第三章-誤差的合成與分配-(全)分析課件

1第三章誤差的合成與分配第一節(jié)函數(shù)誤差第二節(jié)隨機(jī)誤差的合成第三節(jié)系統(tǒng)誤差的合成第四節(jié)系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的合成第五節(jié)誤差分配第六節(jié)微小誤差取舍準(zhǔn)則第七節(jié)最佳測(cè)量方案的確定1第三章誤差的合成與分配第一節(jié)函數(shù)誤差2

任何測(cè)量結(jié)果都包含有一定的測(cè)量誤差，這是測(cè)量過程中各環(huán)節(jié)一系列誤差因素共同作用的結(jié)果。

正確分析與綜合這些誤差因素，并正確地表述這些誤差的綜合影響。第一節(jié)函數(shù)誤差

間接測(cè)量：通過直接測(cè)量與被測(cè)的量之間有一定函數(shù)關(guān)系的其它量，按照已知的函數(shù)關(guān)系式計(jì)算出被測(cè)量。

間接測(cè)量誤差是各直接測(cè)量值誤差的函數(shù)，即函數(shù)誤差。研究函數(shù)誤差的實(shí)質(zhì)就是研究誤差的傳遞性的問題。對(duì)于這種有確定關(guān)系的誤差的計(jì)算稱為誤差合成。2任何測(cè)量結(jié)果都包含有一定的測(cè)量誤差，這是測(cè)量過3在間接測(cè)量中，函數(shù)主要為多元初等函數(shù)，其表達(dá)式為：式中：——各個(gè)直接測(cè)量值；——間接測(cè)量值。

函數(shù)增量為：

若已知各直接測(cè)量值的系統(tǒng)誤差，由于這些誤差較小，可用來代替上式中的微分量，得：（函數(shù)系統(tǒng)誤差公式）式中：為各個(gè)直接測(cè)量值的誤差傳遞系數(shù)。一.函數(shù)系統(tǒng)誤差的計(jì)算3在間接測(cè)量中，函數(shù)主要為多元初等函數(shù)，其表達(dá)式為：式中：4

有些情況下，函數(shù)公式較簡(jiǎn)單，如：則：，誤差傳遞系數(shù)為常數(shù)。

在間接測(cè)量中，常遇到角度測(cè)量，以等形式出現(xiàn)。

以正弦三角函數(shù)為例：三角函數(shù)的系統(tǒng)誤差：對(duì)正弦函數(shù)微分：以系統(tǒng)誤差代替微分量或4有些情況下，函數(shù)公式較簡(jiǎn)單，如：5代入即得正弦函數(shù)的角度系統(tǒng)誤差公式為：同理可得其他三角函數(shù)的角度系統(tǒng)誤差公式：對(duì)于，角度系統(tǒng)誤差為：對(duì)于，角度系統(tǒng)誤差為：對(duì)于，角度系統(tǒng)誤差為：P56-57：例3-1；3-25代入即得正弦函數(shù)的角度系統(tǒng)誤差公式為：同理可得其他三角函數(shù)6二.函數(shù)隨機(jī)誤差計(jì)算

函數(shù)隨機(jī)誤差計(jì)算：就是研究函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差與各測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)差之間的關(guān)系。函數(shù)一般形式：假設(shè)對(duì)各測(cè)量值皆進(jìn)行N次等精度測(cè)量，其相應(yīng)的隨機(jī)誤差為：對(duì)：對(duì)：對(duì)：…隨機(jī)誤差標(biāo)準(zhǔn)差取值的分散程度函數(shù)的隨機(jī)誤差取值的分散程度標(biāo)準(zhǔn)差以各測(cè)量值的隨機(jī)誤差δx1,δx2,……..

Δxn代替dx1,dx2,…dxn只能得到函數(shù)的隨機(jī)誤差δy,得不到σy6二.函數(shù)隨機(jī)誤差計(jì)算函數(shù)隨機(jī)誤差計(jì)算：就是研究7…則的隨機(jī)誤差為：將上式各方程平方后再相加得：7…則的隨機(jī)誤差為：將上式各方程平方后再相加得：8將上式各項(xiàng)除以N得：定義：或可得：

該式即為函數(shù)隨機(jī)誤差公式，其中為第個(gè)測(cè)量值和第個(gè)測(cè)量值之間的誤差相關(guān)系數(shù),為各測(cè)量值的誤差傳遞系數(shù)。8將上式各項(xiàng)除以N得：定義：或可得：該式即為函9若各測(cè)量值的隨機(jī)誤差是相互獨(dú)立的，且當(dāng)N適當(dāng)大時(shí)，有：則誤差公式變?yōu)椋毫睿ㄝ^常使用）9若各測(cè)量值的隨機(jī)誤差是相互獨(dú)立的，且當(dāng)N適當(dāng)大時(shí)，有：則誤10

當(dāng)各個(gè)測(cè)量值的隨機(jī)誤差為正態(tài)分布時(shí)，上式中的標(biāo)準(zhǔn)差用極限誤差代替，得函數(shù)的極限誤差公式：

通常，且函數(shù)形式較簡(jiǎn)單，即則函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差為：函數(shù)的極限誤差為：極限誤差的定義：？10當(dāng)各個(gè)測(cè)量值的隨機(jī)誤差為正態(tài)分布時(shí)，上式中的標(biāo)11

那么，三角函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差公式？

假設(shè)三角函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為，各測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)差為可得相應(yīng)的角度標(biāo)準(zhǔn)差公式。（1）對(duì)于有：（2）對(duì)于有：11那么，三角函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差公式？假設(shè)三角函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差12（4）對(duì)于有：（3）對(duì)于有：12（4）對(duì)于13三.誤差間的相關(guān)關(guān)系和相關(guān)系數(shù)1.誤差間的線性相關(guān)關(guān)系即線性依賴關(guān)系，有強(qiáng)弱之分。2.相關(guān)系數(shù)

當(dāng)兩誤差間有線性關(guān)系時(shí)，其相關(guān)性強(qiáng)弱由相關(guān)系數(shù)來反映，所以在誤差合成時(shí)，先求得相關(guān)系數(shù)再計(jì)算出相關(guān)項(xiàng)大小。由相關(guān)系數(shù)定義知：式中：——誤差間的協(xié)方差；

——兩誤差的標(biāo)準(zhǔn)差。13三.誤差間的相關(guān)關(guān)系和相關(guān)系數(shù)1.誤差間的線性相關(guān)關(guān)系14由概率論知：當(dāng)時(shí)，正相關(guān)；當(dāng)時(shí)，負(fù)相關(guān)；當(dāng)時(shí)，完全正相關(guān)；當(dāng)時(shí)，完全負(fù)相關(guān)；當(dāng)時(shí)，線性無關(guān)。

注意：只能表示兩誤差間的線性關(guān)系的密切程度，當(dāng)很小甚至等于0時(shí)，兩誤差間不存在線性關(guān)系，但并不表示不存在其他函數(shù)關(guān)系。3.確定的幾種方法（1）直接判斷法；根據(jù)誤差可能有無聯(lián)系、或聯(lián)系強(qiáng)弱確定14由概率論知：當(dāng)時(shí)，正相關(guān)；15

用多組測(cè)量的對(duì)應(yīng)值作圖，并與圖3－3（標(biāo)準(zhǔn)圖）相比較，從而確定相關(guān)系數(shù)的近似值。（3）簡(jiǎn)單計(jì)算法：

將多組測(cè)量的對(duì)應(yīng)值在平面坐標(biāo)上作圖。（2）觀察法：15用多組測(cè)量的對(duì)應(yīng)值作圖，并16（5）理論計(jì)算法：有些誤差的相關(guān)系數(shù)，可根據(jù)概率論和最小二乘法直接求的。（4）直接計(jì)算法：根據(jù)定義16（5）理論計(jì)算法：有些誤差的相關(guān)系數(shù)，可根據(jù)概率論和最小17第二節(jié)隨機(jī)誤差的合成

隨機(jī)誤差的合成：常采用標(biāo)準(zhǔn)差方和根的方法，同時(shí)要考慮各誤差的傳遞系數(shù)和誤差間的相關(guān)性影響。一.標(biāo)準(zhǔn)差的合成

設(shè)有q個(gè)單項(xiàng)隨機(jī)誤差，其標(biāo)準(zhǔn)差分別為，其相應(yīng)的傳遞系數(shù)為。根據(jù)方和根的運(yùn)算方法，各標(biāo)準(zhǔn)差合成后的總標(biāo)準(zhǔn)差為：優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)單方便，且不考慮各單項(xiàng)隨機(jī)誤差的概率分布。

隨機(jī)誤差具有隨機(jī)性，其取值不可預(yù)知，用測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差或極限誤差表征其取值的分散程度。17第二節(jié)隨機(jī)誤差的合成隨機(jī)誤差的合成：常采用18方和根法合成的總極限誤差為：式中：——各極限誤差傳遞系數(shù)；

——任意兩誤差間的相關(guān)系數(shù)。

但一般情況下，各單項(xiàng)極限誤差的置信概率可能不相同，不能按上式進(jìn)行極限誤差合成。應(yīng)根據(jù)各單項(xiàng)誤差的分布情況引入置信系數(shù)，先將誤差轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)差，再按極限誤差合成。二.極限誤差的合成

若已知各單項(xiàng)極限誤差為，且置信概率相同，則按18方和根法合成的總極限誤差為：式中：——各極限誤差傳19單項(xiàng)極限誤差為：式中：——個(gè)單項(xiàng)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差；

——各單項(xiàng)極限誤差的置信系數(shù)?？偟臉O限誤差為：將總標(biāo)準(zhǔn)差公式代入上式得：上式即為一般的極限誤差合成公式。優(yōu)點(diǎn)：具有明確的概率意義。

注意：公式中的各個(gè)置信系數(shù)不僅與置信概率有關(guān)，且與隨機(jī)誤差的分布有關(guān)。19單項(xiàng)極限誤差為：式中：——個(gè)單項(xiàng)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差；總的20

當(dāng)各個(gè)單項(xiàng)隨機(jī)誤差均服從正態(tài)分布時(shí)，公式中的各置信系數(shù)完全相同，即：，則公式變?yōu)椋?/p>

一般情況下，，則極限誤差合成公式變?yōu)椋海ㄝ^常使用）20當(dāng)各個(gè)單項(xiàng)隨機(jī)誤差均服從正態(tài)分布時(shí)，公式中的各21第三節(jié)系統(tǒng)誤差的合成

系統(tǒng)誤差的大小是評(píng)定測(cè)量準(zhǔn)確度高低的標(biāo)志。系統(tǒng)誤差具有確定的變化規(guī)律。已定系統(tǒng)誤差和未定系統(tǒng)誤差。標(biāo)準(zhǔn)差期望值

均值

某次測(cè)得值

奇異值

21第三節(jié)系統(tǒng)誤差的合成系統(tǒng)誤差的大小是評(píng)定測(cè)量22一.已定系統(tǒng)誤差的合成誤差大小與方向均已確切掌握了的系統(tǒng)誤差。對(duì)于已定系統(tǒng)誤差常按代數(shù)和的方法計(jì)算其合成誤差。

若在測(cè)量過程中，有r個(gè)單項(xiàng)已定系統(tǒng)誤差，其誤差值分別為，相應(yīng)的誤差傳遞系數(shù)為，則按代數(shù)和法合成的總的已定系統(tǒng)誤差為：

在實(shí)際測(cè)量中，已定系統(tǒng)誤差應(yīng)用修正值去消除。若由于某種原因未被消除，則應(yīng)用代數(shù)和法合成。一般情況下，最后測(cè)量結(jié)果不應(yīng)含有已定系統(tǒng)誤差。22一.已定系統(tǒng)誤差的合成誤差大小與方向均已確切掌握了的系23二.未定系統(tǒng)誤差定義：

未定系統(tǒng)誤差是指誤差大小和方向未能確切掌握，而只能或只需估計(jì)出其不致超過某一極限范圍的系統(tǒng)誤差。1.未定系統(tǒng)誤差的特征及其評(píng)定

未定系統(tǒng)誤差在測(cè)量條件不變時(shí)有一恒定值，多次重復(fù)測(cè)量時(shí)其值固定不變，因而不具有抵償性。所以利用算術(shù)平均值法不能減少它對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響。這是它與隨機(jī)誤差的重要差別。

但當(dāng)測(cè)量條件改變時(shí)，由于未定系統(tǒng)誤差的取值在某一極限范圍內(nèi)具有隨機(jī)性，并服從一定的概率分布，這與隨機(jī)誤差相似，所以也可采用標(biāo)準(zhǔn)差或極限誤差來表征未定系統(tǒng)誤差取值的分散程度。23二.未定系統(tǒng)誤差定義：未定系統(tǒng)誤差是指誤差大小和方24

對(duì)于某一單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差，其概率分布取決于該誤差源變化時(shí)所引起的系統(tǒng)誤差的變化規(guī)律。

現(xiàn)在對(duì)未定系統(tǒng)誤差的概率分布均根據(jù)測(cè)量實(shí)際情況的分析和判斷來確定的，并采用兩種假設(shè)：一是按正態(tài)分布處理，一是按均勻分布處理。

對(duì)某一單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差的極限范圍是根據(jù)誤差源具體情況的分析與判斷而作出估計(jì)的。1.未定系統(tǒng)誤差的特征及其評(píng)定表示符號(hào)：

極限誤差：e

標(biāo)準(zhǔn)差：u24對(duì)于某一單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差，其概率分布取決于該誤差源252.未定系統(tǒng)誤差的合成（1）標(biāo)準(zhǔn)差的合成

設(shè)測(cè)量過程中有s個(gè)單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差，其標(biāo)準(zhǔn)差分別為其相應(yīng)的傳遞系數(shù)為，合成后未定系統(tǒng)誤差的的總標(biāo)準(zhǔn)差為：當(dāng)時(shí)，有：252.未定系統(tǒng)誤差的合成（1）標(biāo)準(zhǔn)差的合成設(shè)測(cè)量26（2）極限誤差的合成各單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差的極限誤差為：總的未定系統(tǒng)誤差的極限誤差為：可得：或

當(dāng)各單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差均服從正態(tài)分布，且時(shí)，上式可簡(jiǎn)化為：26（2）極限誤差的合成各單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差的極限誤差為：總的27第四節(jié)系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的合成測(cè)量過程中存在著不同性質(zhì)的系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差將兩種誤差進(jìn)行合成綜合，用極限誤差和標(biāo)準(zhǔn)差來表示一、按極限誤差合成設(shè)有r個(gè)單項(xiàng)已定系統(tǒng)誤差

s個(gè)單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差

q個(gè)單項(xiàng)隨機(jī)誤差假設(shè)誤差傳遞系數(shù)均為1，則總極限誤差為：各個(gè)誤差間協(xié)方差之和27第四節(jié)系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的合成測(cè)量過程中存在著不同28當(dāng)各誤差均服從正態(tài)分布，各個(gè)誤差間互不關(guān)聯(lián)，R=0對(duì)已定系統(tǒng)誤差修正后：對(duì)多次測(cè)量:

隨機(jī)誤差抵償性

系統(tǒng)誤差固定不變28當(dāng)各誤差均服從正態(tài)分布，對(duì)已定系統(tǒng)誤差修正后：對(duì)多次測(cè)29按標(biāo)準(zhǔn)差合成s個(gè)未定系統(tǒng)誤差標(biāo)準(zhǔn)差q個(gè)單項(xiàng)隨機(jī)誤差標(biāo)準(zhǔn)差誤差傳遞系數(shù)均為1，且各個(gè)誤差間協(xié)方差之和R為0對(duì)于多次重復(fù)測(cè)量：只考慮未定系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差合成問題29按標(biāo)準(zhǔn)差合成s個(gè)未定系統(tǒng)誤差標(biāo)準(zhǔn)差誤差傳遞系數(shù)均為1，且30按標(biāo)準(zhǔn)差合成30按標(biāo)準(zhǔn)差合成31按標(biāo)準(zhǔn)差合成31按標(biāo)準(zhǔn)差合成32按標(biāo)準(zhǔn)差合成32按標(biāo)準(zhǔn)差合成33按標(biāo)準(zhǔn)差合成33按標(biāo)準(zhǔn)差合成34按標(biāo)準(zhǔn)差合成34按標(biāo)準(zhǔn)差合成35按標(biāo)準(zhǔn)差合成35按標(biāo)準(zhǔn)差合成36按標(biāo)準(zhǔn)差合成36按標(biāo)準(zhǔn)差合成37第五節(jié)誤差分配單項(xiàng)誤差總誤差總誤差的允差各個(gè)單項(xiàng)誤差綜合如：弓高弦長(zhǎng)法測(cè)大直徑D給定直徑測(cè)量允許極限誤差，求弓高h(yuǎn)和弦長(zhǎng)s的測(cè)量極限誤差已定系統(tǒng)誤差通過修正方法消除，則只考慮未定系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差，且這兩種誤差分配時(shí)可同等看待，分配方法完全相同。37第五節(jié)誤差分配單項(xiàng)誤差38設(shè)誤差因素皆為隨機(jī)誤差，且互不相關(guān)：函數(shù)的部分誤差使得給定，則需確定38設(shè)誤差因素皆為隨機(jī)誤差，且互不相關(guān)：函數(shù)的部分誤差使得給39一按等作用原則分配誤差用極限誤差表示為使得給定，則需確定39一按等作用原則分配誤差用極限誤差表示為使得給定402

各個(gè)部分誤差一定，相應(yīng)測(cè)量值誤差與傳遞系數(shù)成反比，盡管各個(gè)部分誤差相等，因傳遞系數(shù)不同而相應(yīng)測(cè)量值誤差并不等。二按可能性調(diào)整誤差因此必須根據(jù)具體情況進(jìn)行調(diào)整

1對(duì)難以實(shí)現(xiàn)測(cè)量的誤差項(xiàng)，適當(dāng)擴(kuò)大

2對(duì)容易實(shí)現(xiàn)測(cè)量的誤差項(xiàng)，盡可能減小

3其余誤差項(xiàng)，不予調(diào)整1

有的測(cè)量值的測(cè)量誤差不超出允許范圍，難以滿足要求，要保證測(cè)量精度，要用昂貴的高精度儀器，或者付出較大勞動(dòng)。402各個(gè)部分誤差一定，相應(yīng)測(cè)量值誤差與傳遞系數(shù)成反比，41二按可能性調(diào)整誤差41二按可能性調(diào)整誤差42二按可能性調(diào)整誤差42二按可能性調(diào)整誤差43二按可能性調(diào)整誤差43二按可能性調(diào)整誤差44二按可能性調(diào)整誤差44二按可能性調(diào)整誤差45第六節(jié)微小誤差取舍準(zhǔn)則微小誤差：測(cè)量過程包含多種誤差，有的誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果總誤差影響較小，小到一定程度，計(jì)算測(cè)量結(jié)果總誤差可不予考慮。取出部分誤差若，則稱為微小誤差，可從總誤差中舍去已知測(cè)量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差為：45第六節(jié)微小誤差取舍準(zhǔn)則微小誤差：測(cè)量過程包含多種46若舍去后滿足則對(duì)測(cè)量結(jié)果沒影響解得取對(duì)精密測(cè)量，取兩位有效數(shù)字有原則：1.對(duì)于隨機(jī)誤差和未定系統(tǒng)誤差，被舍去的誤差必須小于或等于測(cè)量結(jié)果的1/10---1/32.對(duì)于一定系統(tǒng)誤差，被舍去的誤差必須小于或等于測(cè)量結(jié)果的1/100---1/1046若舍去后滿足47第七節(jié)最佳測(cè)量方案的確定

測(cè)量結(jié)果與多個(gè)測(cè)量因素有關(guān)，采用什么方法確定各個(gè)因素，使得測(cè)量結(jié)果的誤差為最小，確定最佳測(cè)量方案。函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為使標(biāo)準(zhǔn)差為最小，確定最佳測(cè)量方案，從以下兩方面考慮：47第七節(jié)最佳測(cè)量方案的確定測(cè)量結(jié)果與多48間接測(cè)量中部分誤差項(xiàng)數(shù)越少，函數(shù)誤差越小則選取包含直接測(cè)量值最少的函數(shù)公式若不同函數(shù)公式包含直接測(cè)量個(gè)數(shù)相同則選取誤差較小的直接測(cè)量值的函數(shù)公式如例3－8①②直接測(cè)量數(shù)目相同（3個(gè)）③的直接測(cè)量數(shù)目（2個(gè)）③的誤差最小一選擇最佳函數(shù)誤差公式48間接測(cè)量中部分誤差項(xiàng)數(shù)越少，函數(shù)誤差越小則選取包含直接測(cè)49如例3－8①②直接測(cè)量數(shù)目相同（3個(gè)）③的直接測(cè)量數(shù)目（2個(gè)）③的誤差最小一選擇最佳函數(shù)誤差公式49如例3－8一選擇最佳函數(shù)誤差公式50一選擇最佳函數(shù)誤差公式50一選擇最佳函數(shù)誤差公式51一選擇最佳函數(shù)誤差公式51一選擇最佳函數(shù)誤差公式52一選擇最佳函數(shù)誤差公式52一選擇最佳函數(shù)誤差公式53二使誤差傳遞系數(shù)等于零或?yàn)樽钚∪?，則，則測(cè)量值的誤差對(duì)函數(shù)沒影響若為最小，則減小對(duì)函數(shù)誤差的影響53二使誤差傳遞系數(shù)等于零或?yàn)樽钚∪?4二使誤差傳遞系數(shù)等于零或?yàn)樽钚?4二使誤差傳遞系數(shù)等于零或?yàn)樽钚?5二使誤差傳遞系數(shù)等于零或?yàn)樽钚?5二使誤差傳遞系數(shù)等于零或?yàn)樽钚?6二使誤差傳遞系數(shù)等于零或?yàn)樽钚?6二使誤差傳遞系數(shù)等于零或?yàn)樽钚?7若使則s=0，無意義使盡可能小2h越大越好，s接近直徑若使

滿足s=2h,即測(cè)量直徑，使得不影響直徑的精度，函數(shù)誤差相應(yīng)減小。如用弓高弦長(zhǎng)法測(cè)直徑D直徑誤差公式為：57若使則s=0，無意義58作業(yè)：

3-8，3-10，3-11

58作業(yè)：59第三章誤差的合成與分配第一節(jié)函數(shù)誤差第二節(jié)隨機(jī)誤差的合成第三節(jié)系統(tǒng)誤差的合成第四節(jié)系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的合成第五節(jié)誤差分配第六節(jié)微小誤差取舍準(zhǔn)則第七節(jié)最佳測(cè)量方案的確定1第三章誤差的合成與分配第一節(jié)函數(shù)誤差60

任何測(cè)量結(jié)果都包含有一定的測(cè)量誤差，這是測(cè)量過程中各環(huán)節(jié)一系列誤差因素共同作用的結(jié)果。

正確分析與綜合這些誤差因素，并正確地表述這些誤差的綜合影響。第一節(jié)函數(shù)誤差

間接測(cè)量：通過直接測(cè)量與被測(cè)的量之間有一定函數(shù)關(guān)系的其它量，按照已知的函數(shù)關(guān)系式計(jì)算出被測(cè)量。

間接測(cè)量誤差是各直接測(cè)量值誤差的函數(shù)，即函數(shù)誤差。研究函數(shù)誤差的實(shí)質(zhì)就是研究誤差的傳遞性的問題。對(duì)于這種有確定關(guān)系的誤差的計(jì)算稱為誤差合成。2任何測(cè)量結(jié)果都包含有一定的測(cè)量誤差，這是測(cè)量過61在間接測(cè)量中，函數(shù)主要為多元初等函數(shù)，其表達(dá)式為：式中：——各個(gè)直接測(cè)量值；——間接測(cè)量值。

函數(shù)增量為：

若已知各直接測(cè)量值的系統(tǒng)誤差，由于這些誤差較小，可用來代替上式中的微分量，得：（函數(shù)系統(tǒng)誤差公式）式中：為各個(gè)直接測(cè)量值的誤差傳遞系數(shù)。一.函數(shù)系統(tǒng)誤差的計(jì)算3在間接測(cè)量中，函數(shù)主要為多元初等函數(shù)，其表達(dá)式為：式中：62

有些情況下，函數(shù)公式較簡(jiǎn)單，如：則：，誤差傳遞系數(shù)為常數(shù)。

在間接測(cè)量中，常遇到角度測(cè)量，以等形式出現(xiàn)。

以正弦三角函數(shù)為例：三角函數(shù)的系統(tǒng)誤差：對(duì)正弦函數(shù)微分：以系統(tǒng)誤差代替微分量或4有些情況下，函數(shù)公式較簡(jiǎn)單，如：63代入即得正弦函數(shù)的角度系統(tǒng)誤差公式為：同理可得其他三角函數(shù)的角度系統(tǒng)誤差公式：對(duì)于，角度系統(tǒng)誤差為：對(duì)于，角度系統(tǒng)誤差為：對(duì)于，角度系統(tǒng)誤差為：P56-57：例3-1；3-25代入即得正弦函數(shù)的角度系統(tǒng)誤差公式為：同理可得其他三角函數(shù)64二.函數(shù)隨機(jī)誤差計(jì)算

函數(shù)隨機(jī)誤差計(jì)算：就是研究函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差與各測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)差之間的關(guān)系。函數(shù)一般形式：假設(shè)對(duì)各測(cè)量值皆進(jìn)行N次等精度測(cè)量，其相應(yīng)的隨機(jī)誤差為：對(duì)：對(duì)：對(duì)：…隨機(jī)誤差標(biāo)準(zhǔn)差取值的分散程度函數(shù)的隨機(jī)誤差取值的分散程度標(biāo)準(zhǔn)差以各測(cè)量值的隨機(jī)誤差δx1,δx2,……..

Δxn代替dx1,dx2,…dxn只能得到函數(shù)的隨機(jī)誤差δy,得不到σy6二.函數(shù)隨機(jī)誤差計(jì)算函數(shù)隨機(jī)誤差計(jì)算：就是研究65…則的隨機(jī)誤差為：將上式各方程平方后再相加得：7…則的隨機(jī)誤差為：將上式各方程平方后再相加得：66將上式各項(xiàng)除以N得：定義：或可得：

該式即為函數(shù)隨機(jī)誤差公式，其中為第個(gè)測(cè)量值和第個(gè)測(cè)量值之間的誤差相關(guān)系數(shù),為各測(cè)量值的誤差傳遞系數(shù)。8將上式各項(xiàng)除以N得：定義：或可得：該式即為函67若各測(cè)量值的隨機(jī)誤差是相互獨(dú)立的，且當(dāng)N適當(dāng)大時(shí)，有：則誤差公式變?yōu)椋毫睿ㄝ^常使用）9若各測(cè)量值的隨機(jī)誤差是相互獨(dú)立的，且當(dāng)N適當(dāng)大時(shí)，有：則誤68

當(dāng)各個(gè)測(cè)量值的隨機(jī)誤差為正態(tài)分布時(shí)，上式中的標(biāo)準(zhǔn)差用極限誤差代替，得函數(shù)的極限誤差公式：

通常，且函數(shù)形式較簡(jiǎn)單，即則函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差為：函數(shù)的極限誤差為：極限誤差的定義：？10當(dāng)各個(gè)測(cè)量值的隨機(jī)誤差為正態(tài)分布時(shí)，上式中的標(biāo)69

那么，三角函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差公式？

假設(shè)三角函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為，各測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)差為可得相應(yīng)的角度標(biāo)準(zhǔn)差公式。（1）對(duì)于有：（2）對(duì)于有：11那么，三角函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差公式？假設(shè)三角函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差70（4）對(duì)于有：（3）對(duì)于有：12（4）對(duì)于71三.誤差間的相關(guān)關(guān)系和相關(guān)系數(shù)1.誤差間的線性相關(guān)關(guān)系即線性依賴關(guān)系，有強(qiáng)弱之分。2.相關(guān)系數(shù)

當(dāng)兩誤差間有線性關(guān)系時(shí)，其相關(guān)性強(qiáng)弱由相關(guān)系數(shù)來反映，所以在誤差合成時(shí)，先求得相關(guān)系數(shù)再計(jì)算出相關(guān)項(xiàng)大小。由相關(guān)系數(shù)定義知：式中：——誤差間的協(xié)方差；

——兩誤差的標(biāo)準(zhǔn)差。13三.誤差間的相關(guān)關(guān)系和相關(guān)系數(shù)1.誤差間的線性相關(guān)關(guān)系72由概率論知：當(dāng)時(shí)，正相關(guān)；當(dāng)時(shí)，負(fù)相關(guān)；當(dāng)時(shí)，完全正相關(guān)；當(dāng)時(shí)，完全負(fù)相關(guān)；當(dāng)時(shí)，線性無關(guān)。

注意：只能表示兩誤差間的線性關(guān)系的密切程度，當(dāng)很小甚至等于0時(shí)，兩誤差間不存在線性關(guān)系，但并不表示不存在其他函數(shù)關(guān)系。3.確定的幾種方法（1）直接判斷法；根據(jù)誤差可能有無聯(lián)系、或聯(lián)系強(qiáng)弱確定14由概率論知：當(dāng)時(shí)，正相關(guān)；73

用多組測(cè)量的對(duì)應(yīng)值作圖，并與圖3－3（標(biāo)準(zhǔn)圖）相比較，從而確定相關(guān)系數(shù)的近似值。（3）簡(jiǎn)單計(jì)算法：

將多組測(cè)量的對(duì)應(yīng)值在平面坐標(biāo)上作圖。（2）觀察法：15用多組測(cè)量的對(duì)應(yīng)值作圖，并74（5）理論計(jì)算法：有些誤差的相關(guān)系數(shù)，可根據(jù)概率論和最小二乘法直接求的。（4）直接計(jì)算法：根據(jù)定義16（5）理論計(jì)算法：有些誤差的相關(guān)系數(shù)，可根據(jù)概率論和最小75第二節(jié)隨機(jī)誤差的合成

隨機(jī)誤差的合成：常采用標(biāo)準(zhǔn)差方和根的方法，同時(shí)要考慮各誤差的傳遞系數(shù)和誤差間的相關(guān)性影響。一.標(biāo)準(zhǔn)差的合成

設(shè)有q個(gè)單項(xiàng)隨機(jī)誤差，其標(biāo)準(zhǔn)差分別為，其相應(yīng)的傳遞系數(shù)為。根據(jù)方和根的運(yùn)算方法，各標(biāo)準(zhǔn)差合成后的總標(biāo)準(zhǔn)差為：優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)單方便，且不考慮各單項(xiàng)隨機(jī)誤差的概率分布。

隨機(jī)誤差具有隨機(jī)性，其取值不可預(yù)知，用測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差或極限誤差表征其取值的分散程度。17第二節(jié)隨機(jī)誤差的合成隨機(jī)誤差的合成：常采用76方和根法合成的總極限誤差為：式中：——各極限誤差傳遞系數(shù)；

——任意兩誤差間的相關(guān)系數(shù)。

但一般情況下，各單項(xiàng)極限誤差的置信概率可能不相同，不能按上式進(jìn)行極限誤差合成。應(yīng)根據(jù)各單項(xiàng)誤差的分布情況引入置信系數(shù)，先將誤差轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)差，再按極限誤差合成。二.極限誤差的合成

若已知各單項(xiàng)極限誤差為，且置信概率相同，則按18方和根法合成的總極限誤差為：式中：——各極限誤差傳77單項(xiàng)極限誤差為：式中：——個(gè)單項(xiàng)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差；

——各單項(xiàng)極限誤差的置信系數(shù)。總的極限誤差為：將總標(biāo)準(zhǔn)差公式代入上式得：上式即為一般的極限誤差合成公式。優(yōu)點(diǎn)：具有明確的概率意義。

注意：公式中的各個(gè)置信系數(shù)不僅與置信概率有關(guān)，且與隨機(jī)誤差的分布有關(guān)。19單項(xiàng)極限誤差為：式中：——個(gè)單項(xiàng)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差；總的78

當(dāng)各個(gè)單項(xiàng)隨機(jī)誤差均服從正態(tài)分布時(shí)，公式中的各置信系數(shù)完全相同，即：，則公式變?yōu)椋?/p>

一般情況下，，則極限誤差合成公式變?yōu)椋海ㄝ^常使用）20當(dāng)各個(gè)單項(xiàng)隨機(jī)誤差均服從正態(tài)分布時(shí)，公式中的各79第三節(jié)系統(tǒng)誤差的合成

系統(tǒng)誤差的大小是評(píng)定測(cè)量準(zhǔn)確度高低的標(biāo)志。系統(tǒng)誤差具有確定的變化規(guī)律。已定系統(tǒng)誤差和未定系統(tǒng)誤差。標(biāo)準(zhǔn)差期望值

均值

某次測(cè)得值

奇異值

21第三節(jié)系統(tǒng)誤差的合成系統(tǒng)誤差的大小是評(píng)定測(cè)量80一.已定系統(tǒng)誤差的合成誤差大小與方向均已確切掌握了的系統(tǒng)誤差。對(duì)于已定系統(tǒng)誤差常按代數(shù)和的方法計(jì)算其合成誤差。

若在測(cè)量過程中，有r個(gè)單項(xiàng)已定系統(tǒng)誤差，其誤差值分別為，相應(yīng)的誤差傳遞系數(shù)為，則按代數(shù)和法合成的總的已定系統(tǒng)誤差為：

在實(shí)際測(cè)量中，已定系統(tǒng)誤差應(yīng)用修正值去消除。若由于某種原因未被消除，則應(yīng)用代數(shù)和法合成。一般情況下，最后測(cè)量結(jié)果不應(yīng)含有已定系統(tǒng)誤差。22一.已定系統(tǒng)誤差的合成誤差大小與方向均已確切掌握了的系81二.未定系統(tǒng)誤差定義：

未定系統(tǒng)誤差是指誤差大小和方向未能確切掌握，而只能或只需估計(jì)出其不致超過某一極限范圍的系統(tǒng)誤差。1.未定系統(tǒng)誤差的特征及其評(píng)定

未定系統(tǒng)誤差在測(cè)量條件不變時(shí)有一恒定值，多次重復(fù)測(cè)量時(shí)其值固定不變，因而不具有抵償性。所以利用算術(shù)平均值法不能減少它對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響。這是它與隨機(jī)誤差的重要差別。

但當(dāng)測(cè)量條件改變時(shí)，由于未定系統(tǒng)誤差的取值在某一極限范圍內(nèi)具有隨機(jī)性，并服從一定的概率分布，這與隨機(jī)誤差相似，所以也可采用標(biāo)準(zhǔn)差或極限誤差來表征未定系統(tǒng)誤差取值的分散程度。23二.未定系統(tǒng)誤差定義：未定系統(tǒng)誤差是指誤差大小和方82

對(duì)于某一單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差，其概率分布取決于該誤差源變化時(shí)所引起的系統(tǒng)誤差的變化規(guī)律。

現(xiàn)在對(duì)未定系統(tǒng)誤差的概率分布均根據(jù)測(cè)量實(shí)際情況的分析和判斷來確定的，并采用兩種假設(shè)：一是按正態(tài)分布處理，一是按均勻分布處理。

對(duì)某一單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差的極限范圍是根據(jù)誤差源具體情況的分析與判斷而作出估計(jì)的。1.未定系統(tǒng)誤差的特征及其評(píng)定表示符號(hào)：

極限誤差：e

標(biāo)準(zhǔn)差：u24對(duì)于某一單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差，其概率分布取決于該誤差源832.未定系統(tǒng)誤差的合成（1）標(biāo)準(zhǔn)差的合成

設(shè)測(cè)量過程中有s個(gè)單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差，其標(biāo)準(zhǔn)差分別為其相應(yīng)的傳遞系數(shù)為，合成后未定系統(tǒng)誤差的的總標(biāo)準(zhǔn)差為：當(dāng)時(shí)，有：252.未定系統(tǒng)誤差的合成（1）標(biāo)準(zhǔn)差的合成設(shè)測(cè)量84（2）極限誤差的合成各單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差的極限誤差為：總的未定系統(tǒng)誤差的極限誤差為：可得：或

當(dāng)各單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差均服從正態(tài)分布，且時(shí)，上式可簡(jiǎn)化為：26（2）極限誤差的合成各單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差的極限誤差為：總的85第四節(jié)系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的合成測(cè)量過程中存在著不同性質(zhì)的系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差將兩種誤差進(jìn)行合成綜合，用極限誤差和標(biāo)準(zhǔn)差來表示一、按極限誤差合成設(shè)有r個(gè)單項(xiàng)已定系統(tǒng)誤差

s個(gè)單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差

q個(gè)單項(xiàng)隨機(jī)誤差假設(shè)誤差傳遞系數(shù)均為1，則總極限誤差為：各個(gè)誤差間協(xié)方差之和27第四節(jié)系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的合成測(cè)量過程中存在著不同86當(dāng)各誤差均服從正態(tài)分布，各個(gè)誤差間互不關(guān)聯(lián)，R=0對(duì)已定系統(tǒng)誤差修正后：對(duì)多次測(cè)量:

隨機(jī)誤差抵償性

系統(tǒng)誤差固定不變28當(dāng)各誤差均服從正態(tài)分布，對(duì)已定系統(tǒng)誤差修正后：對(duì)多次測(cè)87按標(biāo)準(zhǔn)差合成s個(gè)未定系統(tǒng)誤差標(biāo)準(zhǔn)差q個(gè)單項(xiàng)隨機(jī)誤差標(biāo)準(zhǔn)差誤差傳遞系數(shù)均為1，且各個(gè)誤差間協(xié)方差之和R為0對(duì)于多次重復(fù)測(cè)量：只考慮未定系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差合成問題29按標(biāo)準(zhǔn)差合成s個(gè)未定系統(tǒng)誤差標(biāo)準(zhǔn)差誤差傳遞系數(shù)均為1，且88按標(biāo)準(zhǔn)差合成30按標(biāo)準(zhǔn)差合成89按標(biāo)準(zhǔn)差合成31按標(biāo)準(zhǔn)差合成90按標(biāo)準(zhǔn)差合成32按標(biāo)準(zhǔn)差合成91按標(biāo)準(zhǔn)差合成33按標(biāo)準(zhǔn)差合成92按標(biāo)準(zhǔn)差合成34按標(biāo)準(zhǔn)差合成93按標(biāo)準(zhǔn)差合成35按標(biāo)準(zhǔn)差合成94按標(biāo)準(zhǔn)差合成36按標(biāo)準(zhǔn)差合成95第五節(jié)誤差分配單項(xiàng)誤差總誤差總誤差的允差各個(gè)單項(xiàng)誤差綜合如：弓高弦長(zhǎng)法測(cè)大直徑D給定直徑測(cè)量允許極限誤差，求弓高h(yuǎn)和弦長(zhǎng)s的測(cè)量極限誤差已定系統(tǒng)誤差通過修正方法消除，則只考慮未定系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差，且這兩種誤差分配時(shí)可同等看待，分配方法完全相同。37第五節(jié)誤差分配單項(xiàng)誤差96設(shè)誤差因素皆為隨機(jī)誤差，且互不相關(guān)：函數(shù)的部分誤差使得給定，則需確定38設(shè)誤差因素皆為隨機(jī)誤差，且互不相關(guān)：函數(shù)的部分誤差使得給97一按等作用原則分配誤差用極限誤差表示為使得給定，則需確定39一按等作用原則分配誤差用極限誤差表示為使得給定982

各個(gè)部分誤差一定，相應(yīng)測(cè)量值誤差與傳遞系數(shù)成反比，盡管各個(gè)部分誤差相等，因傳遞系數(shù)不同而相應(yīng)測(cè)量值誤差并不等。二按可能性調(diào)整誤差因此必須根據(jù)具體情況進(jìn)行調(diào)整

1對(duì)難以實(shí)現(xiàn)測(cè)量的誤差項(xiàng)，適當(dāng)擴(kuò)大

2對(duì)容易實(shí)現(xiàn)測(cè)量的誤差項(xiàng)，盡可能減小

3其余誤差項(xiàng)，不予調(diào)整1

有的測(cè)量值的測(cè)量誤差不超出允許范圍，難以滿足要求，要保證測(cè)量精度，要用昂貴的高精度儀器，或者付出較大勞動(dòng)。402各個(gè)部分誤差一定，相應(yīng)測(cè)