2020高中數(shù)學(xué) 第2章 統(tǒng)計(jì) 21 變量之間的相互關(guān)系 22 兩個(gè)變量的線性相關(guān)學(xué)案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE16-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2。3.1變量之間的相關(guān)關(guān)系2.3.2學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.了解變量間的相關(guān)關(guān)系，會(huì)畫(huà)散點(diǎn)圖，并利用散點(diǎn)圖判斷兩個(gè)變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系．(重點(diǎn)）2．了解線性回歸思想,會(huì)求回歸直線方程．（難點(diǎn))1。通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)的分析、統(tǒng)計(jì)，培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)．2．借助變量間相關(guān)關(guān)系的研究，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).1．變量間的相關(guān)關(guān)系(1)相關(guān)關(guān)系的定義變量間確實(shí)存在關(guān)系,但又不具備函數(shù)關(guān)系所要求的確定性，它們的關(guān)系是帶有隨機(jī)性的，那么這兩個(gè)變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系，兩個(gè)變量之間的關(guān)系分為函數(shù)關(guān)系和相關(guān)關(guān)系．（2)散點(diǎn)圖將樣本中n個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)（xi，yi)(i＝1，2，…，n)描在平面直角坐標(biāo)系中得到的圖形叫做散點(diǎn)圖．（3)正相關(guān)與負(fù)相關(guān)①正相關(guān)：如果一個(gè)變量的值由小變大時(shí)，另一個(gè)變量的值也由小變大，這種相關(guān)稱為正相關(guān)．②負(fù)相關(guān)：如果一個(gè)變量的值由小變大時(shí)，另一個(gè)變量的值由大變小，這種相關(guān)稱為負(fù)相關(guān)．2．回歸直線方程（1)回歸直線：如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，就稱這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線．（2)線性回歸方程:回歸直線對(duì)應(yīng)的方程叫做回歸直線的方程，簡(jiǎn)稱回歸方程．（3)最小二乘法：求線性回歸方程eq\o（y，\s\up8（^))＝eq\o(b，\s\up8（^)）x＋eq\o（a,\s\up8（^））時(shí)，使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回歸直線的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法．其中，eq\o(b，\s\up8（^））是線性回歸方程的斜率,eq\o（a,\s\up8（^))是線性回歸方程在y軸上的截距．1．下列兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系的是（)A．角度和它的余弦值B．圓的半徑和該圓的面積C．正n邊形的邊數(shù)和它的內(nèi)角和D．居民的收入與存款D［A、B、C中兩變量是確定的函數(shù)關(guān)系．］2。已知變量x，y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，其散點(diǎn)圖如圖所示，則其回歸方程可能為（)A．eq\o（y,\s\up8（^)）＝1。5x＋2B．eq\o（y，\s\up8（^))＝－1.5x＋2C．eq\o（y,\s\up8（^））＝1.5x－2D．eq\o(y,\s\up8(^)）＝－1.5x－2B[由散點(diǎn)圖知,變量x,y之間負(fù)相關(guān),回歸直線在y軸上的截距為正數(shù)，故只有B選項(xiàng)符合．]3．5位學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)和物理成績(jī)?nèi)缦卤恚簩W(xué)科ABCDE數(shù)學(xué)8075706560物理7066686462則數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)之間（）A．是函數(shù)關(guān)系B．是相關(guān)關(guān)系,但相關(guān)性很弱C．具有較好的相關(guān)關(guān)系，且是正相關(guān)D．具有較好的相關(guān)關(guān)系，且是負(fù)相關(guān)C[數(shù)學(xué)成績(jī)x和物理成績(jī)y的散點(diǎn)圖如圖所示．從圖上可以看出數(shù)學(xué)成績(jī)和物理成績(jī)具有較好的相關(guān)關(guān)系,且成正相關(guān)．］4．設(shè)有一個(gè)回歸方程為eq\o（y，\s\up8(^)）＝2－1.5x，則變量x每增加1個(gè)單位時(shí)，y平均減少________個(gè)單位．1.5[因?yàn)閑q\o(y，\s\up8（^）)＝2－1。5x，所以變量x每增加1個(gè)單位時(shí),y1－y2＝［2－1.5(x＋1）]－（2－1。5x）＝－1.5，所以y平均減少1。5個(gè)單位．］相關(guān)關(guān)系及判斷【例1】某個(gè)男孩的年齡與身高的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示．年齡x（歲)123456身高y(cm)788798108115120（1）畫(huà)出散點(diǎn)圖;(2)判斷y與x是否具有線性相關(guān)關(guān)系．［解]（1）散點(diǎn)圖如圖所示．(2)由圖知，所有數(shù)據(jù)點(diǎn)接近一條直線排列，因此,認(rèn)為y與x具有線性相關(guān)關(guān)系．相關(guān)關(guān)系的判斷方法(1)兩個(gè)變量x和y具有相關(guān)關(guān)系的判斷方法①散點(diǎn)圖法：通過(guò)散點(diǎn)圖,觀察它們的分布是否存在一定規(guī)律,直觀地判斷；②表格、關(guān)系式法：結(jié)合表格或關(guān)系式進(jìn)行判斷；③經(jīng)驗(yàn)法：借助積累的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行分析判斷．（2)判斷兩個(gè)變量x和y之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系,常用的簡(jiǎn)便方法就是繪制散點(diǎn)圖，如果發(fā)現(xiàn)點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近,那么這兩個(gè)變量就是線性相關(guān)的，注意不要受個(gè)別點(diǎn)的位置的影響．1．下列關(guān)系中，屬于相關(guān)關(guān)系的是________(填序號(hào)）．①正方形的邊長(zhǎng)與面積之間的關(guān)系;②農(nóng)作物的產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系；③出租車費(fèi)與行駛的里程;④降雪量與交通事故的發(fā)生率之間的關(guān)系．②④［在①中，正方形的邊長(zhǎng)與面積之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系；在②中，農(nóng)作物的產(chǎn)量與施肥量之間不具有嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系，但具有相關(guān)關(guān)系;③為確定的函數(shù)關(guān)系；在④中，降雪量與交通事故的發(fā)生率之間具有相關(guān)關(guān)系．]求回歸方程[探究問(wèn)題]1．任意兩個(gè)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)是否均可以作出散點(diǎn)圖？［提示]任意兩個(gè)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)均可以作出散點(diǎn)圖．2．任何一組數(shù)據(jù)都可以由最小二乘法得出回歸方程嗎？[提示]用最小二乘法求回歸方程的前提是先判斷所給數(shù)據(jù)具有線性相關(guān)關(guān)系，否則求回歸方程是無(wú)意義的．3．回歸系數(shù)eq\o(b,\s\up8(^））的含義是什么？［提示］(1）eq\o(b，\s\up8(^))代表x每增加一個(gè)單位,y的平均增加單位數(shù)，而不是增加單位數(shù)．(2）當(dāng)eq\o(b，\s\up8(^）)〉0時(shí)，兩個(gè)變量呈正相關(guān)關(guān)系，含義為：x每增加一個(gè)單位，y平均增加eq\o（b,\s\up8（^))個(gè)單位數(shù)；當(dāng)eq\o(b，\s\up8（^））〈0時(shí)，兩個(gè)變量呈負(fù)相關(guān)關(guān)系,含義為：x每增加一個(gè)單位，y平均減少eq\o（b，\s\up8（^))個(gè)單位數(shù)．【例2】一個(gè)車間為了規(guī)定工時(shí)定額,需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此進(jìn)行了10次試驗(yàn)，收集數(shù)據(jù)如下:零件數(shù)x(個(gè)）102030405060708090100加工時(shí)間y(分）626875818995102108115122(1)y與x是否具有線性相關(guān)關(guān)系？(2）如果y與x具有線性相關(guān)關(guān)系,求y關(guān)于x的回歸直線方程．思路點(diǎn)撥：畫(huà)散點(diǎn)圖→確定相關(guān)關(guān)系→求回歸直線系數(shù)→寫(xiě)回歸直線方程．［解](1）畫(huà)散點(diǎn)圖如下：由上圖可知y與x具有線性相關(guān)關(guān)系．(2）列表、計(jì)算：i12345678910xi102030405060708090100yi626875818995102108115122xiyi62013602250324044505700714086401035012200eq\o（a,\s\up8(^））＝eq\x\to（y)－eq\o（b，\s\up8(^)）x＝91。7－0.668×55＝54.96.即所求的回歸直線方程為:eq\o(y,\s\up8(^)）＝0。668x＋54。96.求回歸直線方程的步驟(1）收集樣本數(shù)據(jù)，設(shè)為(xi，yi）（i＝1,2,…，n）(數(shù)據(jù)一般由題目給出)．(2)作出散點(diǎn)圖,確定x，y具有線性相關(guān)關(guān)系．（3)把數(shù)據(jù)制成表格xi，yi，xeq\o\al（2,i)，xiyi.(4）（5)代入公式計(jì)算eq\o(b,\s\up8(^))，eq\o（a,\s\up8(^)）,公式為（6）寫(xiě)出回歸直線方程eq\o(y，\s\up8（^))＝eq\o（b，\s\up8(^）)x＋eq\o(a,\s\up8(^)).2。某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出x（單位:百萬(wàn)元)與銷售額y（單位：百萬(wàn)元）之間有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：x24568y3040605070（1)畫(huà)出散點(diǎn)圖；（2）求回歸方程。［解］（1)散點(diǎn)圖如圖所示.（2）列出下表，并用科學(xué)計(jì)算器進(jìn)行有關(guān)計(jì)算.i12345xi24568yi3040605070xiyi60160300300560xeq\o\al(2,i)416253664x＝5,y＝50,eq\o(∑,\s\up8（5),\s\do10（i＝1)）xeq\o\al（2，i)＝145，eq\o（∑,\s\up8（5),\s\do10(i＝1)）iiyi＝1380于是可得，eq\o（b，\s\up8（^))＝＝＝6。5，eq\o(a，\s\up8（^））＝y(tǒng)－eq\o（b,\s\up8（^））x＝50－6.5×5＝17。5。于是所求的回歸方程是eq\o（y,\s\up8（^））＝6。5x＋17.5.回歸方程的應(yīng)用【例3】某5名學(xué)生的總成績(jī)和數(shù)學(xué)成績(jī)(單位:分)如表所示：學(xué)生ABCDE總成績(jī)x428383421364362數(shù)學(xué)成績(jī)y7865716461(1)畫(huà)出散點(diǎn)圖；（2）求y對(duì)x的線性回歸方程(結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后3位數(shù)字）；（3)如果一個(gè)學(xué)生的總成績(jī)?yōu)?50分，試預(yù)測(cè)這個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)．[解］(1)散點(diǎn)圖如圖所示：（2)由題中數(shù)據(jù)計(jì)算可得eq\x\to(x）＝391.6，eq\x\to(y）＝67。8,eq\o（∑,\s\up8（5），\s\do10(i＝1）)xeq\o\al（2,i)＝770654，eq\o（∑，\s\up8（5),\s\do10(i＝1）)xiyi＝133548。代入公式得eq\o（b，\s\up8(^）)＝eq\f（133548－5×391.6×67。8，770654－5×391.62）≈0。204,eq\o（a,\s\up8（^)）＝67。8－0。204×391。6≈－12.086，所以y對(duì)x的線性回歸方程為eq\o(y，\s\up8(^))＝－12。086＋0。204x。（3）由（2)得當(dāng)總成績(jī)?yōu)?50分時(shí)，eq\o(y,\s\up8(^)）＝－12。086＋0.204×450≈80，即這個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)大約為80分．利用線性回歸方程解題的常見(jiàn)思路及注意點(diǎn)(1)利用回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)的中心，可以求參數(shù)問(wèn)題，參數(shù)可涉及回歸方程或樣本點(diǎn)數(shù)據(jù)．(2)利用回歸方程中系數(shù)eq\o（b,\s\up8(^))的意義,分析實(shí)際問(wèn)題．(3）利用回歸直線進(jìn)行預(yù)測(cè)，此時(shí)需關(guān)注兩點(diǎn)；①所得的值只是一個(gè)估計(jì)值，不是精確值；②變量x與y成線性相關(guān)關(guān)系時(shí)，線性回歸方程才有意義,否則即使求出線性回歸方程也是毫無(wú)意義的，用其估計(jì)和預(yù)測(cè)的量也是不可信的．3．從某居民區(qū)隨機(jī)抽取10個(gè)家庭,獲得第i個(gè)家庭的月收入xi(單位:千元）與月儲(chǔ)蓄yi(單位：千元）的數(shù)據(jù)資料，算得eq\o（∑,\s\up8（10)，\s\do10(i＝1))xi＝80，eq\o(∑，\s\up8(10),\s\do10(i＝1))yi＝20，eq\o（∑,\s\up8（10），\s\do10（i＝1）)xiyi＝184,eq\o(∑,\s\up8（10）,\s\do10（i＝1）)xeq\o\al（2，i）＝720.(1）求月儲(chǔ)蓄y（千元)關(guān)于月收入x(千元)的線性回歸方程；(2）若該居民區(qū)某家庭的月收入為7千元,預(yù)測(cè)該家庭的月儲(chǔ)蓄．[解](1)由題意知n＝10,eq\x\to（x)＝eq\f(1，n）eq\o（∑,\s\up8（10）,\s\do10(i＝1）)xi＝eq\f（1,10)×80＝8，eq\x\to（y）＝eq\f（1,n)eq\o（∑,\s\up8（n）,\s\do10(i＝1))yi＝eq\f（1，10）×20＝2，又eq\o(∑,\s\up8(n），\s\do10(i＝1））xeq\o\al（2,i)－neq\x\to(x)2＝720－10×82＝80，eq\o(∑，\s\up8(10）,\s\do10(i＝1））xiyi－neq\x\to（x)eq\x\to（y)＝184－10×8×2＝24，由此得eq\o(b，\s\up8（^))＝eq\f（24，80)＝0。3,eq\o（a,\s\up8(^）)＝eq\x\to（y）－eq\o（b，\s\up8(^))eq\x\to（y）＝2－0。3×8＝－0。4，故所求線性回歸方程為eq\o(y，\s\up8(^））＝0.3x－0。4.(2)將x＝7代入線性回歸方程,可以得到該家庭的月儲(chǔ)蓄約為eq\o（y,\s\up8(^）)＝0.3×7－0。4＝1.7(千元）．1．判斷變量之間有無(wú)相關(guān)關(guān)系,簡(jiǎn)便可行的方法就是繪制散點(diǎn)圖．根據(jù)散點(diǎn)圖，可看出兩個(gè)變量是否具有相關(guān)關(guān)系,是否線性相關(guān)，是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)．2．求回歸直線的方程時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題（1）知道x與y呈線性相關(guān)關(guān)系，無(wú)需進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，否則應(yīng)首先進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)．如果兩個(gè)變量之間本身不具有相關(guān)關(guān)系，或者說(shuō),它們之間的相關(guān)關(guān)系不顯著，即使求出回歸方程也是毫無(wú)意義的，而且用其估計(jì)和預(yù)測(cè)的量也是不可信的．(2）用公式計(jì)算eq\o（a，\s\up8（^）)，eq\o(b，\s\up8（^)）的值時(shí)，要先算出eq\o(b，\s\up8(^）)，然后才能算出eq\o（a,\s\up8（^)）.3．利用回歸方程，我們可以進(jìn)行估計(jì)和預(yù)測(cè)．若回歸方程為eq\o（y，\s\up8(^））＝eq\o（b，\s\up8（^））x＋eq\o(a，\s\up8（^)），則x＝x0處的估計(jì)值為eq\o(y，\s\up8（^）)0＝eq\o(b,\s\up8(^))x0＋eq\o(a,\s\up8(^)）.1．判斷下列結(jié)論的正誤（正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”）（1)相關(guān)關(guān)系是兩個(gè)變量之間的一種確定的關(guān)系． （）（2)回歸直線方程一定過(guò)樣本中心點(diǎn)． (）（3）選取一組數(shù)據(jù)的部分點(diǎn)得到的回歸方程與由整組數(shù)據(jù)得到的回歸方程一定相同． ()［答案](1）×(2)√(3）×2．對(duì)有線性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量建立的回歸直線方程eq\o（y，\s\up8（^))＝eq\o（a，\s\up8（^))＋eq\o（b,\s\up8（^)）x中，回歸系數(shù)eq\o(b,\s\up8(^））(）A．不能小于0 B．不能大于0C．不能等于0 D．只能小于0C[當(dāng)eq\o（b，\s\up8(^）)＝0時(shí)，不具有相關(guān)關(guān)系，eq\o(b，\s\up8（^))可以大于0，也可以小于0。］3．若施化肥量x(千克/畝）與水稻產(chǎn)量y（千克/畝）的回歸方程為eq\o(y,\s\up8(^）)＝5x＋2