概率論與數(shù)理統(tǒng)計習(xí)題三解析哈工大版

.PAGE.習(xí)題三1．?dāng)S一枚非均質(zhì)的硬幣,出現(xiàn)正面的概率為,若以表示直至擲到正、反面都出現(xiàn)時為止所需投擲次數(shù),求的分布列。解表示事件：前次出現(xiàn)正面,第次出現(xiàn)反面,或前次出現(xiàn)反面,第次出現(xiàn)正面,所以2．袋中有個黑球個白球,從袋中任意取出個球,求個球中黑球個數(shù)的分布列。解從個球中任取個球共有種取法,個球中有個黑球的取法有,所以的分布列為,,此乃因為,如果,則個球中可以全是白球,沒有黑球,即；如果則個球中至少有個黑球,此時應(yīng)從開始。3．一實習(xí)生用一臺機(jī)器接連生產(chǎn)了三個同種零件,第個零件是不合格品的概率,以表示三個零件中合格品的個數(shù),求的分布列。解設(shè)‘第個零件是合格品’。則,,,.即的分布列為.4．一汽車沿一街道行駛,需通過三個設(shè)有紅綠信號燈的路口,每個信號燈為紅或綠與其他信號燈為紅或綠相互獨立,且每一信號燈紅綠兩種信號顯示的概率均為,以表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個數(shù),求的概率分布。解<第一個路口即為紅燈>,<第一個路口為綠燈,第二個路口為紅燈>,依此類推,得的分布列為.5．將一枚硬幣連擲次,以表示這次中出現(xiàn)正面的次數(shù),求的分布列。解為重貝努里試驗中成功出現(xiàn)的次數(shù),故,的分布列為6．一交換臺每分鐘接到的呼叫次數(shù)服從參數(shù)為4的泊松分布,求〔1每分鐘恰有8次呼叫的概率；〔2每分鐘的呼叫次數(shù)大于10的概率。解設(shè)為每分鐘接到的呼叫次數(shù),則〔1〔27．某商店每月銷售某種商品的數(shù)量服從參數(shù)為5的泊松分布,問在月初至少庫存多少此種商品,才能保證當(dāng)月不脫銷的概率為0.99977以上。解設(shè)為該商品的銷售量,為庫存量,由題意即查泊松分布表知,故月初要庫存14件以上,才能保證當(dāng)月不脫銷的概率在0.99977以上。8．已知離散型隨機(jī)變量的分布列為：,,試寫出的分布函數(shù)。解的分布列為所以的分布函數(shù)為9．設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為求：〔1常數(shù)；〔2使成立的.解〔1,；〔2,可見,。10．設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為,,求：〔1系數(shù)與；〔2；〔3的概率密度。解〔1由分布函數(shù)的性質(zhì)于是,,所以的分布函數(shù)為,〔2；〔3的概率密度為,.11．已知隨機(jī)變量的概率密度為,.求的分布函數(shù).解12．設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為求的分布函數(shù).解的圖形為的分布函數(shù)為01012x<1,1>f<x>1313．設(shè)電子管壽命的概率密度為若一架收音機(jī)上裝有三個這種管子,求〔1使用的最初150小時內(nèi),至少有兩個電了管被燒壞的概率；〔2在使用的最初150小時內(nèi)燒壞的電子管數(shù)的分布列；〔3的分布函數(shù)。解為在使用的最初150小時內(nèi)燒壞的電子管數(shù),,其中,〔1所求概率為；〔2的分布列為,即.〔3的分布函數(shù)為14．設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為現(xiàn)對進(jìn)行次獨立重復(fù)觀測,以表示觀測值不大于0.1的觀測次數(shù),試求隨機(jī)變量的概率分布。解,其中,所以的概率分布列為.15．設(shè)隨機(jī)變量,求方程有實根的概率.解設(shè)‘方程有實根’,則發(fā)生即,因,所以發(fā)生所以.16．設(shè)隨機(jī)變量,現(xiàn)對進(jìn)行3次獨立觀測,試求至少有兩次觀測值大于3的概率.解設(shè)為三次觀測中,觀測值大于3的觀測次數(shù),則,其中,所求概率為.17．設(shè)顧客在某銀行窗口等待服務(wù)的時間〔單位：分,服從參數(shù)為的指數(shù)分布。若等待時間超過10分鐘,則他就離開。設(shè)他一個月內(nèi)要來銀行5次,以表示一個月內(nèi)他沒有等到服務(wù)而離開窗口的次數(shù),求的分布列及。解由題意,其中,于是的分布為.18．一大型設(shè)備在任何長為的時間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)服從參數(shù)為的泊松分布。〔1求相繼兩次故障之間時間間隔的概率分布；〔2求在設(shè)備已經(jīng)無故障工作了8小時的情況下,再無故障運行8小時的概率。解〔1設(shè)的分布函數(shù)為,則事件表示兩次故障的間隔時間超過,也就是說在時間內(nèi)沒有發(fā)生故障,故,于是,可見,的分布函數(shù)為即服從參數(shù)為的指數(shù)分布?！?所求概率為.19．設(shè)隨機(jī)變量。求〔1；〔2常數(shù),使；〔3常數(shù),使。解〔1；〔2,查表知,所以；〔3所以,查正態(tài)分布表知,故。20．設(shè)隨機(jī)變量,且,求。解,所以,。21．某地抽樣結(jié)果表明,考生的外語成績〔百分制近似服從正態(tài)分布,平均成績〔即參數(shù)之值為72分,96分以上的占考生總數(shù)的2.3%,試求考生的外語成績在60分至84分之間的概率。解所求概率為22．假設(shè)測量的隨機(jī)誤差,試求在100次重復(fù)測量中,至少有三次測量誤差的絕對值大于19.6的概率,并利用泊松分布求出的近似值。解設(shè)為誤差的絕對值大于19.6的測量次數(shù),則,其中,所求概率為利用泊松定理.23．在電源電壓不超過,在和超過三種情況下,某種電子元件,損壞的概率分別為0.1,0.001和0.2,假設(shè)電源電壓服從正態(tài)分布,試求：〔1該電子元件損壞的概率；〔2該電子元件損壞時,電源電壓在200240的概率。解設(shè)‘電子元件損壞’,‘電源電壓在第檔’,,則〔1〔2.24．假設(shè)隨機(jī)變量的絕對值不大于1；,在事件出現(xiàn)的條件下,在內(nèi)任意子區(qū)間上取值的概率與該子區(qū)間的長度成正比。試求：〔1的分布函數(shù)；〔2取負(fù)值的概率.解1設(shè)的分布函數(shù)為,則當(dāng)時,,且,當(dāng)時,,,當(dāng)時,由題意,而,所以。于是此時,故的分布函數(shù)為〔2.解2設(shè)的分布函數(shù)為,則當(dāng)時,且當(dāng)時,,當(dāng)時,設(shè),且,由題意,即由此得,兩邊同除以得令取極限得兩邊積分得,由及得解之得故,綜上所述,的分布函數(shù)為〔225．已知離散型隨機(jī)變量的分布列為求的分布列.解的分布列為.26．設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為求的概率密度解1當(dāng)時函數(shù)單調(diào)增,反函數(shù)為,于是的概率密度為解2設(shè)的分布函數(shù)為,則27．設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為求隨機(jī)變量的概率密度解1函數(shù)嚴(yán)格單調(diào),反函數(shù)為,則解2設(shè)的分布函數(shù)為,則,所以。28．設(shè),求〔1的概率密度；〔2的概率密度。解的密度為〔1在上單調(diào)增,反函數(shù)為,所以的密度為〔2在上單調(diào)減,反函數(shù)為,所以的密度為29．設(shè),求的概率密度。解1函數(shù)在上單調(diào)減,反函數(shù)為,在上單調(diào)增,反函數(shù)為,所以的密度為即30．設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為2的指數(shù)分布,試證在區(qū)間上服從均勻分布。[證]只須證明的分布函數(shù)為31．設(shè)隨機(jī)變量的概率