2020高中數(shù)學(xué) 第二章 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 2.1.1 平面練習(xí)（含解析）2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精PAGE14-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精第9課時(shí)平面對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P25知識(shí)點(diǎn)一平面的概念及表示1．下列關(guān)于平面的命題中正確的是(）①平靜的太平洋面就是一個(gè)平面；②9個(gè)平面重疊起來(lái)比7個(gè)平面重疊起來(lái)厚;③四邊形確定一個(gè)平面；④平面可以看成空間中點(diǎn)的集合，它是一個(gè)無(wú)限集．A．①B．④C．②③D．①④答案B解析對(duì)于①，平面是抽象的,且是無(wú)限延展的，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，平面是無(wú)大小、無(wú)厚薄之分的，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，空間四邊形不能確定一個(gè)平面，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，平面是空間中點(diǎn)的集合，是無(wú)限集，故④正確．2．直線a,b，c兩兩平行，但不共面,經(jīng)過(guò)其中2條直線的平面共有（)A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．0或有無(wú)數(shù)多個(gè)答案C解析直線a，b確定一個(gè)平面，直線b，c確定一個(gè)平面,直線a，c確定一個(gè)平面，共3個(gè)平面，故選C．知識(shí)點(diǎn)二平面的基本性質(zhì)3．下列命題正確的是()A．一條直線和一點(diǎn)確定一個(gè)平面B．兩條相交直線確定一個(gè)平面C．四點(diǎn)確定一個(gè)平面D．三條平行直線確定一個(gè)平面答案B解析根據(jù)一條直線和直線外的一點(diǎn)確定一個(gè)平面，知A不正確；B顯然正確；C中四點(diǎn)不一定共面，故C不正確；三條平行直線可以確定一個(gè)平面或三個(gè)平面，故D不正確．故選B．4．給出下列說(shuō)法：①如果一條線段的中點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么它的兩個(gè)端點(diǎn)也在這個(gè)平面內(nèi);②兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形;③兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；④若一個(gè)四邊形有三條邊在同一個(gè)平面內(nèi),則第四條邊也在這個(gè)平面內(nèi);⑤點(diǎn)A在平面α外，點(diǎn)A和平面α內(nèi)的任意一條直線都不共面．其中所有正確說(shuō)法的序號(hào)是________．答案③④解析①中線段可以與平面相交；②中的四邊形可以是空間四邊形；③中平行的對(duì)邊能確定平面，所以是平行四邊形;④中由四邊形的三條邊在同一個(gè)平面內(nèi)，可知第四條邊的兩個(gè)端點(diǎn)也在這個(gè)平面內(nèi)，所以第四條邊在這個(gè)平面內(nèi);⑤中點(diǎn)A和平面α內(nèi)的任意一條直線都能確定一個(gè)平面．知識(shí)點(diǎn)三點(diǎn)共線問(wèn)題5．如圖,△ABC在平面α外,AB∩α＝P，BC∩α＝Q,AC∩α＝R．求證：P,Q，R三點(diǎn)共線．證明∵AB∩α＝P,BC∩α＝Q，AC∩α＝R，∴P，Q，R∈平面ABC，P，Q，R∈α．∴點(diǎn)P，Q,R在兩平面的交線上，即P，Q，R三點(diǎn)共線．6．如圖，不在同一平面內(nèi)的兩個(gè)三角形△ABC和△A1B1C1，AB與A1B1相交于P，BC與B1C1相交于Q,AC與A1C1相交于R，求證：P，Q,R三點(diǎn)共線．證明∵AB∩A1B1＝P，∴P∈AB，P∈A1B1．∵AB?平面ABC,∴P∈平面ABC．又∵A1B1?平面A1B1C1，∴P∈平面A1B1C1．∴P在平面ABC與平面A1B1C1的交線上．同理可證Q，R也都在平面ABC與平面A1B1C1的交線上．根據(jù)公理3知兩個(gè)平面的交線有且只有一條，故P，Q，R三點(diǎn)共線．知識(shí)點(diǎn)四線共點(diǎn)問(wèn)題7．如圖，已知平面α，β,且α∩β＝l．設(shè)梯形ABCD中，AD∥BC,且AB?α，CD?β．求證:AB，CD，l共點(diǎn)．證明因?yàn)樘菪蜛BCD中，AD∥BC，所以AB,CD是梯形ABCD的兩腰,所以AB，CD必定相交于一點(diǎn)．如圖，設(shè)AB∩CD＝M．又因?yàn)锳B?α，CD?β，所以M∈α，且M∈β，所以M∈α∩β．又因?yàn)棣痢搔拢絣，所以M∈l，即AB，CD，l共點(diǎn)．8．已知：平面α，β，γ兩兩相交于三條直線l1，l2,l3，且l1，l2不平行．求證：l1,l2，l3相交于一點(diǎn)．證明如圖，α∩β＝l1,β∩γ＝l2，α∩γ＝l3．∵l1?β，l2?β，且l1，l2不平行,∴l(xiāng)1與l2必相交．設(shè)l1∩l2＝P,則P∈l1?α，P∈l2?γ，∴P∈α∩γ＝l3，∴l(xiāng)1，l2,l3相交于一點(diǎn)P．知識(shí)點(diǎn)五共面問(wèn)題9．如圖是正方體或四面體，P,Q，R，S分別是所在棱的中點(diǎn)，這四個(gè)點(diǎn)不共面的一個(gè)圖是()答案D解析在A圖中：分別連接PS，QR，則PS∥QR，∴P,Q,R,S共面．在B圖中：過(guò)P，Q，R，S可作一正六邊形,如圖,故P，Q，R，S四點(diǎn)共面．在C圖中:分別連接PQ，RS，則PQ∥RS,∴P，Q,R，S共面．在D圖中:任意兩點(diǎn)的連線既不平行也不相交，∴P,Q，R，S四點(diǎn)不共面．故選D．對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P26一、選擇題1．用符號(hào)表示“點(diǎn)A在直線l上，在平面α外”為（）A．A∈l，A?αB．A∈l，A?αC．A?l,A?αD．A?l，A?α答案A解析“點(diǎn)A在直線l上"用“A∈l”表示，“點(diǎn)A在平面α外”用“A?α”表示．故選A．2．下列說(shuō)法中正確的是（）A．空間中不同的三點(diǎn)確定一個(gè)平面B．空間中兩兩相交的三條直線確定一個(gè)平面C．空間中有三個(gè)角為直角的四邊形一定是平面圖形D．和同一條直線相交的三條平行直線一定在同一個(gè)平面內(nèi)答案D解析A錯(cuò)誤，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，過(guò)三點(diǎn)的平面有無(wú)數(shù)個(gè)．B錯(cuò)誤，空間兩兩相交的三條直線交于同一點(diǎn)時(shí),可以確定一個(gè)或三個(gè)平面．C錯(cuò)誤，空間中四個(gè)點(diǎn)不一定共面，有三個(gè)角為直角的四邊形可能是空間圖形，如圖，空間四邊形ABCD1．D正確，如圖，因?yàn)閍∥b，所以直線a，b確定一個(gè)平面α,因?yàn)閎∥c,所以直線b，c確定一個(gè)平面β，再說(shuō)明l?α，l?β，由“過(guò)兩條相交直線有且只有一個(gè)平面”推出α與β重合，推出a，b，c，l共面．故選D．3．三個(gè)平面可將空間最多分成________部分(）A．4B．6C．7D．8答案D解析當(dāng)三個(gè)平面兩兩相交且交線交于一點(diǎn)時(shí)，三個(gè)平面將空間分成的部分最多，此時(shí)將空間分成8部分．故選D．4．如圖所示，平面α∩平面β＝l，點(diǎn)A,B∈α，點(diǎn)C∈β，直線AB∩l＝R．設(shè)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的平面為γ，則β∩γ＝（）A．直線ACB．直線BCC．直線CRD．以上均不正確答案C解析由題意知,∵AB∩l＝R,平面α∩平面β＝l,∴R∈l，l?β，R∈AB，∴R∈β．又∵A，B,C三點(diǎn)確定的平面為γ，∴C∈γ,AB?γ，∴R∈γ．又∵C∈β，∴C，R是平面β和γ的公共點(diǎn)，∴β∩γ＝CR．5．平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，既與AB共面也與CC1共面的棱的條數(shù)為（)A．3B．4C．5D．6答案C解析如圖,用列舉法知符合要求的棱為：BC，CD，C1D1，BB1，AA1，故選C．二、填空題6．過(guò)同一點(diǎn)的4條直線中，任意3條都不在同一平面內(nèi)，則這4條直線確定平面的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．答案6解析設(shè)四條直線為a,b，c，d，則這四條直線中每?jī)蓷l都確定一個(gè)平面，即a與b，a與c,a與d，b與c，b與d，c與d分別確定一個(gè)平面,共6個(gè)平面．7．給出以下說(shuō)法：①共面的四點(diǎn)中，任意三點(diǎn)不共線；②和一條直線都相交的兩條直線在同一平面內(nèi)；③三條兩兩相交的直線在同一平面內(nèi);④有三個(gè)不同公共點(diǎn)的兩個(gè)平面重合；⑤依次首尾相接的四條線段不一定共面．其中正確的個(gè)數(shù)是________．答案1解析易知⑤正確；①錯(cuò)誤，任意三點(diǎn)可能共線；②錯(cuò)誤，因?yàn)樵诳臻g中，這兩條直線可能不在同一平面；③錯(cuò)誤，如正方體中，具有同一頂點(diǎn)的三條棱不在同一平面內(nèi)．④錯(cuò)誤，三個(gè)不同的公共點(diǎn)可在兩平面的交線上．所以正確命題的個(gè)數(shù)為1．8．已知α，β為平面，A，B，M，N為點(diǎn)，a為直線，下列推理正確的是________．①A∈a，A∈β，B∈a，B∈β?a?β；②M∈α，M∈β,N∈α,N∈β?α∩β＝MN；③A∈α，A∈β?α∩β＝A;④A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共線?α，β重合．答案①②④解析③應(yīng)寫(xiě)成A∈α，A∈β?A∈α∩β．由公理3可知α∩β為經(jīng)過(guò)A的一條直線而不是A，故α∩β＝A的寫(xiě)法錯(cuò)誤．①②④顯然正確．三、解答題9．如圖，空間四邊形ABCD中，E,H分別是AB，AD的中點(diǎn)，F(xiàn),G分別是BC，CD上的點(diǎn)，且eq\f(CF，CB)＝eq\f(CG,CD）＝eq\f(2，3）．求證：三條直線EF，GH，AC交于一點(diǎn)．證明∵E，H分別是AB，AD的中點(diǎn)，∴EH綊eq\f(1,2）BD，∵eq\f（CF，CB）＝eq\f(CG，CD）＝eq\f(2,3),∴GF∥BD，GF＝eq\f(2，3)BD,∴EH∥GF且EH≠GF，∴四邊形EFGH為梯形,∴兩腰EF，GH交于一點(diǎn)P．∵EF?面ABC，∴P∈面ABC，同理P∈面ADC，∴P在面ADC和面ABC的交線AC上，∴三條直線EF,GH，AC交于一點(diǎn)．10．如圖，在底面是平行四邊形的四棱錐S－ABCD中，O為AC,BD的交點(diǎn)，P，Q分別為△SAD,△SBC的重心．求證:S，P，O，Q四點(diǎn)共面．證明