北京中國人民大學(xué)附屬外國語中學(xué)高中數(shù)學(xué)選修4-5第一章《不等關(guān)系與基本不等式》測試卷(有答案解析)

一、選擇題1．若不等式對任意實數(shù)恒成立，則（）A．-1B．0C．1D．22．下列命題中，正確的是（）A．若C．若，，則B．若D．若，則，則，則，3．若實數(shù)＞，則下列結(jié)論成立的是（）abA．a(chǎn)2＞b2B．C．ln2a＞ln2bD．a(chǎn)x2＞bx24．不等式的解集是區(qū)間的子集，則實數(shù)的取值范圍是（）D．A．B．C．5．已知函數(shù)A．，若恒成立，則的取值范圍是（）B．D．C．6．若為實數(shù)，則下列命題錯誤的是()A．若B．若，則，則C．若D．若，則,，則7．若a＞b，c為實數(shù)，下列不等式成立是（）A．a(chǎn)c＞bcB．a(chǎn)c＜bcC．D．，則下列結(jié)論正確的是（）8．已知A．B．C．D．9．已知，且，則下列不等式中恒成立的是（）A．B．C．D．10．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a2＝1，則“a3＞5”是“S3＋S9＞93”的A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件11．是成立的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既非充分又非必要條件12．實數(shù)A．滿足，則下列不等式成立的是（）B．C．D．二、填空題13．若，則的最小值是________.14．已知函數(shù)，若對任意的實數(shù)有成立，則實數(shù)的取值范圍是______.15．若不等式對于任意實數(shù)x恒成立，則滿足條件的實數(shù)a的取值范圍______.的解集是空集，則實數(shù)的取值范圍是__________．16．若關(guān)于的不等式17．已知的最小值為，則實數(shù)____.18．（卷號）157********27808（題號）157********78880（題文）已知二次函數(shù)的圖像為開口向下的拋物線，且對任意都有．若向量，，則滿足不等式的取值范圍為_____________．19．已知|a＋b|＜－c(a，b，c∈R)，給出下列不等式：①a＜－b－c；②a＞－b＋c；③a＜b－c；④|a|＜|b|－c；⑤|a|＜－|b|－c.其中一定成立的不等式是________(填序號)．20．若函數(shù)函數(shù)值滿足：對任意一個三角形，只要它的三邊長也是某個三角形的三邊長.則稱函數(shù)都在函數(shù)為保三角形函數(shù)，下面四個函數(shù)：的定義域內(nèi)，就有①；②；③；④為保三角形函數(shù)的序號為___________．三、解答題21．已知，不等式的解集為.（1）求集合；（2）當(dāng)時，證明：.22．已知函數(shù)（1）若.，解不等式；（2）若，且在上的最大值為3，求正實數(shù)的值.23．已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求不等式的解集；（2）若不等式對任意實數(shù)及恒成立，求實數(shù)的取值范圍.24．已知函數(shù).（1）若，求不等式的解集；（2）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.25．已知函數(shù)（1）當(dāng)，時，求不等式的解集；（2）設(shè)函數(shù)26．已知（1）求，當(dāng)時，，求的取值范圍.的最小值為1.，，函數(shù)的值；（2）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請不要刪除一、選擇題1．D解析：D【分析】可采用分類討論法，分別討論【詳解】與的正負(fù)，確定之間的關(guān)系即可求解.當(dāng)時，即時，恒成立，；所以恒成立，所以且當(dāng)時，即或時，且恒成立所以恒成立，所以，綜上，故選：D【點睛】本題考查一元二次不等式的解法，由含參數(shù)絕對值不等式求參數(shù)關(guān)系，分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題2．C解析：C【分析】利用不等式的基本性質(zhì)進行逐項判斷即可,不成立的舉反例.【詳解】對于選項A:若,滿足,,但是不成立,故選項A錯誤;不成立,故選項B錯誤;對于選項B：若,滿足,但對于選項C：因為確;,整理化簡可得,因為,所以,但是,即成立,故選項C正對于選項D:若,滿足,不成立,故選項D錯誤;【點睛】本題考查不等式與不等關(guān)系;不等式的基本性質(zhì)的靈活運用是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、?？碱}型.3．C解析：C【解析】【分析】特值法排除A,B,D,單調(diào)性判斷C【詳解】由題意，可知：對于A：當(dāng)a、b都是負(fù)數(shù)時，很明顯a2＜b2，故選項A不正確；對于B：當(dāng)a為正數(shù)，b為負(fù)數(shù)時，則有，故選項B不正確；對于C：∵a＞b，∴2a＞2b＞0，∴l(xiāng)n2a＞ln2b，故選項C正確；對于D：當(dāng)x＝0時，結(jié)果不成立，故選項D不正確；故選：C．【點評】本題主要考查不等式的性質(zhì)應(yīng)用，特殊值技巧的應(yīng)用，指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)值大小的比較．本題屬中檔題．4．A解析：A【分析】原不等式等價于，設(shè)，則由題意得，解之即可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】不等式等價于，設(shè)，因為不等式的解集是區(qū)間的子集，所以，解之得.故選：A.【點睛】本題主要考查絕對值不等式的解法、二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)化歸與等價轉(zhuǎn)化思想，屬中等難度題.5．B解析：B【分析】利用絕對值三角不等式確定圍。的最小值；把恒成立的問題，轉(zhuǎn)化為其等價條件去確定a的范【詳解】根據(jù)絕對值三角不等式，得的最小值為恒成立，等價于的最小值大于等于2，即或，故選B?；?，【點睛】本題主要考查了絕對值三角不等式的應(yīng)用及如何在恒成立條件下確定參數(shù)a的取值范圍。6．B解析：B【分析】由題意利用不等式的性質(zhì)逐一考查所給的四個選項中的結(jié)論是否正確即可.其中正確的命題可以用不等式的性質(zhì)進行證明，錯誤的命題給出反例即可.【詳解】對于A，若，則，，即，故正確；對于B，根據(jù)不等式的性質(zhì)，若，不妨取，，則，故題中結(jié)論錯誤；，則對于C，若，即，故正確；對于D，若故選B.,，則，故，故正確.【點睛】本題主要考查不等式的性質(zhì)及其應(yīng)用，屬于中等題.7．D解析：D【分析】由已知條件，利用不等式的基本性質(zhì)，直接求解，即可得到答案.【詳解】由題意，為實數(shù)，時，在A中，當(dāng)在B中，當(dāng)在C中，當(dāng)在D中，因為【點睛】不定成立，所以不正確；不定成立，所以不正確；不定成立，所以不正確；時，時，，所以成立，故選D.本題主要考查了不等式的基本性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記不等式的基本性質(zhì)，合理推理、運算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.8．B解析：B【分析】由不等式的性質(zhì)逐項分析判定即可【詳解】對A,對B,對C,對D,,則,故A錯誤；，∴，∴.，又,故B正確；,故C錯誤；則又，則，∴.∴,故D錯誤故選B【點睛】本題考查不等式性質(zhì)，熟記基本性質(zhì)，準(zhǔn)確推理是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題9．C解析：C【分析】主要利用排除法求出結(jié)果．【詳解】對于選項A：當(dāng)時，不成立；對于選項B：當(dāng)對于選項D：當(dāng)故選C．時，，所以不成立；時，不成立；【點睛】本題考查的知識要點：不等式的基本性質(zhì)的應(yīng)用，排除法的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題型．10．A解析：A【分析】利用等差數(shù)列的通項公式、求和公式與性質(zhì)，以及充分條件與必要條件的定義，結(jié)合不等式的性質(zhì)即可得到結(jié)論.【詳解】設(shè)公差為，若所以，，則，，充分性成立；反之，成立，則，不一定成立，即必要性不成立，所以是的充分不必要條件，故選A.【點睛】判斷充分條件與必要條件應(yīng)注意：首先弄清條件和結(jié)論分別是什么，然后直接依據(jù)定義、定理、性.對于帶有否定性的命題或比較難判斷的命題，除借助集合思想化抽象為直觀外，還質(zhì)嘗試可利用原命題和逆否命題、逆命題和否命題的等價性，轉(zhuǎn)化為判斷它的等價命題；對于范圍問題也可以轉(zhuǎn)化為包含關(guān)系來處理.11．B解析：B【解析】分析：先化簡詳解：因為和，再利用充要條件的定義判斷.，所以-2≤x≤2.因為，所以-1≤x+1≤1，所以-2≤x≤0.因為-2≤x≤2成立，則-2≤x≤0不一定成立，所以因為-2≤x≤0成立，則-2≤x≤2一定成立，所以是成立的非充分條件.成立的必要條件.是所以是成立的必要不充分條件.故答案為：B.點睛：（1）本題主要考查解絕對值不等式和充要條件的判斷，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)判定充要條件常用的方法:定義法、集合法和轉(zhuǎn)化法.12．C解析：C【解析】分析：根據(jù)題意，由不等式的性質(zhì)依次分析選項，綜合即可得答案．詳解：根據(jù)題意，依次分析選項：對于A.時，成立，故A錯誤；對于B、時，有，有成立，故B錯誤；成立，故D錯誤；對于D、故選：C．點睛：本題考查不等式的性質(zhì)，對于錯誤的結(jié)論舉出反例即可．二、填空題13．【分析】利用基本不等式得出然后利用三元基本不等式可求得所求代數(shù)式的最小值【詳解】由基本不等式可得當(dāng)且僅當(dāng)時即當(dāng)時等號成立因此的最小值是故答案為：【點睛】本題考查利用基本不等式求最值解答的關(guān)鍵就是對所解析：【分析】利用基本不等式得出，然后利用三元基本不等式可求得所求代數(shù)式的最小值.【詳解】由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)因此，時，即當(dāng)時，等號成立，的最小值是.故答案為：.【點睛】本題考查利用基本不等式求最值，解答的關(guān)鍵就是對所求代數(shù)式進行合理配湊，考查計算能力，屬于中等題.14．【分析】利用絕對值三角不等式得出根據(jù)題意得出解不等式即可得出實數(shù)的取值范圍【詳解】則由絕對值三角不等式得則由題意得解得故答案為：【點睛】本題考查函數(shù)不等式恒成立問題的求解考查絕對值三角不等式的應(yīng)用屬解析：【分析】利用絕對值三角不等式得出，根據(jù)題意得出，解不等式即可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】，則，由絕對值三角不等式得，則，由題意得，解得.故答案為：【點睛】.本題考查函數(shù)不等式恒成立問題的求解，考查絕對值三角不等式的應(yīng)用，屬于中等題.15．【分析】首先若滿足不等式恒成立即根據(jù)不等式利用含絕對值三角不等式求最小值最后解不等式求的取值范圍【詳解】當(dāng)時等號成立若滿足不等式對于任意實數(shù)x恒成立即即或解得：或故答案為：【點睛】本題考查了不等式恒解析：.【分析】首先若滿足不等式恒成立，即根據(jù)不等式，，利用含絕對值三角不等式求最小值，最后解不等式求的取值范圍.【詳解】，當(dāng)時，等號成立，，若滿足不等式即對于任意實數(shù)x恒成立，，即或，解得：或.故答案為：【點睛】本題考查了不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍，意在考查絕對值的意義和絕對值三角不等式求最值，屬于中檔題型，含有兩個絕對值的式子求最值時，參考公式.16．【解析】由題意可知原不等式無解由即填解析：【解析】由題意可知原不等式無解，由,即,填。17．【解析】當(dāng)且僅當(dāng)即x=1時上式等號成立由4?2a=解得a=解析：【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)，即x=1時，上式等號成立。由4?2a=,解得a=.18．【解析】分析：由已知中二次函數(shù)的圖象為開口向下的拋物線且對任意都有則函數(shù)的圖象是以為對稱軸開口方向朝下的拋物線再由向量結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)和向量數(shù)量積運算可以得到一個關(guān)于的不等式解不等式即可求出的取值解析：【解析】分析：由已知中二次函數(shù)的圖象為開口向下的拋物線，且對任意都有．則函數(shù)的圖象是以為對稱軸，開口方向朝下的拋物線，再由向量結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)和向量數(shù)量積運算，可以得到一個關(guān)于的不等式，解不等式即可求出的取值范圍．詳解：∵對任意都有．故函數(shù)的對稱軸為，若則，解得又由得故答案為點睛：本題考查的知識點是二次函數(shù)的性質(zhì)，絕對值不等式的解法，平面向量的數(shù)量積的運算，其中根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和向量數(shù)量積運算，將不等式解答本題的關(guān)鍵．轉(zhuǎn)化為一個關(guān)于的不等式，是19．①②④【分析】先根據(jù)絕對值不等式的性質(zhì)可得到c＜a+b＜﹣c進而可得到﹣b+c＜a＜﹣b﹣c即可驗證①②成立③不成立再結(jié)合|a+b|＜﹣c與|a+b|≥|a|﹣|b|可得到|a|﹣|b|＜﹣c即|a解析：①②④【分析】先根據(jù)絕對值不等式的性質(zhì)可得到c＜a+b＜﹣c，進而可得到﹣b+c＜a＜﹣b﹣c，即可驗證①②成立，③不成立，再結(jié)合|a+b|＜﹣c，與|a+b|≥|a|﹣|b|，可得到|a|﹣|b|＜﹣c即|a|＜|b|﹣c成立，進而可驗證④成立，⑤不成立，從而可確定答案．【詳解】∵|a＋b|＜－c，∴c＜a＋b＜－c.∴a＜－b－c，a＞－b＋c，①②成立且③不成立．∵|a|－|b|≤|a＋b|＜－c，∴|a|＜|b|－c，④成立且⑤不成立．【點睛】本題主要考查不等式的基本性質(zhì)．考查基礎(chǔ)知識的綜合運用．20．②③【分析】欲判斷函數(shù)是不是保三角形函數(shù)只需要任給三角形設(shè)它的三邊長分別為則不妨設(shè)判斷是否滿足任意兩數(shù)之和大于第三個數(shù)即任意兩邊之和大于第三邊即可【詳解】任給三角形設(shè)它的三邊長分別為則不妨設(shè)①可作為解析：②③【分析】欲判斷函數(shù)，不妨設(shè)是不是保三角形函數(shù)，只需要任給三角形，設(shè)它的三邊長分別為，則，，判斷是否滿足任意兩數(shù)之和大于第三個數(shù)，即任意兩邊之和大于第三邊即可【詳解】任給三角形，設(shè)它的三邊長分別為，則，不妨設(shè)，，①，可作為一個三角形的三邊長，但，則不存在三角形以為三邊長，故此函數(shù)不是保三角形函數(shù)②，，，則是保三角形函數(shù)③，，是保三角形函數(shù)，當(dāng)④，時，，故此函數(shù)不是保三角形函數(shù)綜上所述，為保三角形函數(shù)的是②③【點睛】要想判斷是保三角形函數(shù)，要經(jīng)過嚴(yán)密的論證說明滿足保三角形函數(shù)的概念，但要判斷不是保三角形函數(shù)，僅需要舉出一個反例即可三、解答題21．（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）分類討論去絕對值，將函數(shù)化為分段函數(shù)，再利用，即可求解；（2）利用作差法，證明，即可證明結(jié)論.【詳解】（1），所以等價于或或，，或或；（2）當(dāng)時，即，，.【點睛】本題考查絕對值不等式求解、不等式的證明，分類討論去絕對值是解題的關(guān)鍵，利用作差法證明不等式，屬于中檔題.22．（1）或；（2）或.【分析】（1）由，得函數(shù)，然后分和兩種情況討論求解.（2）當(dāng)時，，作出其圖象，根據(jù)在上的最大值為3，分，，得函數(shù)或，三種求解討論求解.【詳解】（1）由，當(dāng)時，不等式為，解得，此時，當(dāng)時，不等式為，，解得，此時綜上：不等式的解集是：或.（2）若，，作出其圖象如圖所示：由圖象知，令，解得，當(dāng)，即時，，解得，此時無解；當(dāng)，，即時，，解得（舍去）；當(dāng)，即時，，解得；綜上：正實數(shù)的值是或【點睛】.關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是將函數(shù)轉(zhuǎn)化為，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，由時，，得到時，的x的值,23．（1）或；（2）.【分析】（1）分、、三種情況解不等式，綜合可得出不等式的解集；（2）利用絕對值三角不等式以及基本不等式求得可解得實數(shù)的取值范圍.的最小值，可得出關(guān)于實數(shù)的不等式，由此【詳解】（1）當(dāng)時，不等式時，不等式可化為時，不等式可化為時，不等式可化為為.當(dāng)當(dāng)當(dāng)，解得，此時；，即，不成立；，解得，此時.綜上所述，不等式的解集為或；（2），而，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.即當(dāng)和變化時，因為不等式的最小值為，對任意實數(shù)及恒成立，，即，解得.因此，實數(shù)的取值范圍是【點睛】.本題考查含絕對值不等式的求解，同時也考查了含絕對值不等式恒成立求參數(shù)的取值范