2020高中數(shù)學(xué) 12 等比數(shù)列（含解析）5

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE7-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課時(shí)分層作業(yè)(十二）等比數(shù)列（建議用時(shí):60分鐘)[基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練]一、選擇題1．在等比數(shù)列{an}中，a2018＝8a2017，則公比qA．2 B．3C．4 D．8D［由等比數(shù)列的定義知q＝eq\f(a2018，a2017)＝8.］2．如果－1，a，b，c,－9成等比數(shù)列，那么（）A．b＝3,ac＝9 B．b＝－3，ac＝9C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3,ac＝－9B[因?yàn)閎2＝（－1)×（－9)＝9，a2＝－1×b＝－b＞0,所以b＜0，所以b＝－3,且a,c必同號(hào)．所以ac＝b2＝9.]3．在等比數(shù)列｛an｝中，an>0，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，則a4＋a5的值為（）A．16 B．27C．36 D．81B［已知a1＋a2＝1。a3＋a4＝9，∴q2＝9。∴q＝3或－3(舍去）,∴a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27。]4．在等比數(shù)列{an}中，｜a1｜＝1,a5＝－8a2，a5＞a2，則通項(xiàng)公式anA．(－2)n－1 B．－（－2)n－1C．（－2)n D．－（－2)nA［由a5＝－8a2知eq\f(a5,a2)＝－8＝q3。所以q＝－2，又因?yàn)閍5>a2，所以a5>0，a2<0,所以a1＝eq\f(a5,q4）>0，所以a1＝1，所以an＝（－2)n－1.］5．設(shè)等差數(shù)列｛an}的公差d不為0，a1＝9d，若ak是a1與a2k的等比中項(xiàng)，則k等于()A．2 B．4C．6 D．8B[∵an＝（n＋8)d，又∵aeq\o\al(2，k）＝a1·a2k,∴［（k＋8)d］2＝9d·(2k＋8)d,解得k＝－2(舍去）或k＝4.］二、填空題6．等差數(shù)列{an}的公差d≠0，a1＝20，且a3，a7，a9成等比數(shù)列，則d＝________。－2［由a3，a7,a9成等比數(shù)列，則a3a9＝aeq\o\al(2，7)，即(a1＋2d）(a1＋8d)＝（a1＋6d）2,化簡得2a1d＋20d2＝0，由a1＝20,d≠0，得d＝－2.]7．已知等比數(shù)列{an}中，a3＝3，a10＝384,則該數(shù)列的通項(xiàng)an＝________.3×2n－3[由已知得eq\f（a10,a3）＝eq\f(a1q9，a1q2)＝q7＝128＝27，故q＝2.所以an＝a1qn－1＝a1q2·qn－3＝a3·qn－3＝3×2n－3。］8．已知等比數(shù)列{an}中，a1＝2，且a4a6＝4aeq\o\al(2，7)，則a3＝________。1[設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由等比數(shù)列的性質(zhì)并結(jié)合已知條件得aeq\o\al（2,5）＝4·aeq\o\al（2，5)q4。∴q4＝eq\f（1,4），q2＝eq\f（1，2),∴a3＝a1q2＝2×eq\f(1，2)＝1。]三、解答題9．已知等比數(shù)列｛an｝,若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8,求[解]法一：因?yàn)閍1a3＝aeq\o\al(2,2)，a1a2a3＝aeq\o\al（3，2)＝8，所以a2＝2.從而eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a1＋a3＝5，，a1a3＝4，））解得a1＝1，a3＝4或a1＝4,a3＝1。當(dāng)a1＝1時(shí),q＝2;當(dāng)a1＝4時(shí),q＝eq\f(1，2）.故an＝2n－1或an＝23－n。法二:由等比數(shù)列的定義，知a2＝a1q，a3＝a1q2.代入已知，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a1＋a1q＋a1q2＝7，,a1·a1q·a1q2＝8，)）即eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a11＋q＋q2＝7，，a\o\al(3,1）q3＝8，）)即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a11＋q＋q2＝7，①，a1q＝2.②))將a1＝eq\f(2，q)代入①,得2q2－5q＋2＝0,所以q＝2或q＝eq\f（1,2）。由②得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，，q＝2))或eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a1＝4，，q＝\f（1，2），）)故an＝2n－1或an＝23－n。10．?dāng)?shù)列｛an}的前n項(xiàng)和記為Sn,已知a1＝1，an＋1＝eq\f(n＋2，n）Sn(n＝1，2,3,…）．證明：（1）數(shù)列eq\b\lc\{\rc\｝(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是等比數(shù)列；(2）Sn＋1＝4an。［解]（1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn,an＋1＝eq\f（n＋2，n)Sn,∴(n＋2）Sn＝n(Sn＋1－Sn）．整理,得nSn＋1＝2（n＋1）Sn,∴eq\f(Sn＋1,n＋1）＝2eq\f(Sn，n）.故eq\b\lc\｛\rc\}(\a\vs4\al\co1（\f（Sn,n））)是以2為公比的等比數(shù)列．（2）由（1）知eq\f（Sn＋1,n＋1)＝4·eq\f（Sn－1,n－1）(n≥2）．于是Sn＋1＝4(n＋1)·eq\f(Sn－1,n－1）＝4an（n≥2)，又∵a2＝3S1＝3,故S2＝a1＋a2＝4.因此對(duì)于任意正整數(shù)n≥1,都有Sn＋1＝4an。［能力提升練]1．在等比數(shù)列｛an}中，a1＋a3＝10，a4＋a6＝eq\f(5，4），則數(shù)列｛an}的通項(xiàng)公式為(）A．a(chǎn)n＝24－n B．a(chǎn)n＝2n－4C．a(chǎn)n＝2n－3 D．a(chǎn)n＝23－nA［設(shè)公比為q，則eq\f(a4＋a6，a1＋a3）＝q3＝eq\f（\f(5,4），10)＝eq\f(1,8），所以q＝eq\f(1，2），又a1＋a3＝a1＋a1q2＝10，所以a1＝8，所以an＝8·eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1,2)))n－1＝24－n.]2．如圖所示,給出了一個(gè)“三角形數(shù)陣"．已知每一列數(shù)成等差數(shù)列,從第三行起，每一行數(shù)成等比數(shù)列，而且每一行的公比都相等, eq\a\vs4\al（\f(1,4)，\f(1，2)，\f（1，4），\f（3,4)，\f（3，8),\f（3,16),…）記第i行第j列的數(shù)為aij(i，j∈N＋)，則a53的值為（)A．eq\f(1，16） B．eq\f（1，8）C．eq\f（5,16） D．eq\f(5，4）C［第一列構(gòu)成首項(xiàng)為eq\f（1,4)，公差為eq\f（1,4)的等差數(shù)列，所以a51＝eq\f(1，4）＋（5－1）×eq\f(1,4)＝eq\f(5,4）。又因?yàn)閺牡谌衅鹈恳恍袛?shù)成等比數(shù)列，而且每一行的公比都相等，所以第5行構(gòu)成首項(xiàng)為eq\f（5,4）,公比為eq\f（1,2)的等比數(shù)列，所以a53＝eq\f(5，4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1，2）））2＝eq\f（5,16）。］3．等比數(shù)列｛an｝中,a4＝2，a5＝4，則數(shù)列{lgan}的通項(xiàng)公式為________．lgan＝(n－3)lg2［∵a5＝a4q，∴q＝2，∴a1＝eq\f（a4,q3）＝eq\f(1，4),∴an＝eq\f（1,4）·2n－1＝2n－3，∴l(xiāng)gan＝(n－3)lg2.]4．設(shè)等比數(shù)列{an｝滿足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5,則a1a2…an64［設(shè)｛an｝的公比為q，由a1＋a3＝10，a2＋a4＝5得a1＝8，q＝eq\f(1，2),則a2＝4,a3＝2,a4＝1，a5＝eq\f（1，2）,∴a1a2…an≤a1a2a3a4＝64.］5．已知數(shù)列｛an}滿足a1＝1，an＋1＝2an＋1。(1)證明數(shù)列{an＋1｝是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．［解］(1)法一：因?yàn)閍n＋1＝2an＋1，所以an＋1＋1＝2（an＋1）．由a1＝1，知a1＋1≠0，從而an＋1≠0.所以eq\f(an＋1＋1，an＋1)＝2（n∈N＋）．所以數(shù)列｛an＋1｝是