大一下微積分課件-4復合求導

8.4多元復合函數(shù)的求導法鏈式求導法則一階全微分形式不變性小結(jié)1一、鏈式求導法回憶一元復合函數(shù)求導法 y

(u),u

g( 復合函ydy

dydu 定理

設(shè)z=f(u,v)與u=u(x,y),v=v(x,y)鏈導法構(gòu)成xy的復合函數(shù)z=f[u(x,yv(xy若zf(uv)且u(x,y),v(x,y)對x及對y的偏導數(shù)存在則復合函數(shù)z=f[u(x,y),v(x,y)]對x及對y的偏導數(shù)鏈導法且有公z

fuu

f

v

z

fuu

f

v將y固定,給x增量Δx,相應地,u和v有增uv

u(xv(x

x,

y)y)

u(v(x,

y),3從而函zf(uv)也有相應的z

f(u

u,v

v)

f(u,v).由于函zf(u,v)在(uv)可微,可微定

z

fu(u)(u)2(v)2

f

o(

(

其中

上式兩邊同除以Δx,zo(o(o(

fuu

f o(o(

o()uu2xxv24u

u(x

y)u(

vv(x

y)v(x,y)由于已知u(xyv(xy)對xy的偏導數(shù)存在,因當

0時,有u

v

0從而

0

z

u

vx0

ux0

x0

fuu

f

v同理可

z

fuu

f

v5z

[u(

y),v(

y)]變量變量樹z

f

vu

yf z

f

f 6例設(shè)z

sinv,u

xy,vx

求

和z 解x

eu

sinvyeu

cosv exy[ysin(x

y)

cos(x

z

eu

sinv

xeucosvexy[xsin(x

y)

cos(x

設(shè)z

三個中間變f(u,v,

兩個自變u(

y),

(

y),

(x,y)則z

f[(

y),(

的兩個偏導數(shù)可用下列公式計

uy uy

z

,u

x2

y2,v

x2

y2u2v2u2v2w

求 x

3

2

(u2v2

w2)

2u2312

v2

w2)

3

21(u22

v2

w2)2

2(x2(x2y2w2

(uxvx

wy)設(shè)w

f(x

y

xyz)f

2w 解

uxy

vxwf(u,v)

w

wuwv

fu說f說

(u,

w

(x

y

解

x

yz,

第2變元

則w

f(變元,第2變元

f(u,v)記f1

xx

f

2

xwx

f(x

yz)

f(12yz 12yzf1

記f1

f1

f

2

說對變量關(guān)系清楚后，可不再畫關(guān)說2w

(

f1

y(1f2

ffff(xyz,f1

yz

一樣的變元

f(x

y

f(

一樣的求導

(f

(x

yz)(f)(wfwfyzf12

2w f

f

yz f2f2(xf2f2(xyz,ff(xyz,

(f

(x

y

(

(

2w于

f11

y(x

xy2zf

考研數(shù)學一,填空,4設(shè)f(u,v)為二元可微函數(shù)z

f(xy

yx則z

yx

考研數(shù)學二,三,四,填空,4設(shè)f(u,v)為二元可微函數(shù)z

f(y

x則xz

yz

2(x

f1

xx考研數(shù)學一,填空4設(shè)函數(shù)f(u,v)具有二階連續(xù)偏導數(shù)z

xxy),

2z

xf

f

解2z

zzfyf12

f12

1

y

[f2

例設(shè)u

f(x,

的所有二階偏導把下列表達式轉(zhuǎn)換為極坐標系u

u

2u

2u

x

y

(2)

x2

y2 xrcosy

ru

f(

y)換成極坐

r及

u

(

y)

(r

,rsin

F(r,反之u

f(

y)

uF(r,)x2y2rx2y2

xu

(x,

uF(r,x2y2(1)x2y2(1)x yu2 u2

arctanx

u

urur

u r

u

ruuru r

yux r

ru

u

ru

u

ru2

u2

u2

u2得 x

r

r

(2)

2ux2

2uy2 下面再給出幾種常見情形的公式中間變量為一元函數(shù)的情z

(u,v),

(t),

(t)z

v2,u

2x,

z

4x2

2xsinx2

x2dz如果

(t)及

(t)在點t可導z

(uv)(u

則復合函數(shù)zf[(t),(t)]t可導,且有求導公dzdzuzduzv zvtv 例設(shè)w

uvv2,u

2xvsinx2求dw解dw

dwuwv

(2u

v)2(u

2v)(2x

x2(22x

x2)2(2x

x2)(2x

x28x

2sinx2

4x2

x2

2xsin2x2推廣中間變量多于兩個如z

f(u,v,z

uu(t),

v(t),wt

w(t((又稱鏈導公 zduzdvz 或設(shè)

sint，而u

et，v

cost求導數(shù)dz解

dz

vetu(sint)cost1et

cos

et

cosz

f(u,

y

(x,y) z

f[(

y),x, 的兩個偏導數(shù)可用下列公式計算 z

等式左邊

是復合后的函

zf[(

y),x,對x的偏導數(shù)，y看作常等式右邊

是復合前的

z

(u,x,y)對x的偏導數(shù)，u及y看作常例z

euln(x

y),而u

x2y,

z,

euln(x

2

eu x2xyex2yln(xy)

ex2y x

euln(x

y)x2

eu xx2ex2yln(x

y)

ex2y x 設(shè)z

f(u,

其中u

xey,

f對12變量具有連續(xù)的二階偏導數(shù)，求

2zxy解z

f(xey

f

(

f

(

1fey1

2z

[e

ff

]e

f

ey

f

(

f2f2f2f2(u,x,y)ff(u,x,y),uxe2yy1ey1

f

ey

f

(

1ye1y

ey[

(xey

[

(xey

yey

ey(xe

(xe

設(shè)u

f

xy,

xyz),求

,

u

2uxz x

u

u

fz

2u

f1

f2yz

xy

xy

)

練習已知f(t)可微,證明z

滿足方1zx

1z zy y2

f(x2

y2解引入中間變

令t

x2

y2

z

f(tty為中間變量xy為自變量z0f(t)yf(t)2x

2xyf(t

2(t

f2(t

f(t)

y(2y)

(t)

2y2f(ty

f2(t

f(t f2(t 考研數(shù)學三,8f(,v具有二階連續(xù)偏導數(shù),且滿2f2f

v2x2y22x2y2

1,又g

y)

f[ ( 2

求x2y2解

yfx,

g

u 2

2 2

2

2故x2

y(

y

v

x(v2

x

y), 22

2

22

2xyuv

v2

v2g

22

2

22 y2

2xyuv

v2

v一元函數(shù)y

f

無論u是自變量還是中間變量，都dyf兩者形式一樣，這稱為一階微分的形式不變

z

(u,v)）設(shè)z

f(u,

則有全微dz

zdu

z

f(u,

而u

(

y),

(x,y)

則有全微dz

zdx

zzuu

z

v）dx

(zu

z

vdzzduzdzzduz

f(u,

而u

(

y),

(x,y)dz

zdx

z

zu

z

v

(zu

z

vzudx

udy

z

u

vxdx

dy z

dv.

稱為一階全微分形式不變說說d(u

v)

du

d(Cu)

d(uv)

vdu

d )uvu

vduv

例設(shè)

sint，而u

et

cost求全導數(shù)dz

利用一階全微分的形式不變性

sint

vdu

costde

et

cos

coscos

et

et

(sin

cos(et

cos

et

sin

cos

e

(cos

sint)

cost.考研數(shù)學考研數(shù)學(三四填空4設(shè)函f(u)可微且

(0)

1,則z2

f(4x2

y2在點(1,2)處的全

dz(1,2)

全微分形式dz

f(4x2

y2)d(4x2

y2f(4x2

y2)[d(4x2)

dy2f(4x2

y2)(8

2dz(1,2)

f

4dx

例設(shè)

eusinv，而u

xy，vxy， 求x和y

利用一階全微分的形式不變性

sin

sin

eud

sinsin

eudueu

cosexy[sin(x

cos(x

y)d(x

exy[sin(x

ydx

xdy)

cos(x

exy[ysin(x

y)

cos(x

y)]dxexy[xsin(x

y)

cos(x

dz

exy[ysin(xe