貨幣銀行基礎(chǔ)知識課件

1風(fēng)險與收益的數(shù)學(xué)度量

第一章基礎(chǔ)知識效用函數(shù)隨機占優(yōu)1風(fēng)險與收益的數(shù)學(xué)度量第一章基礎(chǔ)知識效用函2第一章基礎(chǔ)知識

第一節(jié)風(fēng)險與收益的數(shù)學(xué)度量證券投資收益率的數(shù)學(xué)公式

為證券第t期末的價格；為證券第t期初的價格；為證券在第t期的股息、紅利等現(xiàn)金收入；2第一章基礎(chǔ)知識第一節(jié)風(fēng)險與收3單個證券收益和風(fēng)險的度量

對于單個證券而言，若收益率服從離散型分布投資機會的盈利性（收益）和風(fēng)險可表示為：

實際應(yīng)用中，常常用樣本均值與方差，來做近似替代：第一章基礎(chǔ)知識

3單個證券收益和風(fēng)險的度量對于單個證券而言，若收益率服從離4

有時也用R的下側(cè)方差（lowerpartialvariance,簡記為LPV）來描述風(fēng)險。

若收益率服從分布函數(shù)為F(r)的連續(xù)型分布，則其下側(cè)方差為：

若收益率服從分布律為P(R=ri)=hi的離散型分布，則其下側(cè)方差為：

還有用概率來刻畫風(fēng)險的，如Domar認為：如果某一投資機會的最小容許量用r0表示，就可以用p(R≤r0)的大小來描述風(fēng)險。

實際上，我們可以采用一個一般的數(shù)學(xué)度量—范數(shù)來描述風(fēng)險，以上對風(fēng)險的描述方法只不過是其中的特例罷了。第一章基礎(chǔ)知識

4有時也用R的下側(cè)方差（lowerparti5證券組合收益和風(fēng)險的度量

若某個投資者面臨的是一組由m個證券組成的投資機會，令第i個證券的投資收益率為,投資組合的收益率為隨機變量

投資機會（組合）的收益可表示為

投資機會的風(fēng)險可以用的協(xié)方差矩陣來表示：

顯然，協(xié)方差矩陣是對稱矩陣。

第一章基礎(chǔ)知識

其中為證券i收益率的方差；

為證券i和證券j的收益率之間的協(xié)方差，即5證券組合收益和風(fēng)險的度量若某個投資者面臨的是6協(xié)方差矩陣通常有如下性質(zhì)：第一章基礎(chǔ)知識

證明

證畢.

6協(xié)方差矩陣通常有如下性質(zhì)：第一章基礎(chǔ)知識證明證畢.7第一章基礎(chǔ)知識

證明

證畢.

7第一章基礎(chǔ)知識證明證畢.8

具體到由收益率為和兩種證券組成的投資組合而言，假定收益率均為離散型隨機變量，并且聯(lián)合分布律為投資機會的風(fēng)險可以用兩種證券收益率的協(xié)方差來表示：（無量綱！）

實際應(yīng)用中，由于無法得到證券整體的指標(biāo)，一般用樣本指標(biāo)來近似替代。第一章基礎(chǔ)知識

8具體到由收益率為和兩種9解

第一章基礎(chǔ)知識

9解第一章基礎(chǔ)知識10第二節(jié)效用函數(shù)第一章基礎(chǔ)知識

引例1按照期望收益率最大準(zhǔn)則,

應(yīng)該選擇投資機會B。

然而，對于投資機會A而言，雖然期望收益率低于投資機會B，但是它的收益是確定的，而投資機會B卻有7/10的可能得到的為負或者是零收入,對于一個謹慎的投資者而言，寧愿選擇投資機會A，而不選擇B。10第二節(jié)效用函數(shù)第一章基礎(chǔ)知識引例1按照期望收11第一章基礎(chǔ)知識

引例2按照期望收益最大準(zhǔn)則，不難得到參賭人所獲得收入的期望值為：

也就是說參賭人只要拿出有限的錢來參加這種賭博得到的收益都是無限大的。這顯然不符合事實！單獨運用期望收益來進行投資決策不合理！

11第一章基礎(chǔ)知識引例2按照期望收益最大準(zhǔn)則，不難得12第一章基礎(chǔ)知識

效用函數(shù)概述

效用（utility）

效用的本意是一種主觀感受,是一種主觀意愿的滿足程度.本課程考察的是在投資活動中對投資結(jié)果的滿意程度,即為投資的效用.

效用函數(shù)（utilityfunction）

效用函數(shù)是對滿意程度的量化.效用函數(shù)可分為:這種效用函數(shù)只反映一種滿意程度的順序關(guān)系.序數(shù)效用函數(shù)（ordinalutilityfunction）:基數(shù)效用函數(shù)（cardinalutilityfunction）

這種效用函數(shù)能夠度量效用的具體數(shù)值.因此它不僅能反映投資效用的順序,也度量出了它們之間的大小數(shù)量關(guān)系.12第一章基礎(chǔ)知識效用函數(shù)概述效用（utility）13第一章基礎(chǔ)知識

效用函數(shù)的具體應(yīng)用分為確定性狀態(tài)和不確定性狀態(tài)兩種.確定性狀態(tài)下的效用函數(shù):（如商品配置問題）不確定性狀態(tài)下的效用函數(shù)（期望效用函數(shù)）

所謂期望效用函數(shù)是定義在一個隨機變量集合上的函數(shù)，它在一個隨機變量上的取值等于它作為數(shù)值函數(shù)在該隨機變量上取值的數(shù)學(xué)期望。用它來判斷有風(fēng)險的利益，那就是比較“錢的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望”.

可以證明,在確定狀態(tài)下的序數(shù)效用函數(shù)存在，在不確定性狀態(tài)下基數(shù)效用函數(shù)存在.

13第一章基礎(chǔ)知識效用函數(shù)的具體應(yīng)用分為確定性狀態(tài)和不14第一章基礎(chǔ)知識

效用函數(shù)的應(yīng)用—風(fēng)險態(tài)度

風(fēng)險厭惡型

至少在某一點不等號成立.

實際上,絕大多數(shù)的投資者都具有該類效用函數(shù),即屬于風(fēng)險厭惡型投資者.如假定,效用函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)小于零,即人們通常所說的邊際效用遞減規(guī)律.這類投資者的效用函數(shù)滿足：14第一章基礎(chǔ)知識效用函數(shù)的應(yīng)用—風(fēng)險態(tài)度風(fēng)險厭15第一章基礎(chǔ)知識

風(fēng)險厭惡型效應(yīng)函數(shù)為凹函數(shù),即期望的效用大于效用的期望,這就是重要的不等式—Jensen不等式.證明

不等式兩邊同時求期望,可得亦即

，

即

證畢.

15第一章基礎(chǔ)知識風(fēng)險厭惡型效應(yīng)函數(shù)為凹函數(shù),16第一章基礎(chǔ)知識

風(fēng)險愛好型這類投資者（現(xiàn)實生活中很少）的效用函數(shù)滿足：至少在某一點不等號成立.

顯然,該函數(shù)是增函數(shù),而且是凸函數(shù),其曲線如圖所示

同理,可以證明風(fēng)險愛好型投資者的期望的效用小于效用的期望,即16第一章基礎(chǔ)知識風(fēng)險愛好型這類投資者（現(xiàn)實生活中17第一章基礎(chǔ)知識

第一章基礎(chǔ)知識

風(fēng)險中性型這類投資者的效用函數(shù)滿足:顯然,該函數(shù)是斜率為正的直線,如圖所示:同理,可以證明風(fēng)險中性型投資者的期望的效用等于效用的期望,即17第一章基礎(chǔ)知識第一章基礎(chǔ)知識風(fēng)險中性型這18第一章基礎(chǔ)知識

常見的風(fēng)險厭惡型效用

絕對風(fēng)險厭惡遞減型投資者:該類型的投資者的偏好表現(xiàn)為:當(dāng)R的數(shù)值相當(dāng)大時,他們對風(fēng)險的厭惡程度就會降低,往往還會多進行一些風(fēng)險性投資.即:至少在某一點不等號成立.

相對風(fēng)險厭惡函數(shù)將絕對風(fēng)險厭惡函數(shù)代入上式展開,得到即：絕對風(fēng)險厭惡型投資者的效用函數(shù)須同時滿足：

絕對風(fēng)險厭惡函數(shù)18第一章基礎(chǔ)知識常見的風(fēng)險厭惡型效用絕對風(fēng)險厭19第一章基礎(chǔ)知識

幾種常用的風(fēng)險厭惡型效用函數(shù)：1、指數(shù)效用函數(shù)顯然

2、冪效用函數(shù)顯然

冪效用函數(shù)的投資者是絕對風(fēng)險厭惡遞減型。3、對數(shù)效用函數(shù)(Bernoulli函數(shù))顯然

19第一章基礎(chǔ)知識幾種常用的風(fēng)險厭惡型效用函數(shù)：1、指20第一章基礎(chǔ)知識

如果假設(shè)參賭者具有對數(shù)效用函數(shù),就能解決圣彼得堡悖論，于是又稱對數(shù)效用函數(shù)為Bernoulli函數(shù)。假設(shè)參加賭博者都是風(fēng)險厭惡型，他們都具有相同的效用函數(shù)

而

于是

這說明，如果參賭者的偏好真正由效用函數(shù)確定,那么他們至多只會花2元來參加賭博.20第一章基礎(chǔ)知識如果假設(shè)參賭者具有對數(shù)21第一章基礎(chǔ)知識

單期Merton比率

資產(chǎn)分配優(yōu)化中的一個重要的比率—Merton比率，是1997年諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎獲得主Merton于1969年在他的一篇重要論文中推導(dǎo)出來的。21第一章基礎(chǔ)知識單期Merton比率22第一章基礎(chǔ)知識

另外，一個周期末，風(fēng)險性資產(chǎn)的期望收益率為22第一章基礎(chǔ)知識另外，一個周期末，風(fēng)險性資產(chǎn)的期望收23第一章基礎(chǔ)知識

于是，該投資者的期望效用為由期望效用最大原則，對期望效用函數(shù)關(guān)于a求導(dǎo)，并令其為零，可得a即為單期Merton比率.

23第一章基礎(chǔ)知識于是，該投資者的期望效用為由期望效用24第一章基礎(chǔ)知識

第三節(jié)隨機占優(yōu)Rothschild-Stiglitz(1970,1971)提出了更一般的比較不同資產(chǎn)風(fēng)險的分析框架—在效應(yīng)理論的架構(gòu)下，采用隨機占優(yōu)（StochasticDominance）方法來判斷兩個投資機會的優(yōu)劣。

期望效用最大化投資決策的前提是先確定效用函數(shù)，然而效用函數(shù)“只可意會，不可言傳”，很難對效用進行精確的量化。

由于投資機會的收益率R是一個隨機變量，因此可以采用數(shù)學(xué)上專門研究各種條件下隨機變量優(yōu)劣比較的方法—隨機序來討論投資決策問題，并根據(jù)效用函數(shù)的性質(zhì)采取漸進式的決策方法。投資決策隨機優(yōu)勢準(zhǔn)則FSDSSDTSD，

,,

隨機序24第一章基礎(chǔ)知識第三節(jié)隨機占優(yōu)25第一章基礎(chǔ)知識

一階隨機占優(yōu)（First-orderStochasticDominance）FSD準(zhǔn)則

FSD準(zhǔn)則的證明

充分性

那么于是25第一章基礎(chǔ)知識一階隨機占優(yōu)（First-order26第一章基礎(chǔ)知識

因此

必要性(反證法)即

因此

矛盾.

證畢.

26第一章基礎(chǔ)知識因此必要性(反證法)即因此矛盾27第一章基礎(chǔ)知識

FSD準(zhǔn)則的解釋

即而即亦即27第一章基礎(chǔ)知識FSD準(zhǔn)則的解釋即而即亦即28第一章基礎(chǔ)知識

FSD準(zhǔn)則的圖形表示

圖中的三條曲線分別代表三個投資機會A，B，C的收益率分布函數(shù)，根據(jù)FSD準(zhǔn)則，不難判斷投資機會B和投資機會C均優(yōu)于投資機會A，但是投資機會B與投資機會C的優(yōu)劣無法判斷。28第一章基礎(chǔ)知識FSD準(zhǔn)則的圖形表示29第一章基礎(chǔ)知識

二階隨機占優(yōu)（Second-orderStochasticDominance）SSD準(zhǔn)則

SSD準(zhǔn)則的證明

先證充分性

29第一章基礎(chǔ)知識二階隨機占優(yōu)（Second-orde30于是有

下證必要性，同樣用反證法。30于是有下證必要性，同樣用反證法。31于是，

由題設(shè)可知，

并且

要使恒大于零，即與假設(shè)矛盾.

證畢.

31于是，由題設(shè)可知，并且要使恒大于零，即與假設(shè)矛盾32第一章基礎(chǔ)知識

SSD準(zhǔn)則的圖形表示當(dāng)兩個投資機會收益率的分布函數(shù)曲線相交時，F(xiàn)SD準(zhǔn)則失效。

如圖（區(qū)域內(nèi)有“+”號的，表示FB(r)超過FA(r)的積分面積，區(qū)域內(nèi)有“—”號的，表示FA(r)超過FB(r)的積分面積，且前者區(qū)域（帶“+”號）的面積大于后者區(qū)域（帶“—”號）的面積）所示，投資機會A與投資機會B收益率的分布函數(shù)雖然有相交的現(xiàn)象，但是依然可以判斷A優(yōu)于B。32第一章基礎(chǔ)知識SSD準(zhǔn)則的圖形表示當(dāng)兩個投資機33第一章基礎(chǔ)知識

而又不難得到>0

即

從而投資機會A優(yōu)于投資機會B。

33第一章基礎(chǔ)知識而又不難得到>0即34第一章基礎(chǔ)知識

三階隨機占優(yōu)（Third-orderStochasticDominance）TSD準(zhǔn)則

先證充分性

TSD準(zhǔn)則的證明

34第一章基礎(chǔ)知識三階隨機占優(yōu)（Third-order35而(留作練習(xí)!)于是由題設(shè)

顯然有35而(留作練習(xí)!)于是由題設(shè)顯然有36

下證必要性，同樣用反證法。分兩種情況考慮第一章基礎(chǔ)知識

36下證必要性，同樣用反證法。分兩種情況考慮第一章基37第一章基礎(chǔ)知識

37第一章基礎(chǔ)知識38第一章基礎(chǔ)知識

隨機優(yōu)勢準(zhǔn)則的一般決策過程為：（1）在諸多的可行的投資機會中，用FSD準(zhǔn)則進行選擇，除去劣類投資機會；（2）在通過FSD準(zhǔn)則的投資機會中，繼續(xù)用SSD準(zhǔn)則進行選擇，除去劣類投資機會；（3）對通過SSD準(zhǔn)則的投資機會，進一步用TSD準(zhǔn)則進行選擇，通過的即為SD最優(yōu)的投資機會。38第一章基礎(chǔ)知識隨機優(yōu)勢準(zhǔn)則的一般決策過程為：（1）39第一章基礎(chǔ)知識

【本章要點】效用函數(shù)期望效用最大準(zhǔn)則基于效用函數(shù)的風(fēng)險態(tài)度分類一階、二階隨機占優(yōu)準(zhǔn)則的證明以及圖形表示三階隨機占優(yōu)準(zhǔn)則運用基礎(chǔ)理論處理簡單的投資決策問題39第一章基礎(chǔ)知識【本章要點】40第一章基礎(chǔ)知識

【本章練習(xí)】一、名詞解釋效用函數(shù)風(fēng)險厭惡相對風(fēng)險厭惡系數(shù)絕對風(fēng)險厭惡系數(shù)絕對風(fēng)險厭惡遞減型投資者

FSD準(zhǔn)則SSD準(zhǔn)則TSD準(zhǔn)則二、證明：對于風(fēng)險愛好型投資者而言，期望的效用小于效用的期望，即

三﹑四、試用期望效用函數(shù)理論解釋圣彼得堡悖論

.40第一章基礎(chǔ)知識【本章練習(xí)】一、名詞解釋二、證明：對41風(fēng)險與收益的數(shù)學(xué)度量

第一章基礎(chǔ)知識效用函數(shù)隨機占優(yōu)1風(fēng)險與收益的數(shù)學(xué)度量第一章基礎(chǔ)知識效用函42第一章基礎(chǔ)知識

第一節(jié)風(fēng)險與收益的數(shù)學(xué)度量證券投資收益率的數(shù)學(xué)公式

為證券第t期末的價格；為證券第t期初的價格；為證券在第t期的股息、紅利等現(xiàn)金收入；2第一章基礎(chǔ)知識第一節(jié)風(fēng)險與收43單個證券收益和風(fēng)險的度量

對于單個證券而言，若收益率服從離散型分布投資機會的盈利性（收益）和風(fēng)險可表示為：

實際應(yīng)用中，常常用樣本均值與方差，來做近似替代：第一章基礎(chǔ)知識

3單個證券收益和風(fēng)險的度量對于單個證券而言，若收益率服從離44

有時也用R的下側(cè)方差（lowerpartialvariance,簡記為LPV）來描述風(fēng)險。

若收益率服從分布函數(shù)為F(r)的連續(xù)型分布，則其下側(cè)方差為：

若收益率服從分布律為P(R=ri)=hi的離散型分布，則其下側(cè)方差為：

還有用概率來刻畫風(fēng)險的，如Domar認為：如果某一投資機會的最小容許量用r0表示，就可以用p(R≤r0)的大小來描述風(fēng)險。

實際上，我們可以采用一個一般的數(shù)學(xué)度量—范數(shù)來描述風(fēng)險，以上對風(fēng)險的描述方法只不過是其中的特例罷了。第一章基礎(chǔ)知識

4有時也用R的下側(cè)方差（lowerparti45證券組合收益和風(fēng)險的度量

若某個投資者面臨的是一組由m個證券組成的投資機會，令第i個證券的投資收益率為,投資組合的收益率為隨機變量

投資機會（組合）的收益可表示為

投資機會的風(fēng)險可以用的協(xié)方差矩陣來表示：

顯然，協(xié)方差矩陣是對稱矩陣。

第一章基礎(chǔ)知識

其中為證券i收益率的方差；

為證券i和證券j的收益率之間的協(xié)方差，即5證券組合收益和風(fēng)險的度量若某個投資者面臨的是46協(xié)方差矩陣通常有如下性質(zhì)：第一章基礎(chǔ)知識

證明

證畢.

6協(xié)方差矩陣通常有如下性質(zhì)：第一章基礎(chǔ)知識證明證畢.47第一章基礎(chǔ)知識

證明

證畢.

7第一章基礎(chǔ)知識證明證畢.48

具體到由收益率為和兩種證券組成的投資組合而言，假定收益率均為離散型隨機變量，并且聯(lián)合分布律為投資機會的風(fēng)險可以用兩種證券收益率的協(xié)方差來表示：（無量綱?。?/p>

實際應(yīng)用中，由于無法得到證券整體的指標(biāo)，一般用樣本指標(biāo)來近似替代。第一章基礎(chǔ)知識

8具體到由收益率為和兩種49解

第一章基礎(chǔ)知識

9解第一章基礎(chǔ)知識50第二節(jié)效用函數(shù)第一章基礎(chǔ)知識

引例1按照期望收益率最大準(zhǔn)則,

應(yīng)該選擇投資機會B。

然而，對于投資機會A而言，雖然期望收益率低于投資機會B，但是它的收益是確定的，而投資機會B卻有7/10的可能得到的為負或者是零收入,對于一個謹慎的投資者而言，寧愿選擇投資機會A，而不選擇B。10第二節(jié)效用函數(shù)第一章基礎(chǔ)知識引例1按照期望收51第一章基礎(chǔ)知識

引例2按照期望收益最大準(zhǔn)則，不難得到參賭人所獲得收入的期望值為：

也就是說參賭人只要拿出有限的錢來參加這種賭博得到的收益都是無限大的。這顯然不符合事實！單獨運用期望收益來進行投資決策不合理！

11第一章基礎(chǔ)知識引例2按照期望收益最大準(zhǔn)則，不難得52第一章基礎(chǔ)知識

效用函數(shù)概述

效用（utility）

效用的本意是一種主觀感受,是一種主觀意愿的滿足程度.本課程考察的是在投資活動中對投資結(jié)果的滿意程度,即為投資的效用.

效用函數(shù)（utilityfunction）

效用函數(shù)是對滿意程度的量化.效用函數(shù)可分為:這種效用函數(shù)只反映一種滿意程度的順序關(guān)系.序數(shù)效用函數(shù)（ordinalutilityfunction）:基數(shù)效用函數(shù)（cardinalutilityfunction）

這種效用函數(shù)能夠度量效用的具體數(shù)值.因此它不僅能反映投資效用的順序,也度量出了它們之間的大小數(shù)量關(guān)系.12第一章基礎(chǔ)知識效用函數(shù)概述效用（utility）53第一章基礎(chǔ)知識

效用函數(shù)的具體應(yīng)用分為確定性狀態(tài)和不確定性狀態(tài)兩種.確定性狀態(tài)下的效用函數(shù):（如商品配置問題）不確定性狀態(tài)下的效用函數(shù)（期望效用函數(shù)）

所謂期望效用函數(shù)是定義在一個隨機變量集合上的函數(shù)，它在一個隨機變量上的取值等于它作為數(shù)值函數(shù)在該隨機變量上取值的數(shù)學(xué)期望。用它來判斷有風(fēng)險的利益，那就是比較“錢的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望”.

可以證明,在確定狀態(tài)下的序數(shù)效用函數(shù)存在，在不確定性狀態(tài)下基數(shù)效用函數(shù)存在.

13第一章基礎(chǔ)知識效用函數(shù)的具體應(yīng)用分為確定性狀態(tài)和不54第一章基礎(chǔ)知識

效用函數(shù)的應(yīng)用—風(fēng)險態(tài)度

風(fēng)險厭惡型

至少在某一點不等號成立.

實際上,絕大多數(shù)的投資者都具有該類效用函數(shù),即屬于風(fēng)險厭惡型投資者.如假定,效用函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)小于零,即人們通常所說的邊際效用遞減規(guī)律.這類投資者的效用函數(shù)滿足：14第一章基礎(chǔ)知識效用函數(shù)的應(yīng)用—風(fēng)險態(tài)度風(fēng)險厭55第一章基礎(chǔ)知識

風(fēng)險厭惡型效應(yīng)函數(shù)為凹函數(shù),即期望的效用大于效用的期望,這就是重要的不等式—Jensen不等式.證明

不等式兩邊同時求期望,可得亦即

，

即

證畢.

15第一章基礎(chǔ)知識風(fēng)險厭惡型效應(yīng)函數(shù)為凹函數(shù),56第一章基礎(chǔ)知識

風(fēng)險愛好型這類投資者（現(xiàn)實生活中很少）的效用函數(shù)滿足：至少在某一點不等號成立.

顯然,該函數(shù)是增函數(shù),而且是凸函數(shù),其曲線如圖所示

同理,可以證明風(fēng)險愛好型投資者的期望的效用小于效用的期望,即16第一章基礎(chǔ)知識風(fēng)險愛好型這類投資者（現(xiàn)實生活中57第一章基礎(chǔ)知識

第一章基礎(chǔ)知識

風(fēng)險中性型這類投資者的效用函數(shù)滿足:顯然,該函數(shù)是斜率為正的直線,如圖所示:同理,可以證明風(fēng)險中性型投資者的期望的效用等于效用的期望,即17第一章基礎(chǔ)知識第一章基礎(chǔ)知識風(fēng)險中性型這58第一章基礎(chǔ)知識

常見的風(fēng)險厭惡型效用

絕對風(fēng)險厭惡遞減型投資者:該類型的投資者的偏好表現(xiàn)為:當(dāng)R的數(shù)值相當(dāng)大時,他們對風(fēng)險的厭惡程度就會降低,往往還會多進行一些風(fēng)險性投資.即:至少在某一點不等號成立.

相對風(fēng)險厭惡函數(shù)將絕對風(fēng)險厭惡函數(shù)代入上式展開,得到即：絕對風(fēng)險厭惡型投資者的效用函數(shù)須同時滿足：

絕對風(fēng)險厭惡函數(shù)18第一章基礎(chǔ)知識常見的風(fēng)險厭惡型效用絕對風(fēng)險厭59第一章基礎(chǔ)知識

幾種常用的風(fēng)險厭惡型效用函數(shù)：1、指數(shù)效用函數(shù)顯然

2、冪效用函數(shù)顯然

冪效用函數(shù)的投資者是絕對風(fēng)險厭惡遞減型。3、對數(shù)效用函數(shù)(Bernoulli函數(shù))顯然

19第一章基礎(chǔ)知識幾種常用的風(fēng)險厭惡型效用函數(shù)：1、指60第一章基礎(chǔ)知識

如果假設(shè)參賭者具有對數(shù)效用函數(shù),就能解決圣彼得堡悖論，于是又稱對數(shù)效用函數(shù)為Bernoulli函數(shù)。假設(shè)參加賭博者都是風(fēng)險厭惡型，他們都具有相同的效用函數(shù)

而

于是

這說明，如果參賭者的偏好真正由效用函數(shù)確定,那么他們至多只會花2元來參加賭博.20第一章基礎(chǔ)知識如果假設(shè)參賭者具有對數(shù)61第一章基礎(chǔ)知識

單期Merton比率

資產(chǎn)分配優(yōu)化中的一個重要的比率—Merton比率，是1997年諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎獲得主Merton于1969年在他的一篇重要論文中推導(dǎo)出來的。21第一章基礎(chǔ)知識單期Merton比率62第一章基礎(chǔ)知識

另外，一個周期末，風(fēng)險性資產(chǎn)的期望收益率為22第一章基礎(chǔ)知識另外，一個周期末，風(fēng)險性資產(chǎn)的期望收63第一章基礎(chǔ)知識

于是，該投資者的期望效用為由期望效用最大原則，對期望效用函數(shù)關(guān)于a求導(dǎo)，并令其為零，可得a即為單期Merton比率.

23第一章基礎(chǔ)知識于是，該投資者的期望效用為由期望效用64第一章基礎(chǔ)知識

第三節(jié)隨機占優(yōu)Rothschild-Stiglitz(1970,1971)提出了更一般的比較不同資產(chǎn)風(fēng)險的分析框架—在效應(yīng)理論的架構(gòu)下，采用隨機占優(yōu)（StochasticDominance）方法來判斷兩個投資機會的優(yōu)劣。

期望效用最大化投資決策的前提是先確定效用函數(shù)，然而效用函數(shù)“只可意會，不可言傳”，很難對效用進行精確的量化。

由于投資機會的收益率R是一個隨機變量，因此可以采用數(shù)學(xué)上專門研究各種條件下隨機變量優(yōu)劣比較的方法—隨機序來討論投資決策問題，并根據(jù)效用函數(shù)的性質(zhì)采取漸進式的決策方法。投資決策隨機優(yōu)勢準(zhǔn)則FSDSSDTSD，

,,

隨機序24第一章基礎(chǔ)知識第三節(jié)隨機占優(yōu)65第一章基礎(chǔ)知識

一階隨機占優(yōu)（First-orderStochasticDominance）FSD準(zhǔn)則

FSD準(zhǔn)則的證明

充分性

那么于是25第一章基礎(chǔ)知識一階隨機占優(yōu)（First-order66第一章基礎(chǔ)知識

因此

必要性(反證法)即

因此

矛盾.

證畢.

26第一章基礎(chǔ)知識因此必要性(反證法)即因此矛盾67第一章基礎(chǔ)知識

FSD準(zhǔn)則的解釋

即而即亦即27第一章基礎(chǔ)知識FSD準(zhǔn)則的解釋即而即亦即68第一章基礎(chǔ)知識

FSD準(zhǔn)則的圖形表示

圖中的三條曲線分別代表三個投資機會A，B，C的收益率分布函數(shù)，根據(jù)FSD準(zhǔn)則，不難判斷投資機會B和投資機會C均優(yōu)于投資機會A，但是投資機會B與投資機會C的優(yōu)劣無法判斷。28第一章基礎(chǔ)知識FSD準(zhǔn)則的圖形表示69第一章基礎(chǔ)知識

二階隨機占優(yōu)（Second-orderStochasticDominance）SSD準(zhǔn)則

SSD準(zhǔn)則的證明

先證充分性

29第一章基礎(chǔ)知識二階隨機占優(yōu)（Second-orde70于是有

下證必要性，同樣用反證法。30于是有下證必要性，同樣用反證法。71于是，

由題設(shè)可知，

并且

要使恒大于零，即與假設(shè)矛盾.

證畢.

31于是，由題設(shè)可知，并且要使恒大于零，即與假設(shè)矛盾72第一章基礎(chǔ)知識

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