教學(xué)設(shè)計(jì)完整版：雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程

雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)目標(biāo)：1、知識(shí)與技能：掌握雙曲線的定義，理解雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，能根據(jù)條件確定雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)一步掌握雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，特別是要熟練掌握用定義法、待定系數(shù)法求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法。會(huì)利用雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。2、過(guò)程與方法：在教學(xué)中采用互助——合作——探究的教學(xué)模式，讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題，通過(guò)對(duì)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)；培養(yǎng)學(xué)生分析能力、歸納能力、推理能力和數(shù)學(xué)的應(yīng)用能力。3、情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)學(xué)習(xí)，體會(huì)運(yùn)動(dòng)、變化的自然規(guī)律。教學(xué)重難點(diǎn)：

重點(diǎn)：雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程；

難點(diǎn)：雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)；利用雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。教學(xué)過(guò)程:一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入：?jiǎn)栴}：復(fù)述橢圓的定義？平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)2a（2a>）的點(diǎn)P的軌跡，叫做橢圓。即。（由一位學(xué)生回答，教師板書(shū)。如有問(wèn)題，則讓其他同學(xué)糾正，直至準(zhǔn)確。以備后面教學(xué)使用）二、情境激疑：?jiǎn)栴}：如果把上述橢圓的定義中的“距離的和”改為“距離的差”，那么點(diǎn)的軌跡會(huì)發(fā)生什么變化？它的方程又是怎樣呢？1.[探索研究]：演示定點(diǎn)是兩個(gè)鐵釘，MN是一個(gè)細(xì)套管，點(diǎn)M移動(dòng)時(shí)，|MF1|-|MF2|是常數(shù)，這樣就畫(huà)出雙曲線的一支。PP這樣作出的曲線就叫做雙曲線。（兩個(gè)同學(xué)在木板上演示，其余同學(xué)看演示，觀察所得圖像與橢圓的區(qū)別，）引導(dǎo)學(xué)生嘗試給雙曲線下定義，并不斷完善至的出準(zhǔn)確的定義。（1）定義在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生概括出雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)（小于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線，即，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做雙曲線的焦距。（2）定義研究：學(xué)生探討下列問(wèn)題：①定點(diǎn)F1，F(xiàn)2與動(dòng)點(diǎn)M不在同一平面內(nèi)，能否得到雙曲線？請(qǐng)學(xué)生回答,不能，指出必須“平面內(nèi)”。②M到F1與F2兩點(diǎn)的距離的差有什么關(guān)系？M到F1與F2的距離的差的絕對(duì)值相等，否則只表示雙曲線的一支，即：|MF1|-|MF2|是一個(gè)常數(shù)。③這個(gè)常數(shù)是否會(huì)大于或等于|F1F2應(yīng)小于|F1F2討論這個(gè)常數(shù)如果小于或等于|F1F2當(dāng)常數(shù)>|F1F2當(dāng)常數(shù)=|F1F2|時(shí)，軌跡是以為端點(diǎn)的兩條射線。（先各自獨(dú)立思考，在小組討論這三個(gè)問(wèn)題，然后選出一個(gè)代表發(fā)言，由于在學(xué)習(xí)橢圓時(shí)研究過(guò)類似的問(wèn)題，所以學(xué)生們踴躍發(fā)言，各抒己見(jiàn)，舉起的手臂象一片小樹(shù)林，有的同學(xué)把手臂舉的高高，唯恐失去發(fā)表自己見(jiàn)解的機(jī)會(huì)，通過(guò)這次討論，學(xué)生可以完整的將雙曲線的定義作一個(gè)完整的理解）2、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程現(xiàn)在我們可以用類似求橢圓方程的方法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，思考、回憶橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)方法，推導(dǎo)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。（1）建系設(shè)點(diǎn)取過(guò)焦點(diǎn)F1、F2的直線為x軸，線段F1F2設(shè)M為雙曲線上任意一點(diǎn)，雙曲線的焦距為：2c(c>0),則F1(-c,0)、F(c,0)，又設(shè)點(diǎn)M與F1,F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)2a(2a<2c)。（2）點(diǎn)的集合由定義可知，雙曲線上的點(diǎn)的集合是P=(3)代數(shù)方程||=2a(4)化簡(jiǎn)方程：（方程推導(dǎo)出以后，組織學(xué)生看書(shū)，規(guī)范推導(dǎo)過(guò)程）設(shè)c2-a2=b2(b>0)代入上式整理得：這個(gè)方程叫做雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，它所表示的雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)F1(-c,0),F2(c,0),這里c2=a2+b2。如果雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，即焦點(diǎn)F1（0,-c）、F2(0,c)，可以得到方程：這個(gè)方程也是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。問(wèn)題：對(duì)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程作對(duì)比研究，探討其異同？雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與其定義可聯(lián)系起來(lái)記憶，定義中有“差”，則方程用“-”好連接起來(lái)。雙曲線方程中a>0,b>0,但a不一定大于b；如果x2的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在x軸上，如果y2的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在x軸上，有別于橢圓通過(guò)比較分母的大小來(lái)判定焦點(diǎn)的位置；雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中a、b、c得關(guān)系式c2=a2+b2不同于橢圓中c2=a2-b2。[知識(shí)體驗(yàn)]例1（1）、一雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為F1(-5,0)，F(xiàn)2(5,0)，曲線上一點(diǎn)P到F1,F2的距離的差的絕對(duì)值等于6，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。（引導(dǎo)學(xué)生由焦點(diǎn)坐標(biāo)可得雙曲線的方程為由a、b、c的幾何定義可知2a=6,2c=10進(jìn)而可得b=4。熟悉方程即各量的幾何意義）小結(jié)：求解雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程要注意兩個(gè)方面，一是方程的類型即焦點(diǎn)的位置，二是參數(shù)的幾何意義。（引導(dǎo)學(xué)生從知識(shí)內(nèi)容上總結(jié)在這種情況下，如何求雙曲線的方程，學(xué)生通過(guò)分析題目1的求解過(guò)程進(jìn)行小結(jié)）知識(shí)應(yīng)用例1（2）、已知雙曲線與橢圓有共同的焦點(diǎn)，且過(guò)P（，4），求雙曲線的方程。選題目的：讓學(xué)生了解待定系數(shù)求雙曲線方程的思路、注意事項(xiàng)以及相關(guān)技巧。選題目的：讓學(xué)生了解待定系數(shù)求雙曲線方程的思路、注意事項(xiàng)以及相關(guān)技巧。（注重于讓學(xué)生思考、回答，教師加以補(bǔ)充）解：（1）由題意知：焦點(diǎn)為F（0，-3）、F（0，3）（2）由=2（定義法解答本題）得：=2c=3b=∴雙曲線的方程為：解法二：設(shè)雙曲線的方程為：（待定系數(shù)法）得=4=5

∴雙曲線的方程為：（設(shè)計(jì)理念：本題是用待定系數(shù)法來(lái)解的，再讓學(xué)生們通過(guò)本題的解題過(guò)程進(jìn)一步雙曲線方程，并熟悉體會(huì)待定系數(shù)法解題。）例2、相距2km的兩個(gè)哨所A、B，聽(tīng)到遠(yuǎn)處傳來(lái)的炮彈爆炸聲，已知當(dāng)時(shí)的聲速是330m/s,在A哨所聽(tīng)到爆炸聲的時(shí)間比在B哨所聽(tīng)到時(shí)遲4s，試判斷爆炸點(diǎn)在什么樣的曲線上，并求出曲線的方程。三、課時(shí)小結(jié) 1、內(nèi)容：（1）雙曲線的定義、圖形、及其標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)，a、b、c之間的關(guān)系。(2)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可統(tǒng)