高中數(shù)學(xué)(北師大版)選修2-2教案第1章反證法的應(yīng)用例題解析

反法應(yīng)例解反證法是一種間接證明的方法，其基本思路是從命題結(jié)論的反面出發(fā)，引出矛盾從而證明命題成立運(yùn)用反證法的關(guān)鍵“尋找矛盾以與已知的公理、定義、定理矛盾；與題目的已知條件矛盾；與臨時(shí)假設(shè)矛盾或推出兩個(gè)互相矛盾的命題。下面結(jié)合解題實(shí)際,談一談什么時(shí)侯宜用反證法。一、證否定型命題常用反法11例1如,b,c是不全相等的實(shí)數(shù)，,b,c等差數(shù)列，求證：,不成abc等差數(shù)列。11a證明：假設(shè),,成等差數(shù)列，則abcac由,b,c成等差數(shù)列，2ba①那么

2，2②bac由①、②b,是不全相等的實(shí)數(shù)矛盾。11故,,不成等差數(shù)列。abc點(diǎn)評本題是否定型命題對于否定型命題的常規(guī)論證方法也是用反證法從否定結(jié)論開始，,c成等差數(shù)列的條件下進(jìn)行推理，得,b,c成等比數(shù)列，因，與已知矛盾，從而結(jié)論成立。二、正證明困難時(shí)用反證例2求證：方5

的解是惟一的.證明：確定方程的解：由對數(shù)的定義易得12是這個(gè)方程的一個(gè)解15證明惟一性：假設(shè)這個(gè)方程的不是惟一的，它還有另解22

5x，則，5

…….①，假設(shè)，得，21從而，當(dāng)x21

……②；時(shí)521

…….③顯然，②、③都與①矛盾，這說明假設(shè)不成立，∴方5

解是惟一的.點(diǎn)評：當(dāng)原命題從證明下手證明較困難時(shí)，可不時(shí)時(shí)機(jī)地選擇從它的反面證-1-/3

321a1321a1明，有時(shí)會起到事半功倍的效果.三、當(dāng)題中出現(xiàn)“多至少”時(shí)：例3已知,r是正數(shù)，試證：關(guān)于x的三個(gè)方8xpxxqx8rx至少有一個(gè)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根。證明：假設(shè)三個(gè)方程均無不相等的實(shí)根，則

p)2)r0r)2p0

2p2rr0與pqr都是正數(shù)矛盾2rp0故三個(gè)方程中至少有一個(gè)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根點(diǎn)評至少”型問題的常規(guī)證法是反證法；本題首先否定結(jié)論，利用方程的根與判別式之間的關(guān)系進(jìn)行推理，最終推出與已知矛盾的結(jié)果，從而肯定命題的正確性。借助反證法，整個(gè)推理過程順理成章，試想一下如果不用反證會將如何？四、解存在型問題有時(shí)可反證法例4已知數(shù){}中，a為正實(shí)數(shù)an

n

n

1an

(n（1）a，試求a的取值范圍。3（2）是否存在正實(shí)數(shù)，使an

n

任n成立。1(a2解1aaaa21a1

2

)

∴

(

515)(a)()()22(a

，a

5,1)2

,（2）不存在正實(shí)數(shù)，使an

n

任n成立。下面用反證法加以-2-/3

nnn11nnn11證明。假設(shè)存在正實(shí)數(shù)a，對任nan成立。

n

恒成立，anann

11110a∴aaann又a

n

n

a

1n

n

n

a

1n

a2

1a111∴aaaa12即an1

11n)aaa1n故n1

2

，

，則矛盾，因此，不存在正實(shí)數(shù)a，nan

n

，n恒成立。點(diǎn)評存在”就是有，證明有或者可以找出一個(gè)也