2020高中數(shù)學(xué) 第10章 概率 10. 頻率與概率 49 頻率的穩(wěn)定性 第二冊

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE16-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課時作業(yè)49頻率的穩(wěn)定性知識點一頻率與概率1.在n次重復(fù)進(jìn)行的試驗中，事件A發(fā)生的頻率為eq\f(m,n），當(dāng)n很大時，P(A)與eq\f（m,n）的關(guān)系是（）A．P(A)≈eq\f（m,n) B．P(A）〈eq\f（m,n)C．P（A)>eq\f（m,n） D．P（A)＝eq\f（m,n)答案A解析根據(jù)概率的定義，當(dāng)n很大時，頻率是概率的近似值．2．某企業(yè)生產(chǎn)的乒乓球被某乒乓球訓(xùn)練基地指定為訓(xùn)練專用球．日前有關(guān)部門對某批產(chǎn)品進(jìn)行了抽樣檢測，檢測結(jié)果如下表所示：抽取球數(shù)n5010020050010002000優(yōu)等品數(shù)m45921944709541902優(yōu)等品頻率eq\f(m，n）（1)計算表中乒乓球為優(yōu)等品的頻率；(2）從這批乒乓球產(chǎn)品中任取一個，估計其為優(yōu)等品的概率是多少？（結(jié)果保留到小數(shù)點后三位)解（1）表中乒乓球為優(yōu)等品的頻率依次是0.900，0.920，0.970,0.940,0。954,0。951。（2)由(1)知，隨著抽取的球數(shù)n的增加，計算得到的頻率值雖然不同,但都在常數(shù)0.950的附近擺動，所以任意抽取一個乒乓球檢測時，其為優(yōu)等品的概率約為0。950.知識點二對概率的正確理解及簡單3。經(jīng)統(tǒng)計，某籃球運動員的投籃命中率為90%，對此有人解釋為其投籃100次一定有90次命中，10次不中,你認(rèn)為這種解釋正確嗎?說說你的理由．解這種解釋不正確．理由如下：因為“投籃命中”是一個隨機事件,投籃命中率為90%，是指該運動員投籃命中的概率是一種可能性，就一次投籃而言，可能發(fā)生也可能不發(fā)生，而不是說投籃100次就一定命中90次．4．某理工院校一個班級有60人，男生人數(shù)為57,把該班學(xué)生學(xué)號打亂,隨機指定一個學(xué)生，你認(rèn)為這個學(xué)生是男生還是女生？解從學(xué)號中隨機抽出一個，是男生的可能性為eq\f(57,60)＝95%，要比是女生的可能性eq\f（3,60）＝5％大得多，因此隨機指定一個，估計應(yīng)是男生.知識點三用頻率估計概率5.某公司在過去幾年內(nèi)使用某種型號的燈管1000支，該公司對這些燈管的使用壽命（單位：小時）進(jìn)行了統(tǒng)計，統(tǒng)計結(jié)果如表所示：分組頻數(shù)頻率［500,900）48［900，1100）121[1100，1300)208[1300，1500）223[1500，1700）193[1700，1900）1651900及以上42（1）求各組的頻率；(2）根據(jù)上述統(tǒng)計結(jié)果,估計燈管使用壽命不足1500小時的概率．解(1)各組的頻率依次是：0。048,0.121,0。208，0。223,0.193，0。165，0。042.（2）樣本中壽命不足1500小時的頻數(shù)是48＋121＋208＋223＝600,所以樣本中壽命不足1500小時的頻率是eq\f（600，1000）＝0.6。即燈管使用壽命不足1500小時的概率約為0.6.易錯點混淆概率與頻率的概念6.把一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)擲了1000次，其中有496次正面朝上，504次反面朝上，則可認(rèn)為擲一次硬幣正面朝上的概率為________．易錯分析由于混淆了概率與頻率的概念而致誤，事實上頻率是隨機的,而概率是一個確定的常數(shù)，與每次的試驗無關(guān)．答案0。5正解通過做大量的試驗可以發(fā)現(xiàn)，正面朝上的頻率都在0。5附近擺動，故可認(rèn)為擲一次硬幣，正面朝上的概率是0.5,故填0。5。一、選擇題1．從一批電視機中隨機抽出10臺進(jìn)行質(zhì)檢，其中有一臺次品，下列說法正確的是()A．次品率小于10％B．次品率大于10％C．次品率等于10％D．次品率接近10%答案D解析抽出的樣本中次品率為eq\f(1,10），即10％，所以總體中次品率大約為10％.2．對一批產(chǎn)品的長度(單位：毫米）進(jìn)行抽樣檢測，下圖為檢測結(jié)果的頻率分布直方圖．根據(jù)標(biāo)準(zhǔn),產(chǎn)品長度在區(qū)間[20,25）上為一等品，在區(qū)間［15,20)和［25，30）上為二等品，在區(qū)間［10，15）和[30,35]上為三等品．用頻率估計概率，現(xiàn)從該批產(chǎn)品中隨機抽取1件，則其為二等品的概率是(）A．0.09B．0.20C．0。25D．0.45答案D解析由頻率分布直方圖的性質(zhì)可知，樣本數(shù)據(jù)在區(qū)間［25，30）上的頻率為1－5×(0。02＋0。04＋0.06＋0.03）＝0.25，則二等品的頻率為0.25＋0。04×5＝0。45，故任取1件為二等品的概率為0.45。3．某廠生產(chǎn)的電器是家電下鄉(xiāng)政府補貼指定品牌，其產(chǎn)品是優(yōu)等品的概率為90%，現(xiàn)從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中任意地抽取10件進(jìn)行檢驗,結(jié)果前9件產(chǎn)品中有8件是優(yōu)等品，1件是非優(yōu)等品，那么第10件產(chǎn)品是優(yōu)等品的概率為（)A．90% B．小于90%C．大于90% D．無法確定答案A解析概率是一個確定的常數(shù),在試驗前已經(jīng)確定,與試驗次數(shù)無關(guān)．4．有下列說法：①拋擲硬幣出現(xiàn)正面向上的概率為0。5，那么連續(xù)兩次拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣,一定是一次正面朝上，一次反面朝上；②如果某種彩票的中獎概率為eq\f（1，10),那么買10張這種彩票一定能中獎；③在乒乓球、排球等比賽中，裁判通過上拋均勻塑料圓板并讓運動員猜著地時是正面還是反面來決定哪一方先發(fā)球，這樣做不公平；④一個骰子擲一次得到點數(shù)2的概率是eq\f（1，6)，這說明一個骰子擲6次會出現(xiàn)一次點數(shù)2。其中不正確的說法是()A．①②③④ B．①②④C．③④ D．③答案A解析概率反映的是隨機性的規(guī)律，但每次試驗出現(xiàn)的結(jié)果具有不確定性，因此①②④錯誤；③中拋擲均勻塑料圓板出現(xiàn)正面與反面的概率相等,是公平的，因此③錯誤．5．隨著互聯(lián)網(wǎng)的普及，網(wǎng)上購物已逐漸成為消費時尚，欲了解消費者對網(wǎng)上購物的滿意情況，某公司隨機對4500名網(wǎng)上購物消費者進(jìn)行了調(diào)查（每名消費者限選一種情況回答)，統(tǒng)計結(jié)果如表:滿意情況不滿意比較滿意滿意非常滿意人數(shù)200n21001000根據(jù)表中數(shù)據(jù),估計在網(wǎng)上購物的消費者群體中對網(wǎng)上購物“比較滿意”或“滿意”的概率是()A。eq\f（7，15）B.eq\f(2,5)C。eq\f（11,15)D。eq\f（13,15）答案C解析由題意，n＝4500－200－2100－1000＝1200，所以對網(wǎng)上購物“比較滿意”或“滿意”的人數(shù)為1200＋2100＝3300，所以在網(wǎng)上購物的消費者群體中對網(wǎng)上購物“比較滿意”或“滿意”的概率為eq\f（3300,4500)＝eq\f(11，15)。故選C。二、填空題6．一個容量為20的樣本，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下：［10,20）2個；［20,30)3個;［30,40）x個；[40,50)5個；[50，60）4個；［60，70］2個．則x等于________；根據(jù)樣本的頻率估計概率，數(shù)據(jù)落在[10,50）的概率約為________．答案40.7解析樣本中數(shù)據(jù)總個數(shù)為20，∴x＝20－（2＋3＋5＋4＋2)＝4；在[10,50）中的數(shù)據(jù)有14個,故所求概率P＝eq\f(14，20)＝0。7.7．對某廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品進(jìn)行抽樣檢查，數(shù)據(jù)如下表所示．抽查件數(shù)50100200300500合格件數(shù)4792192285478根據(jù)表中所提供的數(shù)據(jù)，若要從該廠生產(chǎn)的此種產(chǎn)品中抽到950件合格品，大約需抽查________件產(chǎn)品．答案1000解析由表中數(shù)據(jù)知，抽查5次,產(chǎn)品合格的頻率依次為0.94，0.92，0。96,0。95,0。956，可見頻率在0。95附近擺動,故可估計該廠生產(chǎn)的此種產(chǎn)品合格的概率約為0。95。設(shè)大約需抽查n件產(chǎn)品,則eq\f(950，n)≈0.95，所以n≈1000。8．某公司有5萬元資金用于投資開發(fā)項目，如果成功,一年后可獲收益12%；一旦失敗，一年后將喪失全部資金的50%。下表是去年200例類似項目開發(fā)的實施結(jié)果．投資成功投資失敗192次8次則估計該公司一年后可獲得的平均收益是________萬元．答案0.476解析應(yīng)先求出投資成功與失敗的概率，再計算收益的平均數(shù)．設(shè)可獲收益為x萬元,如果成功，x的取值為5×12%，如果失敗，x的取值為－5×50％。一年后公司成功的概率估計為eq\f（192，200）＝eq\f(24,25),失敗的概率估計為eq\f（8，200)＝eq\f(1,25）.所以估計一年后公司可獲得的平均收益為5×12%×eq\f（24，25)－5×50％×eq\f(1,25)＝0。476萬元．三、解答題9．某公司在過去幾年內(nèi)使用了某種型號的燈管1000支，該公司對這些燈管的使用壽命(單位：時）進(jìn)行了統(tǒng)計,統(tǒng)計結(jié)果如下表所示：分組［0，900）[900，1100）[1100,1300)［1300,1500）[1500,1700)[1700，1900）[1900,＋∞)頻數(shù)4812120822319316542頻率（1)將各組的頻率填入表中；(2）根據(jù)上述統(tǒng)計結(jié)果，估計燈管使用壽命不足1500小時的概率．解(1）頻率依次是0。048，0.121,0。208,0。223，0.193,0.165,0。042.（2)樣本中使用壽命不足1500小時的頻數(shù)是48＋121＋208＋223＝600,所以樣本中使用壽命不足1500小時的頻率是eq\f(600,1000）＝0。6，即燈管使用壽命不足1500小時的概率約為0.6.10．電影公司隨機收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表:電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評率0。40。20.150.250。20.1好評率是指：一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值．(1)從電影公司收集的電影中隨機選取1部,求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率;(2)隨機選取1部電影,估計這部電影沒有獲得好評的概率；（3）電影公司為增加投資回報,擬改變投資策略,這將導(dǎo)致不同類型電影的好評率發(fā)生變化,假設(shè)表格中只有兩類電影的好評率數(shù)據(jù)發(fā)生變化,那么哪類電影的好評率增加0。1，哪類電影的好評率減少0.1，使得獲得好評的電影總部數(shù)與樣本中的電影總部數(shù)的比值達(dá)到最大？（只需寫出結(jié)論)解(1）由題意知,樣本中電影的總部數(shù)是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2000，獲得好評的第四類電影的部數(shù)是200×0.25＝50。故所求概率為eq\f(50，2000）＝0。025。（2)由題意知，樣本中獲得好評的電影部數(shù)是140×0.4＋50×0。2＋300×0.15＋200×0。25＋800×0。2＋510×0.1＝56＋10＋45＋50＋160＋51＝372。故所求概率估計為1－eq\f(372，2000）＝0。814。(3)增加第五類電影的好評率，減少第二類電影的好評率．11．某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度，從A，B兩地區(qū)分別隨機調(diào)查了20個用戶,得到用戶對產(chǎn)品的滿意度評分如下：A地區(qū)：6273819295857464537678869566977888827689B地區(qū)：7383625191465373648293486581745654766579根據(jù)用戶滿意度評分,將用戶的滿意度從低到高分為三個等級：滿意度評分低于70分70分到89分不低于90分滿意度等級不滿意滿意非常滿意記事件C：“A地區(qū)用戶的滿意度等級高于B地區(qū)用戶的滿意度等級”．假設(shè)兩地區(qū)用戶的評價結(jié)果相互獨立．根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率,求C的概率．解記CA1表示事件：“A地區(qū)用戶的滿意度等級為滿意或非常滿意"；CA2表示事件：“A地區(qū)用戶的滿意度等級為非常滿意"；CB1表示事件:“B地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意”；CB2表示事件：“B地區(qū)用戶的滿意度等級為滿意”，則CA1與CB1獨立,CA2與CB2獨立，CB1與CB2互斥，C＝CB1CA1＋CB2CA2.P(C)＝P(CB1CA1＋CB2CA2)＝P（CB1CA1)＋P(CB2CA2)＝P(CB1）P(CA1）＋P(CB2)P(CA2)．由所給數(shù)據(jù)得CA1，CA2，CB1，CB2發(fā)生的頻率分別為eq\f（4，5），eq\f（1，5），eq\f（1，2）,eq\f(2，5)，故P（CA1）＝eq\f(4,5），P（CA2）＝eq\f（1,5），P(CB1)＝eq\f（1,2),P（CB2）＝eq\f(2,5)，P(C)＝eq\f(1，2)×eq\f(4，5）＋eq\f(2，5)×eq\f（1，5)＝0.48。12．某中學(xué)一年級有12個班,要從中選出2個班代表學(xué)校參加某項活動，由于某種原因，一班必須參加，另外再從二至十二班中選1個班參加．有人提議用如下方法：投擲兩個骰子得到的點數(shù)和是幾（見表），就選幾班，你認(rèn)為這種方法公平嗎？1點2點3點4點5點6點1點2345672點3456783點4567894點56789105點678910116點789101112解從表中可以看出投擲兩個骰子得到的點數(shù)之和是2，3,4,5,6，7，8,9,10，11,12的情況分別有1種,2種，3種，4種，5種，6種，5種，4種,3種，2種，1種，總結(jié)果數(shù)為3