2023屆上海市同濟(jì)大學(xué)附屬七一中學(xué)數(shù)學(xué)高一上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高一上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．“”的一個(gè)充分不必要條件是（）A. B.C. D.2．已知集合，若，則（）A.-1 B.0C.2 D.33．中國扇文化有著深厚的文化底蘊(yùn)，小小的折扇傳承千年的制扇工藝與書畫藝術(shù)，折扇可以看作是從一個(gè)圓面中剪下的扇形制作而成，設(shè)折扇的面積為，圓面中剩余部分的面積為，當(dāng)時(shí)，折扇的圓心角的弧度數(shù)為（）A. B.C. D.4．在平行四邊形中，與相交于點(diǎn),是線段中點(diǎn)，的延長線交于點(diǎn),若，則等于（）A. B.C. D.5．已知點(diǎn)位于第二象限，那么角所在的象限是A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限6．已知角的始邊與軸非負(fù)半軸重合，終邊過點(diǎn)，則（）A.1 B.-1C. D.7．設(shè)，則A. B.0C.1 D.8．如果兩個(gè)函數(shù)的圖象經(jīng)過平移后能夠重合，則稱這兩個(gè)函數(shù)為“互為生成”函數(shù)，給出下列函數(shù)：；；；，其中“互為生成”函數(shù)的是A. B.C. D.9．已知指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B.1C. D.210．函數(shù)的圖象大致是A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．函數(shù)的最小正周期是________.12．《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表.其中《方田》章給出計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式為：弧田面積=（弦矢+）.弧田（如圖），由圓弧和其所對弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差.現(xiàn)有圓心角為，弦長等于9m的弧田.按照上述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧田的面積是________.13．已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.14．已知函數(shù)，，若不等式恰有兩個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________15．已知函數(shù)，則=_________16．已知函數(shù)，若在區(qū)間上的最大值是，則_______；若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是___________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)=的部分圖象如圖所示(1)求的值;(2)求的單調(diào)增區(qū)間;(3)求在區(qū)間上的最大值和最小值18．已知函數(shù)的圖象過點(diǎn).（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值;（Ⅱ）若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）若函數(shù)，，是否存在實(shí)數(shù)使得的最小值為，若存在請求出的值；若不存在，請說明理由.19．已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn).（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）用定義法證明在區(qū)間上是減函數(shù).20．某紀(jì)念章從某年某月某日起開始上市，通過市場調(diào)查，得到該紀(jì)念章每枚的市場價(jià)（單位：元）與上市時(shí)間（單位：天）的數(shù)據(jù)如下：上市時(shí)間天市場價(jià)元（1）根據(jù)上表數(shù)計(jì)，從下列函數(shù)中選取一個(gè)恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)描述該紀(jì)念章的市場價(jià)與上市時(shí)間的變化關(guān)系并說明理由：①；②；③；④；（2）利用你選取的函數(shù)，求該紀(jì)念章市場價(jià)最低時(shí)的上市天數(shù)及最低的價(jià)格.21．為了做好新冠疫情防控工作，某學(xué)校要求全校各班級每天利用課間操時(shí)間對各班教室進(jìn)行藥熏消毒.現(xiàn)有一種備選藥物，根據(jù)測定，教室內(nèi)每立方米空氣中的藥含量（單位：mg）隨時(shí)間（單位：）的變化情況如圖所示，在藥物釋放的過程中與成正比，藥物釋放完畢后，與的函數(shù)關(guān)系為（為常數(shù)），其圖象經(jīng)過，根據(jù)圖中提供的信息，解決下面的問題.（1）求從藥物釋放開始，與的函數(shù)關(guān)系式；（2）據(jù)測定，當(dāng)空氣中每立方米的藥物含量降低到mg以下時(shí)，才能保證對人身無害，若該校課間操時(shí)間為分鐘，據(jù)此判斷，學(xué)校能否選用這種藥物用于教室消毒？請說明理由.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】利用充分條件，必要條件的定義判斷即得.【詳解】由，可得，所以是的充要條件；所以是既不充分也不必要條件；所以是的必要不充分條件；所以是的充分不必要條件.故選：D.2、C【解析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系列方程求解即可.【詳解】因?yàn)椋曰?，而無實(shí)數(shù)解，所以.故選：C3、C【解析】設(shè)折扇的圓心角為，則圓面中剩余部分的圓心角為，根據(jù)扇形的面積公式計(jì)算可得；【詳解】解：設(shè)折扇的圓心角為，則圓面中剩余部分的圓心角為，圓的半徑為，依題意可得，解得；故選：C4、A【解析】化簡可得，再由及選項(xiàng)可得答案【詳解】解：由題意得，，；、、三點(diǎn)共線，，結(jié)合選項(xiàng)可知，；故選：5、C【解析】通過點(diǎn)所在象限，判斷三角函數(shù)的符號，推出角所在的象限．【詳解】點(diǎn)位于第二象限，可得，，可得，，角所在的象限是第三象限故選C．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的符號的判斷，是基礎(chǔ)題．第一象限所有三角函數(shù)值均為正，第二象限正弦為正，其它為負(fù)，第三象限正切為正，其它為負(fù)，第四象限余弦為正，其它為負(fù).6、D【解析】利用三角函數(shù)的坐標(biāo)定義求出，即得解.【詳解】由題得.所以.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的坐標(biāo)定義，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.7、B【解析】詳解】故選8、D【解析】根據(jù)“互為生成”函數(shù)的定義，利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再結(jié)合函數(shù)的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論【詳解】∵；；；，故把中的函數(shù)的圖象向右平移后再向下平移1個(gè)單位，可得中的函數(shù)圖象，故為“互為生成”函數(shù)，故選D【點(diǎn)睛】本題主要主要考查新定義，三角恒等變換，函數(shù)的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題9、D【解析】解方程即得或，再檢驗(yàn)即得解.【詳解】解：由題得或.當(dāng)時(shí)，上單調(diào)遞增，符合題意；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，不符合題意.所以.故選：D10、A【解析】因?yàn)?、4是函數(shù)的零點(diǎn)，所以排除B、C；因?yàn)闀r(shí)，所以排除D,故選A二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】直接利用三角函數(shù)的周期公式，求出函數(shù)的周期即可.【詳解】函數(shù)中，.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的周期公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.12、.【解析】如下圖所示，在中，求出半徑，即可求出結(jié)論.【詳解】設(shè)弧田的圓心為，弦為，為中點(diǎn)，連交弧為，則，所以矢長為，在中，，，所以，，所以弧田的面積為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題以數(shù)學(xué)文化為背景，考查直角三角形的邊角關(guān)系，認(rèn)真審題是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.13、或【解析】令，分析出函數(shù)為上的減函數(shù)且為奇函數(shù)，將所求不等式變形為，可得出關(guān)于的不等式，解之即可.【詳解】令，對任意的，，故函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)?，則，所以，函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，令，由于函數(shù)和在上均為減函數(shù)，故函數(shù)在上也為減函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，故函數(shù)在上為減函數(shù)，所以，函數(shù)在上也為減函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)在上連續(xù)，則在上為減函數(shù)，由可得，即，所以，，即，解得或.故答案為：或.14、.【解析】因?yàn)?所以即的取值范圍是.點(diǎn)睛：對于方程解的個(gè)數(shù)(或函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù))問題，可利用函數(shù)的值域或最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、草圖確定其中參數(shù)范圍．從圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對稱性，分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向趨勢，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等15、【解析】按照解析式直接計(jì)算即可.【詳解】.故答案為：-3.16、①.②.【解析】根據(jù)定義域得，再得到取最大值的條件求解即可；先得到一般性的單調(diào)增區(qū)間，再根據(jù)集合之間的關(guān)系求解.【詳解】因?yàn)?，且在此區(qū)間上的最大值是，所以因?yàn)閒(x)max=2tan=，所以tan==，即ω=由，得令，得，即在區(qū)間上單調(diào)遞增又因在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以<，即所以的取值范圍是故答案為：1，三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);（2）單調(diào)遞增區(qū)間為(3)時(shí),取得最大值1;時(shí),f(x)取得最小值【解析】(1)利用圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)確定振幅,由相鄰對稱軸間的距離確定函數(shù)的周期和值;(2)利用正弦函數(shù)的單調(diào)性和整體思想進(jìn)行求解;(3)利用三角函數(shù)的單調(diào)性和最值進(jìn)行求解試題解析：(1)由圖象知由圖象得函數(shù)最小正周期為=,則由=得(2)令..所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為（3）..當(dāng)即時(shí),取得最大值1;當(dāng)即時(shí),f(x)取得最小值18、（1）（2）（3）【解析】（Ⅰ）根據(jù)圖象過點(diǎn)，代入函數(shù)解析式求出k的值即可；（Ⅱ）令，則命題等價(jià)于，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可；（Ⅲ）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)通過討論m的范圍，結(jié)合函數(shù)的最小值，求出m的值即可【詳解】（I）函數(shù)的圖象過點(diǎn)（II）由（I）知恒成立即恒成立令，則命題等價(jià)于而單調(diào)遞增即（III），令當(dāng)時(shí)，對稱軸①當(dāng)，即時(shí)，不符舍去.②當(dāng)時(shí),即時(shí).符合題意.綜上所述：【點(diǎn)睛】本題考查了對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查轉(zhuǎn)化思想以及分類討論思想，換元思想，是一道中檔題19、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）將點(diǎn)代入函數(shù)解析式運(yùn)算即可得解；（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，任取，且，通過作差證明即可得證.【詳解】（1）的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，即，解得，（2）證明：由（1）得任取，且，則，，，且，，即，在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù).20、（1）②；（2）上市天，最低價(jià)元【解析】（1）根據(jù)所給的四個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合表中數(shù)據(jù)所表示的變化特征進(jìn)行選擇即可；（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)代入所選函數(shù)的解析式，用待定系數(shù)法求出解析式，最后利用函數(shù)的單調(diào)性求出紀(jì)念章市場價(jià)最低時(shí)的上市天數(shù)及最低的價(jià)格.【詳解】（1）通過表中數(shù)據(jù)所知紀(jì)念章的市場價(jià)與上市時(shí)間的變化先是遞減而后遞增，而已知所給的函數(shù)中除了②以外，其他函數(shù)要么是單調(diào)遞增，要么是單調(diào)遞減，要么是常值函數(shù)，所以選擇②；（2）由（1）可知選擇的函數(shù)解析式為：.函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，代入解析式中得：，顯然當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值為26.所以該紀(jì)念章時(shí)的上市20天時(shí)市場價(jià)最低，最低的價(jià)格26元.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)模型，考查了函數(shù)的單調(diào)性的判斷，考查了二次函數(shù)的單調(diào)性及最值，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.21、（1）；（2）可以，理由見解析.【解析】(1)將圖象上給定點(diǎn)的坐標(biāo)代入對應(yīng)的函數(shù)解析式計(jì)算作答.(2)利用(1)的結(jié)論結(jié)合題意，列出不等式求解作答.【小問1詳解】依