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文檔簡介

第第4頁共33頁數(shù)字信號處理習(xí)題解答第二章數(shù)據(jù)采集技術(shù)基礎(chǔ)2。1有一個理想采樣系統(tǒng),其采樣角頻率Ω=6π,采樣后經(jīng)理想s低通濾波器Ha1,H(j)2a 0,y1 2 1y有無失真?為什么?2分析:要想時域采樣后能不失真地還原出原信號,則采樣角頻率Ω必sΩ2Ω≥2Ω。h s h解:Ω=6π,則由香農(nóng)采樣定理,可得s因為x(t)=cos2πt,而頻譜中最高角頻率1 h1y無失真;1

,所以2,而頻譜中最高角頻率

y2失真。

h2 2 22.2設(shè)模擬信號x(t)=3cos2000πt+5sin6000πt+10cos12000πt,求:該信號的最小采樣頻率;f=5000Hz,其采樣后的輸出信號;s分析:利用信號的采樣定理及采樣公式來求解.錯誤采樣定理fs

不小于其最高頻率f的兩倍,即mf≥2fs m○,2采樣公式x(n)x(t)

tnTs

x(nT)s()在模擬信號中含有的頻率成分是f=1000Hz,f=3000Hz,f=6000Hz1 2 3∴信號的最高頻率f=6000Hzmf≥2f,得信號的最小采樣頻率f=2f=12kHzs m s m(2)由于采樣頻率f=5kHz,則采樣后的輸出信號snx(n)x(t)

tnTs

x(nTs

)xfsf 1

3

63cos2

5n5sin

5n10cos

5n 1 2

13cos2 5n5sin2 15n10cos2 15n 1

2

13cos2

5n5sin

5n10cos

5n 1

213cos2

5n5sin

5n 1kHz2kHz即11000f1,5 5000 fs

f 1kHz122000f2,5 5000 fs

f 2kHz2號y(t)tt13cos5sin1 2這是由于采樣頻率不滿足采樣定理的要求,而產(chǎn)生混疊的結(jié)果.第三章傅里葉分析傅里葉變換概述3。1[3.2]分析:求解序列的頻譜有兩種方法:錯誤zX(ejX(z)為單位圓上的z變換;錯誤!直接求序列的傅里葉變換

,即X(ejω)zejX(ej)

n

x(n)ejn解:對序列)先進(jìn)行z變換,再求頻譜,得X(z)ZT[x(n)]ZT[(nm)]zmX(ejX(z)zeje若系統(tǒng)的單位采樣響應(yīng)h(n)=x(n),則系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(ej)X(ej)ejm1ejmH(ej)exp{j()}故其幅頻和相頻響應(yīng)(如)分別幅頻響應(yīng) H(ej)1相頻響應(yīng) ()m(()1ω(ω)ω由圖可見,該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)具有單位幅值以及線性相位的特點(diǎn).3。2設(shè)x(n)的傅里葉變換為X(ejω),試?yán)肵(ejω)表示下列序列的傅里葉變換:

(n)n)x(1n)(2)

1x(n)2

[x(n)x(n)]121分析:利用序列翻褶后的時移性質(zhì)和線性性質(zhì)來求解,即x(n)X(ej),x(n)X(ej)x(mn)eX(ej)()由于DTFT[x(n)]X(ej),DTFT[x(n)]X(ej),則DTFT[x(1n)]ejX(ej)故DTFT[x1

DTFT[x(1n)]ejX(ej)(n)]X(ej)[ejej]2X(ej)cos由于DTFT[x(nX(ej)故DTFT[x2

(n)]

X(ej)X(ej2

Re[X(ej)]3.3的傅里葉變換,不必求出X(ejω),試完成下列計算:(1)X(ej0)(2))

X(ej)dX(ej)2d分析:利用序列傅里葉變換的定義以及帕塞瓦定理來求解。序列的傅里葉變換公式為:正變換 X(ej)

n

x(n)ejn

反變換 x(n)

1

X(ej)ejndn

x(n)2

2

X(ej)2d11()由傅里葉正變換公式可知=,則X(ej0)

n

x(n)ej0n

n

x(n)6(2)由于n=0,故X(ej)

X(ej)ej0dx(n)

224

n0由帕塞瓦定理,得 X(ej)2d

n

x(n)2

28周期序列的離散傅里葉級數(shù)(DFS)3。4如圖所示,序列x(n)是周期為6的周期性序列,試求其傅里葉級數(shù)的系數(shù)。第5頁共33頁分析:利用DFS~ ~ N1

,其中k=0~(N—1)X(k)DFS[x(n)]

n0

x(n)WknN解:已知N=DFS~ 5

5~

j2nkX(k)

xkn6

x(n)e 6n0 n061412ej26

10ej2

8ej2

6ej24k

10ej25k6666對上式依次取k=0~5,計算求得6666~ ~ X(0)X9j3 ~ ~ XX(4)3j

X(2)3j 3~~X(5)9j3 3~~3.5設(shè)x(n)n0n4h(n)R

(nn令~ ,~

4,試求~ 與~

的周期卷積。x(n)x((n))6

h(n)h((n))6

x(n)

h(n)分析:可以利用列表法求解,直觀方便.由于~ ~

N1~ ~y(nx(n錯誤(n

x(m)h(nm)m0h(nh(n

值和第一行中與之對應(yīng)的x(m)值相乘,然后再將所有乘積結(jié)果相加,就得到此n的y(n)值解:.第6頁共33頁.在一個周期(N=6)內(nèi)的計算卷積值~ ~

N1~ ~y(nx(n錯誤(n

x(m)h(nm)m0h則x(n)與~(nh

的周期卷積y(n)值=0~)如下表所示:離散傅里葉變換(DFT)36已知({(-)),5R))RR(n)和

6 6 3 3 6 55R(n)的略圖。7 7分析:此題需注意周期延拓的數(shù)值,也就是N的數(shù)值。如NNN列按N解:各序列的略圖如圖所示.第7頁共33頁3.7試求下列有限長序列的N點(diǎn)離散傅里葉變換(閉合形式表達(dá)式:(1)x(n)anRN

(n)(2)x(n)(nn0n N0 0x(n)nRN

(n)x(n)n2RN

(n)分析:利用有限長序列的DFT的定義,即X(k)

Nn0

x(n)WN

0kN1解:(1)因為x(n)anRN

(n),所以N1

N1 j2

1aNX(k)

n0

anWN

n0

ane

N 1

j2N(2)因為x(n)(nn0n N,所以0 0第8頁共33頁X(k)

Nn0

(nn0

)WknNWknN

nnN0N由x(n)nRN

(n,得

ej2n0kN1X(k)

n0

nWknN.N1N1

WkX(k)NN1

n0

nWk(n1)N則 X(kWk)N

n0

nWN

n0

nWk(n1)N[WkN2kN2kNNN

(Nk(NN(Nk(NN

(NkN]N(N

Nn1

WknNN(NWk1NN所以

1WkNX(k)

N1WkN.x(n)n2RN

(n

X(k)

Nn0

n2WknN根據(jù)第(3)小題的結(jié)論:若x1則

nRN

(n)第9頁共33頁與上題同理,得

X(k)N1nW1 Nn0

N1WkNX(kWk)N

n2WNNn0

Nn0

n2WkN

(n1)[WkN2kN2kNN3kNN1

(N1)2Wk(NN(N2)2Wk(NN

(N1)2WkN]N(N

(2nknNN(N2)2N1nWknNn1N(N2)2X1

(k)N(N2) 2N1WkN所以X(k)

N(NN

N

,0kN1Wk)2N3。8試畫出圖示的兩個有限長序列的六點(diǎn)循環(huán)卷積.有限長序列左移為正整數(shù))位的循環(huán)移位定義為x(n)x((nm)) R (n)m N N且移位時,在主值區(qū)間(n=0~N—1)內(nèi),當(dāng)某序列值從區(qū)間的一端移出時,與它同值的序列值又從區(qū)間的另一端移入。解:由循環(huán)卷積的定義,可知第10頁共33頁y(n)x(n錯誤x(n)[x((n))

錯誤!x

((n))]R(n)1 2 1

2 6 6[x1

((n))6

錯誤((n6

]R(n)63x1

((n3))6

R(n)6x331取其主值序列(n=0~5)即可,其結(jié)果如圖所示。3.9如圖所示的5點(diǎn)序列,試畫出:)5)(3)x(n)錯誤!x(n)的點(diǎn)數(shù)分別為N和積的長度為長度L必須不小于線性卷積的長度L≥N+M—1否則,在循環(huán)卷積周期延拓時會產(chǎn)生混疊。解:55+5—1=9第11頁共33頁錯誤!的前9就是*L果的L點(diǎn)周期延拓、混疊相加后的主值區(qū)間內(nèi)的序列可以是任意整數(shù)值、(()所示。3。10已知兩個有限長序列為n0n3x(n)4n60n4y(n)5n6試作圖表示(()以及()(錯誤(。分析:直接利用循環(huán)卷積公式或圖解法求解。解:其結(jié)果如圖所示.第12頁共33頁311[3.10]NDFT(。現(xiàn)將它補(bǔ)零擴(kuò)展成長度為rN點(diǎn)的有限長序列(x(n),0nN1y(n)NnrN1試求rN)]與分析:DFTrN點(diǎn)序列,因而結(jié)果相當(dāng)于在頻域序列進(jìn)行插值。解:由

NX(k)DFT[x(n)]N1x(n)ej2nk,0kN1N可得Y(k)DFT[y(n)]

Nn0

n0y(n)WrN

Nn0

nkrNN N1x(n)ejnN n0

X X r

l,l,N1r倍的周期為r,相當(dāng)于在()的每兩個值之間插入1 數(shù)值(不一定為零),而當(dāng)kr的整數(shù)lXk r3.12[習(xí)題3.12]頻譜分析的模擬信號以8kHz被采樣,計算了512第13頁共33頁第第17頁共33頁個采樣點(diǎn)的DFT,試確定頻譜采樣之間的間隔,并證明你的回答。分析:利用頻域采樣間隔F0

和時域采樣頻率fs

N的關(guān)系f=NF。s 0證:由f s,F(xiàn) 0s 0 得fssF 0 0其中Ωs

是以角頻率為變量的頻譜周期,Ω0

是頻譜采樣之間的頻譜間隔。又fssNF 0 0則F fs0 Nf=8kHz,N=512sF所以8000F所以0512 15.625Hz3。13[習(xí)題3.20]設(shè)有一個頻譜分析用的信號處理器,采樣點(diǎn)數(shù)2分辨力≤10Hz0。1ms,試確定:所允許處理信號的最高頻率;分析:Tff

和頻域分辨s s 0力F的關(guān)系為T=1/F,采樣定理為f≥2f為信號最高頻率分量,0 0 0 s h h一個記錄中最少的采樣總數(shù)N滿足TN 0T

2ffs hfT F F0 0解:(1)因為T=1/F,而F≤10Hz,所以0 0 01T s0 10即最小記錄長度為0.1s。(2f

1 1 10310kHz,而f≥2fs T 0.1所以

1fh2

s hf 5kHzs即允許處理信號的最高頻率為5kHz。0(3)NT0

0.1 103

1000T 0.1又因N2所以一個記錄中的最少點(diǎn)數(shù)為=1=102。快速傅里葉變換(FFT)3.14如果一臺通用計算機(jī)的速度為平均每次復(fù)乘5μs,每次復(fù)加0。5μs512時間,用FFT運(yùn)算需要多少時間?分析:1直接利用DFT計算:復(fù)乘次數(shù)為N,復(fù)加次數(shù)為N;錯誤利用FFTNlog2 2

N,復(fù)加次數(shù)為Nlog N;2解:直接計算復(fù)乘所需時間T1

5106N2510651221.31072s復(fù) 加 所 需 時 間T 0.5106N(N1)0.5106512(5121)0.130816s2所以512用FFT512

TTT1

1.441536s復(fù)乘所需時間T1

5106N2N

log2

N5106 log2 2

5120.01152s復(fù)加所需時間T2

0.5106Nlog2

N0.5106512log2

5120.002304s所以TTT1 2

0.013824s3。15已知,(N點(diǎn)實(shí)序列(DFT值,用一個N點(diǎn)IFFT分析:我們來組成一個新的序列X(k)+jY(k)序列,則有IDFT[X(k)jY(k)]IDFT[X(k)]jIDFT(k)]x(n)jy(n)它的實(shí)部即為實(shí)序列x(n),虛部即為實(shí)序列y(n)。解:依據(jù)題意,可知x(n)X(ky(n)Y(k)取序列Z(k)X(k)jY(k)對作NIFFT可得序列又根據(jù)DFTIDFT[X(k)jY(k)]IDFT[X(k)]jIDFT(k)]x(n)jy(n)再根據(jù)()=)+j(,可得x(n)Re[z(n)]y(n)Im[z(n)][3223-2(DIT)及按頻率抽取法FFT(時間抽取采用輸入倒位序,輸出自然數(shù)順序,頻率抽取采用輸入自然順序,輸出倒位序分析:錯誤DIT不同點(diǎn):DITDIFDIF減法之后,DIT相同點(diǎn):DIT與DIF的運(yùn)算量是相同的;錯誤!DIF法與DIT法的關(guān)系:它們的基本蝶形是互為轉(zhuǎn)置的。解:如圖所示如圖所示[課堂思考題]若x1

(n),x11211

(n)是因果穩(wěn)定序列,求證:1 X

(ej)

(ej)d

X

j)d}{2

X

(ej)d}22證:y(n)x21

(n)x2

(n)則由時域卷積定理,得

Y(ej)X(ej)X(ej)1 2第18頁共33頁第第20頁共33頁即x(n)x1 2

(n)y(n)

1 Y(ej)ejnd 1 X 1

(ej)

(ej)ed2令上式的左右兩邊n=0,得1

X(ej)X1

(ej)dx2

(n)x2

(n)

n0

nk

x(k)x1

(nk)

n0x(0)x1 2

(0)又傅里葉反變換公式,得x(n) 11 則

X

(ej)ejnd,x2

(n) 1

(ej)ejnd2x(0) 11 1所以1

X

(ej)d,x2

(0) 12

(ej)d21 X

(ej)

(ej)d

X

j)d}{2

X

(ej)d}212[課堂思考題-2FFT入序列)采用倒位序,輸出序列入序列的排列順序,并簡述理由。122FFTx0(8(4(12(10(14(、自然順自然順序二倒位序二進(jìn)倒位序順序n進(jìn)制數(shù)制數(shù)序^(、(、(13(3(1自然順自然順序二倒位序二進(jìn)倒位序順序n進(jìn)制數(shù)制數(shù)序^0000000000100011000820010010043001111001240100001025010110101060110011067011111101481000000119100110019101010010151110111101131211000011313110110111114111001117151111111115第五章時域分析5。1隨機(jī)相位正弦波

x(t)xsin(t)0式中,xφ0~2π0作圖。分析:利用自相關(guān)函數(shù)的定義求解,即R )lim1xx TT

Tx(t)x(t)dt0解:由自相關(guān)函數(shù)的定義式,得R)lim1Txt)xt)dtxx TT 0lim

1T/

x2))TT T/2 0令t1則dt1

d,且T2x2 故R)lim 0 sin2cossincossindxx T0x2cos20有關(guān),而.余弦函數(shù).其自相關(guān)函數(shù)圖形如圖所示。0x2/20

Rxx(τ)τ5。2兩個隨機(jī)相位正弦波x(t)A0y(t)B0

sin(t)sin(t)式中,A,Bφ0~2π內(nèi)的取值概率相同,0 0第21頁共33頁即滿足

)1,0試求其互相關(guān)函數(shù)并作圖.分析:

, 其它利用互相關(guān)函數(shù)的定義求解,即R )limxy TT

Tx(t)y(t)dt0解:由互相關(guān)函數(shù)的定義式,得R )limxy TT

Txt)yt)dt0 12ABsint)sint)0 0 01AB2 0 0

cos()值出現(xiàn)在處。其互相關(guān)函數(shù)圖形如圖所示.Rxy(τ)/ω τ第六章數(shù)字濾波器設(shè)計第22頁共33頁第第33頁共33頁6。1已知模擬濾波器的模方函數(shù)H(j)2求模擬濾波器的傳遞函數(shù)。

20(42)2(92)(162)Ω|2與其傳遞函數(shù)(間的關(guān)系式求解,即H(j)2

H(s)

s

H(s)H(s)

sj解:將sΩ,即2= s2代入(Ω)|,得H(s)

H(s)H(s)

20(4s2)2 2 52(2 52(sj2)2(sj2)2

9)(s216) (s3)(s3)(s4)(s4)可見,系統(tǒng)有四個極點(diǎn)s

=±3,s1,2

3,

=±4和兩對零點(diǎn)z

=±j2。1,22 5(sj2)(s2 5(sj2)(sj2)H(s)

(s3)(s4)6。2試設(shè)計一個巴特沃思(BW)低通模擬濾波器,使濾波器的幅度105rad/s3dB4×105rad/s35。分析:按照§6.2中所述的巴特沃思低通濾波器的設(shè)計過程來實(shí)現(xiàn).1先確定濾波器的階數(shù)N由于[公式1] (p

)10 p c

2N令

N10lg1c

(s

)10 s c

2N令

N10lg1c 則濾波器的階數(shù)[公式2]Ng/[:N為正整數(shù)]lg p s且截止頻率[公式3] 1/Nc p

或 1/Nc s錯誤!求解位于左半

S平面上的極點(diǎn)[公式4]sk c

j2kN1e2Ne

,k,2N錯誤!確定

N5]cH(s) N c

N c Nk

ssk

ss1

ss2

ssN解:錯誤!先確定濾波器的階數(shù)N由題意可知,Ω=105rad/sα=3dBp pΩ4×105rad/sα=35dBs s則代入[公式1],求得參數(shù)γ和λ p(p)10l1310lg2 13535s

(s

)10lg1

10lg1

56.2將參數(shù)γ、λ、Ωp

和Ω,則濾波器的階數(shù)slg/Nlgp

2.9取N3s將參數(shù)、γ和Ω代入[公式,可得截止頻率p 1/Nc p

105rad/sp錯誤!求解位于左半S平面上的極點(diǎn)將參數(shù)Ω和N代入[公式,得極點(diǎn)cs k c

j2kN1e2Neej(k/3,k3c即s c

ej2/3(1j 3) /2cs c

ejcs c

ej4/3(1j 3) /2c錯誤確定巴特沃斯低通濾波器的傳遞函數(shù)將參數(shù)Ω和sc k

函數(shù)(式中Ω=105rad/s)cN 3 3H(s)

c c cNss

ss ss s

s3

s222s3kk1

1 2

c c c6。3試導(dǎo)出二階巴特沃斯低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù),設(shè)Ωc

=3rad/s。分析:本題利用模方函數(shù)求出其左半S平面極點(diǎn),而求得系統(tǒng)函數(shù)。N階巴特沃斯低通濾波器的模方函數(shù)定義為H(j)2在上式中代入jΩ=s,可得

1

1j c

2N1H(s)H(s)1j1c

2N而S的極點(diǎn),因此H(s) k0Nk

ssk其中sk

ej2kNc

,k,N,k0

由H(s)

s0

1來確定。2k20 c解:對于二階(N=2)巴特沃斯低通濾波器,其模方函數(shù)為H(j)2令s,則有

1

1j c

2

1

1j j4c各極點(diǎn)滿足

H(s)H(s)1j14c14s k c

j2kN1e2Ne

ej2k14c4

,k4則2sk

位于左半S平面,即為H(s)的極點(diǎn)s c

33 23 2ej4 j3 23 2ej2 2s c

je4e

j3 23 22 23 23 2由以上兩個極點(diǎn)構(gòu)成的系統(tǒng)函數(shù)為H(s)

ss 0s2s23 2s9kk代入條件H(s)

s0

1,可得k0

=9[注:k0

=Ω2],故二階巴特沃斯低通c濾波器的系統(tǒng)函數(shù)s23 2ss23 2s96.4試導(dǎo)出三階巴特沃斯低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù),設(shè)Ωc

=2rad/s.分析:6.3S得系統(tǒng)函數(shù)。解:對于三階(N=3)巴特沃斯低通濾波器,其模方函數(shù)為1jj2c11jj2c1j j6c令s,則有各極點(diǎn)滿足

H(s)H(s)1j16c16s k c

j2kN1e2Ne

2ej

,k,63不難得知,當(dāng)k=1,2,3時,相應(yīng)的極點(diǎn)s3k

均位于左半S平面。則濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(s)的極點(diǎn)3s2ej23313

1js 2ej23233s 2ej433

1j因此,三階巴特沃斯低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為3 8H(s)

c ss1

ss2

ss3

s34s2

8s86。5設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為H(s)

sa(sa)2b2試?yán)脹_激響應(yīng)不變法,設(shè)計IIR數(shù)字低通濾波器。IIR給定 取拉氏示 指標(biāo) 確定AF的反變換傳函H(s)

求解AF的單位采樣 獲得DF的單位沖Z變換獲得DF沖激響應(yīng)h(t) 令t=nT 激響應(yīng)序列h(n) 傳函H(z)解:將展開成部分分式,得H(s)

sa 1/2 1/2(sa)2b2 sajb sajb對取拉氏反變換,得1 1h(t)

e(ajb

e(ajb)t2 2對作周期為T的等間隔采樣,得1 h(n)h(t)

t

e(ajb)nT2

e(ajb)nT對)取ZIIRH(z)n0

h(n)zn

1 1 2e(ajb)Tz

1 1e(ajb)Tz 1(eaTcosbT)z6。6設(shè)有一模擬濾波器

1(2eaTcosbT)ze2aTz2 H(s)1 s2s 采樣周期,試用雙線性變換法將它轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)字系統(tǒng)函數(shù)SZs解:將

21z1T1z則數(shù)字系統(tǒng)函數(shù)

sH(z)H(s)s

1z11zz1z111z2 1z 11z 1z1z123zfs

=1。2kHz,截止頻率fc

=400Hz。分析:按照§6.3中所述的采用雙線性變換法的設(shè)計過程來實(shí)現(xiàn)?!穑?利用關(guān)系式ω=TΩ將給定的模擬域頻率指標(biāo)轉(zhuǎn)化為數(shù)字域頻率指標(biāo)錯誤!利用如下的預(yù)畸變補(bǔ)償公式將數(shù)字域頻率指標(biāo)變換為補(bǔ)..模擬域頻率指標(biāo) 2tan T 23模擬域頻率指標(biāo)設(shè)計三階巴特沃斯模擬濾波器()[參見例6。2.4]錯誤利用雙線性變換公式,將模擬濾波器器,即H(z)H(s)

2zsTz

()解:此數(shù)字濾波器的截止頻率 T1400 1 c c cfs

1200 3由預(yù)畸變補(bǔ)償,得相應(yīng)的模擬濾波器的截止頻率32tanc2f tan2 f3c T 2 s 3 s由習(xí)題6。4可知,三階巴特沃斯模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(s)ss1

3sscs2

ss3其中,濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(s)的極點(diǎn)j2

j4se1 c

3,s2

ej,sc 3

e3c故有H(s)

3cs32s222s3cc c c將雙線性變換公式和c

2 3fs

代入,可得三階巴特沃斯數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)H(s)

2zsTz

H(s)

s2

z1sz1

3(1z1)3cscscscscs3z)3z)32 z)2z)zz)23z)3

)3(1z1)32(2f

)2z)2z)22(2f

)2zz)23z)3c請選擇合適的窗函數(shù)及窗寬N來設(shè)計一個線性相位低通濾波器ej,0cH (ej)cd ,

0c要求其阻帶最小衰減為45dB,過渡帶寬為8π/51,試求出h(n)(設(shè)截止頻率ω=0.5π).c的選擇(當(dāng)然用凱塞窗則可改變來滿足阻帶衰減的要求),而窗寬N的選擇則影響過渡帶寬。

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