其則Z的分布函數(shù)FZ(z)

z}

P{X

z}

xy

f

當(dāng)z

zzFz(z)z

zx0

z1當(dāng)z1Fz(z)1

zx0

（二）Z

例4設(shè)二維Gx,y|0x2,0

y

由已知(X,Y的概率密度

yfx,

2

令F(s)為S的分布函數(shù),

時F(s

時F(s0

Fs

f

12

2s

s s(1

2

s于是Fs

2

2

0

s故s的概率密度

2

0sfs

Fs2 其

X,Y)及

X,Y由于PMz

z

zP即

z

類似可得N的分布函

zP1

z1

Fminz11

21,,,n是nXX