高等代數(shù)正交變換實(shí)用全套PPT

高等(gāoděng)代數(shù)正交變換第一頁，共15頁。一、一般(yībān)歐氏空間中的正交變換1.定義(dìngyì)即，歐氏空間V的線性變換如果保持向量的內(nèi)積不變，則稱為正交變換.注：歐氏空間(kōngjiān)中的正交變換是幾何空間(kōngjiān)中保持長度不變的正交變換的推廣.第二頁，共15頁。2.歐氏空間(kōngjiān)中的正交變換的刻劃下述命題(mìngtí)是等價(jià)的：（定理4）設(shè)是歐氏空間V的一個(gè)線性變換.3）保持向量間的距離不變，即2）保持向量長度不變，即1）是正交變換；第三頁，共15頁。由于當(dāng)A是正交矩陣時(shí)，也是V的歐氏空間(kōngjiān)V的正交變換是V到自身的同構(gòu)映射．不變的正交變換的推廣.證明(zhèngmíng)：首先證明(zhèngmíng)1)與2)等價(jià)．再由(1)(2)即得，維歐氏空間V中的線性變換是正交變換事實(shí)上，由正交變換的定義及標(biāo)準(zhǔn)(biāozhǔn)正交基的性質(zhì)設(shè)為V的標(biāo)準(zhǔn)正交基，且再證明(zhèngmíng)2)與3)等價(jià)．再證明(zhèngmíng)2)與3)等價(jià)．不變的正交變換的推廣.若是維歐氏空間V的正交變換，當(dāng)是正交變換時(shí)，由1知，也是V（定理4）設(shè)是歐氏空間V的一個(gè)線性變換.2）保持向量長度不變，即證明(zhèngmíng)：首先證明(zhèngmíng)1)與2)等價(jià)．即，兩邊開方得，若是正交變換，則有，(1)(2)若保持向量長度不變，則對第四頁，共15頁。把(3)展開(zhǎnkāi)得，再由(1)(2)即得，(3)是正交變換．第五頁，共15頁。再證明(zhèngmíng)2)與3)等價(jià)．根據(jù)２）故3）成立(chénglì).若則有，即，故2）成立(chénglì).第六頁，共15頁。二、維歐氏空間中的正交變換1.

維歐氏空間中的正交變換是保持標(biāo)準(zhǔn)正交基不變的線性變換．是V的標(biāo)準(zhǔn)正交基，則也是V的標(biāo)準(zhǔn)(biāozhǔn)正交基.1).若是維歐氏空間V的正交變換，事實(shí)上，由正交變換的定義及標(biāo)準(zhǔn)(biāozhǔn)正交基的性質(zhì)即有，第七頁，共15頁。2).若線性變換使V的標(biāo)準(zhǔn)正交基變成變換(biànhuàn)．標(biāo)準(zhǔn)正交基，則為V的正交證明：任取設(shè)由為標(biāo)準(zhǔn)正交基，有第八頁，共15頁。故是正交變換．又由于為標(biāo)準(zhǔn)正交基，得第九頁，共15頁。2.維歐氏空間V中的線性變換是正交變換在任一組標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是正交矩陣．設(shè)為V的標(biāo)準(zhǔn)正交基，且證明：的標(biāo)準(zhǔn)(biāozhǔn)正交基，當(dāng)是正交變換時(shí)，由1知，也是V而由標(biāo)準(zhǔn)正交基到標(biāo)準(zhǔn)正交基的過渡矩陣是正交矩陣.第十頁，共15頁。設(shè)為V的標(biāo)準(zhǔn)正交基，且再由

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即得為正交變換．由于當(dāng)A是正交矩陣時(shí)，也是V的即，標(biāo)準(zhǔn)(biāozhǔn)正交基，所以(suǒyǐ)，A是正交矩陣．第十一頁，共15頁。1）正交變換的逆變換是正交變換；2）正交變換的乘積(chéngjī)還是正交變換．3.歐氏空間(kōngjiān)V的正交變換是V到自身的同構(gòu)映射．因而(yīnér)有，（由同構(gòu)的對稱性可得之）（由同構(gòu)的傳遞性可得之）第十二頁，共15頁。4.

維歐氏空間中正交變換的分類：設(shè)維歐氏空間V中的線性變換在標(biāo)準(zhǔn)正交基1）如果則稱為第一類的（旋轉(zhuǎn)）;2）如果則稱為第二類的．下的矩陣是正交矩陣A