控制工程基礎(chǔ)-課件

5.控制系統(tǒng)的頻域分析5.控制系統(tǒng)的頻域分析

控制系統(tǒng)的頻域分析法是以傳遞函數(shù)為基礎(chǔ)的一種分析系統(tǒng)性能的圖解方法。分析的基點是：給予線性定常系統(tǒng)不同頻率下的三角函數(shù)輸入，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)輸出是相同頻率的三角函數(shù)，僅是幅值和初相位不同。5.控制系統(tǒng)的頻域分析5.1基本概念頻域分析法是自動控制理論的重要方法，主要特點是：

(1)基于頻率特性函數(shù)的系統(tǒng)建模和性能分析的物理意義明確；

(2)利用開環(huán)頻率特性的圖形分析方法，形象、直觀，計算量少；

(3)適用于純滯后系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)的性能分析?？刂葡到y(tǒng)的頻域分析法是以傳遞函數(shù)為基礎(chǔ)的一種分析系統(tǒng)頻率響應(yīng)：系統(tǒng)對諧波輸入信號（即正弦輸入信號）的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，也稱為諧波響應(yīng)，或三角函數(shù)響應(yīng)。5.控制系統(tǒng)的頻域分析不失一般性，線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)可計算如下：系統(tǒng)傳遞函數(shù)系統(tǒng)輸入系統(tǒng)輸出(pi是系統(tǒng)極點)頻率響應(yīng)：系統(tǒng)對諧波輸入信號（即正弦輸入信號）的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，也可見：在輸入為正弦信號時，線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出也為正弦信號，只是輸出的幅值是輸入幅值的|Φ(jω)|倍，輸出的初相位φ(ω)是輸出相位(ωt+φ)與輸入相位(ωt)之差。于是，定義：5.控制系統(tǒng)的頻域分析頻率特性函數(shù)：系統(tǒng)在正弦信號輸入下，其穩(wěn)態(tài)輸出與輸入之比的關(guān)于頻率的復(fù)變函數(shù)，即可見：在輸入為正弦信號時，線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出也為正弦信號，只5.控制系統(tǒng)的頻域分析

實際上，頻率特性函數(shù)是系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一種特殊形式，仍然是反映系統(tǒng)輸入/輸出之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。頻率特性函數(shù)是關(guān)于頻率的復(fù)變函數(shù)，可以有三種表示方式：代數(shù)形式指數(shù)形式三角形式實頻特性函數(shù)：系統(tǒng)頻率特性函數(shù)的實部ΦR(ω)虛頻特性函數(shù)：系統(tǒng)頻率特性函數(shù)的虛部ΦI(ω)5.控制系統(tǒng)的頻域分析實際上，頻率特性函數(shù)是系統(tǒng)傳5.控制系統(tǒng)的頻域分析幅頻特性函數(shù)：系統(tǒng)頻率特性的幅值函數(shù)，即相頻特性函數(shù)：系統(tǒng)頻率特性的相位函數(shù)，即

系統(tǒng)幅頻特性函數(shù)的物理意義是：系統(tǒng)在正弦函數(shù)輸入下，穩(wěn)態(tài)輸出的幅值與輸入幅值之比的關(guān)于頻率的正實函數(shù)

系統(tǒng)的相頻特性函數(shù)的物理意義是：系統(tǒng)在正弦函數(shù)輸入下，穩(wěn)態(tài)輸出的相位與輸入相位之差的關(guān)于頻率的實函數(shù)

應(yīng)當(dāng)指出：頻率特性函數(shù)不僅定義在正弦函數(shù)輸入下，實際是定義在三角函數(shù)或諧波函數(shù)輸入下。5.控制系統(tǒng)的頻域分析幅頻特性函數(shù)：系統(tǒng)頻率特性的幅值函數(shù)5.控制系統(tǒng)的頻域分析例題5.1：單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為計算輸入信號為:(1)u(t)=sin(t+300)，(2)u(t)=2cos(2t-450)，(3)u(t)=sin(t+300)-2cos(2t-450)時的穩(wěn)態(tài)輸出。反饋控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)及其頻率特性函數(shù)為反饋控制系統(tǒng)幅頻特性函數(shù)和相頻特性函數(shù)為5.控制系統(tǒng)的頻域分析例題5.1：單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函5.控制系統(tǒng)的頻域分析對于正弦、余弦函數(shù)輸入u(t)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出y(t)為因此，(1)u(t)=sin(t+300)時，即有ω=1，∠u(t0)=300，|u(t)|=1(2)u(t)=2cos(2t-450)時，即有ω=2，∠u(t0)=-450，|u(t)|=2(3)u(t)=sin(t+300)-2cos(2t-450)時，5.控制系統(tǒng)的頻域分析對于正弦、余弦函數(shù)輸入u(t)，系統(tǒng)5.控制系統(tǒng)的頻域分析5.2系統(tǒng)頻率特性函數(shù)的計算與表示

系統(tǒng)頻率特性函數(shù)是系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一種特殊形式。求取系統(tǒng)頻率特性函數(shù)主要是計算其幅頻特性函數(shù)和相頻特性函數(shù)：(1)令s=jω，由系統(tǒng)傳遞函數(shù)直接求取例題5.2：已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為，計算其頻設(shè)s=jω，代入系統(tǒng)的傳遞函數(shù)中，有率特性函數(shù)。幅頻特性函數(shù)相頻特性函數(shù)實頻函數(shù)虛頻函數(shù)5.控制系統(tǒng)的頻域分析5.2系統(tǒng)頻率特性函數(shù)的計算與表示5.控制系統(tǒng)的頻域分析(2)由試驗方法求取

由于線性系統(tǒng)在正弦信號（諧波信號）輸入下，穩(wěn)態(tài)輸出仍為正弦信號（諧波信號），且信號頻率一致，只是信號幅值和相位有變化。因此，對于待求系統(tǒng)頻率特性的裝置，通過試驗輸入幅值、相位和頻率已知的三角函數(shù)，測量其穩(wěn)態(tài)輸出（包括幅值、相位）；不斷的改變輸入信號的頻率，就會測量得到不同頻率下的穩(wěn)態(tài)輸出。ωω|G(jω)|φ(jω)5.控制系統(tǒng)的頻域分析(2)由試驗方法求取ωω|G(jω)5.控制系統(tǒng)的頻域分析(3)頻率特性函數(shù)的圖形表示頻域分析法實際上是基于頻率特性圖的一種圖形分析法。系統(tǒng)頻率特性圖主要有：極坐標(biāo)圖和對數(shù)坐標(biāo)圖。極坐標(biāo)圖（Nyquist圖）

極坐標(biāo)圖是頻率變化（ω=0→∞）時，頻率特性函數(shù)的向量（或?qū)嵅俊⑻摬浚┰趶?fù)平面上描繪的圖形，即ReIm5.控制系統(tǒng)的頻域分析(3)頻率特性函數(shù)的圖形表示極坐標(biāo)圖

因此，對于不同的頻率ω，依據(jù)系統(tǒng)頻率特性函數(shù)的幅值和相位（或?qū)嵅亢吞摬浚┰趶?fù)平面上逐點描繪就可繪出極坐標(biāo)圖。這項工作目前采用計算機輔助繪圖方法很容易實現(xiàn)。極坐標(biāo)圖的規(guī)律是：5.控制系統(tǒng)的頻域分析極坐標(biāo)圖的起點（ω=0）與系統(tǒng)傳遞函數(shù)中所含積分環(huán)節(jié)的個數(shù)有關(guān)

沒有積分環(huán)節(jié)時，其極坐標(biāo)圖的起點位于復(fù)平面上的實軸上；有v(≠0)個積分環(huán)節(jié)時，極坐標(biāo)圖的起點位于-900v方位的無窮遠。極坐標(biāo)圖的終點（ω→∞）與系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分子多項式階數(shù)m和分母多項式階數(shù)n的差(n-m)有關(guān)(n-m)>0時，其極坐標(biāo)圖的終點以-(n-m)900的方位置于復(fù)平面上的原點；(n-m)=0時，極坐標(biāo)圖的終點位于復(fù)平面上的實軸上。在中頻段的極坐標(biāo)圖與頻率特性函數(shù)的參數(shù)有關(guān)

這時與系統(tǒng)性能密切相關(guān)的部分，尤其是穿越實軸部分應(yīng)該準(zhǔn)確繪制。因此，對于不同的頻率ω，依據(jù)系統(tǒng)頻率特性函數(shù)的幅值和5.控制系統(tǒng)的頻域分析例題5.3：繪制系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖，已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為5.控制系統(tǒng)的頻域分析例題5.3：繪制系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖，已知5.控制系統(tǒng)的頻域分析例題5.4：繪制系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖，已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為5.控制系統(tǒng)的頻域分析例題5.4：繪制系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖，已知5.控制系統(tǒng)的頻域分析對數(shù)坐標(biāo)圖（Bode圖）

對數(shù)坐標(biāo)圖是以頻率為橫坐標(biāo)軸，幅頻函數(shù)、相頻函數(shù)分別為縱座標(biāo)軸的二個圖形，且頻率橫坐標(biāo)軸按自然對數(shù)分度，幅頻函數(shù)的縱坐標(biāo)軸按分貝數(shù)分度，相頻函數(shù)的縱座標(biāo)軸按角度或弧度分度。ω0102050100ω0.10.20.51.01001020502.05.0lgω橫坐標(biāo)的分度說明幅頻特性的分貝表示對數(shù)坐標(biāo)圖對數(shù)幅頻特性圖對數(shù)相頻特性圖decdec5.控制系統(tǒng)的頻域分析對數(shù)坐標(biāo)圖（Bode圖）對數(shù)例題5.5：繪制系統(tǒng)的對數(shù)坐標(biāo)圖，已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為5.控制系統(tǒng)的頻域分析①計算系統(tǒng)的幅頻特性函數(shù)和相頻特性函數(shù)②計算對數(shù)幅頻特性函數(shù)和對數(shù)相頻特性函數(shù)例題5.5：繪制系統(tǒng)的對數(shù)坐標(biāo)圖，已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為5.5.控制系統(tǒng)的頻域分析③繪制對數(shù)幅頻特性圖和對數(shù)相頻特性圖L(ω)φ(ω)ω

ω

0

Tω<<1時，1/T1/TTω=1時，0

-450

-900

Tω>>1時，-20dB/dec-3轉(zhuǎn)折頻率轉(zhuǎn)折頻率5.控制系統(tǒng)的頻域分析③繪制對數(shù)幅頻特性圖和對數(shù)相頻特性圖5.控制系統(tǒng)的頻域分析例題5.6：繪制系統(tǒng)的對數(shù)坐標(biāo)圖，已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為①計算系統(tǒng)的幅頻特性函數(shù)和相頻特性函數(shù)②計算對數(shù)幅頻特性函數(shù)和對數(shù)相頻特性函數(shù)5.控制系統(tǒng)的頻域分析例題5.6：繪制系統(tǒng)的對數(shù)坐標(biāo)圖，已5.控制系統(tǒng)的頻域分析③繪制對數(shù)幅頻特性圖和對數(shù)相頻特性圖L(ω)φ(ω)

ω

ω

0

ω<<1時，1/T

900

00

-900

ω>>1時，-20dB/dec1

1/τ-20dB/dec0dB/dec20

轉(zhuǎn)折頻率非最小相位系統(tǒng)最小相位系統(tǒng)5.控制系統(tǒng)的頻域分析③繪制對數(shù)幅頻特性圖和對數(shù)相頻特性圖5.控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性圖的繪制規(guī)律：將傳遞函數(shù)化為以時間常數(shù)表示的典型環(huán)節(jié)相乘的形式對數(shù)幅頻特性圖的繪制規(guī)律對各典型環(huán)節(jié)的時間常數(shù)求倒數(shù)，得到轉(zhuǎn)折頻率ωi=1/Ti(ωi=1/τi)。并將轉(zhuǎn)折頻率標(biāo)注到橫坐標(biāo)軸上確定ω=1，L(ω)=20lgK的點，即過點（1，20lgK）畫斜率為-20v(dB/dec)的直線，并沿頻率軸方向每遇到一個轉(zhuǎn)折頻率，就在該轉(zhuǎn)折頻率處按±20k(dB/dec)改變直線斜率。k為轉(zhuǎn)折頻率所對應(yīng)典型環(huán)節(jié)的階數(shù)；“+”對應(yīng)分子多項式的轉(zhuǎn)折頻率，“-”對應(yīng)分母多項式的轉(zhuǎn)折頻率5.控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性圖的繪制規(guī)律：5.控制系統(tǒng)的頻域分析以直線型對數(shù)幅頻特性圖為依據(jù)，在每個以斜率為±20k(dB/dec)的對數(shù)幅頻直線段內(nèi)，相應(yīng)的對數(shù)相頻特性圖的相頻漸近線斜率為±900k的直線計算各轉(zhuǎn)折頻率處的準(zhǔn)確相位數(shù)值，并用光滑曲線逼近漸近線。最小相位系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性圖的繪制規(guī)律應(yīng)當(dāng)指出：不論是最小相位系統(tǒng)，還是非最小相位系統(tǒng)，其對數(shù)幅頻特性圖的漸近線圖繪制都一樣最小相位系統(tǒng)的對數(shù)相頻特性圖的漸近線與對數(shù)幅頻特性圖有對應(yīng)關(guān)系；非最小相位系統(tǒng)的對數(shù)相頻特性圖需描點繪制系統(tǒng)的頻率特性圖沒必要在每個頻段上都精確繪制，尤其是高頻段圖形可以大致繪出5.控制系統(tǒng)的頻域分析以直線型對數(shù)幅頻特性圖為依據(jù)，在每個5.控制系統(tǒng)的頻域分析例題5.7：繪制系統(tǒng)的對數(shù)坐標(biāo)圖，已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為將已知傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)化為時間常數(shù)的形式計算各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率：ω1=1/2.5=0.4，ω2=1/0.5=2，ω3=1/0.1=10，ω4=1/0.05=20。將這些轉(zhuǎn)折頻率標(biāo)注在對數(shù)（幅/相）頻率特性圖的橫坐標(biāo)上傳遞函數(shù)中有一個積分環(huán)節(jié)，則在對數(shù)幅頻圖中，過點ω=1,L(ω)=20lg25=28dB，即過（1，28）點畫一條斜率為-20(dB/dec)的直線，該直線沿頻率軸方向延伸首先遇到ω1，它對應(yīng)一階慣性環(huán)節(jié)，則直線的斜率在ω1處變化-20(dB/dec)成斜率為-40(dB/dec)的直線，繼續(xù)沿頻率軸方向延伸又遇到ω2，它對應(yīng)一階微分環(huán)節(jié)，則直線的斜率在ω2處變化20(dB/dec)成斜率為-20(dB/dec)的直線，直至繪制到ω4以后5.控制系統(tǒng)的頻域分析例題5.7：繪制系統(tǒng)的對數(shù)坐標(biāo)圖，已5.控制系統(tǒng)的頻域分析在頻率段(0，ω1)、(ω1，ω2)、(ω2，ω3)、(ω3，ω4)、(ω4，∞）上，對數(shù)幅頻圖的漸近線斜率分別為-20、-40、-20、-40、-60（dB/dec）。則其相頻圖在這些頻率段內(nèi)的漸近線分別是-900、-1800、-900、-1800、-2700。（最小相位系統(tǒng)）計算系統(tǒng)在各轉(zhuǎn)折頻率處的準(zhǔn)確相位角ω11ω2ω3ω4ω28L(ω)-60(dB/dec)-20(dB/dec)-40(dB/dec)-40(dB/dec)-20(dB/dec)ω1ω2ω3ω4ω-900-1800-2700φ(ω)5.控制系統(tǒng)的頻域分析在頻率段(0，ω1)、(ω1，ω2)5.控制系統(tǒng)的頻域分析例題5.8：已知最小相位系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性圖，繪出它的相頻特性圖，并求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)ωL(ω)501000-20dB/dec-40dB/decωφ(ω)1000-900-18005.控制系統(tǒng)的頻域分析例題5.8：已知最小相位系統(tǒng)的對數(shù)幅5.控制系統(tǒng)的頻域分析5.3系統(tǒng)穩(wěn)定性的頻域判據(jù)

這是根據(jù)系統(tǒng)頻率特性圖（極坐標(biāo)圖、對數(shù)圖）來判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的判據(jù)，也稱為奈奎斯特(Nyquist)判據(jù)。(1)幅角原理設(shè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為（zi、pj是系統(tǒng)的零點、極點）zizipjpjσjωs平面zizipjpjReImG(s)平面奈氏圍線極坐標(biāo)曲線5.控制系統(tǒng)的頻域分析5.3系統(tǒng)穩(wěn)定性的頻域判據(jù)5.控制系統(tǒng)的頻域分析幅角原理：設(shè)s平面上的一條不穿越G(s)的任一極點、零點的封閉奈氏圍線內(nèi)部含有G(s)的極點數(shù)和零點數(shù)分別為Np、Nz，則其極坐標(biāo)曲線在G(s)平面上也是一條封閉曲線，且內(nèi)部包圍坐標(biāo)原點的圈數(shù)N為

N=Nz-NpN>0，表明極坐標(biāo)曲線包圍坐標(biāo)原點的方向與奈氏圍線包圍極點、零點的方向一致；N<0，表明極坐標(biāo)曲線包圍坐標(biāo)原點的方向與奈氏圍線包圍極點、零點的方向相反；N=0，表明極坐標(biāo)曲線不包圍坐標(biāo)原點。注意：封閉曲線順時針包圍極點、零點（或原點）是指按順時針方向沿曲線行進一周時，所包圍的極點、零點（或原點）總處于行進中的右側(cè)。一般規(guī)定順時針方向為封閉曲線的正方向。5.控制系統(tǒng)的頻域分析幅角原理：設(shè)s平面上的一條不穿越G(5.控制系統(tǒng)的頻域分析(2)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)對于控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為則系統(tǒng)的特征多項式為表明：F(s)的分子多項式是系統(tǒng)的特征多項式，分母多項式是系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的分母多項式。亦即F(s)的零點是系統(tǒng)的特征根，F(xiàn)(s)的極點是系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的極點。為此，取s平面上奈氏圍線由整個虛軸和半徑無窮大的包圍整個虛軸右邊的半圓弧組成（若F(s)在虛軸上有極點和零點，則奈氏圍線從其右側(cè)以半徑為無窮小的圓弧繞過）。從而可獲得F(s)平面上包圍坐標(biāo)原點的封閉曲線，且滿足：N=Nz-Np。（Nz、Np是奈氏圍線按正方向包圍的F(s)的零點數(shù)和極點數(shù)）5.控制系統(tǒng)的頻域分析(2)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)對于控制系統(tǒng)的5.控制系統(tǒng)的頻域分析σjω-jωω=-∞ω=0-ω=0+ω=∞|s|→∞-1ReIm-1ReIm

對于F(s)，一般分母多項式階數(shù)大于分子多項式階數(shù)，因此奈氏圍線的|s|→∞部分對應(yīng)F(s)平面的原點（若分子與分母的階數(shù)相等，則奈氏圍線的|s|→∞部分對應(yīng)F(s)平面的某點），表明選取的奈氏圍線主要是考察ω=-∞→∞部分對應(yīng)的F(s)的包圍坐標(biāo)原點的圍線部分。判別F(s)曲線包圍坐標(biāo)原點的情況與判別G(s)H(s)曲線包圍(-1,j0)點的情況是一致的。005.控制系統(tǒng)的頻域分析σjω-jωω=-∞ω=0-ω=0+5.控制系統(tǒng)的頻域分析

下面分析所選取奈氏圍線(即虛軸和包含虛軸右邊的半徑無窮大半圓弧)經(jīng)過G(s)H(s)映射的G(s)H(s)的極坐標(biāo)曲線的情況：奈氏圍線的虛軸部分映射情況：此時s=jω，且ω=-∞→∞，對應(yīng)的是G(jω)H(jω)的極坐標(biāo)曲線。由于G(-jω)H(-jω)與G(jω)H(jω)共軛，即G(jω)H(jω)關(guān)于ω=-∞→0和ω=0→∞的極坐標(biāo)曲線對稱于實軸。從而只需繪制ω=0→∞的G(jω)H(jω)的極坐標(biāo)圖，按對稱原理就可繪出ω=-∞→0對應(yīng)的極坐標(biāo)曲線包含虛軸右邊半徑無窮大圓弧的映射情況：此時s→∞,由于G(s)H(s)

的分子多項式階數(shù)m是小于或等于分母多項式階數(shù)n，因此包含虛軸右邊半徑無窮大圓弧的映射是G(s)H(s)平面上的一點（m<n時是坐標(biāo)原點）當(dāng)G(s)H(s)在虛軸上有極點（一般為積分環(huán)節(jié)的極點）時，奈氏圍線就從其右邊以半徑無窮小的圓弧繞過。這段從ω=0-→0+的半徑無窮小圓弧映射到G(s)H(s)平面上就是相角變化1800v（v是G(s)H(s)中積分環(huán)節(jié)個數(shù)）半徑無窮大的弧線5.控制系統(tǒng)的頻域分析下面分析所選取奈氏圍5.控制系統(tǒng)的頻域分析

至此，控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性可以通過其開環(huán)傳遞函數(shù)的極坐標(biāo)曲線包圍(-1,j0)點的情況來判斷：奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)：若閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)在s平面右半部分具有Np個極點，且在ω=-∞→∞范圍內(nèi)的極坐標(biāo)曲線圍繞(-1,j0)點的圈數(shù)N=-Np。則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。Reω=0+ω=0-ω=+∞ω=-∞-1Im-1-Kω=0+ω=0-ReImω=+∞ω=-∞穩(wěn)定K>1時穩(wěn)定5.控制系統(tǒng)的頻域分析至此，控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性可以通過其5.控制系統(tǒng)的頻域分析ω=∞ω=0+ω=-∞ω=0--1不穩(wěn)定ω=∞ω=0+ω=-∞ω=0--1不穩(wěn)定ReImReImReImL(ω)φ(ω)ωω0-18001-1——穿越頻率(截止頻率)——相位相交頻率基于Bode圖的奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)：若G(s)H(s)在s平面右半部分有Np個極點，在對數(shù)幅頻特性L(ω)>0的頻率范圍內(nèi)，其相頻特性曲線φ(ω)穿越-1800相位線的總次數(shù)的2倍為N，且滿足N=-Np，則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。負(fù)穿越有關(guān)系：5.控制系統(tǒng)的頻域分析ω=∞ω=0+ω=-∞ω=0--1不5.控制系統(tǒng)的頻域分析5.4控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性(1)相對穩(wěn)定性的概念

相對穩(wěn)定性是指穩(wěn)定系統(tǒng)的穩(wěn)定狀態(tài)距離不穩(wěn)定（或臨界穩(wěn)定）狀態(tài)的程度。一般用“穩(wěn)定裕量”指標(biāo)評價。相位裕量：閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)在穿越頻率處的相位角與-1800的差γ>0，表明系統(tǒng)是穩(wěn)定的，其大小表示穩(wěn)定的程度；γ<0，表明系統(tǒng)不穩(wěn)定；γ=0，表明系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定。增益裕量：閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)在相位相交頻率處的幅頻特性的倒數(shù)Kg>1，表明系統(tǒng)是穩(wěn)定的，其值越大表示穩(wěn)定程度越高；Kg<1，表明系統(tǒng)不穩(wěn)定；Kg=1，表明系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定。5.控制系統(tǒng)的頻域分析5.4控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性(1)相5.控制系統(tǒng)的頻域分析相位裕量和增益裕量的幾何意義ReIm-1γdKg=1/d0ωωL(ω)φ(ω)-1800γL(ωg)應(yīng)當(dāng)指出：閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)有極點位于虛軸右邊時，不能應(yīng)用穩(wěn)定裕量來判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。5.控制系統(tǒng)的頻域分析相位裕量和增益裕量的幾何意義ReIm(2)相對穩(wěn)定性的計算5.控制系統(tǒng)的頻域分析例題5.9：已知反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為(1)K=1時的穩(wěn)定裕量？(2)L(ωg)≥

20dB，γ≥400的K?開環(huán)傳遞函數(shù)是最小相位系統(tǒng)520ωL(ω)0ωc-20dB/dec-40dB/dec-60dB/dec20lgK1K=1時，20lgK=0dB，表明此時ωc=1(2)相對穩(wěn)定性的計算5.控制系統(tǒng)的頻域分析例題5.9：已5.控制系統(tǒng)的頻域分析（1）K=1,L(ωg)=?,γ=?增益裕量相位裕量5.控制系統(tǒng)的頻域分析（1）K=1,L(ωg)=?,γ=5.控制系統(tǒng)的頻域分析（2）L(ωg)=20dB,γ≥400,K=?計算可知：當(dāng)K=5.22時，L(ωg)=13.6dB<20dB，不滿足要求；K=2.5時，可同時滿足L(ωg)≥20dB,γ≥4005.控制系統(tǒng)的頻域分析（2）L(ωg)=20dB,γ≥405.控制系統(tǒng)的頻域分析例題5.10：已知單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試分析系統(tǒng)穩(wěn)定時，k與n的關(guān)系。這是最小相位系統(tǒng)，開環(huán)頻率函數(shù)為系統(tǒng)穩(wěn)定：5.控制系統(tǒng)的頻域分析例題5.10：已知單位反饋控制系統(tǒng)的5.控制系統(tǒng)的頻域分析(3)系統(tǒng)相對穩(wěn)定性的頻域分析

系統(tǒng)相對穩(wěn)定性是很重要的工程問題。系統(tǒng)穩(wěn)定程度過高，系統(tǒng)的響應(yīng)就很慢，這很難滿足工程實際的要求；系統(tǒng)過低的穩(wěn)定程度，系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)就會很差，易于造成工程故障或事故。因此，恰當(dāng)?shù)姆€(wěn)定程度是工程的需要。-20dB/dec-20dB/decωc0-900-1800-2700高頻段中頻段低頻段一般地：相位裕量γ=300-600

增益裕量L(ωg)≥6dB5.控制系統(tǒng)的頻域分析(3)系統(tǒng)相對穩(wěn)定性的頻域分析5.5閉環(huán)系統(tǒng)性能的頻域分析5.控制系統(tǒng)的頻域分析(1)閉環(huán)系統(tǒng)的動態(tài)頻域指標(biāo)控制系統(tǒng)的動態(tài)頻域指標(biāo)有二類：閉環(huán)系統(tǒng)的動態(tài)頻域指標(biāo)閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)頻域指標(biāo)閉環(huán)系統(tǒng)的典型幅頻特性圖ωM(ω)M(0)0.707M(0)Mrωrωb帶寬Mr——諧振峰值M(0)——零頻值。反映系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能ωr——峰值頻率ωb——帶寬。反映系統(tǒng)響應(yīng)的動態(tài)性能(2)閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)頻域指標(biāo)穿越頻率、相位裕量、增益裕量、相位相交頻率。穿越頻率大，帶寬就大。5.5閉環(huán)系統(tǒng)性能的頻域分析5.控制系統(tǒng)的頻域分析(1)5.控制系統(tǒng)的頻域分析(3)頻域指標(biāo)與時域指標(biāo)的關(guān)系一階系統(tǒng)

設(shè)單位反饋一階系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)和閉環(huán)傳遞函數(shù)Φ(s)分別為

單位階躍響應(yīng)的調(diào)整時間為

表明：帶寬越大，調(diào)整時間越短，系統(tǒng)響應(yīng)就越快！5.控制系統(tǒng)的頻域分析(3)頻域指標(biāo)與時域指標(biāo)的關(guān)系一階系5.控制系統(tǒng)的頻域分析二階系統(tǒng)

設(shè)單位反饋二階系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)和閉環(huán)傳遞函數(shù)Φ(s)分別為當(dāng)0≤ξ≤0.707時，系統(tǒng)的二個特征根是共軛復(fù)根，表明有諧振產(chǎn)生5.控制系統(tǒng)的頻域分析二階系統(tǒng)設(shè)單位反饋二階系統(tǒng)的5.控制系統(tǒng)的頻域分析二階系統(tǒng)的時域指標(biāo)是

顯然，二階系統(tǒng)的頻域指標(biāo)與時域指標(biāo)有聯(lián)系，由阻尼系數(shù)ξ和固有頻率ωn決定。5.控制系統(tǒng)的頻域分析二階系統(tǒng)的時域指標(biāo)是顯然，二階系5.控制系統(tǒng)的頻域分析頻域分析法是經(jīng)典控制理論的主要方法，是控制工程基礎(chǔ)課程的重點內(nèi)容。頻率特性函數(shù)是系統(tǒng)的一種數(shù)學(xué)模型，反映系統(tǒng)的響應(yīng)特性最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)的特征和區(qū)別是什么？必須認(rèn)識清楚!頻域穩(wěn)定判據(jù)和相對穩(wěn)定性是頻域分析法的重點內(nèi)容需掌握系統(tǒng)性能的頻域指標(biāo)與時域指標(biāo)的關(guān)系5.控制系統(tǒng)的頻域分析頻域分析法是經(jīng)典控制理論的主要方法，5.控制系統(tǒng)的頻域分析5.控制系統(tǒng)的頻域分析

控制系統(tǒng)的頻域分析法是以傳遞函數(shù)為基礎(chǔ)的一種分析系統(tǒng)性能的圖解方法。分析的基點是：給予線性定常系統(tǒng)不同頻率下的三角函數(shù)輸入，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)輸出是相同頻率的三角函數(shù)，僅是幅值和初相位不同。5.控制系統(tǒng)的頻域分析5.1基本概念頻域分析法是自動控制理論的重要方法，主要特點是：

(1)基于頻率特性函數(shù)的系統(tǒng)建模和性能分析的物理意義明確；

(2)利用開環(huán)頻率特性的圖形分析方法，形象、直觀，計算量少；

(3)適用于純滯后系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)的性能分析?？刂葡到y(tǒng)的頻域分析法是以傳遞函數(shù)為基礎(chǔ)的一種分析系統(tǒng)頻率響應(yīng)：系統(tǒng)對諧波輸入信號（即正弦輸入信號）的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，也稱為諧波響應(yīng)，或三角函數(shù)響應(yīng)。5.控制系統(tǒng)的頻域分析不失一般性，線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)可計算如下：系統(tǒng)傳遞函數(shù)系統(tǒng)輸入系統(tǒng)輸出(pi是系統(tǒng)極點)頻率響應(yīng)：系統(tǒng)對諧波輸入信號（即正弦輸入信號）的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，也可見：在輸入為正弦信號時，線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出也為正弦信號，只是輸出的幅值是輸入幅值的|Φ(jω)|倍，輸出的初相位φ(ω)是輸出相位(ωt+φ)與輸入相位(ωt)之差。于是，定義：5.控制系統(tǒng)的頻域分析頻率特性函數(shù)：系統(tǒng)在正弦信號輸入下，其穩(wěn)態(tài)輸出與輸入之比的關(guān)于頻率的復(fù)變函數(shù)，即可見：在輸入為正弦信號時，線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出也為正弦信號，只5.控制系統(tǒng)的頻域分析

實際上，頻率特性函數(shù)是系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一種特殊形式，仍然是反映系統(tǒng)輸入/輸出之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。頻率特性函數(shù)是關(guān)于頻率的復(fù)變函數(shù)，可以有三種表示方式：代數(shù)形式指數(shù)形式三角形式實頻特性函數(shù)：系統(tǒng)頻率特性函數(shù)的實部ΦR(ω)虛頻特性函數(shù)：系統(tǒng)頻率特性函數(shù)的虛部ΦI(ω)5.控制系統(tǒng)的頻域分析實際上，頻率特性函數(shù)是系統(tǒng)傳5.控制系統(tǒng)的頻域分析幅頻特性函數(shù)：系統(tǒng)頻率特性的幅值函數(shù)，即相頻特性函數(shù)：系統(tǒng)頻率特性的相位函數(shù)，即

系統(tǒng)幅頻特性函數(shù)的物理意義是：系統(tǒng)在正弦函數(shù)輸入下，穩(wěn)態(tài)輸出的幅值與輸入幅值之比的關(guān)于頻率的正實函數(shù)

系統(tǒng)的相頻特性函數(shù)的物理意義是：系統(tǒng)在正弦函數(shù)輸入下，穩(wěn)態(tài)輸出的相位與輸入相位之差的關(guān)于頻率的實函數(shù)

應(yīng)當(dāng)指出：頻率特性函數(shù)不僅定義在正弦函數(shù)輸入下，實際是定義在三角函數(shù)或諧波函數(shù)輸入下。5.控制系統(tǒng)的頻域分析幅頻特性函數(shù)：系統(tǒng)頻率特性的幅值函數(shù)5.控制系統(tǒng)的頻域分析例題5.1：單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為計算輸入信號為:(1)u(t)=sin(t+300)，(2)u(t)=2cos(2t-450)，(3)u(t)=sin(t+300)-2cos(2t-450)時的穩(wěn)態(tài)輸出。反饋控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)及其頻率特性函數(shù)為反饋控制系統(tǒng)幅頻特性函數(shù)和相頻特性函數(shù)為5.控制系統(tǒng)的頻域分析例題5.1：單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函5.控制系統(tǒng)的頻域分析對于正弦、余弦函數(shù)輸入u(t)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出y(t)為因此，(1)u(t)=sin(t+300)時，即有ω=1，∠u(t0)=300，|u(t)|=1(2)u(t)=2cos(2t-450)時，即有ω=2，∠u(t0)=-450，|u(t)|=2(3)u(t)=sin(t+300)-2cos(2t-450)時，5.控制系統(tǒng)的頻域分析對于正弦、余弦函數(shù)輸入u(t)，系統(tǒng)5.控制系統(tǒng)的頻域分析5.2系統(tǒng)頻率特性函數(shù)的計算與表示

系統(tǒng)頻率特性函數(shù)是系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一種特殊形式。求取系統(tǒng)頻率特性函數(shù)主要是計算其幅頻特性函數(shù)和相頻特性函數(shù)：(1)令s=jω，由系統(tǒng)傳遞函數(shù)直接求取例題5.2：已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為，計算其頻設(shè)s=jω，代入系統(tǒng)的傳遞函數(shù)中，有率特性函數(shù)。幅頻特性函數(shù)相頻特性函數(shù)實頻函數(shù)虛頻函數(shù)5.控制系統(tǒng)的頻域分析5.2系統(tǒng)頻率特性函數(shù)的計算與表示5.控制系統(tǒng)的頻域分析(2)由試驗方法求取

由于線性系統(tǒng)在正弦信號（諧波信號）輸入下，穩(wěn)態(tài)輸出仍為正弦信號（諧波信號），且信號頻率一致，只是信號幅值和相位有變化。因此，對于待求系統(tǒng)頻率特性的裝置，通過試驗輸入幅值、相位和頻率已知的三角函數(shù)，測量其穩(wěn)態(tài)輸出（包括幅值、相位）；不斷的改變輸入信號的頻率，就會測量得到不同頻率下的穩(wěn)態(tài)輸出。ωω|G(jω)|φ(jω)5.控制系統(tǒng)的頻域分析(2)由試驗方法求取ωω|G(jω)5.控制系統(tǒng)的頻域分析(3)頻率特性函數(shù)的圖形表示頻域分析法實際上是基于頻率特性圖的一種圖形分析法。系統(tǒng)頻率特性圖主要有：極坐標(biāo)圖和對數(shù)坐標(biāo)圖。極坐標(biāo)圖（Nyquist圖）

極坐標(biāo)圖是頻率變化（ω=0→∞）時，頻率特性函數(shù)的向量（或?qū)嵅俊⑻摬浚┰趶?fù)平面上描繪的圖形，即ReIm5.控制系統(tǒng)的頻域分析(3)頻率特性函數(shù)的圖形表示極坐標(biāo)圖

因此，對于不同的頻率ω，依據(jù)系統(tǒng)頻率特性函數(shù)的幅值和相位（或?qū)嵅亢吞摬浚┰趶?fù)平面上逐點描繪就可繪出極坐標(biāo)圖。這項工作目前采用計算機輔助繪圖方法很容易實現(xiàn)。極坐標(biāo)圖的規(guī)律是：5.控制系統(tǒng)的頻域分析極坐標(biāo)圖的起點（ω=0）與系統(tǒng)傳遞函數(shù)中所含積分環(huán)節(jié)的個數(shù)有關(guān)

沒有積分環(huán)節(jié)時，其極坐標(biāo)圖的起點位于復(fù)平面上的實軸上；有v(≠0)個積分環(huán)節(jié)時，極坐標(biāo)圖的起點位于-900v方位的無窮遠。極坐標(biāo)圖的終點（ω→∞）與系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分子多項式階數(shù)m和分母多項式階數(shù)n的差(n-m)有關(guān)(n-m)>0時，其極坐標(biāo)圖的終點以-(n-m)900的方位置于復(fù)平面上的原點；(n-m)=0時，極坐標(biāo)圖的終點位于復(fù)平面上的實軸上。在中頻段的極坐標(biāo)圖與頻率特性函數(shù)的參數(shù)有關(guān)

這時與系統(tǒng)性能密切相關(guān)的部分，尤其是穿越實軸部分應(yīng)該準(zhǔn)確繪制。因此，對于不同的頻率ω，依據(jù)系統(tǒng)頻率特性函數(shù)的幅值和5.控制系統(tǒng)的頻域分析例題5.3：繪制系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖，已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為5.控制系統(tǒng)的頻域分析例題5.3：繪制系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖，已知5.控制系統(tǒng)的頻域分析例題5.4：繪制系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖，已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為5.控制系統(tǒng)的頻域分析例題5.4：繪制系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖，已知5.控制系統(tǒng)的頻域分析對數(shù)坐標(biāo)圖（Bode圖）

對數(shù)坐標(biāo)圖是以頻率為橫坐標(biāo)軸，幅頻函數(shù)、相頻函數(shù)分別為縱座標(biāo)軸的二個圖形，且頻率橫坐標(biāo)軸按自然對數(shù)分度，幅頻函數(shù)的縱坐標(biāo)軸按分貝數(shù)分度，相頻函數(shù)的縱座標(biāo)軸按角度或弧度分度。ω0102050100ω0.10.20.51.01001020502.05.0lgω橫坐標(biāo)的分度說明幅頻特性的分貝表示對數(shù)坐標(biāo)圖對數(shù)幅頻特性圖對數(shù)相頻特性圖decdec5.控制系統(tǒng)的頻域分析對數(shù)坐標(biāo)圖（Bode圖）對數(shù)例題5.5：繪制系統(tǒng)的對數(shù)坐標(biāo)圖，已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為5.控制系統(tǒng)的頻域分析①計算系統(tǒng)的幅頻特性函數(shù)和相頻特性函數(shù)②計算對數(shù)幅頻特性函數(shù)和對數(shù)相頻特性函數(shù)例題5.5：繪制系統(tǒng)的對數(shù)坐標(biāo)圖，已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為5.5.控制系統(tǒng)的頻域分析③繪制對數(shù)幅頻特性圖和對數(shù)相頻特性圖L(ω)φ(ω)ω

ω

0

Tω<<1時，1/T1/TTω=1時，0

-450

-900

Tω>>1時，-20dB/dec-3轉(zhuǎn)折頻率轉(zhuǎn)折頻率5.控制系統(tǒng)的頻域分析③繪制對數(shù)幅頻特性圖和對數(shù)相頻特性圖5.控制系統(tǒng)的頻域分析例題5.6：繪制系統(tǒng)的對數(shù)坐標(biāo)圖，已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為①計算系統(tǒng)的幅頻特性函數(shù)和相頻特性函數(shù)②計算對數(shù)幅頻特性函數(shù)和對數(shù)相頻特性函數(shù)5.控制系統(tǒng)的頻域分析例題5.6：繪制系統(tǒng)的對數(shù)坐標(biāo)圖，已5.控制系統(tǒng)的頻域分析③繪制對數(shù)幅頻特性圖和對數(shù)相頻特性圖L(ω)φ(ω)

ω

ω

0

ω<<1時，1/T

900

00

-900

ω>>1時，-20dB/dec1

1/τ-20dB/dec0dB/dec20

轉(zhuǎn)折頻率非最小相位系統(tǒng)最小相位系統(tǒng)5.控制系統(tǒng)的頻域分析③繪制對數(shù)幅頻特性圖和對數(shù)相頻特性圖5.控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性圖的繪制規(guī)律：將傳遞函數(shù)化為以時間常數(shù)表示的典型環(huán)節(jié)相乘的形式對數(shù)幅頻特性圖的繪制規(guī)律對各典型環(huán)節(jié)的時間常數(shù)求倒數(shù)，得到轉(zhuǎn)折頻率ωi=1/Ti(ωi=1/τi)。并將轉(zhuǎn)折頻率標(biāo)注到橫坐標(biāo)軸上確定ω=1，L(ω)=20lgK的點，即過點（1，20lgK）畫斜率為-20v(dB/dec)的直線，并沿頻率軸方向每遇到一個轉(zhuǎn)折頻率，就在該轉(zhuǎn)折頻率處按±20k(dB/dec)改變直線斜率。k為轉(zhuǎn)折頻率所對應(yīng)典型環(huán)節(jié)的階數(shù)；“+”對應(yīng)分子多項式的轉(zhuǎn)折頻率，“-”對應(yīng)分母多項式的轉(zhuǎn)折頻率5.控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性圖的繪制規(guī)律：5.控制系統(tǒng)的頻域分析以直線型對數(shù)幅頻特性圖為依據(jù)，在每個以斜率為±20k(dB/dec)的對數(shù)幅頻直線段內(nèi)，相應(yīng)的對數(shù)相頻特性圖的相頻漸近線斜率為±900k的直線計算各轉(zhuǎn)折頻率處的準(zhǔn)確相位數(shù)值，并用光滑曲線逼近漸近線。最小相位系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性圖的繪制規(guī)律應(yīng)當(dāng)指出：不論是最小相位系統(tǒng)，還是非最小相位系統(tǒng)，其對數(shù)幅頻特性圖的漸近線圖繪制都一樣最小相位系統(tǒng)的對數(shù)相頻特性圖的漸近線與對數(shù)幅頻特性圖有對應(yīng)關(guān)系；非最小相位系統(tǒng)的對數(shù)相頻特性圖需描點繪制系統(tǒng)的頻率特性圖沒必要在每個頻段上都精確繪制，尤其是高頻段圖形可以大致繪出5.控制系統(tǒng)的頻域分析以直線型對數(shù)幅頻特性圖為依據(jù)，在每個5.控制系統(tǒng)的頻域分析例題5.7：繪制系統(tǒng)的對數(shù)坐標(biāo)圖，已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為將已知傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)化為時間常數(shù)的形式計算各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率：ω1=1/2.5=0.4，ω2=1/0.5=2，ω3=1/0.1=10，ω4=1/0.05=20。將這些轉(zhuǎn)折頻率標(biāo)注在對數(shù)（幅/相）頻率特性圖的橫坐標(biāo)上傳遞函數(shù)中有一個積分環(huán)節(jié)，則在對數(shù)幅頻圖中，過點ω=1,L(ω)=20lg25=28dB，即過（1，28）點畫一條斜率為-20(dB/dec)的直線，該直線沿頻率軸方向延伸首先遇到ω1，它對應(yīng)一階慣性環(huán)節(jié)，則直線的斜率在ω1處變化-20(dB/dec)成斜率為-40(dB/dec)的直線，繼續(xù)沿頻率軸方向延伸又遇到ω2，它對應(yīng)一階微分環(huán)節(jié)，則直線的斜率在ω2處變化20(dB/dec)成斜率為-20(dB/dec)的直線，直至繪制到ω4以后5.控制系統(tǒng)的頻域分析例題5.7：繪制系統(tǒng)的對數(shù)坐標(biāo)圖，已5.控制系統(tǒng)的頻域分析在頻率段(0，ω1)、(ω1，ω2)、(ω2，ω3)、(ω3，ω4)、(ω4，∞）上，對數(shù)幅頻圖的漸近線斜率分別為-20、-40、-20、-40、-60（dB/dec）。則其相頻圖在這些頻率段內(nèi)的漸近線分別是-900、-1800、-900、-1800、-2700。（最小相位系統(tǒng)）計算系統(tǒng)在各轉(zhuǎn)折頻率處的準(zhǔn)確相位角ω11ω2ω3ω4ω28L(ω)-60(dB/dec)-20(dB/dec)-40(dB/dec)-40(dB/dec)-20(dB/dec)ω1ω2ω3ω4ω-900-1800-2700φ(ω)5.控制系統(tǒng)的頻域分析在頻率段(0，ω1)、(ω1，ω2)5.控制系統(tǒng)的頻域分析例題5.8：已知最小相位系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性圖，繪出它的相頻特性圖，并求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)ωL(ω)501000-20dB/dec-40dB/decωφ(ω)1000-900-18005.控制系統(tǒng)的頻域分析例題5.8：已知最小相位系統(tǒng)的對數(shù)幅5.控制系統(tǒng)的頻域分析5.3系統(tǒng)穩(wěn)定性的頻域判據(jù)

這是根據(jù)系統(tǒng)頻率特性圖（極坐標(biāo)圖、對數(shù)圖）來判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的判據(jù)，也稱為奈奎斯特(Nyquist)判據(jù)。(1)幅角原理設(shè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為（zi、pj是系統(tǒng)的零點、極點）zizipjpjσjωs平面zizipjpjReImG(s)平面奈氏圍線極坐標(biāo)曲線5.控制系統(tǒng)的頻域分析5.3系統(tǒng)穩(wěn)定性的頻域判據(jù)5.控制系統(tǒng)的頻域分析幅角原理：設(shè)s平面上的一條不穿越G(s)的任一極點、零點的封閉奈氏圍線內(nèi)部含有G(s)的極點數(shù)和零點數(shù)分別為Np、Nz，則其極坐標(biāo)曲線在G(s)平面上也是一條封閉曲線，且內(nèi)部包圍坐標(biāo)原點的圈數(shù)N為

N=Nz-NpN>0，表明極坐標(biāo)曲線包圍坐標(biāo)原點的方向與奈氏圍線包圍極點、零點的方向一致；N<0，表明極坐標(biāo)曲線包圍坐標(biāo)原點的方向與奈氏圍線包圍極點、零點的方向相反；N=0，表明極坐標(biāo)曲線不包圍坐標(biāo)原點。注意：封閉曲線順時針包圍極點、零點（或原點）是指按順時針方向沿曲線行進一周時，所包圍的極點、零點（或原點）總處于行進中的右側(cè)。一般規(guī)定順時針方向為封閉曲線的正方向。5.控制系統(tǒng)的頻域分析幅角原理：設(shè)s平面上的一條不穿越G(5.控制系統(tǒng)的頻域分析(2)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)對于控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為則系統(tǒng)的特征多項式為表明：F(s)的分子多項式是系統(tǒng)的特征多項式，分母多項式是系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的分母多項式。亦即F(s)的零點是系統(tǒng)的特征根，F(xiàn)(s)的極點是系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的極點。為此，取s平面上奈氏圍線由整個虛軸和半徑無窮大的包圍整個虛軸右邊的半圓弧組成（若F(s)在虛軸上有極點和零點，則奈氏圍線從其右側(cè)以半徑為無窮小的圓弧繞過）。從而可獲得F(s)平面上包圍坐標(biāo)原點的封閉曲線，且滿足：N=Nz-Np。（Nz、Np是奈氏圍線按正方向包圍的F(s)的零點數(shù)和極點數(shù)）5.控制系統(tǒng)的頻域分析(2)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)對于控制系統(tǒng)的5.控制系統(tǒng)的頻域分析σjω-jωω=-∞ω=0-ω=0+ω=∞|s|→∞-1ReIm-1ReIm

對于F(s)，一般分母多項式階數(shù)大于分子多項式階數(shù)，因此奈氏圍線的|s|→∞部分對應(yīng)F(s)平面的原點（若分子與分母的階數(shù)相等，則奈氏圍線的|s|→∞部分對應(yīng)F(s)平面的某點），表明選取的奈氏圍線主要是考察ω=-∞→∞部分對應(yīng)的F(s)的包圍坐標(biāo)原點的圍線部分。判別F(s)曲線包圍坐標(biāo)原點的情況與判別G(s)H(s)曲線包圍(-1,j0)點的情況是一致的。005.控制系統(tǒng)的頻域分析σjω-jωω=-∞ω=0-ω=0+5.控制系統(tǒng)的頻域分析

下面分析所選取奈氏圍線(即虛軸和包含虛軸右邊的半徑無窮大半圓弧)經(jīng)過G(s)H(s)映射的G(s)H(s)的極坐標(biāo)曲線的情況：奈氏圍線的虛軸部分映射情況：此時s=jω，且ω=-∞→∞，對應(yīng)的是G(jω)H(jω)的極坐標(biāo)曲線。由于G(-jω)H(-jω)與G(jω)H(jω)共軛，即G(jω)H(jω)關(guān)于ω=-∞→0和ω=0→∞的極坐標(biāo)曲線對稱于實軸。從而只需繪制ω=0→∞的G(jω)H(jω)的極坐標(biāo)圖，按對稱原理就可繪出ω=-∞→0對應(yīng)的極坐標(biāo)曲線包含虛軸右邊半徑無窮大圓弧的映射情況：此時s→∞,由于G(s)H(s)

的分子多項式階數(shù)m是小于或等于分母多項式階數(shù)n，因此包含虛軸右邊半徑無窮大圓弧的映射是G(s)H(s)平面上的一點（m<n時是坐標(biāo)原點）當(dāng)G(s)H(s)在虛軸上有極點（一般為積分環(huán)節(jié)的極點）時，奈氏圍線就從其右邊以半徑無窮小的圓弧繞過。這段從ω=0-→0+的半徑無窮小圓弧映射到G(s)H(s)平面上就是相角變化1800v（v是G(s)H(s)中積分環(huán)節(jié)個數(shù)）半徑無窮大的弧線5.控制系統(tǒng)的頻域分析下面分析所選取奈氏圍5.控制系統(tǒng)的頻域分析

至此，控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性可以通過其開環(huán)傳遞函數(shù)的極坐標(biāo)曲線包圍(-1,j0)點的情況來判斷：奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)：若閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)在s平面右半部分具有Np個極點，且在ω=-∞→∞范圍內(nèi)的極坐標(biāo)曲線圍繞(-1,j0)點的圈數(shù)N=-Np。則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。Reω=0+ω=0-ω=+∞ω=-∞-1Im-1-Kω=0+ω=0-ReImω=+∞ω=-∞穩(wěn)定K>1時穩(wěn)定5.控制系統(tǒng)的頻域分析至此，控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性可以通過其5.控制系統(tǒng)的頻域分析ω=∞ω=0+ω=-∞ω=0--1不穩(wěn)定ω=∞ω=0+ω=-∞ω=0--1不穩(wěn)定ReImReImReImL(ω)φ(ω)ωω0-18001-1——穿越頻率(截止頻率)——相位相交頻率基于Bode圖的奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)：若G(s)H(s)在s平面右半部分有Np個極點，在對數(shù)幅頻特性L(ω)>0的頻率范圍內(nèi)，其相頻特性曲線φ(ω)穿越-1800相位線的總次數(shù)的2倍為N，且滿足N=-Np，則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。負(fù)穿越有關(guān)系：5.控制系統(tǒng)的頻域分析ω=∞ω=0+ω=-∞ω=0--1不5.控制系統(tǒng)的頻域分析5.4控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性(1)相對穩(wěn)定性的概念

相對穩(wěn)定性是指穩(wěn)定系統(tǒng)的穩(wěn)定狀態(tài)距離不穩(wěn)定（或臨界穩(wěn)定）狀態(tài)的程度。一般用“穩(wěn)定裕量”指標(biāo)評價。相位裕量：閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)在穿越頻率處的相位角與-1800的差γ>0，表明系統(tǒng)是穩(wěn)定的，其大小表示穩(wěn)定的程度；γ<0，表明系統(tǒng)不穩(wěn)定；γ=0，表明系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定。增益裕量：閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)在相位相交