概率論與數(shù)理統(tǒng)計方差

我們已經(jīng)介紹了隨機變量的數(shù)學(xué)期望，它體現(xiàn)了隨機變量取值的平均水平，是隨機變量的一個重要的數(shù)字特征.但是在一些場合，僅僅知道平均值是不夠的.概率論與數(shù)理統(tǒng)計方差共23頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁!例如，某零件的真實長度為a，現(xiàn)用甲、乙兩臺儀器各測量10次，將測量結(jié)果X用坐標上的點表示如圖：若讓你就上述結(jié)果評價一下兩臺儀器的優(yōu)劣，你認為哪臺儀器好一些呢？

甲儀器測量結(jié)果乙儀器測量結(jié)果較好測量結(jié)果的均值都是a因為乙儀器的測量結(jié)果集中在均值附近概率論與數(shù)理統(tǒng)計方差共23頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁!又如,甲、乙兩門炮同時向一目標射擊10發(fā)炮彈，其落點距目標的位置如圖：你認為哪門炮射擊效果好一些呢?甲炮射擊結(jié)果乙炮射擊結(jié)果乙炮因為乙炮的彈著點較集中在中心附近.

中心中心概率論與數(shù)理統(tǒng)計方差共23頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁!為此需要引進另一個數(shù)字特征,用它來度量隨機變量取值在其中心附近的離散程度.這個數(shù)字特征就是我們要介紹的方差概率論與數(shù)理統(tǒng)計方差共23頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁!若X的取值比較分散，則方差較大.若方差D(X)=0,則r.vX以概率1取常數(shù)值.方差刻劃了隨機變量的取值對于其數(shù)學(xué)期望的離散程度.若X的取值比較集中，則方差較??；D(X)=E[X-E(X)]2概率論與數(shù)理統(tǒng)計方差共23頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁!二、計算方差的一個簡化公式

D(X)=E(X2)-[E(X)]2

展開證：D(X)=E[X-E(X)]2=E{X2-2XE(X)+[E(X)]2}=E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2=E(X2)-[E(X)]2利用期望性質(zhì)請自己用此公式計算常見分布的方差.概率論與數(shù)理統(tǒng)計方差共23頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁!

D(X)=E(X2)-[E(X)]2

+E(X)概率論與數(shù)理統(tǒng)計方差共23頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁!

4.

D(X)=0P(X=C)=1，這里C=E(X)P(X=x)下面我們用一例說明方差性質(zhì)的應(yīng)用.概率論與數(shù)理統(tǒng)計方差共23頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁!于是i=1,2，…，n

D(Xi)=E(Xi2)-[E(Xi)]2=p-p2=p(1-p)由于X1,X2,…,Xn相互獨立=np(1-p)概率論與數(shù)理統(tǒng)計方差共23頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁!如圖所示概率論與數(shù)理統(tǒng)計方差共23頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁!例3已知正常男性成人血液中，每一毫升白細胞數(shù)平均是7300，均方差是700.利用切比雪夫不等式估計每毫升白細胞數(shù)在5200~9400之間的概率.解：設(shè)每毫升白細胞數(shù)為X依題意，E(X)=7300,D(X)=7002所求為P(5200X9400)概率論與數(shù)理統(tǒng)計方差共23頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第11頁!例4在每次試驗中，事件A發(fā)生的概率為0.75,利用切比雪夫不等式求：n需要多大時，才能使得在n次獨立重復(fù)試驗中,事件A出現(xiàn)的頻率在0.74~0.76之間的概率至少為0.90?解：設(shè)X為n次試驗中，事件A出現(xiàn)的次數(shù)，E(X)=0.75n,的最小的n.則X~B(n,0.75)所求為滿足D(X)=0.75*0.25n=0.1875n概率論與數(shù)理統(tǒng)計方差共23頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第12頁!解得依題意，取

即n取18750時，可以使得在n次獨立重復(fù)試驗中,事件A出現(xiàn)的頻率在0.74~0.76之間的概率至少為0.90.概率論與數(shù)理統(tǒng)計方差共23頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第13頁!一、方差的定義采用平方是為了保證一切差值X-E(X)都起正面的作用由于它與X具有相同的度量單位，在實際問題中經(jīng)常使用.

方差的算術(shù)平方根稱為標準差設(shè)X是一個隨機變量，若E[(X-E(X)]2<∞，則稱D(X)=E[X-E(X)]2(1)為X的方差.概率論與數(shù)理統(tǒng)計方差共23頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁!X為離散型，P(X=xk)=pk由定義知，方差是隨機變量X的函數(shù)g(X)=[X-E(X)]2的數(shù)學(xué)期望.X為連續(xù)型，X~f(x)概率論與數(shù)理統(tǒng)計方差共23頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第15頁!例1設(shè)r.v

X服從幾何分布，概率函數(shù)為P(X=k)=p(1-p)k-1,k=1,2,…，n其中0<p<1,求D(X)解：記q=1-p求和與求導(dǎo)交換次序無窮遞縮等比級數(shù)求和公式概率論與數(shù)理統(tǒng)計方差共23頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第16頁!三、方差的性質(zhì)1.設(shè)C是常數(shù),則D(C)=0;2.若C是常數(shù),則D(CX)=C2

D(X);3.若X1與X2獨立，則D(X1+X2)=D(X1)+D(X2);可推廣為：若X1,X2,…,Xn相互獨立,則X1與X2不一定獨立時，D(X1+X2

)=？請思考概率論與數(shù)理統(tǒng)計方差共23頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第17頁!例2二項分布的方差設(shè)X~B(n,p),則X表示n重貝努里試驗中的“成功”次數(shù).若設(shè)i=1,2，…，n

故D(Xi)=E(Xi2)-[E(Xi)]2E(Xi)=P(Xi=1)=p,E(Xi2)=p,

則是n次試驗中“成功”的次數(shù)=p-p2=p(1-p)概率論與數(shù)理統(tǒng)計方差共23頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第18頁!四、切比雪夫不等式設(shè)隨機變量X有期望E(X)和方差，則對于任給>0,或由切比雪夫不等式可以看出，若越小，則事件{|X-E(X)|<}的概率越大，即隨機變量X集中在期望附近的可能性越大.由此可體會方差的概率意義：它刻劃了隨機變量取值的離散程度.概率論與數(shù)理統(tǒng)計方差共23頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第19頁!當方差已知時，切比雪夫不等式給出了r.v

X與它的期望的偏差不小于的概率的估計式.如取可見，對任給的分布，只要期望和方差存在，則r.vX取值偏離E(X)超過3的概率小于0.111.概率論與數(shù)理統(tǒng)計方差共23頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第20頁!P(5200X9400)=P(5200-7300X-73009400-7300)=P(-2100X-E(X)2100)=P{|X-E(X)|2100}由切比雪夫不等式

P{|X-E(X)|2100}即估計每毫升白細胞數(shù)在5200~9400之間的概率不小于8/9.概率論與數(shù)理統(tǒng)計方差共23頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第21頁!=P(-0.01n<X-0.75n<0.01n)=P{|X-E(X)|<0.01n}

P(0.74n<X<0.76n)可改寫為在切比雪夫