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認(rèn)證類型：個(gè)人認(rèn)證

認(rèn)證主體：曾**（實(shí)名認(rèn)證）

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IP屬地：廣東 上傳時(shí)間：2022-12-02 格式：DOC 頁數(shù)：29 大?。?99.56KB 積分：1.2 舉報(bào) 版權(quán)申訴

2013年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)Ⅰ）一、選擇題共12小題．每小題5分，共60分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的一項(xiàng)．1．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={x|x=n2，n∈A}，則A∩B=（）A．{1，4} B．{2，3} C．{9，16} D．{1，2} 2．（5分）=（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．1﹣i 3．（5分）從1，2，3，4中任取2個(gè)不同的數(shù)，則取出的2個(gè)數(shù)之差的絕對值為2的概率是（）A． B． C． D． 4．（5分）已知雙曲線C：（a＞0，b＞0）的離心率為，則C的漸近線方程為（）A．y= B．y= C．y=±x D．y= 5．（5分）已知命題p：?x∈R，2x＜3x；命題q：?x∈R，x3=1﹣x2，則下列命題中為真命題的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q 6．（5分）設(shè)首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則（）A．Sn=2an﹣1 B．Sn=3an﹣2 C．Sn=4﹣3an D．Sn=3﹣2an 7．（5分）執(zhí)行程序框圖，如果輸入的t∈[﹣1，3]，則輸出的s屬于（）A．[﹣3，4] B．[﹣5，2] C．[﹣4，3] D．[﹣2，5] 8．（5分）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，若|PF|=4，則△POF的面積為（）A．2 B．2 C．2 D．4 9．（5分）函數(shù)f（x）=（1﹣cosx）sinx在[﹣π，π]的圖象大致為（）A． B． C． D． 10．（5分）已知銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，23cos2A+cos2A=0，a=7，c=6，則b=（）A．10 B．9 C．8 D．5 11．（5分）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A．16+8π B．8+8π C．16+16π D．8+16π 12．（5分）已知函數(shù)f（x）=，若|f（x）|≥ax，則a的取值范圍是（）A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，1] C．[﹣2，1] D．[﹣2，0] 二．填空題：本大題共四小題，每小題5分．13．（5分）已知兩個(gè)單位向量，的夾角為60°，=t+（1﹣t）．若?=0，則t=．14．（5分）設(shè)x，y滿足約束條件，則z=2x﹣y的最大值為．15．（5分）已知H是球O的直徑AB上一點(diǎn)，AH：HB=1：2，AB⊥平面α，H為垂足，α截球O所得截面的面積為π，則球O的表面積為．16．（5分）設(shè)當(dāng)x=θ時(shí)，函數(shù)f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，則cosθ=．三.解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．（12分）已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足S3=0，S5=﹣5．（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和．18．（12分）為了比較兩種治療失眠癥的藥（分別成為A藥，B藥）的療效，隨機(jī)地選取20位患者服用A藥，20位患者服用B藥，這40位患者服用一段時(shí)間后，記錄他們?nèi)掌骄黾拥乃邥r(shí)間（單位：h）實(shí)驗(yàn)的觀測結(jié)果如下：服用A藥的20位患者日平均增加的睡眠時(shí)間：0.61.22.71.52.81.82.22.33.23.52.52.61.22.71.52.93.03.12.32.4服用B藥的20位患者日平均增加的睡眠時(shí)間：3.21.71.90.80.92.41.22.61.31.41.60.51.80.62.11.12.51.22.70.5（Ⅰ）分別計(jì)算兩種藥的平均數(shù)，從計(jì)算結(jié)果看，哪種藥的療效更好？（Ⅱ）根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成下面莖葉圖，從莖葉圖看，哪種藥的療效更好？19．（12分）如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°（Ⅰ）證明：AB⊥A1C；（Ⅱ）若AB=CB=2，A1C=，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的體積．20．（12分）已知函數(shù)f（x）=ex（ax+b）﹣x2﹣4x，曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處切線方程為y=4x+4．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）討論f（x）的單調(diào)性，并求f（x）的極大值．21．（12分）已知圓M：（x+1）2+y2=1，圓N：（x﹣1）2+y2=9，動(dòng)圓P與圓M外切并與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是與圓P，圓M都相切的一條直線，l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)圓P的半徑最長時(shí)，求|AB|．請考生在第22、23、24三題中任選一題作答。注意：只能做所選定的題目。如果多做，則按所做的第一個(gè)題目計(jì)分，作答時(shí)請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑。22．（10分）（選修4﹣1：幾何證明選講）如圖，直線AB為圓的切線，切點(diǎn)為B，點(diǎn)C在圓上，∠ABC的角平分線BE交圓于點(diǎn)E，DB垂直BE交圓于D．（Ⅰ）證明：DB=DC；（Ⅱ）設(shè)圓的半徑為1，BC=，延長CE交AB于點(diǎn)F，求△BCF外接圓的半徑．23．已知曲線C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ．（1）把C1的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程；（2）求C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)（ρ≥0，0≤θ＜2π）．24．已知函數(shù)f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（Ⅰ）當(dāng)a=﹣2時(shí)，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）設(shè)a＞﹣1，且當(dāng)x∈[﹣，]時(shí)，f（x）≤g（x），求a的取值范圍．

2013年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)Ⅰ）參考答案與試題解析一、選擇題共12小題．每小題5分，共60分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的一項(xiàng)．1．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={x|x=n2，n∈A}，則A∩B=（）A．{1，4} B．{2，3} C．{9，16} D．{1，2} 【考點(diǎn)】1E：交集及其運(yùn)算．【專題】5J：集合．【分析】由集合A中的元素分別平方求出x的值，確定出集合B，找出兩集合的公共元素，即可求出交集．【解答】解：根據(jù)題意得：x=1，4，9，16，即B={1，4，9，16}，∵A={1，2，3，4}，∴A∩B={1，4}．故選：A．【點(diǎn)評】此題考查了交集及其運(yùn)算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵．2．（5分）=（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．1﹣i 【考點(diǎn)】A5：復(fù)數(shù)的運(yùn)算．【專題】11：計(jì)算題．【分析】利用分式的分母平方，復(fù)數(shù)分母實(shí)數(shù)化，運(yùn)算求得結(jié)果．【解答】解：====﹣1+i．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算，復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算，考查計(jì)算能力．3．（5分）從1，2，3，4中任取2個(gè)不同的數(shù)，則取出的2個(gè)數(shù)之差的絕對值為2的概率是（）A． B． C． D． 【考點(diǎn)】CC：列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率．【專題】5I：概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】本題是一個(gè)等可能事件的概率，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是從4個(gè)不同的數(shù)中隨機(jī)的抽2個(gè)，共有C42種結(jié)果，滿足條件的事件是取出的數(shù)之差的絕對值等于2的有兩種，得到概率．【解答】解：由題意知本題是一個(gè)等可能事件的概率，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是從4個(gè)不同的數(shù)中隨機(jī)的抽2個(gè)，共有C42=6種結(jié)果，滿足條件的事件是取出的數(shù)之差的絕對值等于2，有2種結(jié)果，分別是（1，3），（2，4），∴要求的概率是=．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查等可能事件的概率，是一個(gè)基礎(chǔ)題，本題解題的關(guān)鍵是事件數(shù)是一個(gè)組合數(shù)，若都按照排列數(shù)來理解也可以做出正確的結(jié)果．4．（5分）已知雙曲線C：（a＞0，b＞0）的離心率為，則C的漸近線方程為（）A．y= B．y= C．y=±x D．y= 【考點(diǎn)】KC：雙曲線的性質(zhì)．【專題】5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】由離心率和abc的關(guān)系可得b2=4a2，而漸近線方程為y=±x，代入可得答案．【解答】解：由雙曲線C：（a＞0，b＞0），則離心率e===，即4b2=a2，故漸近線方程為y=±x=x，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，涉及的漸近線方程，屬基礎(chǔ)題．5．（5分）已知命題p：?x∈R，2x＜3x；命題q：?x∈R，x3=1﹣x2，則下列命題中為真命題的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q 【考點(diǎn)】2E：復(fù)合命題及其真假．【專題】21：閱讀型；5L：簡易邏輯．【分析】舉反例說明命題p為假命題，則￢p為真命題．引入輔助函數(shù)f（x）=x3+x2﹣1，由函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理得到該函數(shù)有零點(diǎn)，從而得到命題q為真命題，由復(fù)合命題的真假得到答案．【解答】解：因?yàn)閤=﹣1時(shí)，2﹣1＞3﹣1，所以命題p：?x∈R，2x＜3x為假命題，則￢p為真命題．令f（x）=x3+x2﹣1，因?yàn)閒（0）=﹣1＜0，f（1）=1＞0．所以函數(shù)f（x）=x3+x2﹣1在（0，1）上存在零點(diǎn)，即命題q：?x∈R，x3=1﹣x2為真命題．則￢p∧q為真命題．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)合命題的真假，考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)零點(diǎn)的判斷方法，解答的關(guān)鍵是熟記復(fù)合命題的真值表，是基礎(chǔ)題．6．（5分）設(shè)首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則（）A．Sn=2an﹣1 B．Sn=3an﹣2 C．Sn=4﹣3an D．Sn=3﹣2an 【考點(diǎn)】89：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和．【專題】54：等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】由題意可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可得其求和公式，化簡可得要求的關(guān)系式．【解答】解：由題意可得an=1×=，∴Sn==3﹣=3﹣2=3﹣2an，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查等比數(shù)列的求和公式和通項(xiàng)公式，涉及指數(shù)的運(yùn)算，屬中檔題．7．（5分）執(zhí)行程序框圖，如果輸入的t∈[﹣1，3]，則輸出的s屬于（）A．[﹣3，4] B．[﹣5，2] C．[﹣4，3] D．[﹣2，5] 【考點(diǎn)】3B：分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法；EF：程序框圖．【專題】27：圖表型；5K：算法和程序框圖．【分析】本題考查的知識點(diǎn)是程序框圖，分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是計(jì)算一個(gè)分段函數(shù)的函數(shù)值，由條件為t＜1我們可得，分段函數(shù)的分類標(biāo)準(zhǔn)，由分支結(jié)構(gòu)中是否兩條分支上對應(yīng)的語句行，我們易得函數(shù)的解析式．【解答】解：由判斷框中的條件為t＜1，可得：函數(shù)分為兩段，即t＜1與t≥1，又由滿足條件時(shí)函數(shù)的解析式為：s=3t；不滿足條件時(shí)，即t≥1時(shí)，函數(shù)的解析式為：s=4t﹣t2故分段函數(shù)的解析式為：s=，如果輸入的t∈[﹣1，3]，畫出此分段函數(shù)在t∈[﹣1，3]時(shí)的圖象，則輸出的s屬于[﹣3，4]．故選：A．【點(diǎn)評】要求條件結(jié)構(gòu)對應(yīng)的函數(shù)解析式，要分如下幾個(gè)步驟：①分析流程圖的結(jié)構(gòu)，分析條件結(jié)構(gòu)是如何嵌套的，以確定函數(shù)所分的段數(shù)；②根據(jù)判斷框中的條件，設(shè)置分類標(biāo)準(zhǔn)；③根據(jù)判斷框的“是”與“否”分支對應(yīng)的操作，分析函數(shù)各段的解析式；④對前面的分類進(jìn)行總結(jié)，寫出分段函數(shù)的解析式．8．（5分）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，若|PF|=4，則△POF的面積為（）A．2 B．2 C．2 D．4 【考點(diǎn)】K8：拋物線的性質(zhì)．【專題】11：計(jì)算題；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】根據(jù)拋物線方程，算出焦點(diǎn)F坐標(biāo)為（）．設(shè)P（m，n），由拋物線的定義結(jié)合|PF|=4，算出m=3，從而得到n=，得到△POF的邊OF上的高等于2，最后根據(jù)三角形面積公式即可算出△POF的面積．【解答】解：∵拋物線C的方程為y2=4x∴2p=4，可得=，得焦點(diǎn)F（）設(shè)P（m，n）根據(jù)拋物線的定義，得|PF|=m+=4，即m+=4，解得m=3∵點(diǎn)P在拋物線C上，得n2=4×3=24∴n==∵|OF|=∴△POF的面積為S=|OF|×|n|==2故選：C．【點(diǎn)評】本題給出拋物線C：y2=4x上與焦點(diǎn)F的距離為4的點(diǎn)P，求△POF的面積．著重考查了三角形的面積公式、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題．9．（5分）函數(shù)f（x）=（1﹣cosx）sinx在[﹣π，π]的圖象大致為（）A． B． C． D． 【考點(diǎn)】3A：函數(shù)的圖象與圖象的變換．【專題】51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】由函數(shù)的奇偶性可排除B，再由x∈（0，π）時(shí)，f（x）＞0，可排除A，求導(dǎo)數(shù)可得f′（0）=0，可排除D，進(jìn)而可得答案．【解答】解：由題意可知：f（﹣x）=（1﹣cosx）sin（﹣x）=﹣f（x），故函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，故可排除B，又因?yàn)楫?dāng)x∈（0，π）時(shí)，1﹣cosx＞0，sinx＞0，故f（x）＞0，可排除A，又f′（x）=（1﹣cosx）′sinx+（1﹣cosx）（sinx）′=sin2x+cosx﹣cos2x=cosx﹣cos2x，故可得f′（0）=0，可排除D，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查三角函數(shù)的圖象，涉及函數(shù)的奇偶性和某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值，屬基礎(chǔ)題．10．（5分）已知銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，23cos2A+cos2A=0，a=7，c=6，則b=（）A．10 B．9 C．8 D．5 【考點(diǎn)】HR：余弦定理．【專題】58：解三角形．【分析】利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡已知的等式，求出cosA的值，再由a與c的值，利用余弦定理即可求出b的值．【解答】解：∵23cos2A+cos2A=23cos2A+2cos2A﹣1=0，即cos2A=，A為銳角，∴cosA=，又a=7，c=6，根據(jù)余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc?cosA，即49=b2+36﹣b，解得：b=5或b=﹣（舍去），則b=5．故選：D．【點(diǎn)評】此題考查了余弦定理，二倍角的余弦函數(shù)公式，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．11．（5分）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A．16+8π B．8+8π C．16+16π D．8+16π 【考點(diǎn)】L!：由三視圖求面積、體積．【專題】16：壓軸題；27：圖表型．【分析】三視圖復(fù)原的幾何體是一個(gè)長方體與半個(gè)圓柱的組合體，依據(jù)三視圖的數(shù)據(jù)，得出組合體長、寬、高，即可求出幾何體的體積．【解答】解：三視圖復(fù)原的幾何體是一個(gè)長方體與半個(gè)圓柱的組合體，如圖，其中長方體長、寬、高分別是：4，2，2，半個(gè)圓柱的底面半徑為2，母線長為4．∴長方體的體積=4×2×2=16，半個(gè)圓柱的體積=×22×π×4=8π所以這個(gè)幾何體的體積是16+8π；故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了幾何體的三視圖及直觀圖的畫法，三視圖與直觀圖的關(guān)系，柱體體積計(jì)算公式，空間想象能力12．（5分）已知函數(shù)f（x）=，若|f（x）|≥ax，則a的取值范圍是（）A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，1] C．[﹣2，1] D．[﹣2，0] 【考點(diǎn)】7E：其他不等式的解法．【專題】16：壓軸題；59：不等式的解法及應(yīng)用．【分析】由函數(shù)圖象的變換，結(jié)合基本初等函數(shù)的圖象可作出函數(shù)y=|f（x）|的圖象，和函數(shù)y=ax的圖象，由導(dǎo)數(shù)求切線斜率可得l的斜率，進(jìn)而數(shù)形結(jié)合可得a的范圍．【解答】解：由題意可作出函數(shù)y=|f（x）|的圖象，和函數(shù)y=ax的圖象，由圖象可知：函數(shù)y=ax的圖象為過原點(diǎn)的直線，當(dāng)直線介于l和x軸之間符合題意，直線l為曲線的切線，且此時(shí)函數(shù)y=|f（x）|在第二象限的部分解析式為y=x2﹣2x，求其導(dǎo)數(shù)可得y′=2x﹣2，因?yàn)閤≤0，故y′≤﹣2，故直線l的斜率為﹣2，故只需直線y=ax的斜率a介于﹣2與0之間即可，即a∈[﹣2，0]故選：D．【點(diǎn)評】本題考查其它不等式的解法，數(shù)形結(jié)合是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．二．填空題：本大題共四小題，每小題5分．13．（5分）已知兩個(gè)單位向量，的夾角為60°，=t+（1﹣t）．若?=0，則t=2．【考點(diǎn)】9H：平面向量的基本定理；9O：平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算．【專題】5A：平面向量及應(yīng)用．【分析】由于?=0，對式子=t+（1﹣t）兩邊與作數(shù)量積可得=0，經(jīng)過化簡即可得出．【解答】解：∵，，∴=0，∴tcos60°+1﹣t=0，∴1=0，解得t=2．故答案為2．【點(diǎn)評】熟練掌握向量的數(shù)量積運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．14．（5分）設(shè)x，y滿足約束條件，則z=2x﹣y的最大值為3．【考點(diǎn)】7C：簡單線性規(guī)劃．【專題】59：不等式的解法及應(yīng)用．【分析】先根據(jù)約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值，z=2x﹣y表示直線在y軸上的截距，只需求出可行域直線在y軸上的截距最大值即可．【解答】解：不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，由得A（3，3），z=2x﹣y可轉(zhuǎn)換成y=2x﹣z，z最大時(shí)，y值最小，即：當(dāng)直線z=2x﹣y過點(diǎn)A（3，3）時(shí)，在y軸上截距最小，此時(shí)z取得最大值3．故答案為：3．【點(diǎn)評】本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值，屬于基礎(chǔ)題．15．（5分）已知H是球O的直徑AB上一點(diǎn)，AH：HB=1：2，AB⊥平面α，H為垂足，α截球O所得截面的面積為π，則球O的表面積為．【考點(diǎn)】LG：球的體積和表面積．【專題】16：壓軸題；5F：空間位置關(guān)系與距離．【分析】本題考查的知識點(diǎn)是球的表面積公式，設(shè)球的半徑為R，根據(jù)題意知由與球心距離為R的平面截球所得的截面圓的面積是π，我們易求出截面圓的半徑為1，根據(jù)球心距、截面圓半徑、球半徑構(gòu)成直角三角形，滿足勾股定理，我們易求出該球的半徑，進(jìn)而求出球的表面積．【解答】解：設(shè)球的半徑為R，∵AH：HB=1：2，∴平面α與球心的距離為R，∵α截球O所得截面的面積為π，∴d=R時(shí)，r=1，故由R2=r2+d2得R2=12+（R）2，∴R2=∴球的表面積S=4πR2=．故答案為：．【點(diǎn)評】若球的截面圓半徑為r，球心距為d，球半徑為R，則球心距、截面圓半徑、球半徑構(gòu)成直角三角形，滿足勾股定理，即R2=r2+d216．（5分）設(shè)當(dāng)x=θ時(shí)，函數(shù)f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，則cosθ=﹣．【考點(diǎn)】GP：兩角和與差的三角函數(shù)；H4：正弦函數(shù)的定義域和值域．【專題】16：壓軸題；56：三角函數(shù)的求值．【分析】f（x）解析式提取，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，由x=θ時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值，得到sinθ﹣2cosθ=，與sin2θ+cos2θ=1聯(lián)立即可求出cosθ的值．【解答】解：f（x）=sinx﹣2cosx=（sinx﹣cosx）=sin（x﹣α）（其中cosα=，sinα=），∵x=θ時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值，∴sin（θ﹣α）=1，即sinθ﹣2cosθ=，又sin2θ+cos2θ=1，聯(lián)立得（2cosθ+）2+cos2θ=1，解得cosθ=﹣．故答案為：﹣【點(diǎn)評】此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及正弦函數(shù)的定義域與值域，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．三.解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．（12分）已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足S3=0，S5=﹣5．（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和．【考點(diǎn)】84：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；8E：數(shù)列的求和．【專題】54：等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（Ⅰ）設(shè)出等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)和公差，直接由S3=0，S5=﹣5列方程組求出，然后代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式整理；（Ⅱ）把（Ⅰ）中求出的通項(xiàng)公式，代入數(shù)列{}的通項(xiàng)中進(jìn)行列項(xiàng)整理，則利用裂項(xiàng)相消可求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，則．由已知可得，即，解得a1=1，d=﹣1，故{an}的通項(xiàng)公式為an=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）?（﹣1）=2﹣n；（Ⅱ）由（Ⅰ）知．從而數(shù)列{}的前n項(xiàng)和Sn==．【點(diǎn)評】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，是中檔題．18．（12分）為了比較兩種治療失眠癥的藥（分別成為A藥，B藥）的療效，隨機(jī)地選取20位患者服用A藥，20位患者服用B藥，這40位患者服用一段時(shí)間后，記錄他們?nèi)掌骄黾拥乃邥r(shí)間（單位：h）實(shí)驗(yàn)的觀測結(jié)果如下：服用A藥的20位患者日平均增加的睡眠時(shí)間：0.61.22.71.52.81.82.22.33.23.52.52.61.22.71.52.93.03.12.32.4服用B藥的20位患者日平均增加的睡眠時(shí)間：3.21.71.90.80.92.41.22.61.31.41.60.51.80.62.11.12.51.22.70.5（Ⅰ）分別計(jì)算兩種藥的平均數(shù)，從計(jì)算結(jié)果看，哪種藥的療效更好？（Ⅱ）根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成下面莖葉圖，從莖葉圖看，哪種藥的療效更好？【考點(diǎn)】BA：莖葉圖；BB：眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)．【專題】5I：概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】（Ⅰ）利用平均數(shù)的計(jì)算公式即可得出，據(jù)此即可判斷出結(jié)論；（Ⅱ）利用已知數(shù)據(jù)和莖葉圖的結(jié)構(gòu)即可完成．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)A藥觀測數(shù)據(jù)的平均數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，設(shè)B藥觀測數(shù)據(jù)的平均數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則=×（0.6+1.2+2.7+1.5+2.8+1.8+2.2+2.3+3.2+3.5+2.5+2.6+1.2+2.7+1.5+2.9+3.0+3.1+2.3+2.4）=2.3．×（3.2+1.7+1.9+0.8+0.9+2.4+1.2+2.6+1.3+1.4+1.6+0.5+1.8+0.6+2.1+1.1+2.5+1.2+2.7+0.5）=1.6．由以上計(jì)算結(jié)果可知：．由此可看出A藥的效果更好．（Ⅱ）根據(jù)兩組數(shù)據(jù)得到下面莖葉圖：從以上莖葉圖可以看出，A藥療效的試驗(yàn)結(jié)果有的葉集中在2，3上．而B藥療效的試驗(yàn)結(jié)果由的葉集中在0，1上．由此可看出A藥的療效更好．【點(diǎn)評】熟練掌握平均數(shù)的計(jì)算公式和莖葉圖的結(jié)果及其功能是解題的關(guān)鍵．19．（12分）如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°（Ⅰ）證明：AB⊥A1C；（Ⅱ）若AB=CB=2，A1C=，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的體積．【考點(diǎn)】LF：棱柱、棱錐、棱臺的體積；LW：直線與平面垂直．【專題】5F：空間位置關(guān)系與距離．【分析】（Ⅰ）由題目給出的邊的關(guān)系，可想到去AB中點(diǎn)O，連結(jié)OC，OA1，可通過證明AB⊥平面OA1C得要證的結(jié)論；（Ⅱ）在三角形OCA1中，由勾股定理得到OA1⊥OC，再根據(jù)OA1⊥AB，得到OA1為三棱柱ABC﹣A1B1C1的高，利用已知給出的邊的長度，直接利用棱柱體積公式求體積．【解答】（Ⅰ）證明：如圖，取AB的中點(diǎn)O，連結(jié)OC，OA1，A1B．因?yàn)镃A=CB，所以O(shè)C⊥AB．由于AB=AA1，，故△AA1B為等邊三角形，所以O(shè)A1⊥AB．因?yàn)镺C∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C．又A1C?平面OA1C，故AB⊥A1C；（Ⅱ）解：由題設(shè)知△ABC與△AA1B都是邊長為2的等邊三角形，所以．又，則，故OA1⊥OC．因?yàn)镺C∩AB=O，所以O(shè)A1⊥平面ABC，OA1為三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．又△ABC的面積，故三棱柱ABC﹣A1B1C1的體積．【點(diǎn)評】題主要考查了直線與平面垂直的性質(zhì)，考查了棱柱的體積，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于中檔題．20．（12分）已知函數(shù)f（x）=ex（ax+b）﹣x2﹣4x，曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處切線方程為y=4x+4．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）討論f（x）的單調(diào)性，并求f（x）的極大值．【考點(diǎn)】6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專題】16：壓軸題；53：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處切線方程為y=4x+4，建立方程，即可求得a，b的值；（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得f（x）的單調(diào)性，從而可求f（x）的極大值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=ex（ax+b）﹣x2﹣4x，∴f′（x）=ex（ax+a+b）﹣2x﹣4，∵曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處切線方程為y=4x+4∴f（0）=4，f′（0）=4∴b=4，a+b=8∴a=4，b=4；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=4ex（x+1）﹣x2﹣4x，f′（x）=4ex（x+2）﹣2x﹣4=4（x+2）（ex﹣），令f′（x）=0，得x=﹣ln2或x=﹣2∴x∈（﹣∞，﹣2）或（﹣ln2，+∞）時(shí)，f′（x）＞0；x∈（﹣2，﹣ln2）時(shí)，f′（x）＜0∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（﹣∞，﹣2），（﹣ln2，+∞），單調(diào)減區(qū)間是（﹣2，﹣ln2）當(dāng)x=﹣2時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值，極大值為f（﹣2）=4（1﹣e﹣2）．【點(diǎn)評】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．21．（12分）已知圓M：（x+1）2+y2=1，圓N：（x﹣1）2+y2=9，動(dòng)圓P與圓M外切并與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是與圓P，圓M都相切的一條直線，l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)圓P的半徑最長時(shí)，求|AB|．【考點(diǎn)】J3：軌跡方程；J9：直線與圓的位置關(guān)系．【專題】5B：直線與圓．【分析】（I）設(shè)動(dòng)圓的半徑為R，由已知?jiǎng)訄AP與圓M外切并與圓N內(nèi)切，可得|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，而|NM|=2，由橢圓的定義可知：動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)，4為長軸長的橢圓，求出即可；（II）設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P（x，y），由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤4﹣2=2，所以R≤2，當(dāng)且僅當(dāng)⊙P的圓心為（2，0）R=2時(shí)，其半徑最大，其方程為（x﹣2）2+y2=4．分①l的傾斜角為90°，此時(shí)l與y軸重合，可得|AB|．②若l的傾斜角不為90°，由于⊙M的半徑1≠R，可知l與x軸不平行，設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為Q，根據(jù)，可得Q（﹣4，0），所以可設(shè)l：y=k（x+4），與橢圓的方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系利用弦長公式即可得出．【解答】解：（I）由圓M：（x+1）2+y2=1，可知圓心M（﹣1，0）；圓N：（x﹣1）2+y2=9，圓心N（1，0），半徑3．設(shè)動(dòng)圓的半徑為R，∵動(dòng)圓P與圓M外切并與圓N內(nèi)切，∴|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，而|NM|=2，由橢圓的定義可知：動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)，4為長軸長的橢圓，∴a=2，c=1，b2=a2﹣c2=3．∴曲線C的方程為（x≠﹣2）．（II）設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P（x，y），由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤3﹣1=2，所以R≤2，當(dāng)且僅當(dāng)⊙P的圓心為（2，0）R=2時(shí)，其半徑最大，其方程為（x﹣2）2+y2=4．①l的傾斜角為90°，則l與y軸重合，可得|AB|=．②若l的傾斜角不為90°，由于⊙M的半徑1≠R，可知l與x軸不平行，設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為Q，則，可得Q（﹣4，0），所以可設(shè)l：y=k（x+4），由l于M相切可得：，解得．當(dāng)時(shí)，聯(lián)立，得到7x2+8x﹣8=0．∴，．∴|AB|===由于對稱性可知：當(dāng)時(shí)，也有|AB|=．綜上可知：|AB|=或．【點(diǎn)評】本題綜合考查了兩圓的相切關(guān)系、直線與圓相切問題、橢圓的定義及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式等基礎(chǔ)知識，需要較強(qiáng)的推理能力和計(jì)算能力及其分類討論的思想方法．請考生在第22、23、24三題中任選一題作答。注意：只能做所選定的題目。如果多做，則按所做的第一個(gè)題目計(jì)分，作答時(shí)請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑。22．（10分）（選修4﹣1：幾何證明選講）如圖，直線AB為圓的切線，切點(diǎn)為B，點(diǎn)C在圓上，∠ABC的角平分線BE交圓于點(diǎn)E，DB垂直BE交圓于D．（Ⅰ）證明：DB=DC；（Ⅱ）設(shè)圓的半徑為1，BC=，延長CE交AB于點(diǎn)F，求△BCF外接圓的半徑．【考點(diǎn)】NC：與圓有關(guān)的比例線段．【專題】5B：直線與圓．【分析】（I）連接DE交BC于點(diǎn)G，由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，由已知角平分線可得∠ABE=∠CBE，于是得到∠CBE=∠BCE，BE=CE．由已知DB⊥BE，可知DE為⊙O的直徑，Rt△DBE≌Rt△DCE，利用三角形全等的性質(zhì)即可得到DC=DB．（II）由（I）可知：DG是BC的垂直平分線，即可得到BG=．設(shè)DE的中點(diǎn)為O，連接BO，可得∠BOG=60°．從而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．得到CF⊥BF．進(jìn)而得到Rt△BCF的外接圓的半徑=．【解答】（I）證明：連接DE交BC于點(diǎn)G．由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，而∠ABE=∠CBE，∴∠CBE=∠BCE，BE=CE．又∵DB⊥BE，∴DE為⊙O的直徑