2020高中數(shù)學(xué) 第1章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.1.1 變化率問題 1.1.2 導(dǎo)數(shù)的概念學(xué)案 2-2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE11-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1。1.1變化率問題學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1．通過對大量實例的分析,經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，了解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景．2．會求函數(shù)在某一點附近的平均變化率．(重點)3．會利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)．（重點、難點)4．理解函數(shù)的平均變化率,瞬時變化率及導(dǎo)數(shù)的概念．(易混點）1．通過對函數(shù)的平均變化率、瞬時變化率、導(dǎo)數(shù)的概念的學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)．2．通過求平均變化率、瞬時變化率及導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí),培養(yǎng)邏輯推理及數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)。1．函數(shù)的平均變化率（1）函數(shù)y＝f(x）從x1到x2的平均變化率為eq\f(Δy,Δx)＝eq\f（fx2－fx1，x2－x1），其中Δx＝x2－x1是相對于x1的一個“增量”,Δy＝f（x2）－f(x1）＝f(x1＋Δx)－f（x1)是相對于f（x1）的一個“增量”．（2）平均變化率的幾何意義設(shè)A(x1，f(x1)),B(x2,f(x2）)是曲線y＝f（x)上任意不同的兩點,函數(shù)y＝f(x)的平均變化率eq\f(Δy,Δx）＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1）＝eq\f(fx1＋Δx－fx1，Δx)為割線AB的斜率，如圖所示．思考:Δx，Δy的值一定是正值嗎？平均變化率是否一定為正值？[提示]Δx，Δy可正可負(fù)，Δy也可以為零,但Δx不能為零．平均變化率eq\f（Δy，Δx）可正、可負(fù)、可為零．2．瞬時速度與瞬時變化率（1）物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度．(2）函數(shù)f(x）在x＝x0處的瞬時變化率是函數(shù)f(x）從x0到x0＋Δx的平均變化率在Δx→0時的極限，即eq\o(lim，\s\do6(Δx→0））eq\f(Δy,Δx）＝eq\o（lim，\s\do6(Δx→0)）eq\f（fx0＋Δx－fx0，Δx）.3．導(dǎo)數(shù)的概念函數(shù)y＝f(x）在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)y＝f（x)在x＝x0處的瞬時變化率,記作f′（x0）或y′|x＝x0，即f′（x0）＝eq\o（lim，\s\do6（Δx→0）)eq\f（fx0＋Δx－fx0，Δx）。1．函數(shù)y＝f(x）,自變量x由x0改變到x0＋Δx時,函數(shù)的改變量Δy為(）A．f（x0＋Δx） B．f(x0）＋ΔxC．f(x0）·Δx D．f（x0＋Δx）－f（x0)D[Δy＝f（x0＋Δx）－f(x0），故選D。］2．若一質(zhì)點按規(guī)律s＝8＋t2運動，則在一小段時間[2,2。1]內(nèi)的平均速度是（)A．4 B．4.1C．0.41 D．－1。1B［eq\x\to（v）＝eq\f(Δs，Δt）＝eq\f(s2。1－s2，2.1－2）＝eq\f（2。12－22,0.1）＝4。1，故選B.］3．函數(shù)f（x)＝x2在x＝1處的瞬時變化率是________．2[∵f(x）＝x2?！嘣趚＝1處的瞬時變化率是eq\o（lim，\s\do6（Δx→0)）eq\f（Δy，Δx）＝eq\o（lim，\s\do6(Δx→0）)eq\f(f1＋Δx－f1，Δx)＝eq\o（lim，\s\do6(Δx→0）)eq\f(1＋Δx2－12，Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0)）(2＋Δx）＝2.]4．函數(shù)f(x）＝2在x＝6處的導(dǎo)數(shù)等于________．0［f′（6)＝eq\o(lim,\s\do6（Δx→0)）eq\f（f6＋Δx－f6，Δx)＝eq\o(lim,\s\do6（Δx→0))eq\f（2－2,Δx)＝0.]求函數(shù)的平均變化率【例1】已知函數(shù)f(x)＝3x2＋5,求f(x)：(1)從0。1到0.2的平均變化率；(2）在區(qū)間[x0,x0＋Δx］上的平均變化率．[解](1)因為f（x）＝3x2＋5，所以從0.1到0。2的平均變化率為eq\f（3×0。22＋5－3×0。12－5，0.2－0。1）＝0。9。(2）f(x0＋Δx）－f（x0）＝3(x0＋Δx）2＋5－（3xeq\o\al（2，0）＋5）＝3xeq\o\al（2，0）＋6x0Δx＋3(Δx)2＋5－3xeq\o\al(2，0）－5＝6x0Δx＋3（Δx)2.函數(shù)f(x）在區(qū)間［x0，x0＋Δx］上的平均變化率為eq\f(6x0Δx＋3Δx2,Δx）＝6x0＋3Δx。1．求函數(shù)平均變化率的三個步驟第一步,求自變量的增量Δx＝x2－x1；第二步，求函數(shù)值的增量Δy＝f（x2)－f(x1)；第三步，求平均變化率eq\f（Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1)。2．求平均變化率的一個關(guān)注點求點x0附近的平均變化率，可用eq\f(fx0＋Δx－fx0，Δx）的形式．1．如圖所示，函數(shù)y＝f(x)在A,B兩點間的平均變化率等于()A．1 B．－1C．2 D．－2B［平均變化率為eq\f（1－3，3－1）＝－1.故選B.]2．已知函數(shù)y＝f（x)＝2x2的圖象上點P（1，2）及鄰近點Q(1＋Δx，2＋Δy），則eq\f(Δy，Δx）的值為(）A．4 B．4xC．4＋2Δx2 D．4＋2ΔxD[eq\f(Δy,Δx）＝eq\f（21＋Δx2－2×12，Δx)＝4＋2Δx。故選D。]求瞬時速度［探究問題]1．物體的路程s與時間t的關(guān)系是s(t)＝5t2，如何計算物體在[1，1＋Δt］這段時間內(nèi)的平均速度？[提示］Δs＝5(1＋Δt）2－5＝10Δt＋5（Δt)2,eq\x\to（v)＝eq\f（Δs，Δt）＝10＋5Δt。2．當(dāng)Δt趨近于0時，探究1中的平均速度趨近于多少？怎樣理解這一速度？[提示]當(dāng)Δt趨近于0時，eq\f（Δs，Δt)趨近于10，這時的平均速度即為當(dāng)t＝1時的瞬時速度．【例2】某物體的運動路程s(單位:m）與時間t(單位：s）的關(guān)系可用函數(shù)s（t）＝t2＋t＋1表示，求物體在t＝1s時的瞬時速度．思路探究：eq\x(計算物體在［1，1＋Δt］內(nèi)的平均速度\f(Δs,Δt)）eq\o(→,\s\up10（令Δt→0）)eq\x（計算\o(lim，\s\do6(Δt→0)）\f(Δs,Δt))→eq\x(得t＝1s時的瞬時速度）[解］∵eq\f（Δs,Δt）＝eq\f(s1＋Δt－s1，Δt)＝eq\f(1＋Δt2＋1＋Δt＋1－12＋1＋1，Δt）＝3＋Δt，∴eq\o(lim，\s\do6(Δt→0))eq\f(Δs，Δt）＝eq\o（lim,\s\do6(Δt→0)）(3＋Δt）＝3。∴物體在t＝1處的瞬時變化率為3.即物體在t＝1s時的瞬時速度為3m/s。1．（變結(jié)論）在本例條件不變的前提下，試求物體的初速度．[解]求物體的初速度，即求物體在t＝0時的瞬時速度．∵eq\f(Δs，Δt）＝eq\f（s0＋Δt－s0，Δt)＝eq\f（0＋Δt2＋0＋Δt＋1－1,Δt)＝1＋Δt，∴eq\o（lim,\s\do6(Δt→0))(1＋Δt)＝1.∴物體在t＝0時的瞬時變化率為1，即物體的初速度為1m/s.2．(變結(jié)論)在本例條件不變的前提下，試問物體在哪一時刻的瞬時速度為9m/s.［解］設(shè)物體在t0時刻的瞬時速度為9m/s.又eq\f(Δs，Δt)＝eq\f（st0＋Δt－st0，Δt）＝(2t0＋1）＋Δt.eq\o(lim,\s\do6（Δt→0)）eq\f(Δs,Δt）＝eq\o（lim,\s\do6(Δt→0))（2t0＋1＋Δt）＝2t0＋1。則2t0＋1＝9，∴t0＝4。則物體在4s時的瞬時速度為9m/s。求運動物體瞬時速度的三個步驟（1）求時間改變量Δt和位移改變量Δs＝s（t0＋Δt）－s(t0)．（2)求平均速度eq\x\to(v)＝eq\f(Δs，Δt)。（3)求瞬時速度,當(dāng)Δt無限趨近于0時,eq\f(Δs，Δt）無限趨近于常數(shù)v，即為瞬時速度．求函數(shù)在某一點處的導(dǎo)數(shù)【例3】(1）設(shè)函數(shù)y＝f(x）在x＝x0處可導(dǎo),且eq\o（lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(fx0－3Δx－fx0，Δx）＝1，則f′(x0)等于()A．1 B．－1C．－eq\f(1,3） D．eq\f（1，3)（2）求函數(shù)f(x）＝x－eq\f(1,x)在x＝1處的導(dǎo)數(shù)．思路探究：(1)類比f′(x0）＝eq\o(lim，\s\do6(Δx→0）)eq\f(fx0＋Δx－fx0，Δx）求解．(2）eq\x(先求Δy)→eq\x（再求\f（Δy，Δx)）→eq\x(計算\o(lim，\s\do6（Δx→0））\f(Δy，Δx）)(1)C[∵eq\o（lim,\s\do6(Δx→0))eq\f（fx0－3Δx－fx0，Δx)＝eq\o（lim,\s\do6（Δx→0)）eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1（\f（fx0－3Δx－fx0，－3Δx)·－3）)＝－3f′（x0)＝1,∴f′（x0)＝－eq\f(1，3)，故選C。］(2）[解］∵Δy＝（1＋Δx)－eq\f（1，1＋Δx)－eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（1－\f(1,1))）＝Δx＋1－eq\f(1，1＋Δx)＝Δx＋eq\f（Δx,1＋Δx)，∴eq\f（Δy,Δx)＝eq\f（Δx＋\f（Δx，1＋Δx)，Δx)＝1＋eq\f(1,1＋Δx），∴f′(1）＝eq\o(lim，\s\do6(Δx→0))eq\f(Δy，Δx)＝eq\o（lim,\s\do6(Δx→0))eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（1＋\f（1,1＋Δx）)）＝2.求函數(shù)y＝f(x）在點x0處的導(dǎo)數(shù)的三個步驟簡稱:一差、二比、三極限．3．已知f′(1)＝－2，則eq\o（lim，\s\do6（Δx→0))eq\f（f1－2Δx－f1,Δx）＝________。4[∵f′（1）＝－2，∴eq\o(lim,\s\do6(Δx→0)）eq\f（f1－2Δx－f1,Δx）＝eq\o（lim，\s\do6(Δx→0））eq\f(f1－2Δx－f1，\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f(1，2）））×－2Δx)＝－2eq\o（lim,\s\do6(Δx→0）)eq\f(f1－2Δx－f1,－2Δx)＝－2f′(1)＝－2×（－2）＝4.]4．求函數(shù)y＝3x2在x＝1處的導(dǎo)數(shù)．［解]∵Δy＝f（1＋Δx）－f（1)＝3（1＋Δx）2－3＝6Δx＋3(Δx）2，∴eq\f(Δy,Δx)＝6＋3Δx,∴f′（1)＝eq\o(lim，\s\do6（Δx→0)）eq\f（Δy，Δx)＝eq\o（lim，\s\do6（Δx→0)）(6＋3Δx）＝6.1．極限思想是逼近的思想，瞬時變化率就是平均變化率的極限．2．函數(shù)y＝f（x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0）反映了函數(shù)在該點處的瞬時變化率，它揭示了事物在某時刻的變化情況．即：f′(x0）＝eq\o(lim，\s\do6(Δx→0))eq\f(Δy，Δx）＝eq\o(lim，\s\do6（Δx→0）)eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx）＝eq\o(lim，\s\do6（x→xeq\s\do6(0））)eq\f（fx－fx0,x－x0),且y＝f(x）在x0處的導(dǎo)數(shù)是一個局部概念．特別提醒：①取極限前，要注意化簡eq\f（Δy，Δx)，保證使Δx→0時分母不為0.②函數(shù)在x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0）只與x0有關(guān)，與Δx無關(guān)．③導(dǎo)數(shù)可以描述任何事物的瞬時變化率，應(yīng)用非常廣泛。1．一物體的運動方程是s＝3＋2t,則在［2,2.1]這段時間內(nèi)的平均速度是()A．0。4 B．2C．0。3 D．0。2B[eq\x\to（v）＝eq\f(s2.1－s2,2.1－2)＝eq\f（4。2－4，0。1)＝2.］2．物體自由落體的運動方程為s(t）＝eq\f（1，2）gt2，g＝9。8m/s2,若v＝eq\o（lim，\s\do6(Δt→0）)eq\f（s1＋Δt－s1,Δt)＝9.8m/s，那么下列說法中正確的是(）A．9。8m/s是物體從0s到1s這段時間內(nèi)的速率B．9。8m/s是1s到（1＋Δt)s這段時間內(nèi)的速率C．9。8m/s是物體在t＝1s這一時刻的速率D．9。8m/s是物體從1s到(1＋Δt）s這段時間內(nèi)的平均速率C［結(jié)合平均變化率與瞬時變化率可知選項C正確．]3．函數(shù)f(x）＝eq\r（x)在x＝1處的導(dǎo)數(shù)為________．eq\f（1,2)［∵Δy＝f(1＋Δx)－f（1)＝eq\r（1＋Δx)－1，∴eq\f(Δ