空間向量的正交分解及坐標(biāo)表示

教師姓名學(xué)生姓名教材版本人教版學(xué)科名稱數(shù)學(xué)年級百一-P高上上課時間2012.課題名稱空間向量的正交分解及坐標(biāo)表示教學(xué)目標(biāo)掌握空間向量的正交分解及空間向量基本定理和坐標(biāo)表示；掌握空間向量的坐標(biāo)運算的規(guī)律。教學(xué)重點空間向量的分解方法及坐標(biāo)表示。教學(xué)過程備注一、課前準(zhǔn)備復(fù)習(xí)1：平面向量基本定理：對平面上的任意一個向量P，a,b是平面上兩個向量，總,是存在—實數(shù)對（X,y），使得向量P可以用a,b來表示表達(dá)式為，其中a,b叫做.若a±b，則稱向量p正交分解.復(fù)習(xí)2：平面向量的坐標(biāo)表示：平面直角坐標(biāo)系中，分別取X軸和y軸上的—向量*,j作為基底，對平面上任意向量a，有且只有一對實數(shù)X，y，使得a=X*+yj，，則稱有序?qū)Γ╔,y）為向量a的，即a=.二、新課導(dǎo)學(xué)探究一：空間向量的正交分解問題：對空間的任意向量a，能否用空間的幾個向量唯一表示？如果能，那需要幾個向量？這幾個向量有何位置關(guān)系？新知：（1）空間向量的正交分解：空間的任意向量a，均可分解為不共面的三個向量"、入a、入a，112233使a=Xa+Xa+Xa.如果a,a,a兩兩，這種分解就是空間向量的正交分解.112233123（2）空間向量基本定理：如果三個向量a,b,*，對空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組｛X,y,z｝，使得p=X*+yb+zC.把一的一個基底，a,b,c都叫做基向量.反思：空間任意一個向量的基底有個.⑶單位正交分解：如果空間一個基底的三個基向量互相，長度都為—，則這個基底叫做單位正交基底，通'常用｛i,j,k｝表示.⑷空間向量的坐標(biāo)表示：給定一個空間直角坐標(biāo)系O-xyz和向量a，且設(shè)i、j、k為x軸、y軸、z軸正方向的單位向量，則存在有序?qū)崝?shù)組｛XV7｝，使得a=X+Vj+7k，則稱有序?qū)崝?shù)組｛XV7）1h-i-i—i_/71tIv11—1t1--，，、：itI’-iq/T11-｛x,y,z｝，j7a—XL^ry/^rzx//、tit11-｛x,y,z｝為向量a的坐標(biāo)，記著p=.⑸設(shè)A（X,y,z），B（X,y,z），則AB=.111222⑹向量的直角坐標(biāo)運算：TOC\o"1-5"\h\z設(shè)a=(a,a,a)，b=(b,b,b)，貝0123123(l)a+b=(a+b,a+b,a+b)；112233⑵a—b=(a-b,a-b,a-b)；112233(3)"a=(入a,入a,Xa)(XeR)；123⑷a?b=ab+ab+ab-112233試試：設(shè)；—2；_：+3，，則向量；的坐標(biāo)為.?a—21—/+3k，air.若A(1,0,2)，B(3,1,—1)，則0~AB=?已知a=(2,-3,5)，b=(—3,1,—4)，求a+b，a—b,8a,a?b三、典型例題例1已知向量abc是空間的一個基底，從向量abc中選哪一個向量，一定可以與向量板―；+bXT，》/J-ti--vt,ty,I/—1~I-JI—t-7I—I~*/*■、、，//、J-ti--vt,ty，。：。：IJ7—//7、PITI--p—a^rUq—a-b構(gòu)成空間的另一個基底？變式：已知O,A,B,C為空間四點，且向量OAOBOC不構(gòu)成空間的一個基底，那么點O,A,B,C是>X'rn,,，/"—I_I-JI1八、、，——IT—I\VX.Z1,,JI7—■~?-1717I—I_?/%、，/■I?、八、、7777^*—^-否共面？例2如圖，M,N分別是四面體QABC的邊OA,BC的中點，P,Q是MN的三等分點，用oaOBOC/p/、，1II/J/7/77/~**-h■1I'■，II，L-4*、-7L7I，、、、，,，/L7■-J/7，、、、，\_X_ZX,^^U,\_XX_z表示OP和OQ?變式：已知平行六面體ABCD-A'礦C'D'，點G是側(cè)面BBCC的中心，且亦=；，無=~b,石=；，試用向量sb,C表示下列向量：⑴OB,BA,CA;⑵OG-淤動手試試?/\~/fff練1.已知a=（2,—3,1）,b=（2,0,3）,c=（0,0,2），求：⑴a?舫+c）；⑵a+6b-8c-TOC\o"1-5"\h\z練2.正方體ABCD-A'B'C'D'的棱長為2，以A為坐標(biāo)原點，以雨人甘,*為X軸、y軸、Z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則點D「杰,A8的坐標(biāo)分別是，，.四、當(dāng)堂檢測若tb：】｝為空間向量的一組基底，則下列各項中，能構(gòu)成基底的是（）A.a,a+b,a一bB.b,a+b,a一b__—A—A—A—A—A—A—A—A—A—A—?C.c,a+b,a一bD.a+2b,a+b,a一b設(shè)i、j、k為空間直角坐標(biāo)系O-xyz中x軸、y軸、z軸正方向的單位向量，且而=一7+^；—k，.、*、，^+，則點B的坐標(biāo)是在三棱錐OABC中，G是AABC的重心（三條中線的交點），選取O5aOboc為基底，試用基底.,,表示OG—正方體ABCD-A'B'C'D'的棱長為2，以A為坐標(biāo)原點，以疝前互3為x軸、y軸、Z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，E為BB1中點，則E的坐標(biāo)是.已知關(guān)于x的方程X2一（―2）X+12+3t+5-0有兩個實根，c-a+tb，且a-（-1,1,3）,b-（1,0,-2），當(dāng)t=時，c的模取得最大值.

已知A=(3,5,-7),B=(-2,4,3),求奇,贏,線段AB的中點坐標(biāo)及線段AB的長度.****