顯微結(jié)構(gòu)分析講座

主要內(nèi)容電子衍射原理及應(yīng)用衍射襯度及顯微像高分辨電子顯微學(xué)第一頁(yè)，共一百零五頁(yè)。參考書(shū)“電子衍射圖在晶體學(xué)中的應(yīng)用”郭可信葉恒強(qiáng)吳玉琨著科學(xué)出版社1983“高分辨電子顯微學(xué)在固體科學(xué)中的應(yīng)用”郭可信葉恒強(qiáng)編著科學(xué)出版社1985“高空間分辨分析電子顯微學(xué)”朱靜葉恒強(qiáng)王仁卉等編著科學(xué)出版社1987“晶體學(xué)中的對(duì)稱(chēng)群”郭可信王仁卉等編著科學(xué)出版社1983“電子衍射物理教程”王蓉著冶金工業(yè)出版社2002北京“電子衍襯分析原理與圖譜”黃效瑛侯耀永李理著山東科學(xué)技術(shù)出版社2000“Electronmicroscopyofthincrystals”editedbyM.A.Hirschetal.RobertE.KriegerPublishingCo.Huntington1965“第二頁(yè)，共一百零五頁(yè)。“Transmissionelectronmicroscopy-Physicsofimageformationandmicroanalysis”,EditedbyL.ReimerSpringer-Verlag1980“Practicalelectronmicroscopyinmaterialsscience”,EditedbyJ.W.EdingtonPhilipsTechnicalLibrary1975“Moderndiffractionandimagingtechniquesinmaterialscience”editedbyS.Amelinkxetal.,North-HollandPublishingCo.Amsterdam1978“Diffractionphysics”editedbyJ.M.CowleyNorth-HollandPublishingCo.NewYork1967

第三頁(yè)，共一百零五頁(yè)。本次內(nèi)容電子顯微學(xué)簡(jiǎn)介電子與物質(zhì)的相互作用第四頁(yè)，共一百零五頁(yè)。電子顯微鏡的發(fā)展史回顧1986年諾貝爾將委員會(huì)把物理獎(jiǎng)的一半頒發(fā)給E.Ruska:”為了他在電子光學(xué)基礎(chǔ)研究方面的貢獻(xiàn)和設(shè)計(jì)出第一臺(tái)電子顯微鏡.”Ruska-1928-1930用磁透鏡將金屬網(wǎng)放大13倍實(shí)現(xiàn)電子顯微成像。(柏林高工）1930-1933與VonBorries制造了第一臺(tái)電子顯微鏡。（西門(mén)子）M.Rü向德、法、英等國(guó)申請(qǐng)電子顯微鏡專(zhuān)利（憑理論推測(cè)），1932年12月和1936年10月獲得法、英的批準(zhǔn)，1953年獲得西德的批準(zhǔn)。電子顯微鏡一詞首先出現(xiàn)在Rüdenberg的專(zhuān)利中。第五頁(yè)，共一百零五頁(yè)。1956年Menter得到酞氰鉑和酞化氰銅的點(diǎn)陣平面條紋像（1納米）。1967年Allpress和Sanders得到分辨率為0.7納米的氧化物的像。1971年Iijima高分辨觀(guān)察到氧化鈮中金屬原子的分布（~0.3納米），標(biāo)志高分辨像與晶體結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)關(guān)系的產(chǎn)生。目前，電子顯微鏡的分辨率接近0.1納米。第六頁(yè)，共一百零五頁(yè)。電子顯微鏡在材料研究中發(fā)揮的作用位錯(cuò)的觀(guān)察證實(shí)了位錯(cuò)理論的正確性。（衍襯像）準(zhǔn)晶的發(fā)現(xiàn)擴(kuò)展了晶體的范疇。（電子衍射）1992年國(guó)際晶體學(xué)會(huì)重新研究晶體的定義：“晶體是指任何給出基本上有明確衍射圖的固體，而非周期性晶體是指無(wú)周期性的晶體”。3.納米碳管的發(fā)現(xiàn)引發(fā)了納米材料研究的高潮。（高分辨像）第七頁(yè)，共一百零五頁(yè)。電子顯微學(xué)方法和獲得的信息方法電子衍射質(zhì)（量）厚（度）襯度像和高分辨像X射線(xiàn)能譜電子能量損失譜二次電子像洛倫茨電子顯微術(shù)電子全息Z-襯度像能量過(guò)濾像可獲得信息晶體對(duì)稱(chēng)性，晶體取向，樣品厚度晶體缺陷，原子排列元素種類(lèi)，分布，樣品厚度元素種類(lèi)，分布，樣品厚度表面形態(tài)磁疇結(jié)構(gòu)磁疇結(jié)構(gòu)，晶體勢(shì)，樣品厚度元素分布第八頁(yè)，共一百零五頁(yè)。表征內(nèi)容組成元素及分布電子狀態(tài)晶體對(duì)稱(chēng)性物相鑒定原子排列晶體結(jié)構(gòu)與缺陷磁疇結(jié)構(gòu)界面結(jié)構(gòu)晶體取向分析方法X射線(xiàn)能譜，電子能量損失譜，Z-襯度像，能量過(guò)濾像電子能量損失譜電子衍射高分辨像，X射線(xiàn)能譜，電子能量損失譜高分辨像，衍射襯度像洛倫茨電子顯微術(shù)，電子全息第九頁(yè)，共一百零五頁(yè)。用于材料結(jié)構(gòu)表征電子顯微方法晶體結(jié)構(gòu)的表征1.電子衍射透射電子衍射;反射電子衍射;會(huì)聚束電子衍射;微束電子衍射。2.電子顯微像振幅（衍射）襯度像;明場(chǎng)像;暗場(chǎng)像；（對(duì)中暗場(chǎng)像，弱束暗場(chǎng)像）高分辨像；Z-襯度像;能量過(guò)濾像；二次電子像；電子全息。第十頁(yè)，共一百零五頁(yè)。材料成份測(cè)定X-射線(xiàn)能譜；電子能量損失譜。磁疇結(jié)構(gòu)的表征洛倫次電子顯微方法；電子全息。第十一頁(yè)，共一百零五頁(yè)。材料中原子的排列方式?jīng)Q定了晶體的相結(jié)構(gòu)，原子排列方式的變化導(dǎo)致了相結(jié)構(gòu)得變化，材料的物理、化學(xué)性能與材料中原子的排列方式有直接的對(duì)應(yīng)關(guān)系：面心立方合體心立方結(jié)構(gòu)的鐵有完全不同的磁性。α、γ、ξAl2O3由于結(jié)構(gòu)不同，其性質(zhì)不同。晶態(tài)和非晶態(tài)合金有著完全不同的力學(xué)性能、抗腐蝕性能、磁學(xué)性能。Mooser-Pearson公式可用來(lái)判斷材料是否具有半導(dǎo)體性質(zhì)材料結(jié)構(gòu)與性能的關(guān)系第十二頁(yè)，共一百零五頁(yè)。ne是一分子中的價(jià)電子數(shù)，na是一分子中的陰離子數(shù)，Na是一個(gè)陰離子與其它陰離子之間的平均鍵數(shù)，Nc是一個(gè)陽(yáng)離子與其它陽(yáng)離子之間的平均鍵數(shù)。ne和na由已知的化學(xué)成份得到，Na和Nc必須有晶體結(jié)構(gòu)確定。第十三頁(yè)，共一百零五頁(yè)。材料nenaNaNene/na+Na-NeGe41408As51308Se61208SiC82408GaAs81008CdTe81008AgInTe2162008PbS81008Mg2Sn81008LiMgSb81008Li3Bi81008Mg3Sb2162008Bi2Te3243008Fe2O3243008BaTiO3243008FeS2142108CdSb71108GaTe91018第十四頁(yè)，共一百零五頁(yè)。另外，材料中缺陷對(duì)材料性能的影響也是非常大的，如位錯(cuò)使金屬材料的強(qiáng)度下降一個(gè)量級(jí)。材料的性質(zhì)依賴(lài)于相結(jié)構(gòu)是材料科學(xué)中的基本概念。材料的結(jié)構(gòu)是材料性能的載體。因此，對(duì)材料顯微結(jié)構(gòu)的表征是研究材料性能的主要方法，已成為材料科學(xué)的一個(gè)不可缺少的重要環(huán)節(jié)。第十五頁(yè)，共一百零五頁(yè)。作為結(jié)構(gòu)分析手段電子顯微鏡具有高空間分辨率和能量分辨率，已成為顯微結(jié)構(gòu)表征和微區(qū)成份分析不可缺少的工具。電子顯微鏡在材料領(lǐng)域的廣泛對(duì)于研究和開(kāi)發(fā)新材料，特別是納米材料的開(kāi)發(fā)具有非常重要的作用。第十六頁(yè)，共一百零五頁(yè)。電子與物質(zhì)的相互作用

電子波

從電子源發(fā)出的電子束照射到晶體上，就會(huì)從中發(fā)射出一束或幾束衍射電子束，與可見(jiàn)光通過(guò)光柵的衍射或者X射線(xiàn)在晶體中的衍射是完全類(lèi)似。電子槍的加速電壓為V，電子的能量為eV，電子波的頻率和波長(zhǎng)為ν，λ第十七頁(yè)，共一百零五頁(yè)。普朗克常數(shù)=6.6261196x10-27爾格?秒，電子的靜止質(zhì)量=9.109558x10-28克，電子的電荷量=4.803250x10-1庫(kù)倫

電子束的波長(zhǎng)隨電子槍加速電壓的增高而減小

第十八頁(yè)，共一百零五頁(yè)。目前所使用的透射電子顯微鏡其電子槍的加速電壓一般都高于100千伏，這時(shí)需要對(duì)電子的能量和靜止質(zhì)量引入相對(duì)論修正。第十九頁(yè)，共一百零五頁(yè)。用乘前式兩邊得是相對(duì)論修正因子，當(dāng)加速電壓為100和200千伏時(shí)，電子波長(zhǎng)的變化約為5%和10%

第二十頁(yè)，共一百零五頁(yè)。加速電壓（伏）電子束波長(zhǎng)（埃）相對(duì)論修正波長(zhǎng)（埃）波矢長(zhǎng)度（埃-1）112.2712.270.0815103.8793.8790.25781001.2271.2270.815010000.38780.38782.5786100000.12270.12218.1900500000.05480.053618.65671000000.03880.037027.027010000000.01230.0087114.9425第二十一頁(yè)，共一百零五頁(yè)。電子的散射與衍射

當(dāng)從電子槍發(fā)射的一束電子沿一定入射方向進(jìn)入物質(zhì)內(nèi)部后，由于與物資的相互作用，使電子的運(yùn)動(dòng)方向發(fā)生改變，這一過(guò)程稱(chēng)為物資對(duì)電子的散射。在散射過(guò)程中，如果入射電子只改變運(yùn)動(dòng)方向，而不發(fā)生能量變化，稱(chēng)為彈性散射。如果被散射的入射電子不但發(fā)生運(yùn)動(dòng)方向的變化，同時(shí)還損失能量，則稱(chēng)為非彈性散射。

第二十二頁(yè)，共一百零五頁(yè)。由于晶體內(nèi)部原子的規(guī)則排列，使得在某些方向可以觀(guān)察到很強(qiáng)的衍射電子束，其他方向則無(wú)衍射電子出現(xiàn)。晶體對(duì)電子束產(chǎn)生的衍射過(guò)程都是彈性散射。

第二十三頁(yè)，共一百零五頁(yè)。原子對(duì)電子的散射

θ

+Rnθ

-Re(a)(b)帶負(fù)電荷的電子進(jìn)入物質(zhì)時(shí)受到帶正電荷的原子核吸引而發(fā)生向內(nèi)偏轉(zhuǎn)，受核外電子的庫(kù)倫排斥力作用發(fā)生向外偏轉(zhuǎn)，稱(chēng)為盧瑟福散射。第二十四頁(yè)，共一百零五頁(yè)。由于電子的質(zhì)量與原子核相比是一個(gè)可以忽略的小量，在電子與原子核碰撞過(guò)程中原子核可以認(rèn)為是固定不動(dòng)的，原子核對(duì)電子的吸引力滿(mǎn)足距離平方反比定律。如果原子的原子序數(shù)為Z,核電荷使Ze，電子的電荷-e，勢(shì)能為散射角θ的大小由入射電子與核的距離Rn決定。在半徑為Rn的散射截面內(nèi)，電子的散射角大于θ,有關(guān)系式

第二十五頁(yè)，共一百零五頁(yè)。θ很小時(shí)，

利用簡(jiǎn)化得核外電子對(duì)入射電子的散射則為核外電子對(duì)入射電子的散射主要是非彈性的，每次散射的能量損失一般只有幾個(gè)電子伏特，入射電子束方向的改變也不大。

第二十六頁(yè)，共一百零五頁(yè)。原子核對(duì)電子的散射可分為彈性和非彈性?xún)深?lèi)，其中彈性散射是電子衍射的基礎(chǔ)。非彈性散射與彈性散射的比值由原子序數(shù)Z決定，即電子在物質(zhì)中的非彈性散射部分僅為彈性部分的1/Z，這是因?yàn)樵雍藘?nèi)電荷集中，具有較大的散射能力。原子序數(shù)愈大的原子，非彈性散射的比列愈小。第二十七頁(yè)，共一百零五頁(yè)。描述電子散射的基本參量

散射截面

物理意義：電子束通過(guò)單位面積內(nèi)只有一個(gè)散射靶的物質(zhì)時(shí)所受到的散射幾率。把作為一個(gè)原子核用半徑為Rn，面積為σ的小圓靶。

當(dāng)入射電子數(shù)為N，物質(zhì)層厚度為t，散射電子數(shù)為dN，電子散射的幾率為：

第二十八頁(yè)，共一百零五頁(yè)。n是單位體積內(nèi)的原子核數(shù)，等于

，其中為物質(zhì)的密度，A是阿佛加德羅常數(shù)，W是原子量。

電子受到散射時(shí)散射角大于θ幾率為：

給出了散射電子數(shù)目與電子束的加速電壓，樣品厚度，原子序數(shù)等幾個(gè)量之間的定性關(guān)系。樣品越薄，原子越輕，加速電壓越高，電子的散射幾率越小，透過(guò)樣品的電子束越多。

第二十九頁(yè)，共一百零五頁(yè)。平均自由程

入射電子在引起某種散射前在樣品中穿行的距離的平均值稱(chēng)為平均自由程

第三十頁(yè)，共一百零五頁(yè)。吸收系數(shù)和穿透能力

電子在物質(zhì)中前進(jìn)微小距離dt時(shí)，強(qiáng)度降低dI，它比例于這個(gè)位置的電子束強(qiáng)度I和通過(guò)的距離dt

是比例常數(shù)（用長(zhǎng)度單位的倒數(shù)表示）稱(chēng)為吸收系數(shù)或線(xiàn)吸收系數(shù)

第三十一頁(yè)，共一百零五頁(yè)。吸收系數(shù)隨物質(zhì)不同而異,但它是不隨物質(zhì)的集合狀態(tài)而變的量。電子穿過(guò)物質(zhì)的能力稱(chēng)為穿透能力，可以用吸收系數(shù)的倒數(shù)表示第三十二頁(yè)，共一百零五頁(yè)。原子散射因數(shù)

原子的靜電場(chǎng)電位分布函數(shù)

相位差

入射電子束的波矢

散射電子束的波矢位置矢量

第三十三頁(yè)，共一百零五頁(yè)。利用電位與電荷分布的對(duì)應(yīng)關(guān)系

原子散射因數(shù)隨散射角增大而單調(diào)減小，隨波長(zhǎng)減?。铀匐妷涸黾樱┒鴾p小，與原子序數(shù)成正比第三十四頁(yè)，共一百零五頁(yè)。第三十五頁(yè)，共一百零五頁(yè)。單胞對(duì)電子的散射

單胞是晶體的基本結(jié)構(gòu)單元，晶體就是由數(shù)目眾多的單胞排列而成的。單胞是晶體空間內(nèi)的一個(gè)平行六面體，六面體的三個(gè)邊就是單胞的基矢量a、b、c,即該晶體的點(diǎn)陣平移矢量。單胞對(duì)電子的散射是由其內(nèi)部原子排列決定的，所以電子衍射反映了原子排列的信息。用表示一個(gè)單胞內(nèi)原子的位置矢量。這里都是小于1的數(shù)。電子數(shù)受到單胞散射的合成振幅為

第三十六頁(yè)，共一百零五頁(yè)。fj是原子散射因數(shù)，隨著原子種類(lèi)不同而異。F是一個(gè)單胞對(duì)電子散射的結(jié)構(gòu)因數(shù)，F(xiàn)2具有強(qiáng)度的意義，當(dāng)F為復(fù)數(shù)時(shí)，F(xiàn)2等于F與其共軛復(fù)數(shù)F*的乘積。因此F的絕對(duì)值越大，衍射越強(qiáng)，當(dāng)F等于零時(shí)，沒(méi)有衍射束出現(xiàn)。

第三十七頁(yè)，共一百零五頁(yè)。散射波的形成

兩個(gè)散射元在散射方向產(chǎn)生的散射波間的程差為

第三十八頁(yè)，共一百零五頁(yè)。程差與波長(zhǎng)有關(guān)

與程差對(duì)應(yīng)的相位差

相位差與波長(zhǎng)無(wú)關(guān)

令則有稱(chēng)為衍射矢量

適用于一個(gè)原子內(nèi)兩個(gè)散射元的情況，也完全適用于兩個(gè)原子，或兩個(gè)單胞對(duì)電子的衍射第三十九頁(yè)，共一百零五頁(yè)。晶體的對(duì)稱(chēng)性與點(diǎn)陣由于晶體對(duì)電子的衍射與點(diǎn)陣的對(duì)稱(chēng)性密切相關(guān)衍射與晶體點(diǎn)陣直接對(duì)應(yīng)關(guān)系晶體的點(diǎn)陣與倒易點(diǎn)陣構(gòu)成了描述衍射的基礎(chǔ)第四十頁(yè)，共一百零五頁(yè)。對(duì)稱(chēng)操作的種類(lèi)對(duì)稱(chēng)操作是指使等效點(diǎn)系重復(fù)的操作，對(duì)圖形（原子集團(tuán)）而言，就是使其復(fù)原的操作。對(duì)稱(chēng)操作的性質(zhì)：組合性（乘法律）和可逆性（除法律），即運(yùn)算律。abc沿平移矢量t=ua+vb+wc平移后，得到的新的空間圖形恰與平移前的一樣。第四十一頁(yè)，共一百零五頁(yè)?？臻g點(diǎn)陣abab陣點(diǎn)-用一個(gè)等效點(diǎn)代表一個(gè)結(jié)構(gòu)單元共軛平移矢量-以陣點(diǎn)為原點(diǎn)的平移矢量二維初基點(diǎn)陣-用共軛平移矢量構(gòu)成的平行四邊形只包含一個(gè)陣點(diǎn)初級(jí)共軛平移矢量-初基點(diǎn)陣的平移矢量點(diǎn)陣-是由具體的晶體結(jié)構(gòu)抽象出來(lái)的描述晶體對(duì)稱(chēng)性的空間格子第四十二頁(yè)，共一百零五頁(yè)。對(duì)稱(chēng)操作點(diǎn)操作（至少一個(gè)固定點(diǎn)）非點(diǎn)操作（無(wú)固定點(diǎn)）純旋轉(zhuǎn)非純旋轉(zhuǎn)（矩陣行列式為1）（矩陣行列式為-1）純平移非純平移（單位矩陣）（非單位矩陣）倒反反映旋轉(zhuǎn)倒反（旋轉(zhuǎn)反映）滑移反映螺旋旋轉(zhuǎn)（行列式為1）（行列式為-1）注意！??！對(duì)稱(chēng)操作具有空間不變性。第四十三頁(yè)，共一百零五頁(yè)。點(diǎn)式對(duì)稱(chēng)操作指對(duì)一個(gè)固定點(diǎn)進(jìn)行的對(duì)稱(chēng)操作。包括純旋轉(zhuǎn)，非純旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)+倒映中心）2π/n倒映中心鏡面反映旋轉(zhuǎn)第四十四頁(yè)，共一百零五頁(yè)。旋轉(zhuǎn)：位矢r=xa+yb+zc經(jīng)旋轉(zhuǎn)操作后變成位矢

r’=x’a+y’b+z’c,新位置可表為原位置的矩陣變換：X’=Wx(W是旋轉(zhuǎn)操作的矩陣表示）。一個(gè)客體經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)操作得到一組等效客體。特點(diǎn)：不改變客體的向指。倒映中心：把位于r=xa+yb+zc的客體變到新位置

r‘=-xa-yb-zc。一個(gè)客體經(jīng)過(guò)倒映中心操作后得到兩個(gè)等效客體。特點(diǎn)：改變客體的向指。倒映操作的矩陣表示為：第四十五頁(yè)，共一百零五頁(yè)。鏡面反映：從空間某點(diǎn)（x,y,z)向鏡面作垂線(xiàn)，沿此線(xiàn)在鏡面的另一側(cè)得到等距離的點(diǎn)，這一點(diǎn)是位于（x,y,z)客體的鏡像。如果鏡面的法線(xiàn)沿y方向，則在（x,-y,z)位置得到處于（x,y,z)客體的鏡像。特點(diǎn)：操作后得到兩個(gè)等效客體，改變客體的向指。鏡面反映操作的矩陣表示為：第四十六頁(yè)，共一百零五頁(yè)。

點(diǎn)對(duì)稱(chēng)操作的特點(diǎn)對(duì)一客體重復(fù)施以若干次這樣的操作后，客體就回到其起始位置。對(duì)于n

次旋轉(zhuǎn)軸經(jīng)過(guò)n次操作后，得到n個(gè)等效客體，并回到其起始位置。對(duì)于倒映中心和鏡面反映經(jīng)過(guò)兩次操作后回到其起始位置。用于研究晶體表面的配置的對(duì)稱(chēng)性或點(diǎn)陣平面族的配置的對(duì)稱(chēng)性，稱(chēng)為宏觀(guān)對(duì)稱(chēng)操作。第四十七頁(yè)，共一百零五頁(yè)。非點(diǎn)式對(duì)稱(chēng)操作指含有平移的對(duì)稱(chēng)操作。包括螺旋旋轉(zhuǎn)和反映滑移。cc/2c/2n次螺旋旋轉(zhuǎn)c/2滑移反映第四十八頁(yè)，共一百零五頁(yè)。非點(diǎn)式對(duì)稱(chēng)操作特點(diǎn)對(duì)某一客體進(jìn)行適當(dāng)次數(shù)的操作后，客體不能回到其起始位置，而是得到一個(gè)距起始點(diǎn)的距離為點(diǎn)陣平移周期的整數(shù)倍的位置。研究晶體內(nèi)部原子配置的對(duì)稱(chēng)性必須考慮的對(duì)稱(chēng)操作，是晶體結(jié)構(gòu)中常見(jiàn)且重要的對(duì)稱(chēng)元素。它們能使形狀不是球形的分子或原子集團(tuán)以密堆集的方式構(gòu)成晶體，因此也稱(chēng)為微觀(guān)對(duì)稱(chēng)操作。第四十九頁(yè)，共一百零五頁(yè)。cc2次螺旋旋轉(zhuǎn)或反映滑移2次旋轉(zhuǎn)或鏡面反映第五十頁(yè)，共一百零五頁(yè)。二.晶體中的對(duì)稱(chēng)操作1.平移操作是晶體必須具備的最基本的對(duì)稱(chēng)操作。在三維空間中沿所有的方向均可操作，沿不同的方向平移操作的距離不同，存在三個(gè)不共面的最短距離a、b、c，其它的平移操作都可以用這三個(gè)平移操作的組合來(lái)完成。t=ua+vb+wc第五十一頁(yè)，共一百零五頁(yè)。旋轉(zhuǎn)操作由于平移對(duì)稱(chēng)性的制約，旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)操作的種類(lèi)受到限制，旋轉(zhuǎn)的角度只有2π，π，2π/3，π/2和π/3五種，對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)軸次數(shù)分別稱(chēng)為1，2，3，4，6。第五十二頁(yè)，共一百零五頁(yè)。ααAA’BB’t’tt證明A和A’是相距為單位平移矢量t的兩個(gè)陣點(diǎn)，過(guò)A和A’的兩個(gè)旋轉(zhuǎn)軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)角度為α的操作，得到新的陣點(diǎn)B和B’,陣點(diǎn)間的距離應(yīng)是單位平移矢量t的整數(shù)倍m，即t’=mt，t’=-2tCosα+t,得到Cosα=(1-m)/2解出Cosα=-1，-1/2，0，1/2，1α=π，2π/3，π/2，π/3，2π（或0）t注意：?jiǎn)蝹€(gè)原子團(tuán)本身不是晶體，不受平移對(duì)稱(chēng)性的約束，所以其對(duì)稱(chēng)性并不受上述對(duì)稱(chēng)軸次的限制。第五十三頁(yè)，共一百零五頁(yè)。各種操作的組合旋轉(zhuǎn)軸與反映中心的組合形成旋轉(zhuǎn)倒反軸。第五十四頁(yè)，共一百零五頁(yè)。旋轉(zhuǎn)與平移操作的組合平移操作與旋轉(zhuǎn)軸平行時(shí)形成螺旋旋轉(zhuǎn)；平移操作與旋轉(zhuǎn)軸垂直時(shí)使旋轉(zhuǎn)軸平移；任意平移都可以分解成與旋轉(zhuǎn)軸平行和垂直的兩個(gè)分量，所以它們組合時(shí)形成位置平移了的螺旋旋轉(zhuǎn)。

Aαα123BWl位于A(yíng)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)操作將線(xiàn)段1變換到新位置2，垂直平移Wl將2變到3，等效于位于B處的旋轉(zhuǎn)操作將線(xiàn)段1變換到3。B點(diǎn)位于A(yíng)A’的中垂面上，與AA’的距離為Wl/2（Ctgα/2）。A’第五十五頁(yè)，共一百零五頁(yè)。鏡面反映與平移的組合當(dāng)平移操作(Wg)與鏡面平行時(shí)形成反映滑移操作；當(dāng)平移操作(Wl)與鏡面垂直時(shí)使鏡面平移；任意平移(W)都可以分解成與旋轉(zhuǎn)軸平行(Wg)和垂直(Wl)的兩個(gè)分量，所以它們組合時(shí)形成位置平移了的反映滑移操作。WgmWlm1m2Wl/2Wlm1m2Wl/2WgW第五十六頁(yè)，共一百零五頁(yè)。反演與平移操作的組合仍為反演操作，只不過(guò)反演中心移動(dòng)了平移距離的一半。

123WW/2第五十七頁(yè)，共一百零五頁(yè)。旋轉(zhuǎn)反映與平移的組合仍為旋轉(zhuǎn)反映操作，只是對(duì)稱(chēng)元素移動(dòng)了位置，鏡面移動(dòng)了Wg/2.WgWl/2WWg/2Wl第五十八頁(yè)，共一百零五頁(yè)。

旋轉(zhuǎn)與鏡面反映的組合當(dāng)旋轉(zhuǎn)軸在鏡面內(nèi)時(shí)形成旋轉(zhuǎn)反映操作；當(dāng)旋轉(zhuǎn)軸與鏡面垂直時(shí)形成旋轉(zhuǎn)反映或反演操作；3.其它情況則會(huì)產(chǎn)生新的旋轉(zhuǎn)軸和鏡面。２次旋轉(zhuǎn)軸與鏡面反映組合生成２mm和2/m。４次旋轉(zhuǎn)軸與鏡面反映組合生成４mm和４/m。３次旋轉(zhuǎn)軸與鏡面反映組合生成３m和３/m。６次旋轉(zhuǎn)軸與鏡面反映組合生成６mm和６/m。第五十九頁(yè)，共一百零五頁(yè)。旋轉(zhuǎn)軸之間的組合旋轉(zhuǎn)軸的組合對(duì)它們之間的交角有要求，不能是任意的，必須滿(mǎn)足Euler定理。四次軸不能與六次軸組合；旋轉(zhuǎn)軸之間的組合會(huì)產(chǎn)生新的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)操作。二次旋轉(zhuǎn)軸與三次旋轉(zhuǎn)軸（相互垂直）組合產(chǎn)生另外兩個(gè)二次軸，三個(gè)二次軸互呈１２０度分布。第六十頁(yè)，共一百零五頁(yè)。旋轉(zhuǎn)軸１旋轉(zhuǎn)軸２新生旋轉(zhuǎn)軸１和２軸夾角１和３軸夾角２和３軸夾角２２２90o90o90o32290o90o60o42290o90o45o62290o90o30o23354o44’54o44’70o32’43235o16’45o54o44’旋轉(zhuǎn)軸的組合第六十一頁(yè)，共一百零五頁(yè)。

5種平面點(diǎn)陣點(diǎn)對(duì)稱(chēng)操作對(duì)平移對(duì)稱(chēng)的制約使得點(diǎn)陣類(lèi)型受到限制。１次旋轉(zhuǎn)軸對(duì)點(diǎn)陣無(wú)限制，與它相協(xié)調(diào)的平面點(diǎn)陣是斜交點(diǎn)陣。但是斜交點(diǎn)陣也具有２次旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)，故與２次旋轉(zhuǎn)軸相協(xié)調(diào)的平面點(diǎn)陣也是斜交點(diǎn)陣。baα第六十二頁(yè)，共一百零五頁(yè)。abα=90oabα=120o4次旋轉(zhuǎn)軸要求陣點(diǎn)呈正方形分布，所以與4次旋轉(zhuǎn)軸相協(xié)調(diào)的平面點(diǎn)陣是正方點(diǎn)陣。正方點(diǎn)陣還具有4mm對(duì)稱(chēng)性，與4mm點(diǎn)群相協(xié)調(diào)的點(diǎn)陣也是正方點(diǎn)陣。３次旋轉(zhuǎn)軸和６次旋轉(zhuǎn)軸都要求陣點(diǎn)呈等邊三角形分布，并且這樣的平面點(diǎn)陣還具有3m和6mm對(duì)稱(chēng)性，所以與它們相協(xié)調(diào)的平面點(diǎn)陣均是等邊三角形點(diǎn)陣。第六十三頁(yè)，共一百零五頁(yè)。abααab與平面點(diǎn)群m相協(xié)調(diào)的點(diǎn)陣有兩個(gè)，一個(gè)是簡(jiǎn)單矩形點(diǎn)陣，另一個(gè)是面心矩形點(diǎn)陣。這兩種點(diǎn)陣也具有2mm對(duì)稱(chēng)性。第六十四頁(yè)，共一百零五頁(yè)。m與１０個(gè)平面點(diǎn)群相協(xié)調(diào)的平面點(diǎn)陣共有５個(gè)如果平面點(diǎn)陣單胞中只含有一個(gè)陣點(diǎn)，則稱(chēng)為初基單胞，如果平面點(diǎn)陣單胞中包含的陣點(diǎn)超過(guò)一個(gè)，則稱(chēng)為非初基單胞。能充分反映點(diǎn)陣對(duì)稱(chēng)性的單胞稱(chēng)為慣用單胞，它可是初基的，也可是非初基的。第六十五頁(yè)，共一百零五頁(yè)。５個(gè)平面點(diǎn)陣和４個(gè)平面晶系平面晶系點(diǎn)陣類(lèi)型及符號(hào)點(diǎn)陣的點(diǎn)群相協(xié)調(diào)的點(diǎn)群慣用晶胞形狀斜交斜交點(diǎn)陣(mp)21,2平行四邊形，a≠b,α任意值正交簡(jiǎn)單矩形點(diǎn)陣(op)2mmm,2mm矩形，a≠b,α=90o有心矩形點(diǎn)陣(oc)2mm正方正方點(diǎn)陣(tp)4mm4mm正方形,a=b,α=90o六角六角點(diǎn)陣(hp)6mm6,6mm,3,3m菱形，a=b,α=120o第六十六頁(yè)，共一百零五頁(yè)。平面點(diǎn)操作與平面點(diǎn)陣的平移組合２次軸aba+b在平移矢量（a,b,a+b）的垂直平分線(xiàn)上產(chǎn)生三個(gè)新的２次軸。旋轉(zhuǎn)角度為π，在平移方向產(chǎn)生的新2次軸距平移矢量的距離為：ctg(α/2)a/2=0,ctg(α/2)b/2=0和ctg(α/2)(a+b)/2=0第六十七頁(yè)，共一百零五頁(yè)。４次軸

在平移矢量（a,b,a+b）的垂直平分線(xiàn)上產(chǎn)生兩個(gè)２次和一個(gè)４次軸。旋轉(zhuǎn)角度分別為π/2(4+)、π(2)、

-π/2(4-)

，在平移方向產(chǎn)生的新旋轉(zhuǎn)軸距平移矢量的距離為：ctg(π/2)a/2=0,ctg(π/2)b/2=0和ctg(π/2)(a+b)/2=0(2次軸);ctg(π/4)a/2=a/2,ctg(π/4)b/2=b/2和ctg(π/4)(a+b)/2=(a+b)/2(4次軸)。a+bab第六十八頁(yè)，共一百零五頁(yè)。3次軸baa+b

在平移矢量（a,b,a+b）的垂直平分線(xiàn)上產(chǎn)生兩個(gè)3次軸。旋轉(zhuǎn)角度分別為2π/3(3+)、-2π/3(3-)

，在平移方向產(chǎn)生的新旋轉(zhuǎn)軸距平移矢量的距離為：ctg(π/3)a/2=a/√3,ctg(π/3)b/2=b/√3

和ctg(π/2)(a+b)/2=(a+b)/√3

.1/3第六十九頁(yè)，共一百零五頁(yè)。6次軸

在平移矢量（a,b,a+b）的垂直平分線(xiàn)上產(chǎn)生兩個(gè)3次軸，三個(gè)2次軸。旋轉(zhuǎn)角度分別為π/3(6+)、2π/3(3+)、π(2)、-2π/3(3-)、

-π/3(6-)

，在平移方向產(chǎn)生的新旋轉(zhuǎn)軸距平移矢量的距離為：ctg(π/2)a/2=0,ctg(π/2)b/2=0和ctg(π/2)(a+b)/2=0

(2次軸）ctg(π/3)a/2=a/√3,ctg(π/3)b/2=b/√3和ctg(π/2)(a+b)/2=(a+b)/√3

（3次軸）。注意！?。‘?dāng)繞某軸的所有n個(gè)操作都存在時(shí)才能說(shuō)該軸是n次軸。所以?xún)H6+和6-存在不能說(shuō)存在6次旋轉(zhuǎn)軸。第七十頁(yè)，共一百零五頁(yè)。2mm與矩形點(diǎn)陣的組合

在平移矢量（a,b,a+b）的垂直平分線(xiàn)上產(chǎn)生三個(gè)2次軸，兩個(gè)鏡面。aba+b與鏡面垂直的平移操作使鏡面沿平移a/2、b/2。與鏡面平行的平移操作不產(chǎn)生新的鏡面。第七十一頁(yè)，共一百零五頁(yè)。2mm與有心矩形點(diǎn)陣的組合aba+b平移矢量

a、b和(a+b)的作用與前面相同，產(chǎn)生位于平移矢量中點(diǎn)矩形中心的2次軸和鏡面。由于(a+b)/2是平移矢量,除產(chǎn)生位于(a+b)/4的2次軸，分量a/2和b/2還產(chǎn)生位于a/4和b/4的滑移面。ab(a+b)/2第七十二頁(yè)，共一百零五頁(yè)。4mm和3m與相應(yīng)點(diǎn)陣的組合4mm與相應(yīng)點(diǎn)陣的組合類(lèi)似于2mm情況。3m中鏡面有兩種分布方式，相差30度，記為3m1和31m。31m3m14mm第七十三頁(yè)，共一百零五頁(yè)。6mm與相應(yīng)點(diǎn)陣的組合第七十四頁(yè)，共一百零五頁(yè)。二維點(diǎn)陣、點(diǎn)群和空間群晶系點(diǎn)陣點(diǎn)群空間群符號(hào)空間群序號(hào)完全符號(hào)簡(jiǎn)略符號(hào)斜交晶系斜交(mp)1p1p112p2p22矩形晶系簡(jiǎn)單矩形(op)或有心矩形(oc)mp1m1p1g1c1m1pmpgcm3452mmP2mmP2mgP2ggc2mmP2mmP2mgP2ggc2mm6789正方晶系正方點(diǎn)陣(tp)4p4p4104mmp4mmp4gmp4mmp4gm1112六角晶系六角點(diǎn)陣(hp)3p3p3133mP3m1p31mP3m1p31m14156p6p6166mmp6mmp6mm17第七十五頁(yè)，共一百零五頁(yè)。a(x)b(y)p1p2pmpgcmp2mmp2mgp2ggc2mmp4p4mmp4gm第七十六頁(yè)，共一百零五頁(yè)。p3p3m1p31mp6p6mm第七十七頁(yè)，共一百零五頁(yè)。三維晶體的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)陣和點(diǎn)群1.32種點(diǎn)群晶體中的點(diǎn)對(duì)稱(chēng)操作的集合如果滿(mǎn)足如下4個(gè)基本性質(zhì)：封閉性（任意兩個(gè)操作a和b的結(jié)合ab也是集合中的操作）；結(jié)合律；單位操作；逆操作，則叫做晶體學(xué)點(diǎn)群，共有32個(gè)。點(diǎn)群的意義：推導(dǎo)空間群的基礎(chǔ)；晶體的絕大多數(shù)物理性能的對(duì)稱(chēng)性?xún)H決定于點(diǎn)群。第七十八頁(yè)，共一百零五頁(yè)。按照晶體中對(duì)稱(chēng)操作的性質(zhì)，點(diǎn)群分為純旋轉(zhuǎn)和非純旋轉(zhuǎn)點(diǎn)群純旋轉(zhuǎn)點(diǎn)群由各種旋轉(zhuǎn)軸及其可能的組合形成，共11個(gè)。它們是1,2,3,4,6,222,32,422,622,23,432其中一個(gè)n次旋轉(zhuǎn)軸與垂直與它的2次軸構(gòu)成的點(diǎn)群稱(chēng)為雙面點(diǎn)群，如222,32,422和622.第七十九頁(yè)，共一百零五頁(yè)。非純旋轉(zhuǎn)點(diǎn)群在11個(gè)純旋轉(zhuǎn)點(diǎn)群加上倒反中心（或鏡面）得到另外11個(gè)中心對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)群，它們是：1,2/m,3,4/m,6/m,mmm(2/m2/m2/m),3m,(32/m),4/mmm(4/m2/m2/m),6/mmm(6/m2/m2/m),m3(2/m3),m3m(4/m32/m)。再在11個(gè)純旋轉(zhuǎn)點(diǎn)群加上鏡面得到另外10個(gè)非中心對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)群，它們是：m,4,6,mm2,3m,4mm,42m,6mm,6m2,43m。注意：兩次非純旋轉(zhuǎn)操作構(gòu)成一次純旋轉(zhuǎn)操作。第八十頁(yè)，共一百零五頁(yè)。442m3m6第八十一頁(yè)，共一百零五頁(yè)。62m43m43223第八十二頁(yè)，共一百零五頁(yè)。三維晶體學(xué)點(diǎn)群的母子群關(guān)系622321312222222222第八十三頁(yè)，共一百零五頁(yè)。

7種晶系與14種Bravais點(diǎn)陣點(diǎn)陣點(diǎn)群：與二維點(diǎn)陣總是具有2次軸類(lèi)似，三維點(diǎn)陣總是具有中心對(duì)稱(chēng)的（平移對(duì)稱(chēng)操作t和-t引起的），因此三位點(diǎn)陣的點(diǎn)對(duì)稱(chēng)性并沒(méi)有32種，最多只有11種，即11個(gè)中心對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)群（Laue類(lèi))。而且，具有n(n=3,4,6)次軸的晶體，其空間點(diǎn)陣自動(dòng)具有過(guò)n次軸的n張對(duì)稱(chēng)配置的鏡面，即點(diǎn)對(duì)稱(chēng)性為3,4/m和6/m的點(diǎn)陣自動(dòng)具有3m,4/mmm和6/mmm對(duì)稱(chēng)性。此外，點(diǎn)群m3中的3次軸沿<111>方向，與這些3次軸平行的鏡面沿<110>方向，因此點(diǎn)群m3也具有的m3m對(duì)稱(chēng)性。所以，三維點(diǎn)陣的點(diǎn)群只有7種。第八十四頁(yè)，共一百零五頁(yè)。點(diǎn)陣的點(diǎn)群又稱(chēng)為全對(duì)稱(chēng)點(diǎn)群。每個(gè)三維全對(duì)稱(chēng)點(diǎn)群對(duì)應(yīng)于一個(gè)晶系。3m點(diǎn)群可以用菱面體晶系描述，也可以用高對(duì)稱(chēng)性的六角晶系描述，并且選用六角坐標(biāo)系對(duì)它進(jìn)行描述更簡(jiǎn)單。所以3m和6/mmm這兩個(gè)全對(duì)稱(chēng)點(diǎn)群對(duì)應(yīng)于六角晶族。晶體可用7個(gè)晶系描述，也可用6個(gè)晶族描述，或者用32個(gè)晶類(lèi)描述。第八十五頁(yè)，共一百零五頁(yè)。把二維點(diǎn)陣用一個(gè)不在此點(diǎn)陣平面內(nèi)的平移矢量(t3)周期地重復(fù)，使得到的三維點(diǎn)陣具有點(diǎn)群的對(duì)稱(chēng)性。對(duì)稱(chēng)性1對(duì)與之垂直的平面點(diǎn)陣和t3沒(méi)有限制，所以與之相應(yīng)的點(diǎn)陣的初級(jí)單胞是任意的平行六面體得到三斜點(diǎn)陣。對(duì)稱(chēng)性2對(duì)與之垂直的平面點(diǎn)陣沒(méi)有限制，為平行四邊形，對(duì)t3的要求是各層平面點(diǎn)陣的2次軸位置必須重合。t3只有4種可能性：0,0,z;?,?,z;?,0,z;0,?,z。t3=(0,0,z)時(shí)，得簡(jiǎn)單單斜點(diǎn)陣。?,0,0ab0,0,00,?,0?,?,0ab0,0,z0,?,z?,?,z?,0,zab0,0,00,?,0?,?,0?,0,0?,0,0ab0,0,00,?,0?,?,0t3=(x,y,z)t3=(0,0,z)第八十六頁(yè)，共一百零五頁(yè)。ab0,0,z0,?,z?,?,z?,0,zab0,0,00,?,0?,?,0?,0,0ab0,0,2z0,?,2z?,?,2z?,0,2zab0,0,00,?,0?,?,0?,0,0ab0,0,z0,?,z?,?,z?,0,zab0,0,2z0,?,2z?,?,2z?,0,2z當(dāng)t3=(0,1/2,z)時(shí)得側(cè)心單斜點(diǎn)陣。當(dāng)t3=(0,1/2,z)時(shí)得體心單斜點(diǎn)陣，重新選取基矢a’=a,b’=a+b,體心單斜點(diǎn)陣變成側(cè)心單斜點(diǎn)陣。因此，具有一個(gè)2次軸對(duì)稱(chēng)性的空間點(diǎn)陣只有兩種。a+bt3=(0,1/2,z)t3=(1/2,1/2,z)第八十七頁(yè)，共一百零五頁(yè)。對(duì)稱(chēng)性222兩種平面點(diǎn)陣（矩形和有心矩形）與之對(duì)應(yīng)。對(duì)于矩形點(diǎn)陣，t3的可能性與2次軸的情況相同，得到簡(jiǎn)單、側(cè)心和體心正交點(diǎn)陣。對(duì)有心矩形點(diǎn)陣，t3的可能性相同，得到新的面心正交點(diǎn)陣。aba+b0,0,01/2,0,00,1/2,01/2,1/2,0a0,0,2z0,1/2,2z1/2,1/2,2zab0,0,z0,1/2,z1/2,1/2,zb1/2,0,0ab0,0,00,1/2,01/2,1/2,0ab0,0,z0,1/2,z1/2,1/2,z1/2,0,zab0,0,2z0,1/2,2z1/2,1/2,2z1/2,0,2z矩形平面點(diǎn)陣,t3=(1/2,1/2,z)有心矩形平面點(diǎn)陣,t3=(0,1/2,z)第八十八頁(yè)，共一百零五頁(yè)。對(duì)稱(chēng)性4平面點(diǎn)陣是正方點(diǎn)陣。t3的可能值為(0,0,z)和(1/2,1/2,z)，分別得到簡(jiǎn)單和體心四方點(diǎn)陣。0,0,01/2,1/2,00,0,z1/2,1/2,z0,0,01/2,1/2,01/2,1/2,z0,0,z1/2,1/2,2z0,0,2zt3=(0,0,z)t3=(1/2,1/2,z)第八十九頁(yè)，共一百零五頁(yè)。對(duì)稱(chēng)性3平面點(diǎn)陣為120o菱形的六角點(diǎn)陣，t3的可能值為(0,0,z),(2/3,1/3,z)和(1/3,2/3,z)。當(dāng)t3=(0,0,z)時(shí)得到簡(jiǎn)單六角點(diǎn)陣。t3=(2/3,1/3,z)和(1/3,2/3,z)時(shí)得到兩個(gè)相差180o的菱面體點(diǎn)陣。

對(duì)稱(chēng)性6平面點(diǎn)陣為120o菱形的六角點(diǎn)陣，t3的可能值為(0,0,z),只得到簡(jiǎn)單六角點(diǎn)陣。第九十頁(yè)，共一百零五頁(yè)。t3=(1/3,2/3,z)aa+bb0,0,02/3,1/3,01/3,2/3,0aa+bb0,0,z2/3,1/3,z1/3,2/3,zaa+bb0,0,2z2/3,1/3,2z1/3,2/3,2zaa+bb第九十一頁(yè)，共一百零五頁(yè)。對(duì)稱(chēng)性23平面點(diǎn)陣是正方點(diǎn)陣。t3的可能值為(0,0,1)，(1/2,1/2,1/2)和(1/2,1/2,√2/2)，分別得到簡(jiǎn)單、體心和面心立方點(diǎn)陣。abmvmdabmvmdabmvmdt3=(1/2,1/1,1/2)第九十二頁(yè)，共一百零五頁(yè)。三維晶族、晶系、Bravais點(diǎn)陣與坐標(biāo)系晶族晶系晶類(lèi)點(diǎn)群個(gè)數(shù)慣用坐標(biāo)系點(diǎn)陣類(lèi)型名稱(chēng)符號(hào)對(duì)參數(shù)限制待測(cè)參數(shù)三斜a三斜1,12無(wú)a,b,c,α,β,γ三斜單斜m單斜2,m,2/m3α=γ=90oa,b,c,β簡(jiǎn)單,側(cè)心正交o正交222,mm2,mmm3α=β=γ=90oa,b,c簡(jiǎn)單,側(cè)心體心,面心四方t四方4,4,4/m,422,4mm,42m,4/mmm7a=bα=β=γ=90oa,c體心,面心六角h三角3,3,32,3m,3m5a=b=c,α=β=γa,α菱面體六角6,6,6/m,622,6mm,62m6/mmm7a=b,γ=120oα=β=90oa,c簡(jiǎn)單立方c立方23,m3,432,43m,m3m5a=b=c,α=β=γ=90oa簡(jiǎn)單,體心,面心第九十三頁(yè)，共一百零五頁(yè)。

每一個(gè)Bravais點(diǎn)陣就是點(diǎn)陣平移群，所以點(diǎn)陣平移群有14種，晶體學(xué)點(diǎn)群有32種，晶系有7種，晶族有6種。第九十四頁(yè)，共一百零五頁(yè)。abcαΥββabcβabc第九十五頁(yè)，共一百零五頁(yè)。abcabcabcabc第九十六頁(yè)，共一百零五頁(yè)。acaac