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Word文檔成人高考專升本高等數(shù)學(xué)二概念和筆記公式第一章
函數(shù)、極限和連續(xù)
§1.1
函數(shù)
一、主要內(nèi)容
㈠
函數(shù)的概念
1.
函數(shù)的定義:
y=f(x),
x∈D
定義域:
D(f),
值域:
Z(f).
2.分段函數(shù):
3.隱函數(shù):
F(x,y)=
0
4.反函數(shù):
y=f(x)
→
x=φ(y)=f-1(y)
y=f-1
(x)
定理:假如函數(shù):
y=f(x),
D(f)=X,
Z(f)=Y
是嚴(yán)格單調(diào)增加(或削減)的;
則它必定存在反函數(shù):
y=f-1(x),
D(f-1)=Y,
Z(f-1)=X
且也是嚴(yán)格單調(diào)增加(或削減)的。
㈡
函數(shù)的幾何特性
1.函數(shù)的單調(diào)性:
y=f(x),x∈D,x1、x2∈D
當(dāng)x1<x2時(shí),若f(x1)≤f(x2),
則稱f(x)在D內(nèi)單調(diào)增加(
);
若f(x1)≥f(x2),
則稱f(x)在D內(nèi)單調(diào)削減(
);
若f(x1)<f(x2),
則稱f(x)在D內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增加(
);
若f(x1)>f(x2),
則稱f(x)在D內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)削減(
)。
2.函數(shù)的奇偶性:D(f)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
偶函數(shù):f(-x)=f(x)
奇函數(shù):f(-x)=-f(x)
3.函數(shù)的周期性:
周期函數(shù):f(x+T)=f(x),
x∈(-∞,+∞)
周期:T——最小的正數(shù)
4.函數(shù)的有界性:
|f(x)|≤M
,
x∈(a,b)
㈢
基本初等函數(shù)
1.常數(shù)函數(shù):
y=c
,
(c為常數(shù))
2.冪函數(shù):
y=xn
,
(n為實(shí)數(shù))
3.指數(shù)函數(shù):
y=ax
,
(a>0、a≠1)
4.對(duì)數(shù)函數(shù):
y=loga
x
,(a>0、a≠1)
5.三角函數(shù):
y=sin
x
,
y=con
x
y=tan
x
,
y=cot
x
y=sec
x
,
y=csc
x
6.反三角函數(shù):y=arcsin
x,
y=arccon
x
y=arctan
x,
y=arccot
x
㈣
復(fù)合函數(shù)和初等函數(shù)
1.復(fù)合函數(shù):
y=f(u)
,
u=φ(x)
y=f[φ(x)]
,
x∈X
2.初等函數(shù):
由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算(加、減、乘、除)和復(fù)合所構(gòu)成的,并且能用一個(gè)數(shù)學(xué)式子表示的函數(shù)
§1.2
極
限
一、主要內(nèi)容
㈠極限的概念
1.
數(shù)列的極限:
稱數(shù)列以常數(shù)A為極限;
或稱數(shù)列收斂于A.
定理:
若的極限存在必定有界.
2.函數(shù)的極限:
⑴當(dāng)時(shí),的極限:
⑵當(dāng)時(shí),的極限:
左極限:
右極限:
⑶函數(shù)極限存的充要條件:
定理:
㈡
無窮大量和無窮小量
1.無窮大量:
稱在該變化過程中為無窮大量。
X再某個(gè)變化過程是指:
2.無窮小量:
稱在該變化過程中為無窮小量。
3.無窮大量與無窮小量的關(guān)系:
定理:
4.無窮小量的比較:
⑴若,則稱β是比α較高階的無窮小量;
⑵若
(c為常數(shù)),則稱β與α同階的無窮小量;
⑶若,則稱β與α是等價(jià)的無窮小量,記作:β~α;
⑷若,則稱β是比α較低階的無窮小量。
定理:若:
則:
㈢兩面夾定理
1.
數(shù)列極限存在的判定準(zhǔn)則:
設(shè):
(n=1、2、3…)
且:
則:
2.
函數(shù)極限存在的判定準(zhǔn)則:
設(shè):對(duì)于點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)的一切點(diǎn)
(點(diǎn)x0除外)有:
且:
則:
㈣極限的運(yùn)算規(guī)章
若:
則:①
②
③
推論:①
②
③
㈤兩個(gè)重要極限
1.
或
2.
§1.3
連續(xù)
一、主要內(nèi)容
㈠
函數(shù)的連續(xù)性
1.
函數(shù)在處連續(xù):在的鄰域內(nèi)有定義,
1o
2o
左連續(xù):
右連續(xù):
2.
函數(shù)在處連續(xù)的必要條件:
定理:在處連續(xù)在處極限存在
3.
函數(shù)在處連續(xù)的充要條件:
定理:
4.
函數(shù)在上連續(xù):
在上每一點(diǎn)都連續(xù)。
在端點(diǎn)和連續(xù)是指:
左端點(diǎn)右連續(xù);
右端點(diǎn)左連續(xù)。
a+
0
b-
x
5.
函數(shù)的間斷點(diǎn):
若在處不連續(xù),則為的間斷點(diǎn)。
間斷點(diǎn)有三種狀況:
1o在處無定義;
2o不存在;
3o在處有定義,且存在,
但。
兩類間斷點(diǎn)的推斷:
1o第一類間斷點(diǎn):
特點(diǎn):和都存在。
可去間斷點(diǎn):存在,但
,或在處無定義。
2o其次類間斷點(diǎn):
特點(diǎn):和至少有一個(gè)為∞,
或振蕩不存在。
無窮間斷點(diǎn):和至少有一個(gè)為∞
㈡函數(shù)在處連續(xù)的性質(zhì)
1.
連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算:
設(shè),
1o
2o
3o
2.
復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性:
則:
3.
反函數(shù)的連續(xù)性:
㈢函數(shù)在上連續(xù)的性質(zhì)
1.最大值與最小值定理:
在上連續(xù)在上肯定存在最大值與最小值。
y
y
+M
M
f(x)
f(x)
0
a
b
x
m
-M
0
a
b
x
a)
有界定理:
在上連續(xù)在上肯定有界。
3.介值定理:
在上連續(xù)在內(nèi)至少存在一點(diǎn)
,使得:,
其中:
y
y
M
f(x)
C
f(x)
0
a
ξ
b
x
m
0
a
ξ1
ξ2
b
x
推論:
在上連續(xù),且與異號(hào)在內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得:。
b)
初等函數(shù)的連續(xù)性:
初等函數(shù)在其定域區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的。
其次章
一元函數(shù)微分學(xué)
§2.1
導(dǎo)數(shù)與微分
一、主要內(nèi)容
㈠導(dǎo)數(shù)的概念
1.導(dǎo)數(shù):在的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義,
2.左導(dǎo)數(shù):
右導(dǎo)數(shù):
定理:在的左(或右)鄰域上連續(xù)在
其內(nèi)可導(dǎo),且極限存在;
則:
(或:)
3.函數(shù)可導(dǎo)的必要條件:
定理:在處可導(dǎo)在處連續(xù)
4.
函數(shù)可導(dǎo)的充要條件:
定理:存在,
且存在。
5.導(dǎo)函數(shù):
在內(nèi)到處可導(dǎo)。
y
6.導(dǎo)數(shù)的幾何性質(zhì):
是曲線上點(diǎn)
處切線的斜率。
o
x0
x
㈡求導(dǎo)法則
1.基本求導(dǎo)公式:
2.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算:
1o
2o
3o
3.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù):
,或
☆留意與的區(qū)分:
表示復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量求導(dǎo);
表示復(fù)合函數(shù)對(duì)中間變量求導(dǎo)。
4.高階導(dǎo)數(shù):
函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)等于其n-1導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)。
㈢微分的概念
1.微分:在的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義,
其中:與無關(guān),是比較高
階的無窮小量,即:
則稱在處可微,記作:
2.導(dǎo)數(shù)與微分的等價(jià)關(guān)系:
定理:
在處可微在處可導(dǎo),
且:
3.微分形式不變性:
不論u是自變量,還是中間變量,函數(shù)的
微分都具有相同的形式。
§2.2
中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用
一、主要內(nèi)容
㈠中值定理
1.羅爾定理:
滿意條件:
y
a
o
ξ
b
x
a
o
ξ
b
x
2.拉格朗日定理:滿意條件:
㈡羅必塔法則:(
型未定式)
定理:和滿意條件:
1o;
2o在點(diǎn)a的某個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo),且;
3o
則:
☆留意:1o法則的意義:把函數(shù)之比的極限化成了它們導(dǎo)數(shù)之比的極限。
2o若不滿意法則的條件,不能使用法則。
即不是型或型時(shí),不行求導(dǎo)。
3o應(yīng)用法則時(shí),要分別對(duì)分子、分母
求導(dǎo),而不是對(duì)整個(gè)分式求導(dǎo)。
4o若和還滿意法則的條件,
可以連續(xù)使用法則,即:
5o若函數(shù)是型可采納代數(shù)變
形,化成或型;若是型可
采納對(duì)數(shù)或指數(shù)變形,化成或型。
㈢導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用
1.
切線方程和法線方程:
設(shè):
切線方程:
法線方程:
2.
曲線的單調(diào)性:
⑴
3.函數(shù)的極值:
⑴極值的定義:
設(shè)在內(nèi)有定義,是內(nèi)的一點(diǎn);
若對(duì)于的某個(gè)鄰域內(nèi)的任意點(diǎn),都有:
則稱是的一個(gè)極大值(或微小值),
稱為的極大值點(diǎn)(或微小值點(diǎn))。
⑵極值存在的必要條件:
定理:
稱為的駐點(diǎn)
⑶極值存在的充分條件:
定理一:
當(dāng)漸增通過時(shí),由(+)變(-);
則為極大值;
當(dāng)漸增通過時(shí),由(-)變(+);則為微小值。
定理二:
若,則為極大值;
若,則為微小值。
☆留意:駐點(diǎn)不肯定是極值點(diǎn),極值點(diǎn)也不肯定是駐點(diǎn)。
4.曲線的凹向及拐點(diǎn):
⑴若;則在內(nèi)是上凹的(或凹的),(∪);
⑵
;則在內(nèi)是下凹的(或凸的),(∩);
⑶
5。曲線的漸近線:
⑴水平漸近線:
⑵鉛直漸近線:
第三章
一元函數(shù)積分學(xué)
§3.1
不定積分
一、主要內(nèi)容
㈠重要的概念及性質(zhì):
1.原函數(shù):設(shè):
若:
則稱是的一個(gè)原函數(shù),
并稱是的全部原函數(shù),
其中C是任意常數(shù)。
2.不定積分:
函數(shù)的全部原函數(shù)的全體,
稱為函數(shù)的不定積分;記作:
其中:稱為被積函數(shù);
稱為被積表達(dá)式;
稱為積分變量。
3.
不定積分的性質(zhì):
⑴
或:
⑵
或:
⑶
—分項(xiàng)積分法
⑷
(k為非零常數(shù))
4.基本積分公式:
㈡換元積分法:
⒈第一換元法:(又稱“湊微元”法)
常用的湊微元函數(shù)有:
1o
2o
3o
4o
5o
6o
2.其次換元法:
其次換元法主要是針對(duì)含有根式的被積函數(shù),
其作用是將根式有理化。
一般有以下幾種代換:
1o
(當(dāng)被積函數(shù)中有時(shí))
2o
(當(dāng)被積函數(shù)中有時(shí))
3o
(當(dāng)被積函數(shù)中有時(shí))
4o
(當(dāng)被積函數(shù)中有時(shí))
㈢分部積分法:
1.
分部積分公式:
2.分部積分法主要針對(duì)的類型:
⑴
⑵
⑷
⑷
⑸
其中:
(多項(xiàng)式)
3.選u規(guī)律:
⑴在三角函數(shù)乘多項(xiàng)式中,令,
其余記作dv;簡(jiǎn)稱“三多選多”。
⑵在指數(shù)函數(shù)乘多項(xiàng)式中,令,
其余記作dv;簡(jiǎn)稱“指多選多”。
⑶在多項(xiàng)式乘對(duì)數(shù)函數(shù)中,令,
其余記作dv;簡(jiǎn)稱“多對(duì)選對(duì)”。
⑷在多項(xiàng)式乘反三角函數(shù)中,選反三角函數(shù)
為u,其余記作dv;簡(jiǎn)稱“多反選反”。
⑸在指數(shù)函數(shù)乘三角函數(shù)中,可任選一函數(shù)
為u,其余記作dv;簡(jiǎn)稱“指三任選”。
㈣簡(jiǎn)潔有理函數(shù)積分:
1.
有理函數(shù):
其中是多項(xiàng)式。
2.
簡(jiǎn)潔有理函數(shù):
⑴
⑵
⑶
§3.2定積分
f(x)
一.
主要內(nèi)容
(一).重要概念與性質(zhì)
1.
定積分的定義:
O
a
x1
x2
xi-1
ξi
xi
xn-1
b
x
定積分含四步:分割、近似、求和、取極限。
定積分的幾何意義:是介于x軸,曲線y=f(x),
直線x=a,x=b之間各部分面積的代數(shù)和。
x軸上方的面積取正號(hào),
y
x
軸下方的面積取負(fù)號(hào)。
+
+
a
0
-
b
x
2.
定積分存在定理:
若:f(x)滿意下列條件之一:
若積分存在,則積分值與以下因素?zé)o關(guān):
3.
牛頓——萊布尼茲公式:
牛頓——萊布尼茲公式是積分學(xué)中的核心定理,其作用是將一個(gè)求曲邊面積值的問題轉(zhuǎn)化為查找原函數(shù)及計(jì)算差量的問題。
4.
原函數(shù)存在定理:
5.
定積分的性質(zhì):
y
y
y
f(x)
g(x)
1
f(x)
0
a
c
b
x
0
a
b
x
0
a
b
x
y
y
M
f(x)
f(x)
m
0
a
b
x
0
a
ξ
b
x
(二)定積分的計(jì)算:
1.
換元積分
2.
分部積分
3.
廣義積分
4.
定積分的導(dǎo)數(shù)公式
(三)定積分的應(yīng)用
1.
平面圖形的面積:
與x軸所圍成的圖形的面積
y
f(x)
①.
求出曲線的交點(diǎn),畫出草圖;
②.
確定積分變量,由交點(diǎn)確定積分上下限;
③.
應(yīng)用公式寫出積分式,并進(jìn)行計(jì)算。
2.
旋轉(zhuǎn)體的體積
及x軸所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積:
0
a
b
x
及y軸所圍成圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積:
第四章
多元函數(shù)微積分初步
§4.1
偏導(dǎo)數(shù)與全微分
一.
主要內(nèi)容:
㈠.
多元函數(shù)的概念
c)
二元函數(shù)的定義:
d)
二元函數(shù)的幾何意義:
二元函數(shù)是一個(gè)空間曲面。(而一元函數(shù)是平面上的曲線)
㈡.
二元函數(shù)的極限和連續(xù):
1.
極限定義:設(shè)z=f(x,y)滿意條件:
2.
連續(xù)定義:設(shè)z=f(x,y)滿意條件:
㈢.偏導(dǎo)數(shù):
㈣.全微分:
1.定義:z=f(x,y)
在點(diǎn)(x,y)處的全微分。
3.
全微分與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系
㈤.復(fù)全函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù):
1.
2.
㈥.隱含數(shù)的偏導(dǎo)數(shù):
1.
2.
㈦.二階偏導(dǎo)數(shù):
㈧.二元函數(shù)的無條件極值
1.
二元函數(shù)極值定義:
極大值和微小值統(tǒng)稱為極值,
極大值點(diǎn)和微小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)。
2.極值的必要條件:
兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)存在,則:
★
而非充分條件。
例:
∴駐點(diǎn)不肯定是極值點(diǎn)。
e)
極值的充分條件:
求二元極值的方法:
極值點(diǎn)。
二倍角公式:(含萬能公式)
①
②
③
④
⑤
第五章排列與組合
(1)加法原理:完成一件事情與分類有關(guān),即每一類各自單獨(dú)完成,此事即可完成。
(2)乘法原理:完成一件事情與步驟有關(guān),即一次完成每一步驟,此事才能完成。
排列:從n個(gè)不同元素里,任取個(gè)元素,根據(jù)肯定的挨次排列成一列,稱為從n個(gè)不同元素里取出m個(gè)元素的一個(gè)排列,計(jì)算公式:
組合:從n個(gè)不同元素里,任取個(gè)元素組成一組,叫做從n個(gè)不同元素里取出m個(gè)元素的一個(gè)組合,組合總數(shù)記為,計(jì)算公式:
第六章概率論
符號(hào)
概率論
集合論
樣本空間
全集
不行能大事
空集
基本領(lǐng)件
集合的元素
A
大事
子集
A的對(duì)立大事
A的余集
大事A發(fā)生導(dǎo)致
大事B發(fā)生
A是B的子集
A=B
A與B兩大事相等
集合A與B相等
大事A與大事B
至少有一個(gè)發(fā)生
A與B的并集
大事A與大事B同時(shí)發(fā)生
A與B的交集
A-B
大事A發(fā)生而大事B不發(fā)生
A與B的差集
大事A與大事B互不相容
A與B沒有相同元素
由于隨機(jī)大事都可以用樣本空間中的某個(gè)集合來表示,于是大事間的關(guān)系和運(yùn)算就可以用集合論的學(xué)問來爭(zhēng)論和表示,為了直觀,可以用集合的韋恩圖來表示大事的各種關(guān)系和運(yùn)算法則,一般用某個(gè)矩形區(qū)域表示樣本空間,該區(qū)域的一個(gè)子區(qū)域表示某個(gè)大事。于是各大事的關(guān)系運(yùn)算如圖中的圖示所示。
各大事的關(guān)系運(yùn)算如圖示:
9.完備大事組
n個(gè)大事,假如滿意下列條件:
(1);
(2),
則稱其為完備大事組。
明顯任何一個(gè)大事A與其對(duì)立大事構(gòu)成完備大事組。
10.大事運(yùn)算的運(yùn)算規(guī)章:
(1)交換律
(2)結(jié)合律
(3)安排律
(4)對(duì)偶律
率的古典定義
定義:在古典概型中,若樣本空間所包含的基本領(lǐng)件總數(shù)為n,大事A包含的基本領(lǐng)件數(shù)為m,則大事A發(fā)生的概率為。
概率的基本性質(zhì)與運(yùn)算法則
性質(zhì)1.0≤P(A)≤1
特殊地,P(Φ)=0,P(Ω)=1
性質(zhì)2.若,則P(B-A)=P(B)-P(A)
性質(zhì)3.(加法公式).對(duì)任意大事A,B,有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)。
推論1.若大事A,B互不相容(互斥),則P(A+B)=P(A)+P(B)
推論2.對(duì)任一大事A,有
推論3.對(duì)任意大事A,B,C,有P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)
條件概率、乘法公式、大事的單獨(dú)性
條件概率
定義1:設(shè)有大事A,B,且P(B)>0,稱
類似地,假如P(A)>0,則大事B對(duì)大事A的條件概率為
概率的乘法公式
乘法公式可推廣到有限多個(gè)大事的狀況,例如對(duì)大事A,B,C,有
大事的單獨(dú)性
一般地說,
P(A︱B)≠P(A),即說明大事B的發(fā)生影響了大事A發(fā)生的概率。若P(A︱B)≠P(A),則說明大事B的發(fā)生在概率意義下對(duì)大事A的發(fā)生無關(guān),這時(shí)稱大事A,B相互單獨(dú)。
定義:對(duì)于大事A,B,若P(AB)=P(A)P(B)
,則稱大事A與大事B相互單獨(dú)。單獨(dú)試驗(yàn)序列概型
在相同的條件下,單獨(dú)重復(fù)進(jìn)行n次試驗(yàn),每次試驗(yàn)中大事A可能發(fā)生或可能不發(fā)生,且大事A發(fā)生的概率為p,則在n次試驗(yàn)中大事A恰好發(fā)生k次的概率為
一維隨機(jī)變量及其概率分布
(一)隨機(jī)變量
1.隨機(jī)變量
定義:設(shè)Ω為樣本空間,假如對(duì)每一個(gè)可能結(jié)果,變量X都有一個(gè)確定的實(shí)數(shù)值與之對(duì)應(yīng),則稱X為定義在Ω上的隨機(jī)變量,簡(jiǎn)記作。
2.離散型隨機(jī)變量
定義:假如隨機(jī)變量X只能取有限個(gè)或無限可列個(gè)數(shù)值,則稱X為離散型隨機(jī)變量。
(二)分布函數(shù)與概率分布
1.分布函數(shù)
定義:設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量,x是任意實(shí)數(shù),則函數(shù)稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)。
分布函數(shù)F(x)有以下性質(zhì):
(2)F(x)是x的不減函數(shù),即對(duì)任意
(4)F(x)是右連續(xù)的,即
(5)對(duì)任意實(shí)數(shù)a<b,有P{a<X≤b}=F(b)-F(a)
2.離散型隨機(jī)變量的概率分布
則稱上式為離散型隨機(jī)變量X的概率分布(或概率函數(shù)或分布列)。
離散型隨機(jī)變量X的概率分布也可以用下列列表形式來表示:
3.分布函數(shù)與概率分布之間的關(guān)系
若X為離散型隨機(jī)變量,則。
隨機(jī)變量的數(shù)字特征
1.數(shù)學(xué)期望
(1)數(shù)學(xué)期望的概念
定義:設(shè)X為離散型隨機(jī)變量,其概率函數(shù)為
若級(jí)數(shù)肯定收斂,則稱為X的數(shù)學(xué)期望,簡(jiǎn)稱期望或均值,記作EX,即
(2)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)
①若C為常數(shù),則E(C)=C
②若a為常數(shù),則E(aX)=aE(X)
③若b為常數(shù),則E(X+b)=E(X)+b
④若X,Y為隨機(jī)變量,則E(X+Y)=E(X)+E(Y)
2.方差
(1)方差的概念
定義:設(shè)X為隨機(jī)變量,假如存在,則稱為X的方差,記作DX,即
方差的算術(shù)平方根稱為均方差或標(biāo)準(zhǔn)差,
對(duì)于離散型隨機(jī)變量X,假如X的概率函數(shù)為,
則X的方差為
(2)方差的性質(zhì)
①若C為常數(shù),則D(C)=0
②若a為常數(shù),則
③若b為常數(shù),則D(X+b)=D(X)
④
基本公式
由
(1)對(duì)數(shù)的性質(zhì):
①負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù);②1的對(duì)數(shù)是零;③底數(shù)的對(duì)數(shù)等于1。
(2)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則:
①
②
③
④
3、對(duì)數(shù)換底公式:
由換底公式推出一些常用的結(jié)論:
(1)
(2)
(3)
(4)
三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:
的遞增區(qū)間是,
遞減區(qū)間是;
的遞增區(qū)間是,
遞減區(qū)間是,
的遞增區(qū)間是,
1、數(shù)列極限的存在準(zhǔn)則
定理1.3(兩面夾準(zhǔn)則)若數(shù)列{xn},{yn},{zn}滿意以下條件:
(1),
(2),
則
定理1.4
若數(shù)列{xn}單調(diào)有界,則它必有極限。
2、數(shù)列極限的四則運(yùn)算定理。
(1)
(2)
,(3)當(dāng)時(shí),
3、當(dāng)x→x0時(shí),函數(shù)f(x)的極限等于A的必要充分條件是
這就是說:假如當(dāng)x→x0時(shí),函數(shù)f(x)的極限等于A,則必定有左、右極限都等于A。
反之,假如左、右極限都等于A,則必有。
4、函數(shù)極限的定理
定理1.7(惟一性定理)假如存在,則極限值必定惟一。
定理1.8(兩面夾定理)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)(可除外)滿意條件:
(1),(2),則有。
推論
:(1)
(2)
,(3)
5、無窮小量的基本性質(zhì)
性質(zhì)1有限個(gè)無窮小量的代數(shù)和仍是無窮小量;
性質(zhì)2有界函數(shù)(變量)與無窮小量的乘積是無窮小量;特殊地,常量與無窮小量的乘積是無窮小量。
性質(zhì)3有限個(gè)無窮小量的乘積是無窮小量。
性質(zhì)4無窮小量除以極限不為零的變量所得的商是無窮小量。
6、等價(jià)無窮小量代換定理:
假如當(dāng)時(shí),均為無窮小量,又有且存在,則。
7、重要極限Ⅰ
8、重要極限Ⅱ是指下面的公式:
9、(2)
(3)
(4)
10、函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的性質(zhì)
由于函數(shù)的連續(xù)性是通過極限來定義的,因而由極限的運(yùn)算法則,可以得到下列連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。
定理1.12(四則運(yùn)算)設(shè)函數(shù)f(x),g(x)在x0處均連續(xù),則
(1)f(x)±g(x)
在x0處連續(xù)
,(2)f(x)·g(x)在x0處連續(xù)
(3)若g(x0)≠0,則在x0處連續(xù)。
定理1.13(復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性)設(shè)函數(shù)u=g(x)在x=
x0處連續(xù),y=f(u)在u0=g(x0)處連續(xù),則復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]在x=
x0處連續(xù)。
定理1.14(反函數(shù)的連續(xù)性)設(shè)函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間上連續(xù),且嚴(yán)格單調(diào)增加(或嚴(yán)格單調(diào)削減),則它的反函數(shù)x=f-1(y)也在對(duì)應(yīng)區(qū)間上連續(xù),且嚴(yán)格單調(diào)增加(或嚴(yán)格單調(diào)削減)
閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)
在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)的函數(shù)f(x),有以下幾個(gè)基本性質(zhì),這些性質(zhì)以后都要用到。
定理1.15(有界性定理)
假如函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),則f(x)必在[a,b]上有界。
定理1.16(最大值和最小值定理)假如函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),則在這個(gè)區(qū)間上肯定存在最大值和最小值。
定理1.17(介值定理)假如函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),且其最大值和最小值分別為M和m,則對(duì)于介于m和M之間的任何實(shí)數(shù)C,在[a,b]上至少存在一個(gè)ξ,使得
f(ξ)=C
11、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)
在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)的函數(shù)f(x),有以下幾個(gè)基本性質(zhì),這些性質(zhì)以后都要用到。
定理1.15(有界性定理)
假如函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),則f(x)必在[a,b]上有界。
定理1.16(最大值和最小值定理)假如函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),則在這個(gè)區(qū)間上肯定存在最大值和最小值。
定理1.17(介值定理)假如函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),且其最大值和最小值分別為M和m,則對(duì)于介于m和M之間的任何實(shí)數(shù)C,在[a,b]上至少存在一個(gè)ξ,使得
f(ξ)=C
12、推論(零點(diǎn)定理)假如函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),且f(a)與f(b)異號(hào),則在[a,b]內(nèi)至少存在一個(gè)點(diǎn)ξ,使得
f(ξ)=0
13、初等函數(shù)的連續(xù)性
定理1.18初等函數(shù)在其定義的區(qū)間內(nèi)連續(xù)。
利用初等函數(shù)連續(xù)性的結(jié)論可知:假如f(x)是初等函數(shù),且x0是定義區(qū)間內(nèi)的點(diǎn),則
f(x)在x0處連續(xù)
也就是說,求初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)處的極限值,只要算出函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值即可。
14、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系
定理2.1假如函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),則它在x0處必定連續(xù)。
15、由這個(gè)定理可知:若函數(shù)f(x)在x0不連續(xù),則f(x)在x0處必定不行導(dǎo)。
16、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算
1.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式
(1)(C)'=0
(2)(xμ)'=μxμ-1
(3)(4)
(5)(ax)'=axlna(a>0,a≠1)
(6)(ex)'=ex
(7)(8)
(9)(sinx)'=cosx
(10)(cosx)'=
-sinx
(11)(12)
(13)(secx)'=secx·tanx
(14)(cscx)'=
-cscx·cotx
(15)(16)
(17)(18)
2.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則
設(shè)u=u(x),v=v(x)均為x的可導(dǎo)函數(shù),則有
(1)(u±v)'=u'±v'
(2)(u·v)'=u'·v+u·v'
(3)(cu)'=c·u'
(4)
(5)
(6)(u·v·w)'=u'·v·w+u·v'·w+u·v·w'
3.
復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則
假如u=φ(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo),而y=f(u)在相應(yīng)的點(diǎn)u=φ(x)處可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)y=f[φ(x)]在點(diǎn)x處可導(dǎo),且其導(dǎo)數(shù)為
同理,假如y=f(u),u=φ(v),v=ψ(x),則復(fù)合函數(shù)y=f[φ(ψ(x))]的導(dǎo)數(shù)為
4.反函數(shù)求導(dǎo)法則
假如x=φ(y)為單調(diào)可導(dǎo)函數(shù),則其反函
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