函數(shù)的周期性與函數(shù)的圖象總結(jié)

Word———函數(shù)的周期性與函數(shù)的圖象總結(jié)函數(shù)的周期性

㈠主要學(xué)問(wèn)：

1.周期函數(shù)的定義：對(duì)于f(x)定義域內(nèi)的每一個(gè)x，都存在非零常數(shù)T，使得f(x?T)?f(x)恒成立，則稱(chēng)函數(shù)f(x)具有周期性，T叫做f(x)的一個(gè)周期，則kT（k?Z,k?0）也是f(x)的周期，全部周期中的最小正數(shù)叫f(x)的最小正周期.2.幾種特別的抽象函數(shù)：具有周期性的抽象函數(shù)：

函數(shù)y?f?x?滿(mǎn)意對(duì)定義域內(nèi)任一實(shí)數(shù)x（其中a為常數(shù)）,

①f?x??f?x?a?，則y?f?x?是以T?a為周期的周期函數(shù)；

②f?x?a???f?x?，則f?x?是以T?2a為周期的周期函數(shù)；

③f?x?a???1，則f?x?是以T?2a為周期的周期函數(shù)；fx④f?x?a??f?x?a?，則f?x?是以T?2a為周期的周期函數(shù)；

⑤f(a?x)?f(a?x)，則f(x)是以T?a為周期的周其函數(shù)；⑥f(x?a)?1?f(x)，則f?x?是以T?2a為周期的周期函數(shù)；1?f(x)

1?f(x)，則f?x?是以T?4a為周期的周期函數(shù).1?f(x)⑦f(x?a)?

⑧函數(shù)y?f(x)滿(mǎn)意f(a?x)?f(a?x)（a?0）

若f(x)為奇函數(shù)，則其周期為T(mén)?4a，

若f(x)為偶函數(shù)，則其周期為T(mén)?2a.

⑨函數(shù)y?f(x)?x?R?的圖象關(guān)于直線(xiàn)x?a和x?b?a?b?都對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)f(x)是以2?b?a?為周期的周期函數(shù)；

⑩函數(shù)y?f(x)?x?R?的圖象關(guān)于兩點(diǎn)A?a,y0?、B?b,y0??a?b?都對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)f(x)是以2?b?a?為周期的周期函數(shù)；

⑾函數(shù)y?f(x)?x?R?的圖象關(guān)于A?a,y0?和直線(xiàn)x?b?a?b?都對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)f(x)是以4?b?a?為周期的周期函數(shù)；

圖象的對(duì)稱(chēng)性

一個(gè)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性：

1、函數(shù)y?f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱(chēng)

?f(x)?2b?f(2a?x)?f(a?x)?f(a?x)?2b

特別的有：

①函數(shù)y?f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱(chēng)?f(x)??f(2a?x)。

②函數(shù)y?f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)（奇函數(shù)）?f(?x)??f(x)。

③函數(shù)y?f(x?a)是奇函數(shù)?f(x)關(guān)于點(diǎn)?a,0?對(duì)稱(chēng)。

④f(a?x)?f(b?x)?c，函數(shù)y?f(x)關(guān)于點(diǎn)(

2、兩個(gè)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性：

①y?f(x)與y??f(x)關(guān)于X軸對(duì)稱(chēng)。a?bc,)對(duì)稱(chēng)22

②y?f(x)與y?f(?x)關(guān)于Y軸對(duì)稱(chēng)。

③y?f(x)與y?f(2a?x)關(guān)于直線(xiàn)x?a對(duì)稱(chēng)。

函數(shù)y?f(mx?a)與函數(shù)y?f(b?mx)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x?

函數(shù)y?f(a?x)與函數(shù)y?(x?b)關(guān)于直線(xiàn)x?a?b對(duì)稱(chēng).2ma?b對(duì)稱(chēng)。2

特別地:y?f(x?a)與函數(shù)y?f(a?x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x?a對(duì)稱(chēng)

⑤y?f(x)與y?2a?f(x)關(guān)于直線(xiàn)y?a對(duì)稱(chēng)。

⑥y?f(x)與y?2b?f(2a?x)關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱(chēng)。

⑦y?f(x)與y?f?1(x)關(guān)于直線(xiàn)y?x對(duì)稱(chēng)

例1定義在R上的特別數(shù)函數(shù)滿(mǎn)意：f(10?x)為偶函數(shù)，且f(5?x)?f(5?x)，則f(x)肯定是（）

A.是偶函數(shù)，也是周期函數(shù)

B.是偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)

C.是奇函數(shù)，也是周期函數(shù)

D.是奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)

解：由于f(10?x)為偶函數(shù)，所以f(10?x)?f(10?x)。

所以f(x)有兩條對(duì)稱(chēng)軸x?5與x?10，因此f(x)是以10為其一個(gè)周期的周期函數(shù)，所以x＝0即y軸也是f(x)的對(duì)稱(chēng)軸，因此f(x)還是一個(gè)偶函數(shù)。故選（A）。

例2設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(1?x)?f(1?x)，當(dāng)?1?x?0時(shí)，

1f(x)??x，則f(8.6)?___________2

解：由于f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，所以x?0是y?f(x)的對(duì)稱(chēng)軸；

又由于f(1?x)?f(1?x)所以x?1也是y?f(x)的對(duì)稱(chēng)軸。故y?f(x)是以2為周期的周期函數(shù)，所以f(8.6)?f(8?0.6)?f(0.6)?f(?0.6)?0.3

例3函數(shù)y?sin(2x?5?)的圖像的一條對(duì)稱(chēng)軸的方程是（）2

A.x??

C.x??2B.x??D.x??4?

85?4

解：函數(shù)y?sin(2x?5?5??)的圖像的全部對(duì)稱(chēng)軸的方程是2x??k??，所以222

x?k??。??，明顯取k?1時(shí)的對(duì)稱(chēng)軸方程是x??，故選（A）22

例4設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且y?f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x?1，則：2

f(1)?f(2)?f(3)?f(4)?f(5)?_____________

解：函數(shù)y?f(x)的圖像既關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，又關(guān)于直線(xiàn)x?1對(duì)稱(chēng)，所以周期是2，又2

f(0)?0，圖像關(guān)于x?1對(duì)稱(chēng)，所以f(1)?0，所以2

f(1)?f(2)?f(3)?f(4)?f(5)?0

1，若f?1???5,則fx例5、函數(shù)f?x?對(duì)于任意實(shí)數(shù)x滿(mǎn)意條件f?x?2??

f?f?5???__________。

例6（08湖北卷6）已知f(x)在R上是奇函數(shù)，且f(x?4)?f(x),當(dāng)x?(0,2)時(shí)，f(x)?2x2,則f(7)?A

A.-2B.2C.-98D.98

例7（08四川卷）函數(shù)f?x?滿(mǎn)意f?x??f?x?2??13，若f?1??2，則f?99??(C)（Ａ）13（Ｂ）2（Ｃ）132（Ｄ）213

例8（20xx安徽理數(shù)）若f(x)是R上周期為5的奇函數(shù)，且滿(mǎn)意f(1)=1，f(2)=2則f(3)?f(4)的值為（）A、?1B、1C、?2D、2

例9（09江西卷）已知函數(shù)f(x)是(??,??)上的偶函數(shù)，若對(duì)于x?0，都有

），則f(?20xx)?f(20xx)的值f(x?2）?f(x)，且當(dāng)x?[0,2)時(shí)，f(x)?log2(x?1

為(C)

A．?2B．?1C．1D．2

例1020xx廣東三校一模）定義在R上的函數(shù)f?x?是奇函數(shù)又是以2為周期的周期函數(shù),則f?1??f?4??f?7?等于(B)

A.-1B.0C.1D.4

例11（20xx全國(guó)卷Ⅰ理）函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，若f(x?1)與f(x?1)都是奇函數(shù)，f(1)?2則f(20xx)?(D)

A、20xxB、-20xxC、-2D.、2

例12f(x)的定義域是R，且f(x?2)[1?f(x)]?1?f(x),若f(0)?20xx

求f(20xx)的值。f(x?4)?1?1f(x?2)?1f(x?4)?1?1解：f(x)????f(x?8)f(x?2)?1?1f(x?4)

f(x?4)?1

周期為8，?f(20xx)?f(0)?20xx

例13已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，則下列命題中：

①若f（x－2）是偶函數(shù)，則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線(xiàn)x＝2對(duì)稱(chēng)；

②若f（x+2）＝－f（x－2），則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；

③函數(shù)y＝f（2+x）與函數(shù)y＝f（2－x）的圖象關(guān)于直線(xiàn)x＝2對(duì)稱(chēng)；

④函數(shù)y＝f（x－2）與函數(shù)y＝f（2－x）的圖象關(guān)于直線(xiàn)x＝2對(duì)稱(chēng).

其中正確的命題序號(hào)是④.

【解析】①是錯(cuò)誤的，由于f（x－2）是偶函數(shù)得f（－x－2）＝f（x－2），所以f（x）的圖象關(guān)于直線(xiàn)x＝－2對(duì)稱(chēng)；

②是錯(cuò)誤的，由f（x+2）＝－f（x－2）得f（x+4）＝－f（x），進(jìn)而得f（x+8）＝f（x），所以f（x）是周期為8的周期函數(shù)；

③是錯(cuò)誤的，在第一個(gè)函數(shù)中，用－x代x，y不變，即可得其次個(gè)函數(shù)，所以這兩個(gè)函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；

④是正確的，令x－2＝t，則2－x＝－t，函數(shù)y＝f（t）與y＝f（－t）的圖象關(guān)于直線(xiàn)t＝0對(duì)稱(chēng)，即函數(shù)y＝f（x－2）與y＝f（2－x）的圖象關(guān)于直線(xiàn)x＝2對(duì)稱(chēng).

例14（x）是定義在R上的以3為周期的奇函數(shù)，且f（2）＝0，則方程f（x）＝0在區(qū)間（0，6）內(nèi)解的個(gè)數(shù)的最小值是(D)

A．2B．3C．4D．5

【解析】∵f（x）為奇函數(shù)，∴f（0）＝0，又函數(shù)f（x）以3為周期，且f（2）＝0，∴f（－2）＝0，f（1）＝0，f（4）＝0，f（3）＝0，f（5）＝0，∴在區(qū)間（0，6）內(nèi)的解有1，2，3，4，5.故選D.

練習(xí)12、對(duì)函數(shù)f（x），當(dāng)x∈（－∞，∞）時(shí)，f（2－x）＝f（2+x），f（7－x）＝f（7+x），在閉區(qū)間［0,7］上，只有f（1）＝f（3）＝0.

（1）試推斷函數(shù)y＝f（x）的奇偶性；

（2）試求方程f（x）＝0在閉區(qū)間［－20xx，20xx］上的根的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論.

【分析】由已知f（2+x）＝f（2－x），f（7－x）＝f（7+x）知f（x）的圖象有兩條對(duì)稱(chēng)軸x＝2和x＝7，從而知f（x）是周期為10的周期函數(shù)，又在區(qū)間［0，7］上，只有f（1）＝f（3）＝0，畫(huà)圖易知，它是非奇非偶函數(shù)，且在一個(gè)周期［0，10］上只有2個(gè)根，故易求得方程f（x）＝0在的根的個(gè)數(shù).

【解】（1）由已知得f（0）≠0，∴f（x）不是奇函數(shù)，又由f（2－x）＝f（2+x），得函數(shù)y＝f（x）的對(duì)稱(chēng)軸為x＝2，∴f（－1）＝f（5）≠0，∴f（－1）≠f（1），∴f（x）不是偶函數(shù).

故函數(shù)y＝f（x）是非奇非偶函數(shù)；

（2）由f（4－x）＝f（14－x）f（x）＝f（x+10），

從而知y＝f（x）的周期是10.

又f（3）＝f（1）＝0，f（11）＝f（13）＝f（－7）＝f（－9）＝0，

故f（x）在［0，10］和［－10，0］上均有兩個(gè)解，從而可知函數(shù)y＝f（x）在［0，20xx］上有402個(gè)解，在上［－20xx，0］有400個(gè)解，所以函數(shù)y＝f（x）在［－20xx，20xx］上有802個(gè)解.

函數(shù)的圖象

1．描繪函數(shù)圖象的基本方法有兩種：描點(diǎn)法與圖象變換法。

2．描點(diǎn)法：通過(guò)、三步，畫(huà)出函數(shù)的圖象，有時(shí)可利用函數(shù)的性質(zhì)（如奇偶性、單調(diào)性、周期性、對(duì)稱(chēng)性）以利于更簡(jiǎn)便的畫(huà)出函數(shù)的圖象。

3．函數(shù)圖象變換：

.圖象變換法

(1)平移變換

①水平平移：y=f(x±a)(a＞0)的圖象，可由y=f(x)的圖象向左(+)或向右(-)平移a個(gè)單位而得到.

②豎直平移：y=f(x)±b(b＞0)的圖象，可由y=f(x)的圖象向上(+)或向下(-)平移a個(gè)單位而得到.

(2)對(duì)稱(chēng)變換

①y=f(-x)與y=f(x)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng).

②y=-f(x)與y=f(x)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng).

③y=-f(-x)與y=f(x)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).

④y=f-1(x)與y=f(x)關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng).

⑤y=|f(x)|的圖象可將y=f(x)的圖象在x軸下方的部分以x軸為對(duì)稱(chēng)軸作y=f(x)的圖象的對(duì)稱(chēng)部分，其余部分不變.

⑥y=f(|x|)的圖象可將y=f(x),x≥0的部分作出，再利用偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)性，作出x＜0的圖象.

(3)伸縮變換

①y=Af(x)(A＞0)的圖象，可將y=f(x)圖象上全部點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的A倍，橫坐標(biāo)不變而得到.

②y=f(ax)(a＞0)的圖象，可將y=f(x)圖象上全部點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小原來(lái)的

得到.

1.作出下列函數(shù)的圖象：1倍，縱坐標(biāo)不變而a

2⑴y?2x?1；⑵y??2x?1；⑶y?x?2x?3；⑷y?x?2x?3；2

2⑸y?x?2x?3；⑹y?1x?2xx?1；⑺y?；⑻y?2；⑼y?2；x?1x?3

x⑽y?2?1；⑾y?log2x；⑿y?log2x；⒀y?log2x?1；⒁y?log2x?；⒂y?x??x?2

其次篇：函數(shù)周期性總結(jié)1600字

函數(shù)的周期性

1．周期函數(shù)的定義

對(duì)于函數(shù)f(x)，假如存在一個(gè)非．零．常．?dāng)?shù)．T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每．一．個(gè)．值．時(shí)，都有f(x?T)?f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期。說(shuō)明：（1）T必需是常數(shù)，且不為零；

（2）對(duì)周期函數(shù)來(lái)說(shuō)f(x?T)?f(x)必需對(duì)定義域內(nèi)的任意x都成立。

問(wèn)題1①若常數(shù)T（≠0）為f(x)周期，問(wèn)nT(n∈N)為f(x)周期嗎？為什么？②周期函數(shù)的周期有多少個(gè)？（是有限個(gè)還是無(wú)限個(gè)）？

2常見(jiàn)函數(shù)的最小正周期

正弦函數(shù)y=sin（ωx+φ）（w0）最小正周期為T(mén)=

y=cos（ωx+φ）（w0）最小正周期為T(mén)=2π2π?

y=tan（ωx+φ）（w0）最小正周期為T(mén)=?π

π?y=|sin（ωx+φ）|（w0）最小正周期為T(mén)=?

f(x)=C(C為常數(shù))是周期函數(shù)嗎？有最小正周期嗎？

y=Asinw1x+Bcosw2x的最小正周期問(wèn)題

結(jié)論：有的周期函數(shù)沒(méi)有有最小正周期

3抽象函數(shù)的周期總結(jié)

1、f(x?T)?f(x)?y?f(x)的周期為T(mén)

2、f(x?a)?f(b?x)(a?b)?y?f(x)的周期為T(mén)?b?a3、f(x?a)??f(x)?y?f(x)的周期為T(mén)?2a4、f(x?a)?c

f(x)(C為常數(shù))?y?f(x)的周期為T(mén)?2a5f(x?a)?1?f(x)

1?f(x)?y?f(x)的周期為T(mén)?2a

7、f(x?a)??1

f(x)?1?y?f(x)的周期為T(mén)?4a

8、f(x?a)?1?f(x)

1?f(x)?y?f(x)的周期為T(mén)?4a

9、f(x?2a)?f(x?a)?f(x)?y?f(x)的周期為T(mén)?6a

10、f(x?n?2)?f(x?n)?f(x?n?1)；（它是周期函數(shù)，一個(gè)周期為6）11、y?f(x)