安徽省合肥一中、安慶一中等六校2022年高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典試題含解析

2022-2023學(xué)年高一上數(shù)學(xué)期末模擬試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題意，請將正確選項填涂在答題卡上.）1．若，則終邊在（）A.第一、三象限 B.第一、二象限C.第二、四象限 D.第三、四象限2．已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A. B.C. D.3．已知，為銳角，，，則的值為()A. B.C. D.4．已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則的值為A. B.C. D.5．已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（）A.（0，1） B.（1，2）C.（2，3） D.（3，4）6．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)圖象的一個對稱中心可能為（）A. B.C. D.7．已知集合，則集合中元素的個數(shù)為（）A.1 B.2C.3 D.48．下列函數(shù)中，在區(qū)間上是增函數(shù)是A. B.C. D.9．定義在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)恒滿足，且時，，則（）A. B.C.1 D.10．已知，則A. B.C. D.二、填空題（本大題共5小題，請把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上）11．“”是“”的______條件（請從“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中選擇一個填）12．已知，且，則的最小值為__________.13．在中,邊上的中垂線分別交于點(diǎn)若,則_______14．已知扇形的半徑為4，圓心角為，則扇形的面積為___________.15．已知球O的內(nèi)接圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，則球O的表面積為________.三、解答題（本大題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16．已知函數(shù)為上奇函數(shù)（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若不等式對任意恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值17．已知有半徑為1，圓心角為a（其中a為給定的銳角）的扇形鐵皮OMN，現(xiàn)利用這塊鐵皮并根據(jù)下列方案之一，裁剪出一個矩形.方案1：如圖1，裁剪出的矩形ABCD的頂點(diǎn)A，B在線段ON上，點(diǎn)C在弧MN上，點(diǎn)D在線段OM上；方案2：如圖2，裁剪出的矩形PQRS的頂點(diǎn)P，S分別在線段OM，ON上，頂點(diǎn)Q，R在弧MN上，并且滿足PQ∥RS∥OE，其中點(diǎn)E為弧MN的中點(diǎn).（1）按照方案1裁剪，設(shè)∠NOC=，用表示矩形ABCD的面積S1，并證明S1的最大值為；（2）按照方案2裁剪，求矩形PQRS的面積S2的最大值，并與（1）中的結(jié)果比較后指出按哪種方案可以裁剪出面積最大的矩形.18．求下列各式的值（1）；（2）19．（1）求函數(shù)的解析式；（2）試判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性定義證明；（3）當(dāng)時，函數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍20．已知函數(shù)（1）求的定義域；（2）判斷的奇偶性并予以證明；（3）求不等式的解集21．已知向量函數(shù)（1）若時，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時，討論函數(shù)的零點(diǎn)情況.

參考答案一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題意，請將正確選項填涂在答題卡上.）1、A【解析】分和討論可得角的終邊所在的象限.【詳解】解：因?yàn)?，所以?dāng)時，，其終邊在第三象限；當(dāng)時，，其終邊在第一象限.綜上，的終邊在第一、三象限.故選：A.2、C【解析】由函數(shù)單調(diào)性的定義，若函數(shù)在上單調(diào)遞減，可以得到函數(shù)在每一個子區(qū)間上都是單調(diào)遞減的，且當(dāng)時，，求解即可【詳解】若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，解得.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性．嚴(yán)格根據(jù)定義解答，本題保證隨的增大而減小，故解答本題的關(guān)鍵是的最小值大于等于的最大值3、A【解析】，根據(jù)正弦的差角公式展開計算即可.【詳解】∵，，∴，又∵，∴，又，∴，∴，，∴故選：A.4、C【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在單位圓上，又在角的終邊上，所以；則；故選C.5、B【解析】先分析函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而結(jié)合零點(diǎn)存在定理，可得函數(shù)在區(qū)間上有一個零點(diǎn)【詳解】解：函數(shù)在上為增函數(shù)，又（1），（2），函數(shù)在區(qū)間上有一個零點(diǎn)，故選：6、C【解析】先根據(jù)圖象求出，得到的解析式，再根據(jù)整體代換法求出其對稱中心，賦值即可得出答案【詳解】由圖可知，，，∴，∴當(dāng)時，，即令，解得當(dāng)時，可得函數(shù)圖象的一個對稱中心為故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要通過已知三角函數(shù)的圖像求解析式考查三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.利用利用圖象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊點(diǎn)求出，正確求是解題的關(guān)鍵.求解析式時，求參數(shù)是確定函數(shù)解析式的關(guān)鍵，由特殊點(diǎn)求時，一定要分清特殊點(diǎn)是“五點(diǎn)法”的第幾個點(diǎn)，用五點(diǎn)法求值時，往往以尋找“五點(diǎn)法”中的第一個點(diǎn)為突破口，“第一點(diǎn)”(即圖象上升時與軸的交點(diǎn))時；“第二點(diǎn)”(即圖象的“峰點(diǎn)”)時；“第三點(diǎn)”(即圖象下降時與軸的交點(diǎn))時；“第四點(diǎn)”(即圖象的“谷點(diǎn)”)時；“第五點(diǎn)”時.7、D【解析】由題意，集合是由點(diǎn)作為元素構(gòu)成的一個點(diǎn)集，根據(jù)，即可得到集合的元素.【詳解】由題意，集合B中元素有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，共4個．故選D【點(diǎn)睛】與集合元素有關(guān)問題的思路：（1）確定集合的元素是什么，即確定這個集合是數(shù)集還是點(diǎn)集（2）看這些元素滿足什么限制條件（3）根據(jù)限制條件列式求參數(shù)的值或確定集合元素的個數(shù)，但要注意檢驗(yàn)集合是否滿足元素的互異性8、A【解析】由題意得函數(shù)在上為增函數(shù)，函數(shù)在上都為減函數(shù)．選A9、B【解析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和等量關(guān)系，求出函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，利用函數(shù)的周期性進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可【詳解】解：奇函數(shù)恒滿足，，即，則，即，即是周期為4的周期函數(shù)，所以，故選：B10、B【解析】，因?yàn)楹瘮?shù)是增函數(shù)，且，所以，故選B考點(diǎn)：對數(shù)的運(yùn)算及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)二、填空題（本大題共5小題，請把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上）11、必要不充分【解析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)可得答案.【詳解】當(dāng)時，可得由，不能得到例如：取時，，也滿足所以由，可得成立，反之不成立“”是“”的必要不充分條件故答案為：必要不充分12、【解析】利用已知條件湊出，再根據(jù)“”的巧用，最后利用基本不等式即可求解.【詳解】由，得，即.因?yàn)樗裕?則=，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立.所以當(dāng)時，取得最小值為.故答案為：.13、4【解析】設(shè)，則，，又，即，故答案為.14、【解析】先計算扇形的弧長，再利用扇形的面積公式可求扇形的面積【詳解】根據(jù)扇形的弧長公式可得，根據(jù)扇形的面積公式可得故答案為：15、【解析】根據(jù)內(nèi)接圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，確定球O的半徑，再由球的表面積公式即得?！驹斀狻坑深}得，圓柱底面直徑為2，球的半徑為R，球O的內(nèi)接圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，則圓柱的軸截面的對角線即為球的直徑，故，則球的表面積.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查空間幾何體，球的表面積，是常見的考題。三、解答題（本大題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16、（1）；（2）【解析】（1）由奇函數(shù)得到，再由多項式相等可得；（2）由是奇函數(shù)和已知得到，再利用是上的單調(diào)增函數(shù)得到對任意恒成立．利用參數(shù)分離得對任意恒成立，再求，上最大值可得答案【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)為上的奇函數(shù)，所以對任意成立，即對任意成立，所以，所以（2）由得，因?yàn)楹瘮?shù)為上的奇函數(shù)，所以由（1）得，是上的單調(diào)增函數(shù)，故對任意恒成立所以對任意恒成立因?yàn)椋?，由，得，即所以的最大值為，故，即的最小值為【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的性質(zhì)，不等式恒成立的問題，第二問的關(guān)鍵點(diǎn)是根據(jù)函數(shù)的為單調(diào)遞增函數(shù)，得到，再利用參數(shù)分離后求的最大值，考查了學(xué)生分析問題、解決問題的能力.17、（1），證明見解析；（2），方案1可以裁剪出面積最大的矩形.【解析】（1）分別用含有的三角函數(shù)表示，寫出矩形的面積，利用三角函數(shù)求最值；（2）利用（1）的結(jié)論，根據(jù)對稱性知，矩形的最大面積為，然后利用作差法比較大小即可【小問1詳解】在圖1中，，，，，，，當(dāng)時，矩形最大面積為，得證.【小問2詳解】在圖（2）中，設(shè)與邊，分別交于點(diǎn)，，由（1）的結(jié)論，可得矩形的最大面積為，根據(jù)對稱性知，矩形的最大面積為.因?yàn)闉殇J角，所以，于是.因此，.故按照方案1可以裁剪出面積最大的矩形，其最大面積為.18、（1）；（2）.【解析】(1)首先利用公式降冪，然后將寫為將化為即可得解；(2)將記為，記為，再用公式展開，然后化簡求值.【詳解】(1)原式=(2)原式=故答案為：2；-1【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，二倍角公式，兩角和與差的余弦公式，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）；（2）單調(diào)遞減；（3）【解析】（1）函數(shù)為奇函數(shù)，則，再用待定系數(shù)法即可求出；（2）作差法：任意的兩個實(shí)數(shù)，證明出；（3）要使則試題解析：（1）所以（2）由（1）問可得在區(qū)間上是單調(diào)遞減的證明：設(shè)任意的兩個實(shí)數(shù)又,，在區(qū)間上是單調(diào)遞減的;（3）由（2）知在區(qū)間上的最小值是要使則考點(diǎn)：1、待定系數(shù)法；2、函數(shù)的單調(diào)性；3、不等式恒成立問題.20、（1）；（2）奇函數(shù)；證明見解析；（3）【解析】（1）利用對數(shù)的性質(zhì)可得，解不等式即可得函數(shù)的定義域.（2）根據(jù)奇偶性的定義證明的奇偶性即可.（3）由的解析式判斷單調(diào)性，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可.【詳解】（1）要使有意義，則，解得：∴的定義域?yàn)?（2）為奇函數(shù)，證明如下：由（1）知：且，∴為奇函數(shù)，得證（3）∵在內(nèi)是增函數(shù)，由，∴，解得，∴不等式的解集是.21、（1）；（2）見解析【解析】（1）由題意得，結(jié)合不等式恒成立，建立m的不等式組，從而得到實(shí)數(shù)