2021-2022學(xué)年上海市徐匯中學(xué)高一年級(jí)下冊(cè)學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2021-2022學(xué)年上海市徐匯中學(xué)高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．下列各項(xiàng)與一定相等的是（

）A． B．C． D．D【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)已知條件，再逐一檢驗(yàn)四個(gè)選項(xiàng)的正誤即可得正確選項(xiàng).【詳解】，對(duì)于A：，故選項(xiàng)A不正確；對(duì)于B：，故選項(xiàng)B不正確；對(duì)于C：，故選項(xiàng)C不正確；對(duì)于選項(xiàng)D：，故選項(xiàng)D正確，故選：D.2．由，求得，下列說(shuō)法中，正確的是(

)A．當(dāng)在一?二象限時(shí)，取正號(hào)，當(dāng)在三?四象限時(shí)，取負(fù)號(hào)B．當(dāng)在一?四象限時(shí)，取正號(hào)，當(dāng)在二?三象限時(shí)，取負(fù)號(hào)C．當(dāng)在一?三象限時(shí)，取正號(hào)，當(dāng)在二?四象限時(shí)，取負(fù)號(hào)D．僅當(dāng)在第一象限時(shí)，取正號(hào)B【分析】根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義即可判斷.【詳解】當(dāng)終邊在第一象限時(shí)，tanα＝t＞0，sinα＞0，故在中取正號(hào)；當(dāng)終邊在第二象限時(shí)，tanα＝t＜0，sinα＞0，故在中取負(fù)號(hào)；當(dāng)終邊在第三象限時(shí)，tanα＝t＞0，sinα＜0，故在中取負(fù)號(hào)；當(dāng)終邊在第四象限時(shí)，tanα＝t＜0，sinα＜0，故在中取正號(hào)；故選：B.3．已知，則（

）A． B．C． D．A【分析】首先根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，再利用誘導(dǎo)公式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，所以所以；故選：A4．對(duì)實(shí)數(shù)與，定義新運(yùn)算“”：設(shè)函數(shù)若函數(shù)的圖像與軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．B根據(jù)定義的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，并求出的取值范圍，函數(shù)的圖象與軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)轉(zhuǎn)化為，圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，結(jié)合圖象求得實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】由題意知，若，即時(shí)，；當(dāng)，即或時(shí)，，所以函數(shù)，由圖可知，當(dāng)時(shí)函數(shù)與的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，的取值范圍是，故選：B.本題主要考查新定義的理解和應(yīng)用，考查零點(diǎn)問(wèn)題的求解，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空題5．已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則與終邊相同的角的集合是______.【分析】根據(jù)點(diǎn)P求出角的正切值，從而求得角，由終邊相同的角的性質(zhì)即可寫出答案.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)P在第一象限，所以，，則與終邊相同的角的集合為.故本題考查任意角的三角函數(shù)的定義，終邊相同的角的表示方法，屬于基礎(chǔ)題.6．已知角的終邊在直線上，則的值為_(kāi)_________.0【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求出tanα，要求的式子分子分母同時(shí)除以cosα將正余弦化為正切，代值計(jì)算即可.【詳解】角的終邊在直線上，則tanα＝，.故0.7．在半徑為2的圓中，扇形的周長(zhǎng)等于半圓的弧長(zhǎng)，則扇形的面積為_(kāi)_______【分析】根據(jù)已知條件求出扇形的弧長(zhǎng)，即可求解.【詳解】設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為，則，扇形的面積為.故答案為:本題考查扇形的面積，屬于基礎(chǔ)題.8．函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_______【分析】根據(jù)根號(hào)下被開(kāi)方數(shù)大于等于零、分式分母不為零，求解出的范圍即為定義域.【詳解】因?yàn)榍遥郧?，所以定義域?yàn)?故答案為.本題考查函數(shù)定義域的求解，難度較易.常見(jiàn)求解函數(shù)定義域的思路：(1)根號(hào)下被開(kāi)方數(shù)大于等于零；(2)分式分母不為零；(3)對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零；(4)中；(5)中.9．函數(shù)的最大值是________【分析】分析分式的分母的取值范圍，即可求解出函數(shù)的最大值.【詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，所以.故答案為.本題考查函數(shù)最值的求解，難度較易.求解函數(shù)的值域可通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性、換元等方法進(jìn)行求解.10．已知，求________【分析】先化簡(jiǎn)，將其轉(zhuǎn)變?yōu)殛P(guān)于的形式，再根據(jù)求解出的值，即可求解出的值.【詳解】因?yàn)?，又因?yàn)?，所以，所以，所?故答案為.本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，難度較易.注意三角恒等式的運(yùn)用.11．已知：，則________【分析】先根據(jù)誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化簡(jiǎn)原式，然后再根據(jù)已知條件求解出原式的值.【詳解】因?yàn)樵?，且即，所以原?故答案為.本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，著重考查了誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，難度一般.12．若函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍是________【分析】根據(jù)函數(shù)值域?yàn)榕袛喑隹梢匀”閮?nèi)的所有值，因此為對(duì)數(shù)式真數(shù)部分值域的子集，據(jù)此分析出的取值范圍.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)?，所以是值域的子集，?dāng)時(shí)，，顯然不符合，當(dāng)時(shí)，則需滿足，所以.綜上可知：的取值范圍是.故答案為.本題考查對(duì)數(shù)型函數(shù)的值域問(wèn)題，難度一般.形如的函數(shù)，若定義域?yàn)?，則有；若值域?yàn)椋瑒t有.13．若關(guān)于的方程有負(fù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，

，由此求解不等式即可.【詳解】要使得方程有負(fù)根，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得，解得；故

.14．已知，則函數(shù)的最小值為_(kāi)_______【分析】先根據(jù)條件將轉(zhuǎn)變?yōu)殛P(guān)于的形式，然后利用已知條件求解出的范圍，然后即可求解出關(guān)于的函數(shù)的最小值即為的最小值.【詳解】因?yàn)?，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋援?dāng)，有最小值，所以.故答案為.本題考查根據(jù)三角函數(shù)的有界性求解三角函數(shù)式的最值，難度一般.用三角函數(shù)表示其他式子或者用三角函數(shù)換元時(shí)，注意三角函數(shù)的有界性.15．已知函數(shù)，若函數(shù)g(x)=f(x)-k有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________.作出函數(shù)f(x)，的圖象，將函數(shù)g(x)=f(x)-k有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為y=f(x)，y=k的圖象又兩個(gè)不同的交點(diǎn)求解.【詳解】函數(shù)的圖象如圖所示：若函數(shù)g(x)=f(x)-k有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，等價(jià)于y=f(x)，y=k的圖象又兩個(gè)不同的交點(diǎn)，由圖知：故方法點(diǎn)睛：由函數(shù)零點(diǎn)或個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍問(wèn)題：若方程可解，通過(guò)解方程即可得出參數(shù)的范圍；若方程不易解或不可解，則將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，利用兩個(gè)函數(shù)圖象的關(guān)系求解，這樣會(huì)使得問(wèn)題變得直觀、簡(jiǎn)單，這也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．16．設(shè)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，若對(duì)任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.結(jié)合奇偶性求解函數(shù)的解析式，結(jié)合解析式的特點(diǎn)將問(wèn)題等價(jià)于恒成立，進(jìn)而利用單調(diào)性求解即可.【詳解】由題意知，則，所以恒成立等價(jià)于恒成立.由題意得在R上是增函數(shù)，所以恒成立，即恒成立.又，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值所以，解得.故實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，稍有綜合性，化為同名函數(shù)是求解關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).三、解答題17．已知，且是第二象限角，求實(shí)數(shù)a的值.【分析】由計(jì)算得到a，再結(jié)合即可得到答案.【詳解】因?yàn)槭堑诙笙藿?，所以，解得，由得到，解得或（舍?本題考查三角函數(shù)的基本關(guān)系的應(yīng)用，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道容易題.18．若及是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)的值.【分析】由題意，利用韋達(dá)定理得到，，根據(jù)列出關(guān)于的方程，求出方程的解即可得到的值．【詳解】解：，是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)根，，，，，即，整理得：，解得或，方程有實(shí)數(shù)根，，即或，則的值為．19．在平面直角坐標(biāo)系中，角的始邊為軸的正半軸，終邊在第二象限與單位圓交于點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.(1)求的值；(2)若將射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到角，求的值.(1)(2)【分析】（1）由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義，求得的值，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，計(jì)算求得所給式子的值．（2）由題意利用誘導(dǎo)公式求得，再將化為，即可求得答案．【詳解】(1)在單位圓上，且點(diǎn)在第二象限，的橫坐標(biāo)為，可求得縱坐標(biāo)為，所以，則．(2)由題知，則，，則，故.20．設(shè).（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由；（2）求證：函數(shù)在R上是嚴(yán)格增函數(shù)；（3）若，求t的取值范圍.（1）奇函數(shù)，證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）或．【分析】（1）根據(jù)奇偶函數(shù)的定義進(jìn)行判斷即可；（2）利用單調(diào)性的定義，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行證明即可；（3）利用（1）（2）的結(jié)論，結(jié)合一元二次不等式的解法進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）函數(shù)為奇函數(shù)，證明如下：的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴為奇函數(shù)；（2）證明：任取，且∵，∴，，，∴，即∴函數(shù)在R上是嚴(yán)格增函數(shù)（2）∵在R上是奇函數(shù)且嚴(yán)格增函數(shù)，所以，解得或所以t的取值范圍是或．21．設(shè)．（1）求不等式的解集M；（2）若函數(shù)在上最小值為，求實(shí)數(shù)a的值；（3）若對(duì)任意的正實(shí)數(shù)a，存在，使得，求實(shí)數(shù)m的最大值.（1）答案見(jiàn)解析；（2）或；（3）.【分析】（1）由條件將不等式化簡(jiǎn)為，轉(zhuǎn)化為，再分情況討論，可得答案.（2）分情況求出函數(shù)的最小值，由函數(shù)最小值為可得方程，得出答案.(3)由條件可得，由函數(shù)的單調(diào)性有，然后分情況討論得出其最大值，可得答案..【詳解】（1）∵，∴，即，也即所以若，該不等式無(wú)解；若，，所以或；若，，所以綜上，，該不等式解集為；，該不等式解集為；，該不等式解集為.（2）若，在單調(diào)遞