精選生物統(tǒng)計(jì)學(xué)方差分析講義

（優(yōu)選）生物統(tǒng)計(jì)學(xué)方差分析第一頁，共一百六十六頁?；靖拍罘讲罘治觯悍讲罘治鍪菍?duì)兩個(gè)或兩個(gè)以上樣本平均數(shù)差異顯著性檢驗(yàn)的方法。

例：為研究某種生物材料的生物學(xué)性能，將材料分成三組，分別與成骨細(xì)胞共培養(yǎng)1,7,11天后測試細(xì)胞活性。為避免誤差，每組測試5個(gè)樣品，試判斷材料的生物學(xué)性能。第二頁，共一百六十六頁?；靖拍畹谌?，共一百六十六頁。兩個(gè)樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)比較1、當(dāng)總體方差和已知，或總體方差和未知，但兩樣本均為大樣本u

檢驗(yàn)2、當(dāng)總體方差和未知，且兩樣本均為小樣本t

檢驗(yàn)第四頁，共一百六十六頁。例：生產(chǎn)某種紡織品，要求棉花纖維長度平均在30mm以上?，F(xiàn)有一棉花品種，以n＝400進(jìn)行抽樣，測得纖維平均長度為30.2mm,標(biāo)準(zhǔn)差為2.5mm，問該棉花品種的纖維長度是否合格？分析：1）已知,u檢驗(yàn)

2）由于只能大于30mm才能合格，故單尾檢驗(yàn)解：（1）假設(shè)，即該棉花品種纖維長度不能達(dá)到紡織品生產(chǎn)要求含量。對(duì)

（2）選取顯著水平（3）檢驗(yàn)計(jì)算（4）推斷u<u0.05=1.64,P>0.05,顯著水平上接受H0，拒絕HA。即認(rèn)為該棉花品種纖維長度不符合紡織品種生產(chǎn)要求第五頁，共一百六十六頁。

例為了探討不同窩的動(dòng)物的出生重是否存在差異，隨機(jī)選取4窩動(dòng)物，每窩中均有4只幼仔，結(jié)果如下：表4窩動(dòng)物的出生重（克）動(dòng)物號(hào)窩別ⅠⅡⅢⅣ1234和34.733.326.231.6125.833.226.028.632.3120.127.123.327.826.7104.932.931.425.728.0118.0平均數(shù)31.45030.02526.22529.500

通過對(duì)以上數(shù)據(jù)的分析，判斷不同窩別動(dòng)物出生重是否存在差異。第六頁，共一百六十六頁。方差分析的意義k個(gè)樣本均數(shù)的比較：

如果仍用t檢驗(yàn)或u檢驗(yàn)，需比較次數(shù)為：

例如4個(gè)樣本均數(shù)需比較次數(shù)為6次。假設(shè)每次比較所確定的檢驗(yàn)水準(zhǔn)為0.05，則每次檢驗(yàn)拒絕H0不犯第一類錯(cuò)誤的概率為1-0.05=0.95；那么6次檢驗(yàn)都不犯第一類錯(cuò)誤的概率為(1-0.05)6=0.7351，而犯第一類錯(cuò)誤的概率為0.2649第七頁，共一百六十六頁。方差分析的意義k個(gè)樣本均數(shù)的比較：

如果仍用t檢驗(yàn)或u檢驗(yàn)，有以下問題：

1、檢驗(yàn)過程繁瑣

2、無統(tǒng)一的試驗(yàn)誤差，誤差估計(jì)的精確性和檢驗(yàn)的靈敏性低

3、推斷的可靠性降低，犯第1類錯(cuò)誤的概率增加第八頁，共一百六十六頁。方差分析:是一類特定情況下的統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)，或者說是平均數(shù)差異顯著性檢驗(yàn)的一種引伸。u檢驗(yàn)和t

檢驗(yàn)可以判斷兩組數(shù)據(jù)平均數(shù)的差異的顯著性，

而方差分析則可以同時(shí)判斷多組數(shù)據(jù)平均數(shù)之間的差異的顯著性。當(dāng)然，在多組數(shù)據(jù)的平均數(shù)之間做比較時(shí)，可以在平均數(shù)的所有對(duì)之間做

t檢驗(yàn)。但這樣做會(huì)提高犯Ⅰ型錯(cuò)誤的概率，因而是不可取的。

第九頁，共一百六十六頁。

方差分析由英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家首創(chuàng)，為紀(jì)念Fisher，以F命名，故方差分析又稱F檢驗(yàn)（F-test）。用于推斷多個(gè)總體均數(shù)有無差異第十頁，共一百六十六頁。方差分析的定義

方差分析是對(duì)兩個(gè)或多個(gè)樣本平均數(shù)差異顯著性檢驗(yàn)的方法。它是將測量數(shù)據(jù)的總變異按照變異來源分解為處理效應(yīng)和試驗(yàn)誤差，并做出其數(shù)量估計(jì)。

它將所有處理的觀測值作為一個(gè)整體，一次比較就對(duì)多有各組間樣本平均數(shù)是否有差異做出判斷。如果差異不顯著，則認(rèn)為它們都是相同的；如果差異顯著，再進(jìn)一步比較是哪組數(shù)據(jù)與其它數(shù)據(jù)不同。第十一頁，共一百六十六頁。方差分析的意義方差分析基本思想：1、把k個(gè)總體當(dāng)作一個(gè)整體看待2、把觀察值的總變異的平方和及自由度分解為不同來源的平方和及自由度3、計(jì)算不同方差估計(jì)值的比值4、檢驗(yàn)各樣本所屬的平均數(shù)是否相等實(shí)際上是觀察值變異原因的數(shù)量分析

第十二頁，共一百六十六頁。方差分析的應(yīng)用條件和用途方差分析應(yīng)用條件：

1、各樣本須是相互獨(dú)立的隨機(jī)樣本

2、各樣本來自正態(tài)分布總體

3、各總體方差相等，即方差齊方差分析基本用途：

1、多個(gè)樣本平均數(shù)的比較

2、多個(gè)因素間的交互作用

3、回歸方程的假設(shè)檢驗(yàn)

4、方差的同質(zhì)性檢驗(yàn)第十三頁，共一百六十六頁。第一節(jié)方差分析的基本原理第十四頁，共一百六十六頁。試驗(yàn)指標(biāo)(Experimentalindex)：試驗(yàn)測定的項(xiàng)目或者性狀。日增重、產(chǎn)仔數(shù)、瘦肉率試驗(yàn)因素(Experimentalfactor)：影響試驗(yàn)指標(biāo)的因素，也稱：處理因素，簡稱因素或因子。

1、可控因素（固定因素）：人為可控

2、非控因素（隨機(jī)因素）：不能人為控制試驗(yàn)因素的表示：大寫字母A,B,C,…等來表示一、相關(guān)術(shù)語第十五頁，共一百六十六頁。因素水平(Leveloffactor)：試驗(yàn)因素所處的特定狀態(tài)或者數(shù)量等級(jí)。簡稱水平水平的表示方法：用代表該因素的字母添加下標(biāo)表示，如A1，A2，B1，B2…試驗(yàn)處理(Treatment)：實(shí)施在試驗(yàn)單位上的具體項(xiàng)目,簡稱處理。單因素：試驗(yàn)因素的一個(gè)水平多因素：試驗(yàn)因素的一個(gè)水平組合一、相關(guān)術(shù)語第十六頁，共一百六十六頁。試驗(yàn)單位(Experimentalunit)：試驗(yàn)載體，即根據(jù)研究目的而確定的觀測總體重復(fù)(Repetition)：一個(gè)處理實(shí)施在兩個(gè)或者兩個(gè)以上的試驗(yàn)單位上，稱為處理有重復(fù)。試驗(yàn)單位數(shù)稱為處理的重復(fù)數(shù)一、相關(guān)術(shù)語第十七頁，共一百六十六頁。

方差分析是關(guān)于k(k≥3)個(gè)樣本平均數(shù)的假設(shè)測驗(yàn)方法，是將總變異按照來源分為處理效應(yīng)和試驗(yàn)誤差，并做出其數(shù)量估計(jì)。發(fā)現(xiàn)各變異原因在總變異中相對(duì)重要程度的一種統(tǒng)計(jì)分析方法。

二、方差分析的基本原理第十八頁，共一百六十六頁。

總變異分解為組間變異和組內(nèi)變異。組內(nèi)變異是個(gè)體差異所致，是抽樣誤差。組間變異可能由兩種原因所致，一是抽樣誤差；二是處理不同。在抽樣研究中抽樣誤差是不可避免的，故導(dǎo)致組間變異的第一種原因肯定存在；第二種原因是否存在，需通過假設(shè)檢驗(yàn)作出推斷二、方差分析的基本原理第十九頁，共一百六十六頁。三、數(shù)學(xué)模型處理A1A2…Ai…Ak

重復(fù)x11x21…xi1…xk1x12x22…xi2…xk2

…x1jx2j

…xij

…xkj

…x1nx2n…xin…xkn總和Ti.T1.T2.…Ti.…Tk.平均

……每組具有n個(gè)觀測值的k組樣本數(shù)據(jù)資料第二十頁，共一百六十六頁。

例2.1調(diào)查了5個(gè)不同小麥品系的株高，結(jié)果列于表2－1。在這個(gè)例子中，只出現(xiàn)“品系”這樣一個(gè)因素(factor)，故稱單因素。共有5個(gè)不同的品系，我們稱品系這一因素共有5個(gè)水平(level)。5個(gè)品系可以認(rèn)為是5個(gè)總體，表2－1的數(shù)據(jù)是從5個(gè)總體中抽出的5個(gè)樣本，通過比較這5個(gè)樣本，判斷這5個(gè)總體是否存在差異。表2－15個(gè)小麥品系株高調(diào)查結(jié)果株號(hào)株高ⅠⅡⅢⅣⅤ12345和64.665.364.866.065.8326.564.565.364.663.763.9322.076.866.367.166.868.5336.571.872.170.069.171.0354.069.268.269.868.367.5343.0平均數(shù)65.364.467.370.868.6第二十一頁，共一百六十六頁。

例2.2為了探討不同窩的動(dòng)物的出生重是否存在差異，隨機(jī)選取4窩動(dòng)物，每窩中均有4只幼仔，結(jié)果如下：表2－24窩動(dòng)物的出生重（克）動(dòng)物號(hào)窩別ⅠⅡⅢⅣ1234和34.733.326.231.6125.833.226.028.632.3120.127.123.327.826.7104.932.931.425.728.0118.0平均數(shù)31.45030.02526.22529.500通過對(duì)以上數(shù)據(jù)的分析，判斷不同窩別動(dòng)物出生重是否存在差異。第二十二頁，共一百六十六頁。以上兩個(gè)例子的共同點(diǎn)是：每個(gè)實(shí)驗(yàn)都只有一個(gè)因素，該因素有a個(gè)水平或稱為有a個(gè)處理(treatment)，這樣的實(shí)驗(yàn)稱為單因素實(shí)驗(yàn)。從單因素實(shí)驗(yàn)的每一處理所得到的結(jié)果都是一隨機(jī)變量Xi。對(duì)于a個(gè)處理，各重復(fù)n次（或者說做n次觀察）的單因素方差分析的一般化表示方法見表2－3。表2－3單因素方差分析的典型數(shù)據(jù)X1X2X3……Xi……Xa

123：j∶nx11

x12x13：x1j：x1nx21

x22x23：x2j：x2nx31xi1xa1x32xi2xa2x33xi3xa3：：：x3jxijxaj：：：x3nxinxan平均數(shù)x1·x2·x3·xi·xa·第二十三頁，共一百六十六頁。每一個(gè)觀察值可以通過如下常用的所謂線性統(tǒng)計(jì)模型(linearstatisticalmodel)描述：其中：xij是在第i

水平（處理）下的第

j

次觀察值。μ是對(duì)所有觀察值的一個(gè)參量，稱為總平均數(shù)(overallmean)。αi是僅限于對(duì)第

i

次處理的一個(gè)參量，稱為第i次處理效應(yīng)(treatmenteffect)。方差分析的目的，就是要檢驗(yàn)處理效應(yīng)的大小或有無。eij是隨機(jī)誤差成份。第二十四頁，共一百六十六頁。上述模型中，包括兩類不同的處理效應(yīng)。第一類處理效應(yīng)稱為固定效應(yīng)(fixedeffect)，它是由固定因素(fixedfactor)所引起的效應(yīng)。若因素的a個(gè)水平是經(jīng)過特意選擇的，則該因素稱為固定因素。例如，幾個(gè)不同的實(shí)驗(yàn)溫度，幾個(gè)不同的化學(xué)藥物或一種藥物的幾種不同濃度，幾個(gè)作物品種以及幾個(gè)不同的治療方案和治療效果等。第二十五頁，共一百六十六頁。在這些情況中，因素的水平是特意選擇的，所檢驗(yàn)的是關(guān)于ai的假設(shè)，得到的結(jié)論只適合與方差分析中所考慮的那幾個(gè)水平，并不能將其結(jié)論擴(kuò)展到未加考慮的其它類似水平上。所以上述的那些因素：溫度、藥物、品種等，稱為固定因素。處理這樣的因素所用的模型稱為固定效應(yīng)模型（fixedeffectmodel）。例2.1中的5個(gè)小麥品系是特意選擇的，目的是從這5個(gè)品系中，選出最優(yōu)者，因而“品系”這個(gè)因素屬于固定因素，所用的模型是固定效應(yīng)模型。第二十六頁，共一百六十六頁。第二類處理效應(yīng)稱為隨機(jī)效應(yīng)（ran-domeffect），它是由隨機(jī)因素（randomfactor）所引起的效應(yīng)。若因素的a個(gè)水平，是從該因素全部水平的總體中隨機(jī)抽出的樣本，則該因素稱為隨機(jī)因素。從隨機(jī)因素的a個(gè)水平所得到的結(jié)論，可以推廣到這個(gè)因素的所有水平上。處理隨機(jī)因素所用的模型稱為隨機(jī)效應(yīng)模型（randomeffectmo-del）。例2.2的動(dòng)物窩別，是從動(dòng)物所有可能的窩別中隨機(jī)選出來的，實(shí)驗(yàn)的目的是考查在窩別之間，出生重是否存在差異，因而“窩別”是隨機(jī)因素。

第二十七頁，共一百六十六頁。有時(shí)固定因素和隨機(jī)因素很難區(qū)分，除上述所講的原則外，還可以從另一角度鑒別。固定因素是指因素水平，可以嚴(yán)格地人為控制。在水平固定之后，它的效應(yīng)值也是固定的。例如，研究三種溫度對(duì)胰蛋白酶水解產(chǎn)物的影響。因?yàn)闇囟人绞强梢試?yán)格控制的，即每一溫度水平，在各個(gè)重復(fù)之間都可以準(zhǔn)確地控制在一個(gè)固定值上，所以在重復(fù)該實(shí)驗(yàn)時(shí)，水解產(chǎn)物的產(chǎn)量也是固定的。簡單地說，在水平（不同溫度）固定以后，其效應(yīng)值（產(chǎn)量）也是固定的。因此，溫度是固定因素。

第二十八頁，共一百六十六頁。

隨機(jī)因素的水平是不能嚴(yán)格地人為控制的，在水平確定之后，它的效應(yīng)值并不固定。例如，在研究不同農(nóng)家肥施用量對(duì)作物產(chǎn)量的影響試驗(yàn)中，農(nóng)家肥是因素，不同施用量是該因素的不同水平，作物的產(chǎn)量是它的效應(yīng)值。由于農(nóng)家肥的有效成份很復(fù)雜，不能像控制溫度那樣，將農(nóng)家肥的有效成份嚴(yán)格地控制在某一個(gè)固定值上。在重復(fù)試驗(yàn)時(shí)即使施以相同數(shù)量的肥料，也得不到一個(gè)固定的效應(yīng)值。即在因素的水平（施肥量）固定之后，它的效應(yīng)值（產(chǎn)量）并不固定，因而農(nóng)家肥是一隨機(jī)因素。

第二十九頁，共一百六十六頁。三、數(shù)學(xué)模型第三十頁，共一百六十六頁。三、數(shù)學(xué)模型第三十一頁，共一百六十六頁。三、數(shù)學(xué)模型第三十二頁，共一百六十六頁。四、平方和與自由度的分解全部觀測值的總變異可以用總體方差來度量。

方差即均方是離均差平方和除以自由度。把一個(gè)實(shí)驗(yàn)資料的總變異按變異來源分解為相應(yīng)的變異，首先要將總平方和與總自由度分解為各個(gè)變異來源的相應(yīng)部分。則考察總方差可以考察處理間方差和處理內(nèi)的方差第三十三頁，共一百六十六頁。四、平方和與自由度的分解平方和的分解：總平方和=處理間平方和＋處理內(nèi)平方和第三十四頁，共一百六十六頁。四、平方和與自由度的分解自由度的分解：總自由度=處理間自由度＋處理內(nèi)自由度第三十五頁，共一百六十六頁。四、平方和與自由度的分解計(jì)算方差：第三十六頁，共一百六十六頁。五、統(tǒng)計(jì)假設(shè)的顯著性檢驗(yàn)

——F檢驗(yàn)F檢驗(yàn)的目的：推斷處理間的差異是否存在第三十七頁，共一百六十六頁。五、統(tǒng)計(jì)假設(shè)的顯著性檢驗(yàn)

——F檢驗(yàn)注意：方差分析中的F檢驗(yàn)總是單尾檢驗(yàn),而且為右尾檢驗(yàn)第三十八頁，共一百六十六頁。

F越大，越說明組間方差是主要方差來源，因子影響越顯著；F越小，越說明隨機(jī)方差是主要的方差來源，因子的影響越不顯著五、統(tǒng)計(jì)假設(shè)的顯著性檢驗(yàn)

——F檢驗(yàn)第三十九頁，共一百六十六頁。

eg.某水產(chǎn)研究所為了比較四種不同配合飼料對(duì)魚的飼喂效果，選取了條件基本相同的魚20尾，隨機(jī)分成4組，投喂不同飼料，經(jīng)1個(gè)月以后，各組魚的增重（g）資料如下表，試進(jìn)行方差分析飼料重復(fù)A1A2A3A413192482212702279257236308331826827329042842792492455359262258286

分析：1個(gè)因素，4個(gè)水平，5個(gè)重復(fù)的方差分析第四十頁，共一百六十六頁。

解：第四十一頁，共一百六十六頁。第四十二頁，共一百六十六頁。不同飼料飼喂魚增重的方差分析表第四十三頁，共一百六十六頁。二、固定效應(yīng)模型在固定效應(yīng)模型中，ai是處理平均數(shù)與總平均數(shù)的離差，且是個(gè)常量，因而

要檢驗(yàn)a個(gè)處理效應(yīng)的相等性，就要ai判斷各是否等于0。若各ai都等于0，則各處理效應(yīng)之間無差異。因此，零假設(shè)為：備擇假設(shè)為：HA：ai≠0（至少有1個(gè)i）。若接受H0，則不存在處理效應(yīng)，每個(gè)觀察值都是由平均數(shù)加上隨機(jī)誤差所構(gòu)成。若拒絕H0，則存在處理效應(yīng)，每個(gè)觀察值是由總平均數(shù)、處理效應(yīng)和誤差三部分構(gòu)成。第四十四頁，共一百六十六頁。

例2.1調(diào)查了5個(gè)不同小麥品系的株高，結(jié)果列于表2－1。在這個(gè)例子中，只出現(xiàn)“品系”這樣一個(gè)因素(factor)，故稱單因素。共有5個(gè)不同的品系，我們稱品系這一因素共有5個(gè)水平(level)。5個(gè)品系可以認(rèn)為是5個(gè)總體，表2－4的數(shù)據(jù)是從5個(gè)總體中抽出的5個(gè)樣本，通過比較這5個(gè)樣本，判斷這5個(gè)總體是否存在差異。表2－15個(gè)小麥品系株高調(diào)查結(jié)果株號(hào)株高ⅠⅡⅢⅣⅤ12345和64.665.364.866.065.8326.564.565.364.663.763.9322.076.866.367.166.868.5336.571.872.170.069.171.0354.069.268.269.868.367.5343.0平均數(shù)65.364.467.370.868.6第四十五頁，共一百六十六頁。解：在方差分析中，為了簡化計(jì)算可以用編碼法。方差分析的編碼，必須將全部數(shù)據(jù)均減去同一個(gè)共同的數(shù)。在例2.1中，每一個(gè)xij都減去65，列成下表，株號(hào)品系ⅠⅡⅢⅣⅤ12345―0.40.3―0.21.00.8－0.50.3―0.4－1.3－1.12.81.32.11.83.56.87.15.04.16.04.23.24.83.32.5總和xi·x2i·∑x２ij1.52.251.93－3.09.003.411.5132.2529.4329.0841.0174.4618.0324.068.06571308.50277.28第四十六頁，共一百六十六頁。先計(jì)算校正項(xiàng)C再計(jì)算第四十七頁，共一百六十六頁。將以上結(jié)果列成方差分析表(見表2－5)：表2－5

不同小麥品系株高方差分析表

變差來源平方和自由度均方

F品系間誤差131.7415.5842032.720.7841.95**總和147.3224**a＝0.01當(dāng)分子自由度為4，分母自由度為20時(shí)，F(xiàn)4，20，0.05＝2.87，F(xiàn)4，20，0.01＝4.43，F(xiàn)＞F0.01。因此，不同小麥品系的株高差異極顯著。習(xí)慣上用“*”表示在α＝0.05水平上差異顯著，用“**”表示在α＝0.01水平上差異顯著，常常稱為差異“極顯著”（highlysignificant）。第四十八頁，共一百六十六頁。三、隨機(jī)效應(yīng)模型在實(shí)驗(yàn)中，經(jīng)?；赜龅侥硞€(gè)因素有許多可能的水平，若參加實(shí)驗(yàn)的a個(gè)水平，是從該因素的水平總體中隨機(jī)選出的，那么這一因素稱為隨機(jī)因素。其方差分析是通過隨機(jī)選取的a個(gè)水平對(duì)該因素的水平總體做推斷。要求水平的總體是無暇總體，即使不是無限總體，也應(yīng)相當(dāng)大，以至于可以認(rèn)為是無限總體。例2.2中動(dòng)物的“窩”是隨機(jī)因素，每一窩是一個(gè)水平，這種動(dòng)物所有的窩構(gòu)成一水平總體。從該總體中隨機(jī)選擇4個(gè)水平（4窩）做實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)的目的是希望由這4窩動(dòng)物去推斷該種動(dòng)物所有不同的窩別之間幼仔出生重是否存在差異。第四十九頁，共一百六十六頁。固定效應(yīng)模型中∑ai＝0的假設(shè)在這里不再適用。在隨機(jī)模型中，對(duì)單個(gè)處理效應(yīng)的檢驗(yàn)是無意義的，所要檢驗(yàn)的是關(guān)于ai的變異性的假設(shè)，因而，

H0：sa2＝0

HA：sa2＞0如果接受H0：sa2＝0，則表示處理之間沒有差異；若拒絕H0而接受HA：sa2＞0，則表示處理之間存在差異，方差分析的做法仍然是將總平方和分解，

第五十頁，共一百六十六頁。自由度做同樣分解,由此可得出MSt和MSe。然后用F單側(cè)檢驗(yàn)（具dft，dfe

自由度），方差分析的程序與固定效應(yīng)模型的方差分析程序完全一樣，但是結(jié)論不同。隨機(jī)效應(yīng)模型適用于全部水平的總體，而固定效應(yīng)模型只適用于所選水平的總體。下面計(jì)算例2.2，并對(duì)結(jié)果加以解釋。第五十一頁，共一百六十六頁。例2.2為了探討不同窩的動(dòng)物的出生重是否存在差異，隨機(jī)選取4窩動(dòng)物，每窩中均有4只幼仔，結(jié)果如下：表2－24窩動(dòng)物的出生重（克）動(dòng)物號(hào)窩別ⅠⅡⅢⅣ1234和34.733.326.231.6125.833.226.028.632.3120.127.123.327.826.7104.932.931.425.728.0118.0平均數(shù)31.45030.02526.22529.500第五十二頁，共一百六十六頁。4.73.2－2.92.93.3－4.0－6.71.4－3.8－1.4－2.2－4.31.62.3－3.3－2.0總和

c

i·5.800.10－15.10－2.00

c

2i·

33.640.01228.014.00

∑c2ij

49.9833.4969.0332.86－11.20265.66185.36解：將表2－2中的每一個(gè)數(shù)值都減去30，列成下表，

第五十三頁，共一百六十六頁。第五十四頁，共一百六十六頁。將上述結(jié)果列成方差分析表：表2－6動(dòng)物出生重方差分析變差來源平方和自由度均方F窩別誤差58.575118.94531219.5259.9121.97總和177.5215查表得知，F(xiàn)3，12，0.05＝3.49，因F＜F0.05，所以差異不顯著。通過對(duì)4窩動(dòng)物出生重的調(diào)查，可以推斷不同窩別動(dòng)物的出生重沒有顯著差異。第五十五頁，共一百六十六頁。Excel方差分析Office的默認(rèn)安裝中沒有“數(shù)據(jù)分析”要指定才會(huì)安裝。一旦安裝，“工具”菜單下出現(xiàn)“數(shù)據(jù)分析”條，可以用它來方便的做方差分析等統(tǒng)計(jì)推斷分析?？赏ㄟ^運(yùn)行Analysis中的模板文件

ANALYS32.XLL調(diào)入此宏第五十六頁，共一百六十六頁。加載數(shù)據(jù)分析如“工具”菜單下沒有“數(shù)據(jù)分析”單擊“加載宏”第五十七頁，共一百六十六頁。Excel解方差分析選一批單元格輸入原始數(shù)據(jù);第五十八頁，共一百六十六頁。Excel解方差分析選“工具”→“數(shù)據(jù)分析”;第五十九頁，共一百六十六頁。Excel解方差分析選“工具”→“數(shù)據(jù)分析”→“單因素方差分析”第六十頁，共一百六十六頁。Excel解方差分析“單因素方差分析”對(duì)話框中：

輸入?yún)^(qū)域，分組方式，輸出選項(xiàng)第六十一頁，共一百六十六頁。Excel解方差分析“單因素方差分析”對(duì)話框中：填入信息后單擊“確定”按鈕第六十二頁，共一百六十六頁。Excel解方差分析分析結(jié)果第六十三頁，共一百六十六頁。Excel解方差分析方差分析結(jié)果表中各項(xiàng)目的含義SS平方和df自由度MS均方F及FcritF值及F臨界值，F(xiàn)crit=FINV(a,df1,df2)P-valueF分布概率P-value=FDIST(F,df1,df2)第六十四頁，共一百六十六頁。

F檢驗(yàn)如果否定了H0，接受了HA，表明試驗(yàn)的總變異主要來源于處理間的變異六、多重比較

多重比較：假設(shè)對(duì)一個(gè)固定效應(yīng)模型經(jīng)過方差分析之后，結(jié)論是拒絕H0，處理之間存在差異。但這并不說在每對(duì)處理之間多存在差異。為了弄清究竟在哪些對(duì)之間存在顯著差異，哪些對(duì)之間無顯著差異，必須在個(gè)處理平均數(shù)之間一對(duì)一對(duì)地做比較，這就是多重比較。即：多個(gè)平均數(shù)的相互比較第六十五頁，共一百六十六頁。六、多重比較

常用的：

1、最小顯著差數(shù)法（LSD法）

2、最小顯著極差法（LSR法）

—新復(fù)極差檢驗(yàn)（SSR法）

—q檢驗(yàn)LSD稱為最小顯著差數(shù)（leastsignificantdifference）它的計(jì)算方法簡述如下：第六十六頁，共一百六十六頁。對(duì)于任意兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，差數(shù)（x1－x2）的差異顯著性檢驗(yàn)，可以用成組數(shù)據(jù)t檢驗(yàn)，當(dāng)n1＝n2時(shí)最小顯著差數(shù)法（LSD法）樣本平均數(shù)的差數(shù)樣本平均數(shù)差數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤第六十七頁，共一百六十六頁。其中MSe為誤差方差，即處理內(nèi)方差，n為每一處理的觀察次數(shù)，于是具k(n－1)自由度，當(dāng)t＞t0.05時(shí)差異顯著，當(dāng)t＞t0.01時(shí)差異極顯著。因此，當(dāng)差異顯著時(shí)最小顯著差數(shù)法（LSD法）第六十八頁，共一百六十六頁。并可得到，當(dāng)時(shí)差異顯著。t0.05√2MSe／n

稱為最小顯著差數(shù)，記為LSD。每一對(duì)平均數(shù)的差與LSD比較，當(dāng)│x1－x2│＞LSD時(shí)，差異顯著；否則差異不顯著。LSD是一種很有用的檢驗(yàn)方法，計(jì)算起來很方便，也容易比較。但是它有難以克服的缺點(diǎn)，即這種比較方法將會(huì)加大Ⅰ型錯(cuò)誤的概率。最小顯著差數(shù)法（LSD法）第六十九頁，共一百六十六頁。LSD法的步驟：最小顯著差數(shù)法（LSD法）1、計(jì)算平均數(shù)差數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤2、由t逆函數(shù)(TINV)和平均數(shù)差數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤計(jì)算出達(dá)到差異顯著的最小差數(shù)，記為LSD3、將全部平均數(shù)從大到小依次排列，并比較若即為在給定的水平上差異顯著，反之亦然第七十頁，共一百六十六頁。說明實(shí)質(zhì)上是t

檢驗(yàn)，但統(tǒng)一了標(biāo)準(zhǔn)誤簡單、靈敏（降低了檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)、夸大了差異的顯著性）I類錯(cuò)誤概率增大,控制單次比較的I類錯(cuò)誤時(shí)應(yīng)用無法控制所有比較的總體I類錯(cuò)誤最小顯著差數(shù)法（LSD法）第七十一頁，共一百六十六頁。2、求解達(dá)到差異顯著的最小差數(shù)(LSD)臨界值：t0.05(16)=2.120,t0.01(16)=2.921

LSD0.05(16)=2.120*14.622=31.0

LSD0.01(16)=2.921*14.622=42.73、將全部平均數(shù)從大到小依次排列，并比較第七十二頁，共一百六十六頁。excel數(shù)據(jù)的排序工具數(shù)據(jù)分析排序與百分比第七十三頁，共一百六十六頁。excel數(shù)據(jù)的排序第七十四頁，共一百六十六頁。處理平均數(shù)A1311.864.4**49.0**32.2*A4279.632.2*16.8nsA2262.815.4nsA3247.4四種飼料飼喂魚增重差異顯著性(LSD檢驗(yàn)，梯形法)4、分析結(jié)果：A1飼料對(duì)魚增重效果極顯著高于A3和A2，顯著高于A4；A4飼料對(duì)魚增重效果顯著高于A3；A4和A2，A2和A3飼料對(duì)魚增重效果沒有顯著差異第七十五頁，共一百六十六頁。四種飼料飼喂魚增重差異顯著性(LSD檢驗(yàn)，字母標(biāo)記法)處理平均數(shù)差異顯著性0.050.01A1A4A2A3311.8279.8262.8247.4(1)在最大的平均數(shù)上標(biāo)字母a——A1行標(biāo)注aa(2)將該平均數(shù)與以下各平均數(shù)相比，凡相差不顯著的(<LSD)都標(biāo)上字母a，直到某個(gè)與相差顯著的則標(biāo)字母b——(A1-A4)=311.8-279.8=32.0>LSD0.05,則A4標(biāo)bb(3)再以標(biāo)有b的平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，與各個(gè)比它大的平均數(shù)比較，凡差數(shù)差異不顯著的在字母的右邊加標(biāo)字母b，然后再以標(biāo)b的最大平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)與以下未標(biāo)字母的平均數(shù)相比，凡相差不顯著的都標(biāo)上字母b，直到某個(gè)與相差顯著的則標(biāo)字母c——往上：(A4-A1)是已經(jīng)比較了；往下(A4-A2)=17.0,標(biāo)b,(A4-A3)=32.4,標(biāo)cbc(4)以此重復(fù)，直到最小的平均數(shù)標(biāo)記字母——以A3為標(biāo)準(zhǔn)，往上：A3與A2相比無顯著差異，故在A2行b右邊標(biāo)注c，A3與A4已比較了cAABBB

總結(jié)：差異不顯著標(biāo)同一字母，差異顯著標(biāo)不同字母第七十六頁，共一百六十六頁。四種飼料飼喂魚增重差異顯著性(LSD檢驗(yàn)，字母標(biāo)記法)

判斷：凡有一個(gè)相同標(biāo)記字母的即為差異不顯著，凡具有不同標(biāo)記字母的即為差異顯著分析結(jié)果：A1飼料對(duì)魚增重效果極顯著高于A3和A2，顯著高于A4；A4飼料對(duì)魚增重效果顯著高于A3；A4和A2，A2和A3飼料對(duì)魚增重效果沒有顯著差異第七十七頁，共一百六十六頁。把平均數(shù)的差異看成是平均數(shù)的極差(range)根據(jù)極差范圍內(nèi)所包括的處理數(shù)（稱為秩次距）k的不同，而采用不同的檢驗(yàn)尺度叫做最小顯著極差LSR秩次距是指當(dāng)平均數(shù)由大到小排序后，相比較的兩個(gè)平均數(shù)之間（含這兩個(gè)平均數(shù)）包含的平均數(shù)個(gè)數(shù)I類錯(cuò)誤下降、工作量加大最小顯著極差法（LSR法）第七十八頁，共一百六十六頁。為了克服LSD法的缺點(diǎn)，Duncan（1955）提出了Duncan多范圍檢驗(yàn)（Duncanmultipletest）。檢驗(yàn)方法如下：首先，將需要比較的a個(gè)平均數(shù)依次排列好，使之并將每一對(duì)

x

之間的差（范圍）列成下表

aa－1…321x1－xa

x1－xa－1…x1－x3

x1－x22x2－xa

x2－xa－1…x2－x3

∶a－2xa－2－xa

xa－2－xa－1a－1xa－1－xa注：表中的x均為x

新復(fù)極差法第七十九頁，共一百六十六頁。Duncan檢驗(yàn)與LSD的一個(gè)明顯不同是Duncan檢驗(yàn)中，不同對(duì)平均數(shù)的差有不同的臨界值Rk

。其中第八十頁，共一百六十六頁。

ra＝ra（k，df）的值可以從附表“多重比較中的Duncan表”中查出：表的最左邊一列是誤差自由度df＝a（n－1），最上一列為k值，表體為ra

(k,df)。表中的

k

值是相比較的兩個(gè)平均數(shù)之間所包含的平均數(shù)的個(gè)數(shù)。如兩個(gè)要比較的平均數(shù)相鄰時(shí)k＝2，兩個(gè)要比較的平均數(shù)中間隔一個(gè)平均數(shù)時(shí)k＝3，依此類椎。因?yàn)槠骄鶖?shù)共有a個(gè)，所以需查出a一1個(gè)ra

，分別乘以S，得：第八十一頁，共一百六十六頁。先從表的第一行最左邊的一個(gè)差x1－xa開始比較。若x1－xa＞Ra，則x1與xa的差異顯著；否則差異不顯著，然后比較下一個(gè)。若x1－xa－1＞Ra一1，則x1與xa－1差異顯著，否則差異不顯著，···。第一行比較完之后用同樣的方法比較第二行。先從第二行最左邊的一個(gè)差x2－xa開始，在x2到xa這個(gè)范圍內(nèi)共包含a－1個(gè)平均數(shù)，因此x2－xa應(yīng)與Ra－1比較，若x2－xa＞Ra－1，則差異顯著，否則不顯著，···。第二行比較完再比較第三行，第四行，···。直到所有平均數(shù)的差均與其相應(yīng)的Rk比較完為止。對(duì)于顯著的標(biāo)上“*”，極顯著的標(biāo)上“**”。第八十二頁，共一百六十六頁。新復(fù)極差法此法是以統(tǒng)計(jì)量SSR的概率分布為基礎(chǔ)的。SSR值由下式求得第八十三頁，共一百六十六頁。SSR檢驗(yàn)步驟計(jì)算出平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤；由自由度dfe、秩次距M(所含平均數(shù)的個(gè)數(shù))查臨界SSR值（附表6），計(jì)算最小顯著極差LSR0.05,M，LSR0.01,M；將平均數(shù)多重比較表中的各極差與相應(yīng)的最小顯著極差LSR0.05,M,LSR0.01,M比較，作出統(tǒng)計(jì)推斷第八十四頁，共一百六十六頁。有關(guān)采用excel自定義函數(shù)來生成SSR值可參見文獻(xiàn)第八十五頁，共一百六十六頁。q檢驗(yàn)法此法是以統(tǒng)計(jì)量q的概率分布為基礎(chǔ)的。q值由下式求得q值分布表附表7其余與SSR檢驗(yàn)法一樣第八十六頁，共一百六十六頁。

例6.2:

測定東北、內(nèi)蒙古、河北、安徽、貴州5個(gè)地區(qū)黃鼬冬季針毛的長度(mm)，每個(gè)地區(qū)隨機(jī)抽取4個(gè)樣本，測定結(jié)果于下表，試比較各個(gè)地區(qū)黃鼬針毛長度的差異顯著性地區(qū)東北內(nèi)蒙古河北安徽貴州132.029.225.523.322.3232.827.426.125.122.5331.226.325.825.122.9430.426.726.725.523.7

分析：1個(gè)因素，5個(gè)水平，4個(gè)重復(fù)的方差分析第八十七頁，共一百六十六頁。

解：“excel”－“工具”—“數(shù)據(jù)分析”—“單因素方差分析”由分析結(jié)果知：P<0.01，說明5個(gè)地區(qū)黃鼬冬季針毛長度差異顯著第八十八頁，共一百六十六頁。q檢驗(yàn)1、計(jì)算平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤2、查附表7，當(dāng)dfe=15,M=2,q0.05=3.01,q0.01=4.17,則當(dāng)M=3,M=4,M=5時(shí)按同理計(jì)算，結(jié)果列表第八十九頁，共一百六十六頁。不同地區(qū)黃鼬冬季針毛長度的LSR值（q檢驗(yàn)）地區(qū)平均數(shù)差異顯著性0.050.01東北內(nèi)蒙古河北安徽貴州31.6027.4026.0324.7522.85abbcABBC3、不同地區(qū)黃鼬冬季針毛長度的差異顯著（q檢驗(yàn)）dCcCM2345q0.053.013.674.084.37q0.014.174.835.255.56LSR0.051.4001.7071.8972.032LSR0.011.9392.2462.4412.585第九十頁，共一百六十六頁。4、結(jié)果表明：東北與其他地區(qū)；內(nèi)蒙古和安徽、貴州黃鼬冬季針毛長度差異均達(dá)極顯著水平。河北和貴州，安徽和貴州差異達(dá)顯著水平。內(nèi)蒙古和河北，河北和安徽差異不顯著。

LSD檢驗(yàn)的分析結(jié)果：東北與其他地區(qū)；內(nèi)蒙古和安徽、貴州；以及河北和貴州黃鼬冬季針毛長度差異均達(dá)極顯著水平。安徽和貴州差異達(dá)顯著水平。內(nèi)蒙古和河北，河北和安徽差異不顯著。第九十一頁，共一百六十六頁。多重比較有多種方法，不同方法用途不同、比較的結(jié)果不同總結(jié)：多重比較尺度大?。篖SD法≤SSR法≤q檢驗(yàn)法

（原因：SSR和q檢驗(yàn)是針對(duì)不同秩次距的平均數(shù)極差采用不同的顯著尺度，充分考慮到同一總體抽樣時(shí)，平均數(shù)的極差將隨秩次距的增大而增大這一現(xiàn)象）對(duì)試驗(yàn)要求嚴(yán)格時(shí)，用q檢驗(yàn)法較為妥當(dāng)生物試驗(yàn)中，由于試驗(yàn)誤差較大，常采用新復(fù)極差法（SSR法）應(yīng)該注明利用的是何種多重比較方法第九十二頁，共一百六十六頁。1、多個(gè)實(shí)驗(yàn)組與一個(gè)對(duì)照組均數(shù)間兩兩比較

若目的是減小第II類錯(cuò)誤，最好選用最小顯著差法LSD

；若目的是減小第I類錯(cuò)誤，最好選用SSR法?？偨Y(jié)：多重比較2、多個(gè)樣本均數(shù)間兩兩比較

常用q檢驗(yàn)的方法第九十三頁，共一百六十六頁。第二節(jié)單因素方差分析第九十四頁，共一百六十六頁。單因素方差分析分析目的：判斷某試驗(yàn)因素各水平的相對(duì)效果分類：根據(jù)組內(nèi)觀測數(shù)目（重復(fù)數(shù)）是否相同1、組內(nèi)觀測次數(shù)相等的方差分析2、組內(nèi)觀測次數(shù)不等的方差分析第九十五頁，共一百六十六頁。各處理重復(fù)次數(shù)不等的方差分析Excel中對(duì)應(yīng)函數(shù)：求和：SUM（）求冪：POWER（x，power）求平方和：SUMSQ（）第九十六頁，共一百六十六頁。

例題6.3.用某種小麥種子進(jìn)行切胚乳試驗(yàn)，試驗(yàn)分為3種處理：整粒小麥（I），切去一半胚乳（II），切去全部胚乳（III），同期播種于條件比較一致的花盆內(nèi)，出苗后每盆選留2株，成熟后進(jìn)行單株考種，每株粒重（g）結(jié)果如下表，試進(jìn)行方差分析

分析：1個(gè)因素，10個(gè)水平，3個(gè)重復(fù)的方差分析第九十七頁，共一百六十六頁。

解：“excel”－“工具”—“數(shù)據(jù)分析”—“單因素方差分析”

結(jié)果分析：3種處理的單株粒重?zé)o顯著差異第九十八頁，共一百六十六頁。第三節(jié)二因素方差分析第九十九頁，共一百六十六頁。

兩因素試驗(yàn)資料的方差分析是指對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)同時(shí)受到兩個(gè)試驗(yàn)因素作用的試驗(yàn)資料的方差分析兩因素方差分析主效應(yīng)：各試驗(yàn)因素的相對(duì)獨(dú)立作用，簡稱主效或效應(yīng)互作：某一因素在另一因素的不同水平上所產(chǎn)生的效應(yīng)不同，則二因素間存在交互作用，簡稱互作?；プ餍?yīng)實(shí)際是由于兩個(gè)或多個(gè)試驗(yàn)因素的相互作用而產(chǎn)生的效應(yīng)第一百頁，共一百六十六頁?；プ鞣诸悾?/p>

1、正的交互作用

2、負(fù)的交互作用

3、無交互作用：即互作效應(yīng)為零。沒有交互作用的因素是相互獨(dú)立的因素，此時(shí)，不論在某個(gè)因素哪個(gè)水平，另一因素的效應(yīng)都是相等的互作效應(yīng)第一百零一頁，共一百六十六頁?；プ髋c主效應(yīng)的關(guān)系:

因素間的交互作用顯著與否關(guān)系到主效應(yīng)的利用價(jià)值

1、若交互作用不顯著：各因素的效應(yīng)可以累加，各因素的最優(yōu)水平組合起來，即為最優(yōu)的處理組合

2、若交互作用顯著：各因素的效應(yīng)就不能累加，最優(yōu)處理組合的選定應(yīng)根據(jù)各處理組合的直接表現(xiàn)選定

3、有時(shí)候交互作用相當(dāng)大，甚至可以忽略主效應(yīng)互作效應(yīng)第一百零二頁，共一百六十六頁。二因素方差分析分析目的：判斷對(duì)因素主效應(yīng)和交互作用分類：1、無重復(fù)觀測值的二因素方差分析2、具有重復(fù)觀測值的二因素方差分析前提條件：兩因素之間無交互作用第一百零三頁，共一百六十六頁。前提二因素?zé)o互作，每個(gè)處理可不設(shè)重復(fù)數(shù)據(jù)假定A因素有a個(gè)水平、B因素有b個(gè)水平，每個(gè)水平組合只有一個(gè)觀測值，全試驗(yàn)共有ab個(gè)觀測值無重復(fù)觀測值的二因素方差分析第一百零四頁，共一百六十六頁。因素A因素BB1B2…Bb和平均

A1x11x12…x1bT1.

A2x21x22…x2bT2.…………………

Aaxa1xa2…xabTa和T.1T.2…T.bT平均數(shù)…無重復(fù)觀測值的二因素?cái)?shù)據(jù)資料A因素每個(gè)水平看作b個(gè)重復(fù)

B因素每個(gè)水平看作a個(gè)重復(fù)第一百零五頁，共一百六十六頁。模型假定每個(gè)觀察值為一個(gè)從平均值等于

ij

的群體隨機(jī)、獨(dú)立的抽樣。共有ab

個(gè)樣本。處理效應(yīng)和區(qū)組效應(yīng)是加性的。處理和區(qū)組沒有互作數(shù)據(jù)的方差相等eij為隨機(jī)誤差，相互獨(dú)立，且服從N(0，2)第一百零六頁，共一百六十六頁。數(shù)學(xué)模型=總體平均ai=第i

個(gè)處理效應(yīng)，i.

–bj=第j個(gè)區(qū)組的效應(yīng)，.j

–eij=

隨機(jī)誤差項(xiàng)，xij

–

ij第一百零七頁，共一百六十六頁。方差剖分無重復(fù)觀測值二因素的試驗(yàn)A因素的每個(gè)水平有b次重復(fù)，B因素的每個(gè)水平有a次重復(fù)，每個(gè)觀測值同時(shí)受到A、B兩因素及隨機(jī)誤差的作用。因此全部ab個(gè)觀測值的總變異可以剖分為A因素水平間變異、B因素水平間變異及試驗(yàn)誤差三部分自由度也相應(yīng)剖分第一百零八頁，共一百六十六頁。平方和計(jì)算第一百零九頁，共一百六十六頁。各項(xiàng)方差計(jì)算第一百一十頁，共一百六十六頁。ANOVA表變異來源SSdfMSFc.v.A因素SSAa-1B因素SSBb-1誤差SSe(a-1)(b-1)和SSTab-1第一百一十一頁，共一百六十六頁。例題6.4:

將一種生長激素配成M1，M2，M3，M4，M5五種濃度，并用H1，H2，H3三種時(shí)間浸漬某大豆品種的種子，出苗45天后得到各處理每一植株的平均干物重(g),結(jié)果如下表，試作方差分析。

分析：2個(gè)因素，無重復(fù)的方差分析第一百一十二頁，共一百六十六頁。

解：“excel”－“工具”—“數(shù)據(jù)分析”—“無重復(fù)雙因素方差分析”第一百一十三頁，共一百六十六頁。

F檢驗(yàn)結(jié)果表明：激素處理濃度之間的F值大于F0.01，達(dá)到極顯著水平；激素處理時(shí)間之間的F值未達(dá)到顯著水平，說明不同激素濃度對(duì)大豆干物重有極顯著的影響。

多重比較（用SSR檢驗(yàn)）：激素處理濃度之間的效應(yīng)達(dá)到極顯著水平，而激素處理時(shí)間之間的F值未達(dá)到顯著水平，所以只對(duì)5種浸漬濃度進(jìn)行多重比較。第一百一十四頁，共一百六十六頁。

計(jì)算濃度之間的平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤：

查SSR值表（附表6），得到在dfe＝8時(shí)，不同秩次距下的SSR值和LSR值第一百一十五頁，共一百六十六頁。不同激素濃度大豆干物重多重比較的LSR值（SSR檢驗(yàn)）濃度平均數(shù)差異顯著性0.050.01M1M2M4M5M313.6712.339.673.673.00aabcAABCM2345SSR0.053.263.403.483.52SSR0.014.754.945.065.14LSR0.051.481.551.581.60LSR0.012.162.252.302.34不同激素濃度大豆干物重平均數(shù)的差異顯著（SSR檢驗(yàn)）cC第一百一十六頁，共一百六十六頁。

多重比較結(jié)果表明：

5種生長激素濃度度對(duì)大豆干物重有極顯著的影響。

M1與M2，M5與M3之間差異不顯著；除此之外，其他激素濃度之間的大豆干物重均達(dá)到極顯著差異。

5種激素濃度中，M1和M2的處理效果較好第一百一十七頁，共一百六十六頁。如果兩個(gè)因素存在互作將互作項(xiàng)和誤差項(xiàng)的平方和自由度分解有互作試驗(yàn)設(shè)計(jì)設(shè)重復(fù)有重復(fù)觀測值的二因素方差分析第一百一十八頁，共一百六十六頁。上面講過，因素可分作固定因素和隨機(jī)因素。在兩因素實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)兩個(gè)因素都是固定因素時(shí)，稱為固定模型（fixedmodel）；兩個(gè)因素均為隨機(jī)因素時(shí)，稱為隨機(jī)模型（randommodel）；一個(gè)因素是固定因素，另一個(gè)因素是隨機(jī)因素時(shí)，稱為混合模型（mixedmodel）。這三種模型雖然在計(jì)算方法上沒有多大不同，但在檢驗(yàn)以及對(duì)結(jié)果解釋上卻截然不同。尤其是在兩因素之間存在交互作用時(shí)，不同類型模型的區(qū)別就更明顯。第一百一十九頁，共一百六十六頁。

兩因素實(shí)驗(yàn)的典型設(shè)計(jì)是：假定A因素有a水平，B因素有b水平，則每一次重復(fù)都包括ab次實(shí)驗(yàn)，并設(shè)實(shí)驗(yàn)重復(fù)次數(shù)n次，χijk表示A因素的第i水平，B因素第j水平和第k次重復(fù)的觀察值。數(shù)據(jù)將以下表的形式出現(xiàn)。表2-7中A和B可以是固定因素，也可以是隨機(jī)因素，因而引出三種不同的統(tǒng)計(jì)模型。第一百二十頁，共一百六十六頁。表2－7兩因素交互分組實(shí)驗(yàn)的一般格式因素Bj＝1，2，…，b總計(jì)B1B2…Bb因素Ai∥1，2，∶，aA1Χ111Χ112∶Χ11nΧ121Χ122∶Χ12n…Χ1b1Χ1b2∶Χ1bnΧ1··A2Χ211Χ212∶Χ21nΧ221Χ222∶Χ22n…Χ2b1Χ2b2∶Χ2bnΧ2··∶∶∶…∶∶AaΧa11Χa12∶Χa1nΧa21Χa22∶Χa2n…Χab1Χab2∶ΧabnΧa··總計(jì)Χ·1·Χ·2·…Χ·b·Χ1··第一百二十一頁，共一百六十六頁。表2－7中的各種符號(hào)做如下說明：ci··表示A因素第i水平的所有觀察值的和；c·j·表示B因素第j水平的所有觀察值的和；cij·表示A的第i水平和B的第j水平的所有觀察值的和；c···表示所有觀察值的綜合。第一百二十二頁，共一百六十六頁。數(shù)學(xué)模型第一百二十三頁，共一百六十六頁。平方和的計(jì)算第一百二十四頁，共一百六十六頁。自由度計(jì)算第一百二十五頁，共一百六十六頁。各項(xiàng)方差計(jì)算第一百二十六頁，共一百六十六頁。F檢驗(yàn)第一百二十七頁，共一百六十六頁。固定模型第一百二十八頁，共一百六十六頁。兩因素固定模型方差分析表如下：表2－8固定模型方差分析表（因素A、B固定型）變差來源平方和自由度均方

F因素A因素B交互作用AB誤差SSASSBSSAB

SSe

ａ－1ｂ－1(a-1)(b-1)ab(n-1)

MSA

MSB

MSAB

MSe

MSA／MSeMSB／MSeMSAB／MSe總和

SSTabn-1第一百二十九頁，共一百六十六頁。

例2.3為了從三種不同原料和三種不同發(fā)酵溫度中，選出最適的條件，設(shè)計(jì)了一個(gè)兩因素試驗(yàn)。并得到以下結(jié)果（表2－9）：原料種類A溫度B30℃35℃40℃1234149232547595040433553501113252443383336553847446222618822181430332619第一百三十頁，共一百六十六頁。在這個(gè)試驗(yàn)中，溫度和原料均為固定因素。每一處理有4次重復(fù)。因此可按上面敘述過的方法分析。將表中的每一數(shù)字均減去30，列成表2－10.1，由表2－10.1中，可以計(jì)算出及第一百三十一頁，共一百六十六頁。表2－10.1發(fā)酵實(shí)驗(yàn)方差分析計(jì)算表原料A溫度Bcij1cij2cij3cij4cij·c2ij·∑c2ijk12330354030354030354011-19-241713-221325019-1718298-8583-7-5-4203-122317-4-5-6-12106-162014-1118-47-487630-586164-12324220923045776900336437214096144556711800163027894811231174146∑＝84228387366第一百三十二頁，共一百六十六頁。利用χij·列列成表2－10.2。表2－10.2發(fā)酵實(shí)驗(yàn)方差分析表溫度Bci··c2i··

303540原1料2

A318-47-487630-586154-12-77481135929230412769c·j·

c2·j·

15547-11824025220913924844015821002第一百三十三頁，共一百六十六頁。由表2－10.2中可以計(jì)算出第一百三十四頁，共一百六十六頁。列成方差分析表：表2－11發(fā)酵實(shí)驗(yàn)方差分析表變差來源平方和自由度均方

F

原料A溫度BAB誤差1554.173150.58808.751656.5022427777.091575.29202.1961.3512.67**25.68**3.30*總和7170.0035**a＝0.01*a＝0.05原料和溫度在α＝0.01水平上拒絕H0；交互作用在α＝0.05水平上拒絕H0。因此酒精的產(chǎn)量不僅與原料與溫度有關(guān)，而且與兩者的交互作用也有關(guān)。第一百三十五頁，共一百六十六頁。隨機(jī)模型第一百三十六頁，共一百六十六頁。表2－14隨機(jī)效應(yīng)模型方差分析表（因素A、B隨機(jī)型）變差來源平方和自由度均方F因素A因素B交互作用AB誤差SSASSBSSABSSea－1b－1(a－1)(b－1)ab(n－1)MSAMSBMSABMSeMSA／MSABMSB／MSABMSAB／MSe

總和SSTabn－1隨機(jī)效應(yīng)模型的方差分析表如下：第一百三十七頁，共一百六十六頁。

例2.6為了研究不同地塊中施用不同數(shù)量農(nóng)家肥對(duì)作物產(chǎn)量的影響，設(shè)計(jì)了一個(gè)兩因素試驗(yàn)。試驗(yàn)結(jié)果列在下表中。地塊B一號(hào)地二號(hào)地三號(hào)地施肥量A100kg200kg300kg400kg8.698.478.888.7210.8210.8611.1611.428.808.749.689.5411.0010.9210.9711.139.499.379.399.5911.0711.0111.0010.90

解前面已經(jīng)說過，這是一隨機(jī)模型。隨機(jī)模型的各項(xiàng)平方和的計(jì)算與固定模型是一樣的。將上表中的cijk每一個(gè)均減去9.5列成下表：第一百三十八頁，共一百六十六頁。表2－15.1作物產(chǎn)量方差分析計(jì)算表施地肥量塊cij1cij2cij·c

2ij·∑c2ijk一100二三-0.81-0.70-0.01-1.03-0.76-0.13-1.84-1.46-0.143.38562.13160.01961.71701.06760.0170一200二三-0.620.18-0.11-0.780.040.09-1.400.22-0.021.96000.04840.00040.99280.03400.0202一300二三1.321.501.571.361.421.512.682.923.087.18248.52049.48643.59204.26644.7450一400二三1.661.471.501.921.631.403.583.102.9012.81649.61008.41006.44204.81784.210013.6263.577232.9218第一百三十九頁，共一百六十六頁。利用χijk列，列成下表：表2－15.2作物產(chǎn)量方差分析計(jì)算表地塊ci·c2i··一二三施肥量100200300400-1.84-1.402.683.58-1.460.222.923.10-0.14-0.023.082.90-3.44-1.208.689.5811.83361.440075.342491.7764c·i·

c2·i·

3.029.12044.7822.84845.8233.8724和13.6265.8412180.3924由表2－15.1計(jì)算出第一百四十頁，共一百六十六頁。由表2－15.2計(jì)算出第一百四十一頁，共一百六十六頁。列成方差分析表:變差來源平方和自由度均方

F施肥量A地塊B交互作用AB誤差22.33600.50081.22291.1327326127.45530.25040.20380.094436.53**1.232.16總和25.192423**a＝0.01從以上方差分析表中，可以看出所選擇的不同地塊對(duì)產(chǎn)量沒有顯著影響。但不同施肥兩對(duì)產(chǎn)量的影響極為顯著。第一百四十二頁，共一百六十六頁?；旌夏Ｐ偷谝话偎氖?，共一百六十六頁?；旌夏Ｐ头讲罘治霰砣缦拢罕?－16混合模型方差分析表（A固定，B隨機(jī)）變差來源平方和自由度均方

F因素A因素B交互作用AB誤差SSASSBSSABSSea－1b－1(a－1)(b－1)ab(n－1)MSAMSBMSABMSeMSA／MSABMSB／MSeMSAB／MSe

總和SSTabn－1第一百四十四頁，共一百六十六頁。

例2·7表2－17所列出的數(shù)據(jù)是四個(gè)受試者在四種速度下工作，即正常速度的60％、80％、100％、120％所得到的能量消耗的比值，試驗(yàn)共有16種處理，每一處理重復(fù)觀察2次，共做32次觀察。表2－17四個(gè)受試者在四種速度下工作的能量消耗受試時(shí)間B一二三四工作的相對(duì)速度（正常速度的百分?jǐn)?shù)）A60801001202.703.301.381.352.351.952.262.131.712.141.741.561.671.503.412.561.902.003.142.291.631.053.173.182.721.853.513.151.391.722.222.19第一百四十五頁，共一百六十六頁。

解首先，看因素的類型。因素A是從60～120％這個(gè)范圍內(nèi)，人為地選出的四個(gè)水平，這四個(gè)水平是可以嚴(yán)格控制的，所以因素A為固定型；因素B的四個(gè)水平，是從受試者人群中隨機(jī)抽取的，所以因素B為隨機(jī)型。本試驗(yàn)屬于混合效應(yīng)模型。具體計(jì)算過程不再重復(fù)，下面給出方差分析表表2－18能量消耗實(shí)驗(yàn)方差分析表變差來源平方和自由度均方F相對(duì)速度A實(shí)驗(yàn)對(duì)象B交互作用A誤差3.99480.45418.41231.7902339161.33160.15140.93470.11191.421.358.35總和14.651431第一百四十六頁，共一百六十六頁。首先，檢驗(yàn)假設(shè)因?yàn)镕＞F9，16，0.05，所以A、B之間存在交互作用。檢驗(yàn)

F＜F3，16，0.05，所以實(shí)驗(yàn)對(duì)象個(gè)體之間的差異不顯著。第一百四十七頁，共一百六十六頁。最后，檢驗(yàn)

F＜F3，16，0.01，接受H01。因素A是不顯著的。在這四種速度下，工作的能量消耗沒有顯著不同。要提醒大家的是，在混合模型的方差分析時(shí)，正確區(qū)分因素的類型，正確地使用檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量是非常重要的。第一百四十八頁，共一百六十六頁。ANOVA表變異來源MS固定模型隨機(jī)模型混合模型(A固,B隨)因素A因素BAx