教學(xué)設(shè)計(jì)：基本不等式及其應(yīng)用

基本不等式及其應(yīng)用一、設(shè)計(jì)思想：本課為新授課，積極踐行新課程“數(shù)學(xué)有用”理念，倡導(dǎo)積極主動(dòng)、勇于探索的學(xué)習(xí)精神和合作探究式的學(xué)習(xí)方式；注重提高數(shù)學(xué)思維能力，在教與學(xué)的和諧統(tǒng)一中體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想和文化價(jià)值；注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的整合。二、教學(xué)目標(biāo)：1.知識(shí)與技能：(1)師生共同探究基本不等式；(2)了解基本不等式的代數(shù)、幾何背景及基本不等式的證明；(3)會(huì)簡(jiǎn)單運(yùn)用基本不等式。2.過(guò)程與方法：通過(guò)基本不等式的探索、發(fā)現(xiàn)，在知識(shí)發(fā)生、發(fā)展以及形成過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想、歸納、分析、綜合和邏輯推理的能力；遵循從特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律，讓學(xué)生在實(shí)踐中通過(guò)觀察、嘗試、分析、類(lèi)比的方法導(dǎo)出基本不等式，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思維能力。3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀：(1)培養(yǎng)學(xué)生舉一反三的邏輯推理能力，并通過(guò)不等式的幾何解釋?zhuān)S富學(xué)生數(shù)形結(jié)合的想象力；(2)通過(guò)具體的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題提出、分析與解決，激發(fā)學(xué)生探究的興趣和欲望，樹(shù)立學(xué)生求真的勇氣和自信心，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的心理體驗(yàn)，產(chǎn)生熱愛(ài)數(shù)學(xué)的情感，體驗(yàn)在學(xué)習(xí)中獲得成功的快樂(lè)。三、教學(xué)重點(diǎn)：（1）用數(shù)形結(jié)合的思想理解并探索基本不等式的證明；（2）運(yùn)用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題。四、教學(xué)難點(diǎn)：基本不等式的運(yùn)用。重、難點(diǎn)解決的方法策略：本課在設(shè)計(jì)上采用了由特殊到一般、從具體圖形到抽象代數(shù)的教學(xué)策略．利用數(shù)形結(jié)合思想，層層深入，通過(guò)學(xué)生自主活動(dòng)探究，分析、整理出推導(dǎo)公式的不同思路，同時(shí)，借助多媒體的直觀演示，幫助學(xué)生理解，并通過(guò)范例后的變式訓(xùn)練和教師的點(diǎn)撥引導(dǎo)，師生互動(dòng)、講練結(jié)合，從而突出重點(diǎn)、突破教學(xué)難點(diǎn)。五、教學(xué)方法：1.教法：根據(jù)對(duì)教材和學(xué)生的分析，針對(duì)學(xué)校實(shí)際情況，采用啟發(fā)引導(dǎo)式及多媒體輔助教學(xué)方法。2.學(xué)法：學(xué)生自主探索，創(chuàng)造機(jī)會(huì)讓學(xué)生合作、探究，交流。這體現(xiàn)一種“給學(xué)生一杯水然后教給學(xué)生尋找水的方法，使學(xué)生能找到一桶水乃至更多活水”的求知、學(xué)習(xí)方式。六、教學(xué)過(guò)程：教學(xué)環(huán)節(jié)師生活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖一、課題引入情景1：（生活中實(shí)際問(wèn)題引入）師：買(mǎi)一輛新車(chē)，使用多少年最合算，這是實(shí)際生活中必須考慮的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。情景2：（展示24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)）上圖是在北京召開(kāi)的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，該圖不僅代表了古代中國(guó)曾經(jīng)為世界數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了重要的貢獻(xiàn)，更體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔之美，其中還蘊(yùn)含著一個(gè)重要不等關(guān)系。觀察設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)文化為教學(xué)背景,引入新課，有效調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。二、講解新課三、例題講解四.拓展練習(xí)五、課堂小結(jié)六、課后思考1.能用四個(gè)全等的直角三角形拼成一幅弦圖嗎？師：請(qǐng)同學(xué)們以前后排四人為一小組，利用四個(gè)全等的直角三角板，拼成一個(gè)會(huì)標(biāo)圖案——勾股弦圖，并請(qǐng)兩位同學(xué)上講臺(tái)來(lái)完成拼圖。預(yù)案：若學(xué)生在拼圖時(shí)，發(fā)現(xiàn)用四個(gè)全等的等腰直角三角板拼圖，弦圖會(huì)有很大不同。若學(xué)生未發(fā)現(xiàn)則引導(dǎo)學(xué)生用四個(gè)全等的等腰直角三角板拼圖，發(fā)現(xiàn)不同之處。2.請(qǐng)觀察拼圖，圖中大正方形的面積與著紅色部分的圖形有何大小關(guān)系?由拼圖（1）可知：設(shè)直角三角形的兩條邊長(zhǎng)為a,b,那么正方形的邊長(zhǎng)為.這樣,4個(gè)直角三角形的面積和為2ab,正方形面積為.由于4個(gè)直角三角形的面積和小于正方形ABCD的面積，我們就得到了一個(gè)不等式由拼圖（2）得到等式，綜上可得重要不等式：，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。哪么，是否僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立呢？……我們來(lái)觀察一組動(dòng)畫(huà)，找到其中的答案.由動(dòng)畫(huà)可知：重要不等式：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。3.探討不等式成立的條件？拼圖中a,b表示線段的長(zhǎng)度，因此y要求時(shí)重要不等式成立。提問(wèn)：是否可以由特殊的，推廣到對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b都成立呢？如果可以，請(qǐng)證明；如果不可，請(qǐng)舉一個(gè)反例說(shuō)明。證明：.由證明過(guò)程可知：（1），不等式恒成立.（2）時(shí)取等號(hào).4.換元法探索與證明基本不等式.特別地，如果，我們用、分別代替a、b，可得：得到基本不等式：.通常我們把上式寫(xiě)作：.提問(wèn)：等號(hào)何時(shí)成立呢？答：當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).5.熟悉基本不等式提問(wèn)：比較它們成立的條件，有什么不同點(diǎn)?答：重要不等式成立條件：；基本不等式成立條件：.課堂練習(xí)：練習(xí)：下列不等式成立的是（B）例題分析：例1：下列說(shuō)法正確的是____（1）____例題提煉口訣：一正：二定：三相等：當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立.基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題：例2：近年隨著我國(guó)國(guó)民經(jīng)濟(jì)的迅速發(fā)展，人們的經(jīng)濟(jì)收入明顯提高，生活狀況越來(lái)越好，據(jù)有關(guān)部門(mén)抽樣調(diào)查的結(jié)果顯示，我國(guó)城鄉(xiāng)居民擁有量比2022年初翻了一番.某種汽車(chē),購(gòu)車(chē)費(fèi)是1O萬(wàn)元，每年支付的保險(xiǎn)費(fèi)、養(yǎng)路費(fèi)、汽油費(fèi)約為0．9萬(wàn)元，年維修費(fèi)第一年是0．2萬(wàn)元,以后逐年遞增0．2萬(wàn)元，這種汽車(chē)使用多少年時(shí)最合算?我們有以下幾種方案：1.使用n年時(shí)，總費(fèi)用最少；2.使用n年后，年平均費(fèi)用最少；3.使用n年后，總花費(fèi)超過(guò)購(gòu)車(chē)費(fèi)用10萬(wàn)元.以上方案中，你認(rèn)為選擇哪種方案最合理，并請(qǐng)用你認(rèn)為最合理的方案算出使用多少年時(shí)最合算.本題難點(diǎn)突破：以列表法體現(xiàn)使用n年時(shí)，總費(fèi)用、年平均費(fèi)用、除去購(gòu)車(chē)后總花費(fèi)與使用n年的函數(shù)關(guān)系。學(xué)生通過(guò)分析表格的數(shù)據(jù)，理解方案2最合理.解：設(shè)n年時(shí)，年平均費(fèi)用為y萬(wàn)元，則：當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，它的平均費(fèi)用最少.拓展：如果你想到了新的方案來(lái)衡量使用多少年最合算這個(gè)問(wèn)題，也可以利用本題列表的方法來(lái)判斷方案時(shí)候合理.課堂小結(jié)：重要不等式成立條件：；基本不等式成立條件：.請(qǐng)大家以?xún)蓚€(gè)不等式為線索，整理今天所學(xué)的知識(shí)。若有疑問(wèn)，可以與同學(xué)討論或舉手提問(wèn).課后作業(yè)：教學(xué)反思學(xué)生動(dòng)手,感受弦圖的變化觀察，思考觀察，思考探索基本不等式的證明法,學(xué)生以小組為單位展開(kāi)討論設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)拼圖,調(diào)動(dòng)學(xué)生興趣,感受弦圖的內(nèi)在意義.設(shè)計(jì)意圖:從形和數(shù)兩個(gè)方面探討重要不等式.滲透數(shù)形結(jié)合的思想.設(shè)計(jì)意圖:利用重要不等式