新教材人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊全冊2022新高考一輪復(fù)習(xí)課件(知識點(diǎn)考點(diǎn)總結(jié))

第一章集合與常用邏輯用語第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式P72第三章函數(shù)概念與性質(zhì)P185第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)P301第五章三角函數(shù)P450人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊復(fù)習(xí)課件課標(biāo)要求1.通過實(shí)例,了解集合的含義,理解元素與集合的屬于關(guān)系.2.針對具體問題,能在自然語言和圖形語言的基礎(chǔ)上,用符號語言刻畫集合.3.在具體情境中,了解全集與空集的含義.4.理解集合之間包含與相等的含義,能識別給定集合的子集.5.理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義,能求兩個(gè)集合的并集與交集.6.理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義,能求給定子集的補(bǔ)集.7.能使用Venn圖表達(dá)集合的基本關(guān)系與基本運(yùn)算,體會圖形對理解抽象概念的作用.1、集合備考指導(dǎo)集合知識高考必考,一般為選擇題第1題或第2題,偶爾也可能作為填空題第1題,難度較小.常與不等式、函數(shù)、方程結(jié)合,主要考查集合的交、并、補(bǔ)集運(yùn)算.復(fù)習(xí)時(shí)要理解集合的表示方法,注意觀察集合的代表元素,準(zhǔn)確化簡集合.要重視集合運(yùn)算的多角度訓(xùn)練,會借助數(shù)軸和Venn圖解題,提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng).【知識篩查】

(1)集合元素的三個(gè)特征性質(zhì):確定性、無序性、互異性.(2)元素與集合的兩種關(guān)系:屬于,記為∈;不屬于,記為?.(3)集合的兩種表示方法:列舉法、描述法.(4)五個(gè)特定的常見數(shù)集記法:2.集合間的基本關(guān)系

問題思考(1)什么是空集?如何表示?

(2)空集與任意集合之間有什么關(guān)系?

(3)你能說出?,{0},{?}的區(qū)別嗎?一般地,我們把不含任何元素的集合叫做空集,用符號?表示.空集是任意集合的子集,是任意非空集合的真子集.?是空集,是一個(gè)集合,它不含任何元素;{0}是只含有一個(gè)元素0的集合;{?}是只含有一個(gè)元素?的集合.3.集合的基本運(yùn)算

溫馨提示1.一般地,如果一個(gè)集合含有所研究問題中涉及的所有元素,那么就稱這個(gè)集合為全集,通常記作U.2.討論補(bǔ)集的前提是集合A是全集U的子集,沒有這一前提無法求補(bǔ)集.補(bǔ)集是相對于全集而存在的,研究一個(gè)集合的補(bǔ)集之前一定要明確其所對應(yīng)的全集.一個(gè)確定的集合A,對于不同的全集U,它的補(bǔ)集不同.4.集合的運(yùn)算性質(zhì)(1)并集的性質(zhì):A∪?=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A?B?A.(2)交集的性質(zhì):A∩?=?;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A?A?B.(3)補(bǔ)集的性質(zhì):A∪(?UA)=U;A∩(?UA)=?;?U(?UA)=A;?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB);?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB).1.若有限集合A中有n(n≥1)個(gè)元素,則A有2n個(gè)子集,有2n-1個(gè)真子集,有2n-2個(gè)非空真子集.2.A?B,B?C?A?C;A?B,B?C?A?C.3.A?B?A∩B=A?A∪B=B?(?UA)?(?UB)?A∩(?UB)=?.【知識鞏固】

1.下列說法正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)任何一個(gè)集合都至少有兩個(gè)子集.(

)(2){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.(

)(3)若{x2,1}={0,1},則x=0,1.(

)(4){x|x≤1}={t|t≤1}.(

)(5)若A∩B=A∩C,則B=C.(

)(6)直線x=1和直線y=4的交點(diǎn)構(gòu)成的集合為{1,4}.(

)×××√××2.(多選)若集合A={x|x≤2},,則下列結(jié)論中正確的是(

)A.a?A B.{a}?A

C.a∈A D.{a}∈A3.(2020全國Ⅲ,文1)已知集合A={1,2,3,5,7,11},B={x|3<x<15},則A∩B中元素的個(gè)數(shù)為(

)A.2 B.3 C.4 D.5BCB根據(jù)交集的定義,A∩B={5,7,11}.4.(2020全國Ⅱ,理1)已知集合U={-2,-1,0,1,2,3},A={-1,0,1},B={1,2},則?U(A∪B)=(

)A.{-2,3} B.{-2,2,3}

C.{-2,-1,0,3} D.{-2,-1,0,2,3}A∵A∪B={-1,0,1,2},∴?U(A∪B)={-2,3}.故選A.能力形成點(diǎn)1集合的基本概念(2)已知a,b∈R,若,則a3021+b3021為(

)A.1 B.0 C.-1 D.±1根據(jù)題意,知集合B={(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(3,2),(4,2),(5,2),(4,3),(5,3),(5,4)},共10個(gè)元素.例1

(1)已知集合A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},則B中所含元素的個(gè)數(shù)為(

)A.3 B.6 C.8 D.10D(1)

(2)由已知得a≠0,則

,所以b=0,于是a2=1,即a=1或a=-1,又根據(jù)集合中元素的互異性可知a=1應(yīng)舍去,因此a=-1,故a3

021+b3

021=-1.C(3)已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,則m的值為

.

解題心得與集合中元素有關(guān)問題的四個(gè)解題策略(1)確定集合中的代表元素是什么,即確定集合是數(shù)集還是點(diǎn)集還是其他形式的集合;(2)看這些元素滿足什么限制條件;(3)根據(jù)限制條件列式求參數(shù)的值或確定集合中元素的個(gè)數(shù);(4)要注意檢驗(yàn)集合的元素是否滿足互異性.對點(diǎn)訓(xùn)練1(1)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},則集合A中元素的個(gè)數(shù)為(

)A.9 B.8 C.5 D.4A(方法一)將滿足x2+y2≤3的整數(shù)x,y全部列舉出來,即(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1),共有9個(gè).故選A.(方法二)根據(jù)集合A的元素特征及圓的方程在坐標(biāo)系中作出圖形,如圖,易知在圓x2+y2=3中有9個(gè)整點(diǎn),即為集合A的元素個(gè)數(shù),故選A.(2)已知集合,則集合A中的元素個(gè)數(shù)為(

)A.2 B.3 C.4 D.5C因?yàn)閤∈Z,,所以2-x的取值有-3,-1,1,3,即x的值分別為5,3,1,-1,故集合A中的元素個(gè)數(shù)為4.能力形成點(diǎn)2集合的基本關(guān)系例2

(1)已知集合

則集合M,N的關(guān)系為(

)A.M∩N=? B.M=NC.M?N D.N?MD由題意,對于集合M,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),設(shè)n=2k(k∈Z),則x=k+1(k∈Z),當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),設(shè)n=2k+1(k∈Z),則x=k+1+(k∈Z),即N?M,故選D.(2)已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若B?A,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為

.

(-∞,3]∵B?A,∴①若B=?,則2m-1<m+1,此時(shí)m<2.解得2≤m≤3.由①②可得,符合題意的實(shí)數(shù)m的取值范圍為(-∞,3].拓展延伸例2(2)原條件不變,設(shè)“全集U=R”,并將“B?A”改換為“B?(?UA)”,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

.

(-∞,2)∪(4,+∞)因?yàn)?UA={x|x<-2,或x>5},且B?(?UA),所以①若B=?,則2m-1<m+1,此時(shí)m<2.解得m>4.綜上所述,m的取值范圍是(-∞,2)∪(4,+∞).解題心得1.集合間基本關(guān)系的兩種判定方法和一個(gè)關(guān)鍵2.根據(jù)兩個(gè)集合的關(guān)系求參數(shù)的方法已知兩個(gè)集合之間的關(guān)系求參數(shù)時(shí),要明確集合中的元素,對子集是否為空集進(jìn)行分類討論,做到不漏解.(1)若集合中元素是一一列舉的,則依據(jù)集合間的關(guān)系,轉(zhuǎn)化為方程(組)求解,此時(shí)注意集合中元素的互異性;(2)若集合表示的是不等式的解集,則常依據(jù)數(shù)軸轉(zhuǎn)化為不等式(組)求解,此時(shí)需注意端點(diǎn)值能否取到.對點(diǎn)訓(xùn)練2(1)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},則滿足A?C?B的集合C的個(gè)數(shù)為(

)A.1 B.2 C.3 D.4D由x2-3x+2=0得x=1或x=2,即A={1,2}.由題意知B={1,2,3,4},故滿足條件的C可為{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4},共4個(gè).(2)已知集合A={x|-1<x<3},B={x|-m<x<m}.若B?A,則m的取值范圍為_________________.

(-∞,1]當(dāng)m≤0時(shí),B=?,顯然B?A.當(dāng)m>0時(shí),因?yàn)锳={x|-1<x<3},B?A,在數(shù)軸上標(biāo)出兩集合,如圖,綜上所述,m的取值范圍為(-∞,1].能力形成點(diǎn)3集合的基本運(yùn)算命題角度1求交集、并集或補(bǔ)集例3

(1)(2020天津,1)設(shè)全集U={-3,-2,-1,0,1,2,3},集合A={-1,0,1,2},B={-3,0,2,3},則A∩(?UB)=(

)A.{-3,3} B.{0,2}C.{-1,1} D.{-3,-2,-1,1,3}C∵U={-3,-2,-1,0,1,2,3},∴?UB={-2,-1,1},∴A∩(?UB)={-1,1}.故選C.(2)(2020山東,1)設(shè)集合A={x|1≤x≤3},B={x|2<x<4},則A∪B=(

)A.{x|2<x≤3} B.{x|2≤x≤3}C.{x|1≤x<4} D.{x|1<x<4}C(數(shù)形結(jié)合)在數(shù)軸上標(biāo)出集合A,B,如圖所示.

所以A∪B={x|1≤x<4},故選C.(3)已知全集為R,集合,B={x|x2-6x+8≤0},則A∩(?RB)=(

)A.{x|x≤0} B.{x|2≤x≤4}C.{x|0<x≤2,或x≥4} D.{x|0≤x<2,或x>4}D根據(jù)題意,得A={x|x≥0},B={x|2≤x≤4},故A∩(?RB)={x|x≥0}∩{x|x>4,或x<2}={x|0≤x<2,或x>4}.命題角度2由集合的運(yùn)算求參數(shù)例4

(1)(2020全國Ⅰ,理2)設(shè)集合A={x|x2-4≤0},B={x|2x+a≤0},且A∩B={x|-2≤x≤1},則a=(

)A.-4 B.-2 C.2 D.4B(2)已知集合A={x|x<a},B={x|x2-3x+2<0},若A∩B=B,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A.a<1 B.a≤1C.a>2 D.a≥2D集合B={x|x2-3x+2<0}={x|1<x<2},由A∩B=B可得B?A,在數(shù)軸上標(biāo)出集合A,B,如圖,數(shù)形結(jié)合可知a≥2.解題心得1.集合基本運(yùn)算的方法技巧(1)當(dāng)集合是用列舉法表示的數(shù)集時(shí),可以通過列舉集合的元素進(jìn)行運(yùn)算,也可借助Venn圖運(yùn)算;(2)當(dāng)集合是用不等式表示時(shí),可運(yùn)用數(shù)軸求解.對于端點(diǎn)處的取舍,可以單獨(dú)檢驗(yàn).2.集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算口訣交集元素仔細(xì)找,屬于A且屬于B;并集元素勿遺漏,切記重復(fù)僅取一;全集U是大范圍,去掉U中A元素,剩余元素成補(bǔ)集.對點(diǎn)訓(xùn)練3(1)設(shè)集合A={-1,1,2,3,5},B={2,3,4},C={x∈R|1≤x<3},則(A∩C)∪B=(

)A.{2} B.{2,3}

C.{-1,2,3} D.{1,2,3,4}D因?yàn)锳∩C={1,2},所以(A∩C)∪B={1,2,3,4}.(2)已知全集U=R,集合M={x∈R|x2-x≤0},集合N={x∈R|x=cost,t∈R},則(?UM)∩N=(

)A.{x|-1≤x<0}

B.{x|0<x<1}

C.{x|x<0}

D.?A∵M(jìn)={x∈R|x2-x≤0}={x|0≤x≤1},N={x∈R|x=cos

t,t∈R}={x|-1≤x≤1},∴?UM={x|x<0,或x>1},∴(?UM)∩N={x|-1≤x<0}.(3)已知集合M={x|2x2-x-1<0},N={x|2x+a>0},U=R,若M∩(?UN)=?,則a的取值范圍是(

)A.a>1 B.a≥1C.a<1 D.a≤1B(4)設(shè)集合A={0,-4},B={x∈R|x2+2(a+1)·x+a2-1=0}.若A∪B=A,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.

(-∞,-1]∪{1}因?yàn)锳∪B=A,所以B?A.因?yàn)锳={0,-4},所以B?A分以下三種情況:①當(dāng)B=A時(shí),B={0,-4},由此可知,0和-4是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的兩個(gè)根,由根與系數(shù)的關(guān)系,②當(dāng)B≠?,且B?A時(shí),B={0}或B={-4},并且Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0,解得a=-1,此時(shí)B={0}滿足題意;③當(dāng)B=?時(shí),Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,解得a<-1.綜上所述,所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,-1]∪{1}.以集合運(yùn)算為背景的集合新定義問題典例

(1)如圖所示,在Venn圖中,A,B是兩個(gè)非空集合,定義集合A?B為陰影部分表示的集合.若x,y∈R,

},B={y|y=3x,x>0},則A?B為(

)A.{x|0<x<2} B.{x|1<x≤2}C.{x|0≤x≤1,或x≥2} D.{x|0≤x≤1,或x>2}(2)給定集合A,若對于任意a,b∈A,有a+b∈A,且a-b∈A,則稱集合A為閉集合,給出如下三個(gè)結(jié)論:①集合A={-4,-2,0,2,4}為閉集合;②集合A={n|n=3k,k∈Z}為閉集合;③若集合A1,A2為閉集合,則A1∪A2為閉集合.其中正確結(jié)論的序號是

.

思路建立(1)先化簡集合A,B,再根據(jù)圖形確定A,B與A?B的關(guān)系.陰影表示A∪B中的元素去掉A∩B中的元素后剩余元素構(gòu)成的集合.(2)新定義集合的特點(diǎn)是集合中任意兩個(gè)元素的和與差都是該集合的元素,據(jù)此判斷.答案:(1)D

(2)②解析:(1)因?yàn)锳={x|0≤x≤2},B={y|y>1},所以A∪B={x|x≥0},A∩B={x|1<x≤2},所以A?B=?A∪B(A∩B)={x|0≤x≤1或x>2}.(2)①中,-4+(-2)=-6?A,所以①不正確;②中,設(shè)n1,n2∈A,n1=3k1,n2=3k2,k1,k2∈Z,則n1+n2∈A,n1-n2∈A,所以②正確;③中,令A(yù)1={n|n=3k,k∈Z},A2={n|n=,k∈Z},則A1,A2為閉集合,但3k+?A1∪A2,故A1∪A2不是閉集合,所以③不正確.解題心得解決以集合為背景的新定義問題的策略(1)緊扣“新”定義:分析新定義的特點(diǎn),把新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚,并能夠應(yīng)用到具體的解題過程之中,這是求解新定義型集合問題的關(guān)鍵所在.(2)把握“新”性質(zhì):集合的性質(zhì)(概念、元素的性質(zhì)、運(yùn)算性質(zhì)等)是求解新定義型集合問題的基礎(chǔ),也是突破口,在解題時(shí)要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素,在關(guān)鍵之處用好集合的性質(zhì).(3)遵守“新”法則:準(zhǔn)確把握新定義的運(yùn)算法則,將其轉(zhuǎn)化為集合的交集、并集與補(bǔ)集的運(yùn)算即可.變式訓(xùn)練

B2.已知集合A={x∈N|x2-2x-3≤0},B={1,3},定義集合A,B之間的運(yùn)算“*”:A*B={x|x=x1+x2,x1∈A,x2∈B},則A*B中的所有元素之和為(

)A.15 B.16 C.20 D.21D由x2-2x-3≤0,且x∈N,得A={0,1,2,3}.已知A={0,1,2,3},B={1,3},A*B={x|x=x1+x2,x1∈A,x2∈B},當(dāng)x1=0時(shí),x2=1,3,此時(shí)x=1,3;當(dāng)x1=1時(shí),x2=1,3,此時(shí)x=2,4;當(dāng)x1=2時(shí),x2=1,3,此時(shí)x=3,5;當(dāng)x1=3時(shí),x2=1,3,此時(shí)x=4,6.根據(jù)集合元素的互異性可知,A*B={1,2,3,4,5,6},故A*B中所有元素之和為1+2+3+4+5+6=21.2、充分條件與必要條件、全稱量詞與存在量詞課標(biāo)要求1.通過對典型數(shù)學(xué)命題的梳理,理解必要條件的意義,理解各種性質(zhì)定理與必要條件的關(guān)系.2.通過對典型數(shù)學(xué)命題的梳理,理解充分條件的意義,理解各種判定定理與充分條件的關(guān)系.3.通過對典型數(shù)學(xué)命題的梳理,理解充要條件的意義,理解數(shù)學(xué)中的定義與充要條件的關(guān)系.4.通過已知的數(shù)學(xué)實(shí)例,理解全稱量詞與存在量詞的意義.5.能正確使用存在量詞對全稱量詞命題進(jìn)行否定.6.能正確使用全稱量詞對存在量詞命題進(jìn)行否定.備考指導(dǎo)本節(jié)內(nèi)容主要有4個(gè)考點(diǎn):(1)充要條件的判斷;(2)根據(jù)充要條件求參數(shù);(3)全稱(存在)量詞命題的真假判斷;(4)含有一個(gè)量詞的命題的否定.尤其是充要條件更為重要,它可以與其他知識綜合考查,備考時(shí)要注意命題的方向,合理選擇方法,注意邏輯推理素養(yǎng)的訓(xùn)練.【知識篩查】

1.命題

2.充分條件、必要條件、充要條件設(shè)與p對應(yīng)的集合為A={x|p(x)},與q對應(yīng)的集合為B={x|q(x)},則有如下結(jié)論:溫馨提示由上表可知,判斷充分條件、必要條件、充要條件時(shí)應(yīng)采用以下方法:(1)確定條件p是什么,結(jié)論q是什么;(2)嘗試從條件推結(jié)論,若p?q,則充分性成立,p是q的充分條件;(3)考慮從結(jié)論推條件,若q?p,則p是q的必要條件,必要性成立;(4)若證明命題的條件是充要的,則既要證明充分性又要證明必要性.3.全稱量詞和存在量詞

4.全稱量詞命題和存在量詞命題

5.全稱量詞命題與存在量詞命題的否定

溫馨提示全稱量詞命題的否定是存在量詞命題,存在量詞命題的否定是全稱量詞命題.【知識鞏固】

1.下列說法正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)“對頂角相等”是命題.(

)(2)“有兩個(gè)角是銳角的三角形是銳角三角形”是真命題.(

)(3)命題“若ac2>bc2,則a>b”是假命題.(

)(4)若q是p的必要條件,則p是q的充分條件.(

)(5)“p是q的充分不必要條件”與“p的充分不必要條件是q”表達(dá)的意義相同.(

)√××√×2.若a,b均為實(shí)數(shù),則“a>b”是“a3>b3”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.已知命題p:?x>0,log2x<2x+3,則命題p的否定為(

)A.?x>0,log2x≥2x+3

B.?x>0,log2x≥2x+3C.?x>0,log2x<2x+3

D.?x<0,log2x≥2x+3C因?yàn)閍>b能推出a3>b3,a3>b3也能推出a>b,所以“a>b”是“a3>b3”的充要條件,故選C.B根據(jù)全稱量詞命題的否定為存在量詞命題,則命題p的否定為:?x>0,log2x≥2x+3,故選B.4.若命題“?x∈R,asinx+cosx≥2”為假命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(

)A能力形成點(diǎn)1充分條件、必要條件的判斷例1

設(shè)x∈R,則“”是“x3<1”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件A解題心得充分條件、必要條件的判斷方法:(1)定義法,根據(jù)p?q,q?p進(jìn)行判斷.(2)集合法,根據(jù)p,q成立對應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷.對點(diǎn)訓(xùn)練1設(shè)x∈R,則“x2-5x<0”是“|x-1|<1”的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件B由x2-5x<0,得0<x<5.由|x-1|<1,得0<x<2.故“x2-5x<0”是“|x-1|<1”的必要不充分條件.能力形成點(diǎn)2充分條件、必要條件的應(yīng)用D因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象過點(diǎn)(1,0),所以函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)?函數(shù)y=2x-a(x≤0)沒有零點(diǎn)?函數(shù)y=2x(x≤0)的圖象與直線y=a無公共點(diǎn),當(dāng)a≤0或a>1時(shí),函數(shù)y=2x(x≤0)的圖象與直線y=a無公共點(diǎn),所以函數(shù)

有且只有一個(gè)零點(diǎn)的充要條件為a≤0或a>1,一個(gè)充分不必要條件可以為D,故選D.[9,+∞)因?yàn)閝的充分不必要條件是p,所以p是q的充分不必要條件.由x2-2x+1-m2≤0(m>0),得1-m≤x≤1+m,則q:Q={x|1-m≤x≤1+m,m>0}.因?yàn)閜是q的充分不必要條件,所以P?Q,即m≥9或m>9.故m≥9.拓展延伸例2(2)條件不變,將“q的充分不必要條件是p”改為“q是p的充分不必要條件”,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

.

(-∞,3]由x2-2x+1-m2≤0(m>0),得1-m≤x≤1+m,則q:Q={x|1-m≤x≤1+m,m>0}.解題心得1.與充分條件、必要條件有關(guān)的參數(shù)問題的求解方法:解決此類問題一般是根據(jù)條件把問題轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系,并由此列出關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求解.2.求解參數(shù)的取值范圍時(shí),一定要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn),尤其是利用兩個(gè)集合之間的關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍時(shí),不等式是否能夠取等號決定端點(diǎn)值的取舍,處理不當(dāng)容易出現(xiàn)漏解或增解的現(xiàn)象.對點(diǎn)訓(xùn)練2設(shè)p:2x2-3x+1≤0,q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若p是q的充分不必要條件,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.

能力形成點(diǎn)3全稱(存在)量詞命題的真假判斷例3

下列命題中,為真命題的是(

)C解題心得1.判定全稱量詞命題“?x∈M,p(x)”是真命題,需要對集合M中的每個(gè)元素x,證明p(x)成立;要判斷存在量詞命題是真命題,只要在限定集合內(nèi)至少找到一個(gè)x,使p(x)成立.2.不管是全稱量詞命題還是存在量詞命題,其真假不容易正面判斷時(shí),可先判斷其否定的真假.對點(diǎn)訓(xùn)練3在下列命題中,為真命題的是(

)A.?x∈R,x2>0 B.?x∈R,-1<sinx<1C.?x∈R,2x<0 D.?x∈R,tanx=2D?x∈R,x2≥0,故A為假命題;?x∈R,-1≤sin

x≤1,故B為假命題;?x∈R,2x>0,故C為假命題;D為真命題,故選D.能力形成點(diǎn)4含有一個(gè)量詞的命題的否定例4

(1)命題“?x∈?RQ,x2∈Q”的否定是(

)A.?x??RQ,x2∈Q B.?x∈?RQ,x2?QC.?x??RQ,x2∈Q D.?x∈?RQ,x2?QD“?x∈?RQ”改為“?x∈?RQ”,“x2∈Q”的否定為“x2?Q”.(2)已知命題p:?x∈R,log2(3x+1)≤0,則(

)A.p是假命題,命題p的否定:?x∈R,log2(3x+1)≤0B.p是假命題,命題p的否定:?x∈R,log2(3x+1)>0C.p是真命題,命題p的否定:?x∈R,log2(3x+1)≤0D.p是真命題,命題p的否定:?x∈R,log2(3x+1)>0B因?yàn)?x+1>1,所以log2(3x+1)>0恒成立,則命題p是假命題;又命題p的否定:?x∈R,log2(3x+1)>0,故選B.解題心得對全稱(存在)量詞命題進(jìn)行否定的方法是改量詞、否結(jié)論.省略量詞的要結(jié)合命題的含義加上量詞.對點(diǎn)訓(xùn)練4命題“有些相互垂直的兩條直線不相交”的否定是(

)A.有些相互垂直的兩條直線相交B.有些不相互垂直的兩條直線不相交C.任意相互垂直的兩條直線相交D.任意相互垂直的兩條直線不相交C因?yàn)榇嬖诹吭~命題的否定是全稱量詞命題,所以命題“有些相互垂直的兩條直線不相交”的否定是“任意相互垂直的兩條直線相交”.故選C.能力形成點(diǎn)5由命題的真假求參數(shù)的取值范圍例5

給定命題p:對任意實(shí)數(shù)x都有ax2+2ax+4>0成立;q:關(guān)于x的方程x2-x+a=0有實(shí)數(shù)根.(1)分別求出命題p,q為真命題時(shí),實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)若命題p為真命題,q為假命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(3)若命題p,q中至少有一個(gè)為真命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解

(1)若p為真命題,則①當(dāng)a=0時(shí),不等式為4>0,顯然恒成立;解得0<a<4.綜上,若命題p為真命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為[0,4).若q為真命題,即關(guān)于x的方程x2-x+a=0有實(shí)數(shù)根,則Δ=1-4a≥0,解題心得以命題的真假為依據(jù)求參數(shù)的取值范圍時(shí),首先要對命題進(jìn)行化簡,然后依據(jù)題意判斷出每個(gè)簡單命題的真假,最后列出含有參數(shù)的不等式(組)求解即可.對點(diǎn)訓(xùn)練5若命題“?x∈R,x2+(a-1)x+1<0”是真命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A.[-1,3]B.(-1,3)C.(-∞,-1]∪[3,+∞)D.(-∞,-1)∪(3,+∞)D因?yàn)槊}“?x∈R,x2+(a-1)x+1<0”是真命題等價(jià)于關(guān)于x的方程x2+(a-1)x+1=0有兩個(gè)不等的實(shí)根,所以Δ=(a-1)2-4>0,即a2-2a-3>0,解得a<-1或a>3,故選D.全稱(存在)量詞命題中參數(shù)的取值范圍問題解題心得對于含量詞的命題中求參數(shù)的取值范圍的問題,可根據(jù)命題的含義,利用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想將條件合理轉(zhuǎn)化,并利用函數(shù)值域(或最值)等解決.1、等式的性質(zhì)與不等式的性質(zhì)、基本不等式第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式課標(biāo)要求1.梳理等式的性質(zhì),理解不等式的概念,掌握不等式的性質(zhì).2.掌握基本不等式(a,b>0).3.結(jié)合具體實(shí)例,能用基本不等式解決簡單的最大值或最小值問題.備考指導(dǎo)不等式的性質(zhì)貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué),是解不等式、研究不等式問題的根本.復(fù)習(xí)時(shí)要理清各條性質(zhì)的應(yīng)用條件,準(zhǔn)確使用.以提升邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).基本不等式是高考的重點(diǎn),有時(shí)單獨(dú)考查,有時(shí)與其他知識綜合求最值.應(yīng)用時(shí)要注意檢驗(yàn)等號成立的條件,根據(jù)已知條件適當(dāng)變形.【知識篩查】

1.兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的法則

2.等式的基本性質(zhì)3.不等式的基本性質(zhì)問題思考若a>b,且a與b都不為0,則

的大小關(guān)系確定嗎?溫馨提示1.不等式還有以下幾條常用性質(zhì)(1)移項(xiàng)法則:a+b>c?a>c-b.即不等式的任何一項(xiàng)移到不等號的另一邊時(shí)一定要改變符號.2.兩個(gè)重要不等式

4.基本不等式

注意:(1)基本不等式應(yīng)用的條件是“一正二定三相等”.一正:一般要求a,b同為正數(shù);二定:a+b或ab為定值;三相等:當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),不等式取得等號.(2)基本不等式可敘述為:兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).5.利用基本不等式求最值已知x>0,y>0,則【知識鞏固】

1.下列說法正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b之間,有且只有a>b,a=b,a<b三種關(guān)系中的一種.(

)(2)一個(gè)不等式的兩邊同時(shí)加上或乘同一個(gè)數(shù),不等號方向不變.(

)(3)一個(gè)非零實(shí)數(shù)越大,其倒數(shù)就越小.(

)√×××××2.已知a,b∈R,下列結(jié)論正確的是(

)A.若a>b,則|a|>|b| B.若a>b,則C.若|a|>b,則a2>b2 D.若a>|b|,則a2>b2D當(dāng)a=1,b=-2時(shí),A不正確,B不正確,C不正確;對于D,a>|b|≥0,則a2>b2.故選D.3.若a,b∈R,且ab>0,則下列不等式恒成立的是(

)D∵a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,∴A錯(cuò)誤;對于B,C,當(dāng)a<0,b<0時(shí),明顯錯(cuò)誤;對于D,∵ab>0,4.若x>0,y>0,且2(x+y)=36,則

的最大值為(

)A.9 B.18 C.36 D.81A由2(x+y)=36,得x+y=18,所以

,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=9時(shí),等號成立.5.某公司一年購買某種貨物600噸,每次購買x噸,運(yùn)費(fèi)為6萬元/次,一年的總存儲費(fèi)用為4x萬元.要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)用之和最小,則x的值是

.

30能力形成點(diǎn)1比較兩個(gè)數(shù)(式)的大小例1

(1)已知a1,a2∈(0,1),記M=a1a2,N=a1+a2-1,則M與N的大小關(guān)系是(

)A.M<N B.M>NC.M=N D.不確定BM-N=a1a2-(a1+a2-1)=a1a2-a1-a2+1=(a1-1)(a2-1).∵a1∈(0,1),a2∈(0,1),∴a1-1<0,a2-1<0.∴(a1-1)(a2-1)>0,即M-N>0.∴M>N.A.a<b<c B.c<b<aC.c<a<b D.b<a<cB解題心得比較大小常用的方法有作差法、作商法、構(gòu)造函數(shù)法.(1)作差法的一般步驟:①作差;②變形;③定號;④下結(jié)論.變形常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式變成積式或者完全平方式.(2)作商法一般適用于分式、指數(shù)式、對數(shù)式,作商只是思路,關(guān)鍵是化簡變形,從而使結(jié)果能夠與1比較大小.(3)構(gòu)造函數(shù)法:構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小.提示:當(dāng)兩個(gè)代數(shù)式正負(fù)不確定且為多項(xiàng)式形式時(shí),常用作差法比較大小;當(dāng)兩個(gè)代數(shù)式均為正且均為冪的乘積式時(shí),常用作商法比較大小.對點(diǎn)訓(xùn)練1(1)若x∈R,y∈R,則(

)A.x2+y2>2xy-1 B.x2+y2=2xy-1C.x2+y2<2xy-1 D.x2+y2≤2xy-1A因?yàn)閤2+y2-(2xy-1)=x2-2xy+y2+1=(x-y)2+1>0,所以x2+y2>2xy-1,故選A.(2)已知a>0,b>0,試比較aabb與abba的大小.能力形成點(diǎn)2不等式的性質(zhì)及應(yīng)用例2

(1)如果a∈R,且a2+a<0,那么a,a2,-a,-a2的大小關(guān)系是(

)A.a2>a>-a2>-a B.a2>-a>a>-a2C.-a>a2>a>-a2 D.-a>a2>-a2>aD由a2+a<0,即a(a+1)<0,解得-1<a<0.由不等式的性質(zhì),可知-a>a2>0,而a<-a2<0,所以a<-a2<0<a2<-a.故選D.D(方法一)由c<d<0,得cd>0.(方法二)依題意取a=2,b=1,c=-2,d=-1,代入驗(yàn)證知A,B,C錯(cuò)誤,只有D正確.解題心得判斷多個(gè)不等式是否成立的常用方法:方法一是直接使用不等式性質(zhì),逐個(gè)驗(yàn)證;方法二是用特殊值法,即舉反例排除.而常見的反例構(gòu)成方式可從以下幾個(gè)方面思考:(1)不等式兩邊都乘一個(gè)代數(shù)式時(shí),要注意所乘的代數(shù)式是正數(shù)、負(fù)數(shù)還是0;(2)不等式左邊是正數(shù),右邊是負(fù)數(shù),兩邊同時(shí)平方后不等號方向不一定保持不變;(3)不等式左邊是正數(shù),右邊是負(fù)數(shù),兩邊同時(shí)取倒數(shù)后不等號方向不變等.對點(diǎn)訓(xùn)練2(1)若a>1>b>-1,則下列不等式恒成立的是(

)A(2)下列說法正確的是(

)A.若a>b,c>d,則ac>bdB.若ac>bc,則a>bD.若a>b,c>d,則a-c>b-dC取a=2,b=1,c=-1,d=-2,可知A錯(cuò)誤;當(dāng)c<0時(shí),ac>bc?a<b,故B錯(cuò)誤;因?yàn)?/p>

,且c≠0,所以c2>0,即a<b,C正確;取a=c=2,b=d=1,可知D錯(cuò)誤.能力形成點(diǎn)3利用基本不等式證明不等式解題心得利用基本不等式證明不等式是證明不等式的一種情況,要從整體上把握運(yùn)用基本不等式,對不滿足使用基本不等式條件的可通過“變形”來轉(zhuǎn)換,常見的變形技巧有:拆項(xiàng),并項(xiàng),也可乘上一個(gè)數(shù)或加上一個(gè)數(shù),“1”的代換法等.能力形成點(diǎn)4利用基本不等式求最值命題角度1求不含等式條件的函數(shù)最值例4

(1)下列說法正確的是(

)C3C命題角度2求含有等式條件的代數(shù)式的最值

A命題角度3已知不等式恒成立求參數(shù)取值范圍

A.[-2,0)∪(0,4] B.[-4,0)∪(0,2]

C.[-4,2] D.[-2,4]D解題心得1.利用基本不等式求解不含等式條件的函數(shù)最值的關(guān)注點(diǎn):(1)依據(jù):利用基本不等式求最值的依據(jù)是“積定和小”與“和定積大”.(2)定值:即和(或積)為定值,必要時(shí)需配湊、拆分出定值.如果求乘積的最值,那么就提出合適的系數(shù),使兩項(xiàng)之和為定值;如果求和的最值,那么就添加相同的常數(shù),使兩項(xiàng)之積是定值.拼湊法的實(shí)質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形,拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵.(3)驗(yàn)證:即驗(yàn)證等號成立時(shí)的自變量的值是否在所給范圍內(nèi).2.求解條件最值問題的兩種方法(1)常數(shù)代換法求最值,其基本步驟為:①定“值”:即根據(jù)已知條件或其變形確定定值(常數(shù));②變“1”:即把確定的定值(常數(shù))變形為1;③“1”代:即把“1”的表達(dá)式與所求最值的表達(dá)式相乘或相除,進(jìn)而構(gòu)造和或積的形式;④求最:即利用基本不等式求解最值.(2)消元法求最值消元法,即根據(jù)條件建立兩個(gè)量之間的函數(shù)關(guān)系,然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解.有時(shí)會出現(xiàn)多元的問題,解決方法是消元后利用基本不等式求解.3.已知不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的一般方法是分離常數(shù),利用基本不等式求最值.若不能利用基本不等式,可考慮利用函數(shù)的單調(diào)性.a>f(x)恒成立?a>f(x)max,a<f(x)恒成立?a<f(x)min.4(2)若直線ax+by-1=0(a>0,b>0)過曲線y=1+sinπx(0<x<2)的對稱中心,則

的最小值為

.

由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知,曲線y=1+sin

πx(0<x<2)的對稱中心為(1,1),故a+b=1.B能力形成點(diǎn)5基本不等式的實(shí)際應(yīng)用例7

某廠家擬在2022年舉行某產(chǎn)品的促銷活動,經(jīng)調(diào)查測算,該產(chǎn)品的年銷售量(即該廠的年產(chǎn)量)x(單位:萬件)與年促銷費(fèi)用m(單位:萬元)(m≥0)滿足

(k為常數(shù)).如果不搞促銷活動,那么該產(chǎn)品的年銷售量只能是1萬件.已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元,每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元,廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金,不包括年促銷費(fèi)用).(1)將2022年該產(chǎn)品的利潤y(單位:萬元)表示為年促銷費(fèi)用m的函數(shù);(2)該廠家2022年的促銷費(fèi)用投入多少萬元時(shí),廠家的利潤最大?解題心得利用基本不等式解決實(shí)際問題時(shí),應(yīng)先仔細(xì)閱讀題目信息,理解題意,明確其中的數(shù)量關(guān)系,并引入變量,依題意列出相應(yīng)的函數(shù)解析式,再用基本不等式求解.對點(diǎn)訓(xùn)練5某單位在國家科研部門的支持下,進(jìn)行技術(shù)攻關(guān),采用了新工藝,把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品.已知該單位每月的處理量最少為400噸,最多為600噸,月處理成本y(單位:元)與月處理量x(單位:噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為

,且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價(jià)值為100元.(1)該單位月處理量為多少噸時(shí),才能使每噸的平均處理成本最低?(2)該單位每月能否獲利?如果獲利,那么求出最大利潤;如果不獲利,那么需要國家每月至少補(bǔ)貼多少元才能使該單位不虧損?解

(1)由題意可知,二氧化碳每噸的平均處理成本為

因?yàn)閤∈[400,600],所以該單位月處理量為400噸時(shí),才能使每噸的平均處理成本最低,最低平均處理成本為200元.(2)不獲利.設(shè)該單位每月獲利為S元,因?yàn)閤∈[400,600],所以S∈[-80

000,-40

000].故該單位每月不獲利,需要國家每月至少補(bǔ)貼40

000元才能使該單位不虧損.應(yīng)用不等式的性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍

典例

設(shè)f(x)=ax2+bx,且1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范圍.思路分析f(-1)=a-b,f(1)=a+b.思路1:由條件知1≤a-b≤2,2≤a+b≤4,因此可確定字母a,b的取值范圍,進(jìn)而求出f(-2)的取值范圍;思路2:由f(-1),f(1)可求出

,進(jìn)而用f(-1),f(1)表示出f(-2),可以求出f(-2)的范圍.兩種思路所求結(jié)果是否相同呢?如果不同,哪方面出現(xiàn)了問題?下面,我們來具體研究一下.解題心得已知條件是多個(gè)字母相關(guān)聯(lián)(如和、差、積、商等)的取值范圍,求解與此類字母有關(guān)的代數(shù)式的取值范圍時(shí),一般是利用整體思想,把要求取值范圍的代數(shù)式用已知代數(shù)式整體表示,通過“一次性”不等關(guān)系的運(yùn)算求得整體的取值范圍.變式訓(xùn)練已知-1<2a+b<2,3<a-b<4,則5a+b的取值范圍是

.

(1,8)令5a+b=λ(2a+b)+μ(a-b)=(2λ+μ)a+(λ-μ)b,即5a+b=2(2a+b)+(a-b).∵-1<2a+b<2,∴-2<2(2a+b)<4.又3<a-b<4,∴1<2(2a+b)+(a-b)<8.故5a+b的取值范圍為(1,8).2、二次函數(shù)與一元二次方程、不等式課標(biāo)要求1.會結(jié)合二次函數(shù)的圖象,判斷一元二次方程實(shí)根的存在性及實(shí)根的個(gè)數(shù).了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系.2.經(jīng)歷從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式的過程,了解一元二次不等式的現(xiàn)實(shí)意義.3.能夠借助二次函數(shù)求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集.4.借助二次函數(shù)的圖象,了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系.備考指導(dǎo)三個(gè)“二次”之間的關(guān)系是高考的重點(diǎn),常與集合、函數(shù)等知識結(jié)合,尤其解一元二次不等式和二次函數(shù)更是重中之重,主要考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)和數(shù)形結(jié)合的思想.復(fù)習(xí)時(shí)要理解三個(gè)“二次”之間的聯(lián)系和區(qū)別,能結(jié)合二次函數(shù)的圖象和零點(diǎn)解一元二次不等式,并注意一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用.【知識篩查】

1.一元二次不等式我們把只含有一個(gè)未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是

2的不等式,稱為一元二次不等式,其一般形式是ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0,其中a,b,c均為常數(shù),a≠0.2.二次函數(shù)的零點(diǎn)一般地,對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c,我們把使ax2+bx+c=0的實(shí)數(shù)x叫做二次函數(shù)y=ax2+bx+c的零點(diǎn).3.三個(gè)二次之間的關(guān)系

(x-a)(x-b)>0或(x-a)(x-b)<0型不等式的解法

【知識鞏固】

1.下列說法正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)若不等式ax2+bx+c<0的解集為(x1,x2),則必有a>0.(

)(2)若不等式ax2+bx+c>0的解集是(-∞,x1)∪(x2,+∞),則方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根是x1和x2.(

)(3)若方程ax2+bx+c=0(a≠0)沒有實(shí)數(shù)根,則不等式ax2+bx+c>0的解集為R.(

)(4)若二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象開口向下,則不等式ax2+bx+c<0的解集一定不是空集.(

)√√×√A.[0,3] B.(0,3)C.(-∞,0]∪[3,+∞) D.(-∞,0)∪(3,+∞)A3.若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0對一切x∈R恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A.(-∞,2] B.(-2,2]

C.(-2,2) D.(-∞,2)B當(dāng)a=2時(shí),原式化為-4<0,不等式恒成立.故-2<a≤2.4.設(shè)x∈R,使不等式3x2+x-2<0成立的x的取值范圍為

.

5.若關(guān)于x的不等式ax2+bx+2>0的解集是,則a+b的值是

.-14能力形成點(diǎn)1簡單不等式的解法命題角度1解不含參數(shù)的一元二次不等式例1

不等式-2x2+x+3<0的解集為

.

拓展延伸將不等式的符號改變,解不等式-2x2+x+3≥0.命題角度2解含參數(shù)的一元二次不等式例2

解關(guān)于x的不等式:x2-(a+1)x+a<0.解

由x2-(a+1)x+a=0,得(x-a)(x-1)=0,故x1=a,x2=1.當(dāng)a>1時(shí),x2-(a+1)x+a<0的解集為{x|1<x<a},當(dāng)a=1時(shí),x2-(a+1)x+a<0的解集為?,當(dāng)a<1時(shí),x2-(a+1)x+a<0的解集為{x|a<x<1}.命題角度3解分式不等式例3

不等式

的解集為

.

[-2,3)解題心得1.不含參數(shù)的一元二次不等式的解法:當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)時(shí),要先把二次項(xiàng)系數(shù)化為正,再根據(jù)判別式符號判斷對應(yīng)方程根的情況,并求出相應(yīng)方程的兩個(gè)根,最后結(jié)合相應(yīng)二次函數(shù)的圖象寫出不等式的解集.2.解含參數(shù)的一元二次不等式要分類討論,分類討論的依據(jù):(1)二次項(xiàng)中若含有參數(shù)應(yīng)先討論是等于0,小于0,還是大于0,再將不等式轉(zhuǎn)化為一次不等式或二次項(xiàng)系數(shù)為正的一元二次不等式.(2)當(dāng)不等式對應(yīng)方程的根的個(gè)數(shù)不確定時(shí),討論判別式Δ與0的大小關(guān)系.(3)確定方程無根時(shí)可直接寫出解集,確定方程有兩個(gè)根時(shí),要討論兩根的大小關(guān)系,從而確定解集形式.3.解分式不等式時(shí),切忌直接去分母,一般先通過移項(xiàng)、通分,將分式不等式化簡為

的形式,再等價(jià)轉(zhuǎn)化為整式不等式f(x)g(x)>0(或f(x)g(x)<0)的形式,即轉(zhuǎn)化為一次、二次或高次不等式.A{x|x>1}(3)解關(guān)于x的不等式:ax2-(a+1)x+1<0.能力形成點(diǎn)2一元二次不等式恒成立問題命題角度1在R上恒成立求參數(shù)的取值范圍例4

若關(guān)于x的一元二次不等式

對一切實(shí)數(shù)x恒成立,則k的取值范圍為(

)A.(-3,0] B.[-3,0)C.[-3,0] D.(-3,0)D拓展延伸若關(guān)于x的不等式

對一切實(shí)數(shù)x恒成立,則k的取值范圍是

.

[-3,0]命題角度2在給定區(qū)間上恒成立求參數(shù)的取值范圍例5

設(shè)函數(shù)f(x)=mx2-mx-1.若對于x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求m的取值范圍.命題角度3給定參數(shù)范圍的恒成立問題例6

已知對任意的k∈[-1,1],函數(shù)f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的值恒大于零,則x的取值范圍是

.

(-∞,1)∪(3,+∞)對任意的k∈[-1,1],x2+(k-4)·x+4-2k>0恒成立,即g(k)=(x-2)k+(x2-4x+4)>0在k∈[-1,1]上恒成立,解得x<1或x>3.解題心得1.不等式在某區(qū)間上恒成立問題的求解方法:設(shè)f(x)=ax2+bx+c.(1)不等式解集法:不等式在集合A中恒成立,等價(jià)于集合A是不等式解集B的子集,通過求不等式的解集,并研究集合的關(guān)系求出參數(shù)的取值范圍.(2)函數(shù)最值法:已知二次函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇m,n],則f(x)≥a恒成立?[f(x)]min=m≥a;f(x)≤a恒成立?[f(x)]max=n≤a.(3)分離參數(shù)法:先將參數(shù)與變量分離,轉(zhuǎn)化為f1(λ)≥f2(x)或f1(λ)≤f2(x)的形式;再求f2(x)的最大(或最小)值;通過解不等式f1(λ)≥f2(x)max或f1(λ)≤f2(x)min得參數(shù)λ的取值范圍.2.已知參數(shù)范圍求函數(shù)自變量的范圍的一般思路是更換主元法.把參數(shù)當(dāng)作函數(shù)的自變量,得到一種新的函數(shù),然后利用新函數(shù)求解.確定主元的原則:知道誰的范圍,誰就是主元,求誰的范圍,誰就是參數(shù).對點(diǎn)訓(xùn)練2(1)設(shè)a為常數(shù),?x∈R,ax2+ax+1>0,則a的取值范圍是(

)A.(0,4)

B.[0,4)C.(0,+∞)

D.(-∞,4)B(2)已知不等式xy≤ax2+2y2對任意的x∈[1,2],y∈[2,3]恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.

[-1,+∞)(3)已知函數(shù)f(x)=x2+mx-1,若對于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

.

作出二次函數(shù)f(x)的草圖如圖所示,對于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0,能力形成點(diǎn)3一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用例7

某地區(qū)有100戶農(nóng)民,且都從事水果種植,據(jù)了解,平均每戶的年收入為2萬元.為了調(diào)整產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu),當(dāng)?shù)卣疀Q定動員部分農(nóng)民從事水果加工,據(jù)估計(jì),若能動員x(x>0)戶農(nóng)民從事水果加工,則剩下的繼續(xù)從事水果種植的農(nóng)民平均每戶的年收入有望提高2x%,而從事水果加工的農(nóng)民平均每戶收入將為

萬元.(1)若動員x戶農(nóng)民從事水果加工后,要使從事水果種植的農(nóng)民的總年收入不低于動員前從事水果種植的農(nóng)民的總年收入,求x的取值范圍;(2)在(1)的條件下,要使這100戶農(nóng)民中從事水果加工的農(nóng)民的總收入始終不高于從事水果種植的農(nóng)民的總收入,求a的最大值.解題心得解不等式應(yīng)用題,一般可按四步進(jìn)行:(1)審題,找出關(guān)鍵量和不等關(guān)系;(2)引進(jìn)數(shù)學(xué)符號,用不等式表示不等關(guān)系(或表示成函數(shù)關(guān)系);(3)解不等式(或求函數(shù)的最值);(4)回歸到實(shí)際問題.對點(diǎn)訓(xùn)練3某汽車廠上年度生產(chǎn)汽車的投入成本為10萬元/輛,出廠價(jià)為12萬元/輛,年銷售量為10000輛.本年度為適應(yīng)市場需求,計(jì)劃提高產(chǎn)品質(zhì)量,適度增加投入成本.若每輛車增加投入成本的百分比為x(0<x<1),則出廠價(jià)相應(yīng)地提高0.75x,同時(shí)預(yù)計(jì)年銷售量增加0.60x.已知年利潤=(出廠價(jià)-投入成本)×年銷售量.(1)寫出本年度預(yù)計(jì)的年利潤y與增加投入成本的百分比x的解析式;(2)為使本年度的年利潤比上年度有所增加,則增加投入成本的百分比x應(yīng)在什么范圍內(nèi)?解

(1)由題意得y=[12(1+0.75x)-10(1+x)]×10

000×(1+0.6x)(0<x<1),整理得y=-6

000x2+2

000x+20

000(0<x<1).(2)要保證本年度的年利潤比上年度有所增加,必須y-(12-10)×10

000>0(0<x<1),簡單高次不等式的解法不等式的最高次數(shù)高于2,這樣的不等式稱為高次不等式.解高次不等式的基本方法:在解f(x)<0(或>0)時(shí),將多項(xiàng)式f(x)分解成若干個(gè)不可約因式的積,根據(jù)實(shí)數(shù)運(yùn)算法則,把它等價(jià)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)或多個(gè)不等式(組)(由各因式的符號所有可能的組合決定),于是原不等式的解集就是各不等式解集的并集.但這一方法在因式較多時(shí)比較繁瑣.此時(shí)通常采用下面的方法:(1)將不等式化為標(biāo)準(zhǔn)形式:一端為0,另一端為一次因式(因式中x的系數(shù)為正)或二次不可分解因式的積.(2)求出各因式的實(shí)數(shù)根,并在數(shù)軸上依次標(biāo)出.(3)自最右端上方起,用曲線自右至左依次由各根穿過數(shù)軸,遇到奇次因式根一次穿過,遇到偶次因式根穿而不過.(4)記數(shù)軸上方為正、下方為負(fù),根據(jù)不等式的符號寫出解集.這種方法叫根軸法或穿根法或穿針引線法.思路分析通過因式分解,將它們轉(zhuǎn)化成一元高次不等式去解.解:(1)原不等式可化為(x+1)(x-1)(x+2)>0.將方程(x+1)(x-1)(x+2)=0的各個(gè)根-2,-1,1標(biāo)在數(shù)軸上,并用穿針引線法依次通過每一個(gè)根,如圖:

所以原不等式的解集為{x|-2<x<-1,或x>1}.將方程x(x+1)(x-1)=0的各個(gè)根-1,0,1標(biāo)在數(shù)軸上,并用穿針引線法依次通過每一個(gè)根,如圖:

所以原不等式的解集為{x|x<-1,或0<x<1}.解題心得1.對于數(shù)軸穿根法求解高次不等式,分解因式后x或x2的系數(shù)須為正數(shù).2.要注意準(zhǔn)確考察各根是否在解集內(nèi).1、函數(shù)的概念及其表示第三章函數(shù)概念與性質(zhì)課標(biāo)要求1.在初中用變量之間的依賴關(guān)系描述函數(shù)的基礎(chǔ)上,用集合語言和對應(yīng)關(guān)系刻畫函數(shù),建立完整的函數(shù)概念.2.體會集合語言和對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用,了解構(gòu)成函數(shù)的要素,能求簡單函數(shù)的定義域.3.在實(shí)際情境中,會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù),理解函數(shù)圖象的作用.4.通過具體實(shí)例,了解簡單的分段函數(shù),并能簡單應(yīng)用.備考指導(dǎo)本節(jié)的重點(diǎn)是函數(shù)的概念及表示方法,復(fù)習(xí)時(shí)要理解函數(shù)的概念,會求函數(shù)的定義域、值域和解析式.明確分段函數(shù)的含義,會解決與分段函數(shù)有關(guān)的圖象、求值及方程(不等