2020高中數(shù)學(xué) 第二章 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 2.1.1 平面練習(xí)(含解析)2_第1頁(yè)
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學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專(zhuān)精PAGE14-學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專(zhuān)精第9課時(shí)平面對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P25知識(shí)點(diǎn)一平面的概念及表示1.下列關(guān)于平面的命題中正確的是()①平靜的太平洋面就是一個(gè)平面;②9個(gè)平面重疊起來(lái)比7個(gè)平面重疊起來(lái)厚;③四邊形確定一個(gè)平面;④平面可以看成空間中點(diǎn)的集合,它是一個(gè)無(wú)限集.A.①B.④C.②③D.①④答案B解析對(duì)于①,平面是抽象的,且是無(wú)限延展的,故①錯(cuò)誤;對(duì)于②,平面是無(wú)大小、無(wú)厚薄之分的,故②錯(cuò)誤;對(duì)于③,空間四邊形不能確定一個(gè)平面,故③錯(cuò)誤;對(duì)于④,平面是空間中點(diǎn)的集合,是無(wú)限集,故④正確.2.直線a,b,c兩兩平行,但不共面,經(jīng)過(guò)其中2條直線的平面共有()A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.0或有無(wú)數(shù)多個(gè)答案C解析直線a,b確定一個(gè)平面,直線b,c確定一個(gè)平面,直線a,c確定一個(gè)平面,共3個(gè)平面,故選C.知識(shí)點(diǎn)二平面的基本性質(zhì)3.下列命題正確的是()A.一條直線和一點(diǎn)確定一個(gè)平面B.兩條相交直線確定一個(gè)平面C.四點(diǎn)確定一個(gè)平面D.三條平行直線確定一個(gè)平面答案B解析根據(jù)一條直線和直線外的一點(diǎn)確定一個(gè)平面,知A不正確;B顯然正確;C中四點(diǎn)不一定共面,故C不正確;三條平行直線可以確定一個(gè)平面或三個(gè)平面,故D不正確.故選B.4.給出下列說(shuō)法:①如果一條線段的中點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么它的兩個(gè)端點(diǎn)也在這個(gè)平面內(nèi);②兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形;③兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形;④若一個(gè)四邊形有三條邊在同一個(gè)平面內(nèi),則第四條邊也在這個(gè)平面內(nèi);⑤點(diǎn)A在平面α外,點(diǎn)A和平面α內(nèi)的任意一條直線都不共面.其中所有正確說(shuō)法的序號(hào)是________.答案③④解析①中線段可以與平面相交;②中的四邊形可以是空間四邊形;③中平行的對(duì)邊能確定平面,所以是平行四邊形;④中由四邊形的三條邊在同一個(gè)平面內(nèi),可知第四條邊的兩個(gè)端點(diǎn)也在這個(gè)平面內(nèi),所以第四條邊在這個(gè)平面內(nèi);⑤中點(diǎn)A和平面α內(nèi)的任意一條直線都能確定一個(gè)平面.知識(shí)點(diǎn)三點(diǎn)共線問(wèn)題5.如圖,△ABC在平面α外,AB∩α=P,BC∩α=Q,AC∩α=R.求證:P,Q,R三點(diǎn)共線.證明∵AB∩α=P,BC∩α=Q,AC∩α=R,∴P,Q,R∈平面ABC,P,Q,R∈α.∴點(diǎn)P,Q,R在兩平面的交線上,即P,Q,R三點(diǎn)共線.6.如圖,不在同一平面內(nèi)的兩個(gè)三角形△ABC和△A1B1C1,AB與A1B1相交于P,BC與B1C1相交于Q,AC與A1C1相交于R,求證:P,Q,R三點(diǎn)共線.證明∵AB∩A1B1=P,∴P∈AB,P∈A1B1.∵AB?平面ABC,∴P∈平面ABC.又∵A1B1?平面A1B1C1,∴P∈平面A1B1C1.∴P在平面ABC與平面A1B1C1的交線上.同理可證Q,R也都在平面ABC與平面A1B1C1的交線上.根據(jù)公理3知兩個(gè)平面的交線有且只有一條,故P,Q,R三點(diǎn)共線.知識(shí)點(diǎn)四線共點(diǎn)問(wèn)題7.如圖,已知平面α,β,且α∩β=l.設(shè)梯形ABCD中,AD∥BC,且AB?α,CD?β.求證:AB,CD,l共點(diǎn).證明因?yàn)樘菪蜛BCD中,AD∥BC,所以AB,CD是梯形ABCD的兩腰,所以AB,CD必定相交于一點(diǎn).如圖,設(shè)AB∩CD=M.又因?yàn)锳B?α,CD?β,所以M∈α,且M∈β,所以M∈α∩β.又因?yàn)棣痢搔拢絣,所以M∈l,即AB,CD,l共點(diǎn).8.已知:平面α,β,γ兩兩相交于三條直線l1,l2,l3,且l1,l2不平行.求證:l1,l2,l3相交于一點(diǎn).證明如圖,α∩β=l1,β∩γ=l2,α∩γ=l3.∵l1?β,l2?β,且l1,l2不平行,∴l(xiāng)1與l2必相交.設(shè)l1∩l2=P,則P∈l1?α,P∈l2?γ,∴P∈α∩γ=l3,∴l(xiāng)1,l2,l3相交于一點(diǎn)P.知識(shí)點(diǎn)五共面問(wèn)題9.如圖是正方體或四面體,P,Q,R,S分別是所在棱的中點(diǎn),這四個(gè)點(diǎn)不共面的一個(gè)圖是()答案D解析在A圖中:分別連接PS,QR,則PS∥QR,∴P,Q,R,S共面.在B圖中:過(guò)P,Q,R,S可作一正六邊形,如圖,故P,Q,R,S四點(diǎn)共面.在C圖中:分別連接PQ,RS,則PQ∥RS,∴P,Q,R,S共面.在D圖中:任意兩點(diǎn)的連線既不平行也不相交,∴P,Q,R,S四點(diǎn)不共面.故選D.對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P26一、選擇題1.用符號(hào)表示“點(diǎn)A在直線l上,在平面α外”為()A.A∈l,A?αB.A∈l,A?αC.A?l,A?αD.A?l,A?α答案A解析“點(diǎn)A在直線l上"用“A∈l”表示,“點(diǎn)A在平面α外”用“A?α”表示.故選A.2.下列說(shuō)法中正確的是()A.空間中不同的三點(diǎn)確定一個(gè)平面B.空間中兩兩相交的三條直線確定一個(gè)平面C.空間中有三個(gè)角為直角的四邊形一定是平面圖形D.和同一條直線相交的三條平行直線一定在同一個(gè)平面內(nèi)答案D解析A錯(cuò)誤,當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí),過(guò)三點(diǎn)的平面有無(wú)數(shù)個(gè).B錯(cuò)誤,空間兩兩相交的三條直線交于同一點(diǎn)時(shí),可以確定一個(gè)或三個(gè)平面.C錯(cuò)誤,空間中四個(gè)點(diǎn)不一定共面,有三個(gè)角為直角的四邊形可能是空間圖形,如圖,空間四邊形ABCD1.D正確,如圖,因?yàn)閍∥b,所以直線a,b確定一個(gè)平面α,因?yàn)閎∥c,所以直線b,c確定一個(gè)平面β,再說(shuō)明l?α,l?β,由“過(guò)兩條相交直線有且只有一個(gè)平面”推出α與β重合,推出a,b,c,l共面.故選D.3.三個(gè)平面可將空間最多分成________部分()A.4B.6C.7D.8答案D解析當(dāng)三個(gè)平面兩兩相交且交線交于一點(diǎn)時(shí),三個(gè)平面將空間分成的部分最多,此時(shí)將空間分成8部分.故選D.4.如圖所示,平面α∩平面β=l,點(diǎn)A,B∈α,點(diǎn)C∈β,直線AB∩l=R.設(shè)過(guò)A,B,C三點(diǎn)的平面為γ,則β∩γ=()A.直線ACB.直線BCC.直線CRD.以上均不正確答案C解析由題意知,∵AB∩l=R,平面α∩平面β=l,∴R∈l,l?β,R∈AB,∴R∈β.又∵A,B,C三點(diǎn)確定的平面為γ,∴C∈γ,AB?γ,∴R∈γ.又∵C∈β,∴C,R是平面β和γ的公共點(diǎn),∴β∩γ=CR.5.平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,既與AB共面也與CC1共面的棱的條數(shù)為()A.3B.4C.5D.6答案C解析如圖,用列舉法知符合要求的棱為:BC,CD,C1D1,BB1,AA1,故選C.二、填空題6.過(guò)同一點(diǎn)的4條直線中,任意3條都不在同一平面內(nèi),則這4條直線確定平面的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______.答案6解析設(shè)四條直線為a,b,c,d,則這四條直線中每?jī)蓷l都確定一個(gè)平面,即a與b,a與c,a與d,b與c,b與d,c與d分別確定一個(gè)平面,共6個(gè)平面.7.給出以下說(shuō)法:①共面的四點(diǎn)中,任意三點(diǎn)不共線;②和一條直線都相交的兩條直線在同一平面內(nèi);③三條兩兩相交的直線在同一平面內(nèi);④有三個(gè)不同公共點(diǎn)的兩個(gè)平面重合;⑤依次首尾相接的四條線段不一定共面.其中正確的個(gè)數(shù)是________.答案1解析易知⑤正確;①錯(cuò)誤,任意三點(diǎn)可能共線;②錯(cuò)誤,因?yàn)樵诳臻g中,這兩條直線可能不在同一平面;③錯(cuò)誤,如正方體中,具有同一頂點(diǎn)的三條棱不在同一平面內(nèi).④錯(cuò)誤,三個(gè)不同的公共點(diǎn)可在兩平面的交線上.所以正確命題的個(gè)數(shù)為1.8.已知α,β為平面,A,B,M,N為點(diǎn),a為直線,下列推理正確的是________.①A∈a,A∈β,B∈a,B∈β?a?β;②M∈α,M∈β,N∈α,N∈β?α∩β=MN;③A∈α,A∈β?α∩β=A;④A,B,M∈α,A,B,M∈β,且A,B,M不共線?α,β重合.答案①②④解析③應(yīng)寫(xiě)成A∈α,A∈β?A∈α∩β.由公理3可知α∩β為經(jīng)過(guò)A的一條直線而不是A,故α∩β=A的寫(xiě)法錯(cuò)誤.①②④顯然正確.三、解答題9.如圖,空間四邊形ABCD中,E,H分別是AB,AD的中點(diǎn),F(xiàn),G分別是BC,CD上的點(diǎn),且eq\f(CF,CB)=eq\f(CG,CD)=eq\f(2,3).求證:三條直線EF,GH,AC交于一點(diǎn).證明∵E,H分別是AB,AD的中點(diǎn),∴EH綊eq\f(1,2)BD,∵eq\f(CF,CB)=eq\f(CG,CD)=eq\f(2,3),∴GF∥BD,GF=eq\f(2,3)BD,∴EH∥GF且EH≠GF,∴四邊形EFGH為梯形,∴兩腰EF,GH交于一點(diǎn)P.∵EF?面ABC,∴P∈面ABC,同理P∈面ADC,∴P在面ADC和面ABC的交線AC上,∴三條直線EF,GH,AC交于一點(diǎn).10.如圖,在底面是平行四邊形的四棱錐S-ABCD中,O為AC,BD的交點(diǎn),P,Q分別為△SAD,△SBC的重心.求證:S,P,O,Q四點(diǎn)共面.證明

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