職高高二數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)復(fù)數(shù)及其應(yīng)用-教案

第三十二課時(shí)：復(fù)數(shù)的概念（一）【教學(xué)目標(biāo)】知識目標(biāo)：理解復(fù)數(shù)的有關(guān)概念．能力目標(biāo)：通過復(fù)數(shù)概念的學(xué)習(xí)與相關(guān)計(jì)算，使學(xué)生的計(jì)算技能與計(jì)算工具使用技能得到鍛煉和提高．【教學(xué)重點(diǎn)】復(fù)數(shù)的概念．【教學(xué)難點(diǎn)】復(fù)數(shù)的概念．【教學(xué)設(shè)計(jì)】首先給出了復(fù)數(shù)的定義，然后引入虛數(shù)、純虛數(shù)的定義，將實(shí)數(shù)集推廣到復(fù)數(shù)集．介紹復(fù)數(shù)（）的概念時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)：（1）復(fù)數(shù)的虛部是，而不是，如教材中指出復(fù)數(shù)的虛部是，而不是．（2）當(dāng)虛部時(shí)，復(fù)數(shù)就是實(shí)數(shù).當(dāng)虛部時(shí)，復(fù)數(shù)是虛數(shù)，特別時(shí)，虛數(shù)是純虛數(shù).（3）（）中的“”號有兩種作用，第一個(gè)作用是連接記號，表示是一個(gè)整體，由實(shí)數(shù)和純虛數(shù)組成復(fù)數(shù)；第二個(gè)作用是運(yùn)算符號表示實(shí)數(shù)和純虛數(shù)相加．例1的作用是幫助學(xué)生理解概念．這部分內(nèi)容學(xué)生了解即可，不需要特別強(qiáng)化訓(xùn)練，不介紹關(guān)于數(shù)系討論問題的解題技巧．教學(xué)中要把握難度，不超過教材的例、習(xí)題的難度．講解復(fù)數(shù)相等的定義時(shí)要強(qiáng)調(diào)ii等價(jià)于且，只有當(dāng)，這兩個(gè)條件同時(shí)成立時(shí)i才能等于i.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是．要注意它們的特征：實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)，教學(xué)中可引導(dǎo)學(xué)生得出：實(shí)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)就是它本身．例2的作用是幫助學(xué)生理解復(fù)數(shù)相等的定義．教學(xué)中要講清楚解題的基本思想，分清等號兩邊復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部，利用復(fù)數(shù)相等的概念，由“實(shí)部與實(shí)部相等，虛部與虛部相等”列出一個(gè)二元一次方程組，最后求出未知數(shù)、的值．例3的作用是幫助學(xué)生理解共軛復(fù)數(shù)的概念．要強(qiáng)調(diào)互為共軛的兩個(gè)復(fù)數(shù)，其實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)．【課時(shí)安排】1課時(shí)．【教學(xué)過程】創(chuàng)設(shè)情境興趣導(dǎo)入我們知道一元二次方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無解．更一般地，當(dāng)根的判別式時(shí)，一元二次方程（其中為實(shí)數(shù)且）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)也無解.動腦思考探索新知為了使方程有解，引進(jìn)一個(gè)新數(shù)i，叫做虛數(shù)單位，并且規(guī)定數(shù)i有如下性質(zhì)：（1）i的平方等于－1，即（2）i與實(shí)數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)，原有的加法、乘法的運(yùn)算法則和運(yùn)算律仍然成立.由性質(zhì)（1）知，是方程的一個(gè)解．由性質(zhì)（2）知，，故也是方程的一個(gè)解.【注意】為了與表示電流強(qiáng)度的符號相區(qū)別，電學(xué)中虛數(shù)單位用字母表示.根據(jù)上述性質(zhì)，可以與實(shí)數(shù)b相乘，由于滿足乘法交換律，其乘積一般寫作（規(guī)定），再將與實(shí)數(shù)a相加，動腦思考探索新知為了使方程有解，引進(jìn)一個(gè)新數(shù)i，叫做虛數(shù)單位，并且規(guī)定數(shù)i有如下性質(zhì)：（1）i的平方等于－1，即（2）i與實(shí)數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)，原有的加法、乘法的運(yùn)算法則和運(yùn)算律仍然成立.由性質(zhì)（1）知，是方程的一個(gè)解．由性質(zhì)（2）知，，故也是方程的一個(gè)解.【注意】為了與表示電流強(qiáng)度的符號相區(qū)別，電學(xué)中虛數(shù)單位用字母表示.根據(jù)上述性質(zhì)，可以與實(shí)數(shù)b相乘，由于滿足乘法交換律，其乘積一般寫作（規(guī)定），再將與實(shí)數(shù)a相加，（轉(zhuǎn)下節(jié)）第三十三課時(shí)：復(fù)數(shù)的概念（二）【教學(xué)目標(biāo)】知識目標(biāo)：理解復(fù)數(shù)的有關(guān)概念．能力目標(biāo)：通過復(fù)數(shù)概念的學(xué)習(xí)與相關(guān)計(jì)算，使學(xué)生的計(jì)算技能與計(jì)算工具使用技能得到鍛煉和提高．【教學(xué)重點(diǎn)】復(fù)數(shù)的概念．【教學(xué)難點(diǎn)】復(fù)數(shù)的概念．【課時(shí)安排】1課時(shí)．【教學(xué)過程】（接上節(jié)）根據(jù)上述性質(zhì)，可以與實(shí)數(shù)b相乘，由于滿足乘法交換律，其乘積一般寫作（規(guī)定），再將與實(shí)數(shù)a相加由于滿足加法交換律，其和一般寫作.形如（）的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中叫做復(fù)數(shù)的實(shí)部，叫做復(fù)數(shù)的虛部.復(fù)數(shù)一般使用小寫字母等來表示.例如，復(fù)數(shù)的實(shí)部為，虛部為.當(dāng)虛部時(shí)，復(fù)數(shù)就是實(shí)數(shù).當(dāng)虛部時(shí)，復(fù)數(shù)叫做虛數(shù)，特別時(shí)虛數(shù)叫做純虛數(shù).例如，，，都是復(fù)數(shù)，其中是實(shí)數(shù)，是虛數(shù)，是純虛數(shù).【想一想】，的實(shí)部、虛部各是多少？全體復(fù)數(shù)組成的集合叫做復(fù)數(shù)集，常用大寫字母C來表示，即.顯然，實(shí)數(shù)集R是復(fù)數(shù)集C的真子集.引入復(fù)數(shù)后，數(shù)的范圍得到擴(kuò)充：鞏固知識典型例題例1指出下列復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，并判定它們是實(shí)數(shù)還是虛數(shù)？如果是虛數(shù)是否為純虛數(shù)？(1)；(2)；(3)．解(1)的實(shí)部，虛部，它是虛數(shù)，但不是純虛數(shù)；(2)的實(shí)部，虛部，它是實(shí)數(shù)；(3)的實(shí)部，虛部，它是虛數(shù)，且是純虛數(shù).動腦思考探索新知如果兩個(gè)復(fù)數(shù)（）與（）的實(shí)部與虛部分別相等，那么稱這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等.記作，即.（3.1）特別地(3.2)鞏固知識典型例題例2已知其中x，y是實(shí)數(shù)，求x和y的值．解根據(jù)公式(3.1)，得解方程組得x＝3，y＝2．例3求復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù).解，，.運(yùn)用知識強(qiáng)化練習(xí)1.指出下列復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部：(1)；(2)2.求下列復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)：(1)；(2).繼續(xù)探索活動探究(1)讀書部分：教材(2)書面作業(yè)：教材習(xí)題3．1（必做）；學(xué)習(xí)與訓(xùn)練訓(xùn)練題3．1（選做）第三十四課時(shí)：復(fù)數(shù)的幾何意義（一）【教學(xué)目標(biāo)】知識目標(biāo)：（1）理解復(fù)數(shù)的幾何意義．（2）會求復(fù)數(shù)的模、輻角和輻角主值以及復(fù)數(shù)的三角形式．能力目標(biāo)：通過復(fù)數(shù)的模、輻角和輻角主值以及復(fù)數(shù)的三角形式的學(xué)習(xí)，使學(xué)生的計(jì)算技能得到鍛煉和提高．【教學(xué)重點(diǎn)】（1）復(fù)數(shù)的幾何表示．（2）復(fù)數(shù)的三角形式、指數(shù)形式、極坐標(biāo)形式.【教學(xué)難點(diǎn)】復(fù)數(shù)的代數(shù)形式轉(zhuǎn)化為三角形式．【教學(xué)設(shè)計(jì)】在講解復(fù)平面和復(fù)數(shù)的幾何表示時(shí)，自然的建立了復(fù)數(shù)與直角坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)Z（）之間的一一對應(yīng)關(guān)系，于是復(fù)數(shù)（）可以用直角坐標(biāo)系平面中的點(diǎn)表示．建立了直角坐標(biāo)系用來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，在復(fù)平面內(nèi)，軸叫做實(shí)軸，軸叫做虛軸，實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)，虛軸上除去原點(diǎn)以外的點(diǎn)都表示純虛數(shù)．要特別強(qiáng)調(diào)虛軸不包括原點(diǎn)，虛軸的單位與實(shí)軸一樣都是1．復(fù)平面與復(fù)數(shù)的點(diǎn)表示是復(fù)數(shù)的向量表示的基礎(chǔ)．例4是理解復(fù)平面的實(shí)際操作訓(xùn)練題．例5是用向量表示復(fù)數(shù)的知識鞏固性題目．包含了與坐標(biāo)軸平行和不平行的情況．例6介紹了求復(fù)數(shù)（）的模與輻角的方法．將復(fù)數(shù)的代數(shù)形式化為三角形式，關(guān)鍵是求出復(fù)數(shù)的模和輻角．有了例6的鋪墊，進(jìn)行這種轉(zhuǎn)化的例7，就比較容易完成了．要注意依照教材規(guī)范解題的步驟進(jìn)行規(guī)范．將三角式化為代數(shù)式，只需按照分配律計(jì)算出結(jié)果．例8給出了具體的步驟，要引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立完成．在計(jì)算中要幫助學(xué)生復(fù)習(xí)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式．【課時(shí)安排】1課時(shí)．【教學(xué)過程】動腦思考探索新知1.復(fù)數(shù)的點(diǎn)表示任何一個(gè)實(shí)數(shù)a都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)表示．例如，實(shí)數(shù)1.5可以用數(shù)軸上的點(diǎn)A表示（如圖3-1）．圖3-1由復(fù)數(shù)相等的定義知，任何一個(gè)復(fù)數(shù)都對應(yīng)唯一的有序?qū)崝?shù)對(a，b)，其中a，b分別為復(fù)數(shù)z的實(shí)部和虛部，而有序?qū)崝?shù)對(a，b)又對應(yīng)直角坐標(biāo)平面內(nèi)的唯一的一個(gè)點(diǎn)Z，其坐標(biāo)為(a，b)，如圖3-2所示.反之，對直角坐標(biāo)平面內(nèi)的每一點(diǎn)Z(a，b)確定的唯一的有序?qū)崝?shù)對(a，b)，如果a，b分別看作復(fù)數(shù)z的實(shí)部和虛部，那么就對應(yīng)唯一的復(fù)數(shù).這樣，就建立了復(fù)數(shù)與直角坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)之間的一一對應(yīng)關(guān)系，即每一個(gè)復(fù)數(shù)都對應(yīng)直角坐標(biāo)平面內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，直角坐標(biāo)平面內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)也對應(yīng)一個(gè)復(fù)數(shù).xxbaＯZ(a,b)圖3-2于是，復(fù)數(shù)可以用直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)Z(a，b)表示.建立直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面（如圖3-2）．在復(fù)平面內(nèi)，x軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)，y軸上除去原點(diǎn)以外的點(diǎn)都表示純虛數(shù)，因此，一般將x軸稱為實(shí)軸，y軸稱為虛軸.鞏固知識典型例題例4用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)表示復(fù)數(shù)：解如圖3－3所示，表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)是，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)是，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)是，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)是.圖3-3第三十五課時(shí)：復(fù)數(shù)的幾何意義（二）【教學(xué)目標(biāo)】知識目標(biāo)：（1）理解復(fù)數(shù)的幾何意義．（2）會求復(fù)數(shù)的模、輻角和輻角主值以及復(fù)數(shù)的三角形式．能力目標(biāo)：通過復(fù)數(shù)的模、輻角和輻角主值以及復(fù)數(shù)的三角形式的學(xué)習(xí)，使學(xué)生的計(jì)算技能得到鍛煉和提高．【教學(xué)重點(diǎn)】（1）復(fù)數(shù)的幾何表示．（2）復(fù)數(shù)的三角形式、指數(shù)形式、極坐標(biāo)形式.【教學(xué)難點(diǎn)】復(fù)數(shù)的代數(shù)形式轉(zhuǎn)化為三角形式．【課時(shí)安排】1課時(shí)．【教學(xué)過程】動腦思考探索新知2.復(fù)數(shù)的向量表示在建立了平面直角坐標(biāo)系的平面內(nèi)，每一個(gè)位置向量（即以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量）都與它的終點(diǎn)一一對應(yīng)，該向量的坐標(biāo)等于它的終點(diǎn)坐標(biāo).如圖3－4所示，設(shè)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z（a，b）表示復(fù)數(shù)以原點(diǎn)O為始點(diǎn)，點(diǎn)Z為終點(diǎn)作位置向量，那么向量由點(diǎn)Z唯一確定；反之，點(diǎn)Z（a，b）（即復(fù)數(shù)）也可以由向量唯一確定.于是復(fù)數(shù)與向量之間具有一一對應(yīng)關(guān)系（復(fù)數(shù)0與零向量對應(yīng)），因此，復(fù)數(shù)可用向量表示．xxoyZ(a,b)ab鞏固知識典型例題例5用向量表示下列復(fù)數(shù)：圖3-5解如圖3－5所示，向量分別表示復(fù)數(shù)運(yùn)用知識強(qiáng)化練習(xí)指出圖中各點(diǎn)所表示的復(fù)數(shù)．繼續(xù)探索活動探究(1)讀書部分：教材(2)書面作業(yè)：教材習(xí)題3．1（必做）；學(xué)習(xí)與訓(xùn)練訓(xùn)練題3．1（選做）第三十六課時(shí)：復(fù)數(shù)的三角形式（一）【教學(xué)目標(biāo)】知識目標(biāo)：會求復(fù)數(shù)的模、輻角和輻角主值以及復(fù)數(shù)的三角形式．能力目標(biāo)：通過復(fù)數(shù)的模、輻角和輻角主值以及復(fù)數(shù)的三角形式的學(xué)習(xí)，使學(xué)生的計(jì)算技能得到鍛煉和提高．【教學(xué)重點(diǎn)】（1）復(fù)數(shù)的幾何表示．（2）復(fù)數(shù)的三角形式、指數(shù)形式、極坐標(biāo)形式.【教學(xué)難點(diǎn)】復(fù)數(shù)的代數(shù)形式轉(zhuǎn)化為三角形式．【課時(shí)安排】1課時(shí)．【教學(xué)過程】動腦思考探索新知復(fù)數(shù)的三角形式觀察圖3?4，表示復(fù)數(shù)的向量，可以由向量的大?。＃┡c方向（與x軸正方向所成的角）來確定．向量的模叫做復(fù)數(shù)的模（如圖3－6），記做或，即．（3.3）特別地，當(dāng)b=0時(shí)，z=a，于是此時(shí)z的模等于實(shí)數(shù)a的絕對值.aa圖3-6xoyZ(a,b)br當(dāng)復(fù)數(shù)時(shí)，以實(shí)軸的正半軸為始邊，向量為終邊的角叫做復(fù)數(shù)的輻角（如圖3－6）．非零復(fù)數(shù)的輻角都有無窮多個(gè)，其中區(qū)間內(nèi)的輻角叫做輻角主值，記作.當(dāng)復(fù)數(shù)時(shí)，輻角可以由對應(yīng)點(diǎn)的位置確定，分為如下兩種情況：（1）當(dāng)點(diǎn)在某個(gè)象限內(nèi)時(shí)，其輻角可以由和點(diǎn)所在的象限確定；（2）當(dāng)點(diǎn)分別在正半實(shí)軸、負(fù)半實(shí)軸、正半虛軸或負(fù)半虛軸上時(shí)，其輻角分別為0、、或.當(dāng)復(fù)數(shù)時(shí)，對應(yīng)的向量是零向量，輻角可以取任意值.【想一想】如果復(fù)數(shù)中，，那么當(dāng)及時(shí)，復(fù)數(shù)的輻角主值各是多少？鞏固知識典型例題例6求下列各復(fù)數(shù)的模與輻角主值．（1）；（2）；（3）；（4）．解（1）由知點(diǎn)在第一象限，故輻角為第一象限的角．所以．又，所以．（2）由知點(diǎn)在第四象限，故輻角為第四象限的角．所以．又，所以．（3）由知點(diǎn)在第三象限，故輻角為第三象限的角．所以．（轉(zhuǎn)下節(jié)）第三十七課時(shí)：復(fù)數(shù)的三角形式（二）【教學(xué)目標(biāo)】知識目標(biāo)：會求復(fù)數(shù)的模、輻角和輻角主值以及復(fù)數(shù)的三角形式．能力目標(biāo)：通過復(fù)數(shù)的模、輻角和輻角主值以及復(fù)數(shù)的三角形式的學(xué)習(xí)，使學(xué)生的計(jì)算技能得到鍛煉和提高．【教學(xué)重點(diǎn)】（1）復(fù)數(shù)的幾何表示．（2）復(fù)數(shù)的三角形式、指數(shù)形式、極坐標(biāo)形式.【教學(xué)難點(diǎn)】復(fù)數(shù)的代數(shù)形式轉(zhuǎn)化為三角形式．【課時(shí)安排】1課時(shí)．【教學(xué)過程】（接上節(jié)）又，所以.（4）由知，，．動腦思考探索新知設(shè)復(fù)數(shù)的模輻角為觀察圖3－6知，所以，即．（3.4）我們把叫做復(fù)數(shù)的三角形式，而把=叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式．【注意】復(fù)數(shù)的三角形式中：（1）；（2）實(shí)部為，虛部為；（3）實(shí)部與虛部之間用“+”號連接.從復(fù)數(shù)的三角形式可以看出，如果兩個(gè)非零復(fù)數(shù)的模與輻角分別相等，那么這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等.【想一想】如果兩個(gè)非零復(fù)數(shù)的模相等，輻角不相等，那么這兩個(gè)復(fù)數(shù)會相等嗎?為什么？與復(fù)數(shù)的代數(shù)形式不同，一個(gè)復(fù)數(shù)的三角形式不是唯一的，設(shè)，則都是z的三角形式，為了使運(yùn)算結(jié)果一致，本章中，如果不加說明，復(fù)數(shù)的輻角指的是輻角主值.鞏固知識典型例題例7把下列復(fù)數(shù)化為三角形式：（1）；（2）．分析將復(fù)數(shù)的代數(shù)形式化為三角形式的關(guān)鍵是求出復(fù)數(shù)的模與輻角．解（1）由知點(diǎn)在第二象限，故輻角為第二象限的角．所以．又，所以．因此，復(fù)數(shù)的三角形式為．（2）由知，．，因此復(fù)數(shù)的三角形式為．例8將下列復(fù)數(shù)表示為代數(shù)形式：(1)；(2)．解(1)＝．(2)．運(yùn)用知識強(qiáng)化練習(xí)1.求下列復(fù)數(shù)的模和輻角主值．（1）；（2）．2．把下列復(fù)數(shù)化為三角形式：（1）；（2）．續(xù)探索活動探究讀書部分：教材(2)書面作業(yè)：教材習(xí)題3．1（必做）；學(xué)習(xí)與訓(xùn)練訓(xùn)練題3．1（選做）第三十八課時(shí)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算（一）【教學(xué)目標(biāo)】知識目標(biāo)：會進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式、三角形式的運(yùn)算.能力目標(biāo)：通過對復(fù)數(shù)相關(guān)計(jì)算的學(xué)習(xí)，使學(xué)生的計(jì)算技能與計(jì)算工具使用技能得到鍛煉和提高．【教學(xué)重點(diǎn)】（1）復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算.（2）復(fù)數(shù)三角形式的乘、除、乘方運(yùn)算．【教學(xué)難點(diǎn)】三角形式的乘法、除法、乘方運(yùn)算．【教學(xué)設(shè)計(jì)】在講解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算時(shí)，可以首先指出，當(dāng)數(shù)的概念擴(kuò)充以后，需要把數(shù)的運(yùn)算也進(jìn)行擴(kuò)充．例1是兩個(gè)代數(shù)形式的復(fù)數(shù)進(jìn)行加、減運(yùn)算的知識鞏固性題目，例2比例1稍微復(fù)雜一些，是三個(gè)代數(shù)形式的復(fù)數(shù)進(jìn)行加、減的混合運(yùn)算．例3（1）是兩個(gè)代數(shù)形式的復(fù)數(shù)進(jìn)行乘法運(yùn)算的知識鞏固性題目，例3（2）是代數(shù)形式的復(fù)數(shù)進(jìn)行乘方運(yùn)算．例４是求復(fù)數(shù)與其共軛復(fù)數(shù)的乘積，結(jié)果是該復(fù)數(shù)實(shí)部與虛部的平方和.這個(gè)結(jié)論非常重要，使用它可以把虛數(shù)轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)，在復(fù)數(shù)的除法中就要用到這個(gè)結(jié)論．復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算，類似于初中代數(shù)根式運(yùn)算中的分母有理化．例5、例6都是兩個(gè)代數(shù)形式的復(fù)數(shù)進(jìn)行復(fù)數(shù)除法運(yùn)算的知識鞏固性題目，但略有不同，例5中的兩個(gè)復(fù)數(shù)直接寫為商的形式，而例6的兩個(gè)復(fù)數(shù)未直接寫為商的形式，需轉(zhuǎn)化為商的形式，再進(jìn)行“分母實(shí)數(shù)化”．【課時(shí)安排】1課時(shí)．【教學(xué)過程】動腦思考探索新知復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算1.復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加法和減法復(fù)數(shù)的加法和減法，可以按照多項(xiàng)式的加法和減法運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算．將實(shí)部與實(shí)部相加減，虛部與虛部相加減．即（3．5）（3．6）可以證明（證明略），復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足交換律與結(jié)合律．即對任意的復(fù)數(shù)有(1)交換律(2)結(jié)合律由于復(fù)數(shù)可以用向量表示，故復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算相當(dāng)于向量的加減運(yùn)算．設(shè)復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的向量分別為和，則則鞏固知識典型例題例1計(jì)算：（1）（4+3i）＋（7+9i）；（2）(8+3i)－(1－2i).解（1）（4+3i）＋（7+9i）；（2）(8+3i)－(1－2i).例2計(jì)算（3－2i）+(2+3i)—(4－2i).解（3－2i）+(2+3i)－(4－2i)＝(3+2－4)+[－2+3－(－2)]i＝1+3i.（轉(zhuǎn)下節(jié)）第三十九課時(shí)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算（二）【教學(xué)目標(biāo)】知識目標(biāo)：會進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式、三角形式的運(yùn)算.能力目標(biāo)：通過對復(fù)數(shù)相關(guān)計(jì)算的學(xué)習(xí)，使學(xué)生的計(jì)算技能與計(jì)算工具使用技能得到鍛煉和提高．【教學(xué)重點(diǎn)】（1）復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算.（2）復(fù)數(shù)三角形式的乘、除、乘方運(yùn)算．【教學(xué)難點(diǎn)】三角形式的乘法、除法、乘方運(yùn)算．【教學(xué)設(shè)計(jì)】在講解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算時(shí)，可以首先指出，當(dāng)數(shù)的概念擴(kuò)充以后，需要把數(shù)的運(yùn)算也進(jìn)行擴(kuò)充．例1是兩個(gè)代數(shù)形式的復(fù)數(shù)進(jìn)行加、減運(yùn)算的知識鞏固性題目，例2比例1稍微復(fù)雜一些，是三個(gè)代數(shù)形式的復(fù)數(shù)進(jìn)行加、減的混合運(yùn)算．例3（1）是兩個(gè)代數(shù)形式的復(fù)數(shù)進(jìn)行乘法運(yùn)算的知識鞏固性題目，例3（2）是代數(shù)形式的復(fù)數(shù)進(jìn)行乘方運(yùn)算．例４是求復(fù)數(shù)與其共軛復(fù)數(shù)的乘積，結(jié)果是該復(fù)數(shù)實(shí)部與虛部的平方和.這個(gè)結(jié)論非常重要，使用它可以把虛數(shù)轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)，在復(fù)數(shù)的除法中就要用到這個(gè)結(jié)論．復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算，類似于初中代數(shù)根式運(yùn)算中的分母有理化．例5、例6都是兩個(gè)代數(shù)形式的復(fù)數(shù)進(jìn)行復(fù)數(shù)除法運(yùn)算的知識鞏固性題目，但略有不同，例5中的兩個(gè)復(fù)數(shù)直接寫為商的形式，而例6的兩個(gè)復(fù)數(shù)未直接寫為商的形式，需轉(zhuǎn)化為商的形式，再進(jìn)行“分母實(shí)數(shù)化”．【課時(shí)安排】1課時(shí)．【教學(xué)過程】（接上節(jié)）動腦思考探索新知2．復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法和除法兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘可以按照多項(xiàng)式相乘的法則來進(jìn)行，在所得的結(jié)果中，把換成－1，并把實(shí)部與虛部分別合并．設(shè)則，即（3．7）顯然，兩個(gè)復(fù)數(shù)的積仍然是復(fù)數(shù)．可以證明（證明略）復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算滿足交換律、結(jié)合律和分配律，即對任意復(fù)數(shù)有(1)交換律(2)結(jié)合律（3）分配律規(guī)定在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)成立的乘法公式在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)仍然成立．與實(shí)數(shù)相類似，除法運(yùn)算可以看成乘法運(yùn)算的逆運(yùn)算．利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，求的基本方法是，將分式的分子和分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，使分母變?yōu)閷?shí)數(shù)．即鞏固知識典型例題例3設(shè)計(jì)算(1)(2)．解(1)=.(2)例4設(shè)計(jì)算解===說明由此例可以看到，互為共軛的兩個(gè)復(fù)數(shù)的乘積是實(shí)數(shù)，并且等于這個(gè)復(fù)數(shù)的模的平方．例5計(jì)算．分析的共軛復(fù)數(shù)為．解.例6計(jì)算.解作業(yè)：第四十復(fù)數(shù)的三角形式運(yùn)算【教學(xué)目標(biāo)】知識目標(biāo)：理解復(fù)數(shù)的三角形式形式，并會利用它們進(jìn)行復(fù)數(shù)的運(yùn)算．能力目標(biāo)：通過復(fù)數(shù)相關(guān)計(jì)算的學(xué)習(xí)，使學(xué)生的計(jì)算技能與計(jì)算工具使用技能得到鍛煉和提高．【教學(xué)重點(diǎn)】復(fù)數(shù)三角形式的乘法、除法、乘方運(yùn)算.【教學(xué)難點(diǎn)】復(fù)數(shù)三角形式的乘法、除法、乘方運(yùn)算．【教學(xué)設(shè)計(jì)】在講解復(fù)數(shù)的三角形式的乘、除、乘方運(yùn)算時(shí)，要說明復(fù)數(shù)必須是三角形式，才可以使用復(fù)數(shù)的三角形式的乘、除、乘方運(yùn)算法則，而如果不是三角形式的復(fù)數(shù)要先化為三角形式．復(fù)數(shù)的乘法、乘方、除法用三角形式來做運(yùn)算，不但結(jié)果簡單易記，而且重要的是它明確了復(fù)數(shù)乘法（除法）的幾何意義．利用復(fù)數(shù)的三角形式進(jìn)行以上運(yùn)算時(shí)，一般要求把計(jì)算結(jié)果寫成代數(shù)形式．例7是兩個(gè)三角形式的復(fù)數(shù)進(jìn)行復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的知識鞏固性題目．例8（1）是三角形式的復(fù)數(shù)直接使用乘方公式進(jìn)行運(yùn)算的知識鞏固性題目，而例8（2）是求代數(shù)形式的復(fù)數(shù)的7次方，為了計(jì)算簡便，應(yīng)該首先將該復(fù)數(shù)化為三角形式，然后再利用復(fù)數(shù)三角形式的乘方公式進(jìn)行運(yùn)算，否則計(jì)算量比較大．例9是兩個(gè)三角形式的復(fù)數(shù)進(jìn)行復(fù)數(shù)除法運(yùn)算的知識鞏固性題目，直接按照公式進(jìn)行計(jì)算即可．【課時(shí)安排】課時(shí)．【教學(xué)過程】動腦思考探索新知復(fù)數(shù)三角形式的運(yùn)算實(shí)際運(yùn)算時(shí)，經(jīng)常使用復(fù)數(shù)的三角形式進(jìn)行乘法、乘方、除法運(yùn)算.設(shè)則，即（3．8）可以看到，乘積的模等于兩個(gè)復(fù)數(shù)的模的乘積，乘積的輻角等于兩個(gè)復(fù)數(shù)的輻角的和.特別地，當(dāng)時(shí)，有即（3．9）上面的結(jié)論可推廣到有限個(gè)復(fù)數(shù)相乘．即（3．10）即復(fù)數(shù)的n次冪的模等于這個(gè)復(fù)數(shù)的模的n次冪，輻角等于這個(gè)復(fù)數(shù)的輻角的n倍.同樣還可以得到，兩個(gè)復(fù)數(shù)的商仍然是復(fù)數(shù)，它的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻角所得的差.即（3.11）鞏固知識典型例題例7計(jì)算:.解＝.（轉(zhuǎn)下節(jié)）第四十一復(fù)數(shù)的三角形式運(yùn)算（二）【教學(xué)目標(biāo)】知識目標(biāo)：理解復(fù)數(shù)的三角形式形式，并會利用它們進(jìn)行復(fù)數(shù)的運(yùn)算．能力目標(biāo)：通過復(fù)數(shù)相關(guān)計(jì)算的學(xué)習(xí)，使學(xué)生的計(jì)算技能與計(jì)算工具使用技能得到鍛煉和提高．【教學(xué)重點(diǎn)】復(fù)數(shù)三角形式的乘法、除法、乘方運(yùn)算.【教學(xué)難點(diǎn)】復(fù)數(shù)三角形式的乘法、除法、乘方運(yùn)算．【教學(xué)設(shè)計(jì)】在講解復(fù)數(shù)的三角形式的乘、除、乘方運(yùn)算時(shí)，要說明復(fù)數(shù)必須是三角形式，才可以使用復(fù)數(shù)的三角形式的乘、除、乘方運(yùn)算法則，而如果不是三角形式的復(fù)數(shù)要先化為三角形式．復(fù)數(shù)的乘法、乘方、除法用三角形式來做運(yùn)算，不但結(jié)果簡單易記，而且重要的是它明確了復(fù)數(shù)乘法（除法）的幾何意義．利用復(fù)數(shù)的三角形式進(jìn)行以上運(yùn)算時(shí)，一般要求把計(jì)算結(jié)果寫成代數(shù)形式．例7是兩個(gè)三角形式的復(fù)數(shù)進(jìn)行復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的知識鞏固性題目．例8（1）是三角形式的復(fù)數(shù)直接使用乘方公式進(jìn)行運(yùn)算的知識鞏固性題目，而例8（2）是求代數(shù)形式的復(fù)數(shù)的7次方，為了計(jì)算簡便，應(yīng)該首先將該復(fù)數(shù)化為三角形式，然后再利用復(fù)數(shù)三角形式的乘方公式進(jìn)行運(yùn)算，否則計(jì)算量比較大．例9是兩個(gè)三角形式的復(fù)數(shù)進(jìn)行復(fù)數(shù)除法運(yùn)算的知識鞏固性題目，直接按照公式進(jìn)行計(jì)算即可．【課時(shí)安排】課時(shí)．【教學(xué)過程】（接上節(jié)）例8計(jì)算下列各題，并將結(jié)果用代數(shù)形式表示:（1）；（2）.分析（1）復(fù)數(shù)的模為1，輻角為．（2）是代數(shù)形式的復(fù)數(shù)的冪，要首先將復(fù)數(shù)化為三角形式．解（1）（2）復(fù)數(shù)的模為2，輻角為．所以.例9計(jì)算：,并將結(jié)果用代數(shù)形式表示.解＝＝.運(yùn)用知識強(qiáng)化練習(xí)計(jì)算下列各題,并將結(jié)果用代數(shù)形式表示：(1)；(2)；(3)．論升華整體建構(gòu)思考并回答下面的問題：利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，如何求？結(jié)論：*繼續(xù)探索活動探究(1)讀書部分：教材(2)書面作業(yè)：教材習(xí)題3．2（必做）；學(xué)習(xí)與訓(xùn)練訓(xùn)練題3．2（選做）第四十二課時(shí)：復(fù)數(shù)指數(shù)形式與極坐標(biāo)形式的運(yùn)算（一）【教學(xué)目標(biāo)】知識目標(biāo)：理解復(fù)數(shù)的指數(shù)形式與極坐標(biāo)形式，并會利用它們進(jìn)行復(fù)數(shù)的運(yùn)算．能力目標(biāo)：通過復(fù)數(shù)相關(guān)計(jì)算的學(xué)習(xí)，使學(xué)生的計(jì)算技能與計(jì)算工具使用技能得到鍛煉和提高．【教學(xué)重點(diǎn)】復(fù)數(shù)指數(shù)形式、極坐標(biāo)形式的乘法、除法、乘方運(yùn)算.【教學(xué)難點(diǎn)】復(fù)數(shù)指數(shù)形式、極坐標(biāo)形式的乘法、除法、乘方運(yùn)算．【教學(xué)設(shè)計(jì)】在復(fù)數(shù)的指數(shù)形式與極坐標(biāo)形式的教學(xué)中，首先通過歐拉公式給出復(fù)數(shù)的指數(shù)形式，然后介紹復(fù)數(shù)更為簡潔的極坐標(biāo)形式，這兩種形式在電學(xué)中應(yīng)用很廣泛，所以要求學(xué)生會進(jìn)行復(fù)數(shù)的指數(shù)形式、極坐標(biāo)形式和代數(shù)形式之間的互化．這三種形式都是用有序?qū)崝?shù)對來確定一個(gè)復(fù)數(shù)．但是在復(fù)數(shù)的三角形式中，輻角可以用角度來表示，也可以用弧度來表示，而在指數(shù)形式中，輻角的單位只能是弧度．例10是把兩個(gè)代數(shù)形式的復(fù)數(shù)化為指數(shù)形式的知識鞏固性題目，解題關(guān)鍵是求出復(fù)數(shù)的模和輻角，與介紹復(fù)數(shù)的三角形式時(shí)一樣，可借助數(shù)形結(jié)合的方法求復(fù)數(shù)的模和輻角，另外要提醒學(xué)生注意，輻角不要用角度表示，一定要用弧度表示．例11是把指數(shù)形式的復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式的知識鞏固性題目，例12、例13分別介紹了如何使用復(fù)數(shù)指數(shù)形式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，例14、例15、例16是有關(guān)復(fù)數(shù)極坐標(biāo)等形式的知識鞏固性題目，這些知識為復(fù)數(shù)的應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)．【課時(shí)安排】1課時(shí)．【教學(xué)過程】動腦思考探索新知1.復(fù)數(shù)的指數(shù)形式歐拉在研究指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)間的關(guān)系時(shí)，證明了一個(gè)重要公式故由復(fù)數(shù)的三角表示有些單位（3．12）這種形式叫做復(fù)數(shù)的指數(shù)形式.其中是一個(gè)無理數(shù).并規(guī)定:復(fù)數(shù)的指數(shù)形式中，輻角只能用弧度表示.設(shè)復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算法則可以用復(fù)數(shù)的指數(shù)形式表示為（3.13）（3.14）（3.15）【小提示】可以看到，復(fù)數(shù)指數(shù)形式的乘法、除法與乘方的運(yùn)算，恰好與我們學(xué)習(xí)過的實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則相一致．即當(dāng)時(shí).鞏固知識典型例題例10把下列復(fù)數(shù)化為指數(shù)形式：（1）；（2）．分析將復(fù)數(shù)的代數(shù)形式化為指數(shù)形式的關(guān)鍵是求出復(fù)數(shù)的模與輻角．解（1）由知點(diǎn)在第三象限，故輻角為第三象限的角．所以．又，所．因此復(fù)數(shù)的指數(shù)形式為．（2）由，知因此復(fù)數(shù)的指數(shù)形式為．例11把化為代數(shù)形式.分析將復(fù)數(shù)的指數(shù)形式化為代數(shù)形式時(shí)，要首先將復(fù)數(shù)化為三角形式．解由于復(fù)數(shù)的模，輻角，所以．（轉(zhuǎn)下節(jié)）第四十三課時(shí)：復(fù)數(shù)指數(shù)形式與極坐標(biāo)形式的運(yùn)算（二）【教學(xué)目標(biāo)】知識目標(biāo)：理解復(fù)數(shù)的指數(shù)形式與極坐標(biāo)形式，并會利用它們進(jìn)行復(fù)數(shù)的運(yùn)算．能力目標(biāo)：通過復(fù)數(shù)相關(guān)計(jì)算的學(xué)習(xí)，使學(xué)生的計(jì)算技能與計(jì)算工具使用技能得到鍛煉和提高．【教學(xué)重點(diǎn)】復(fù)數(shù)指數(shù)形式、極坐標(biāo)形式的乘法、除法、乘方運(yùn)算.【教學(xué)難點(diǎn)】復(fù)數(shù)指數(shù)形式、極坐標(biāo)形式的乘法、除法、乘方運(yùn)算．【教學(xué)設(shè)計(jì)】在復(fù)數(shù)的指數(shù)形式與極坐標(biāo)形式的教學(xué)中，首先通過歐拉公式給出復(fù)數(shù)的指數(shù)形式，然后介紹復(fù)數(shù)更為簡潔的極坐標(biāo)形式，這兩種形式在電學(xué)中應(yīng)用很廣泛，所以要求學(xué)生會進(jìn)行復(fù)數(shù)的指數(shù)形式、極坐標(biāo)形式和代數(shù)形式之間的互化．這三種形式都是用有序?qū)崝?shù)對來確定一個(gè)復(fù)數(shù)．但是在復(fù)數(shù)的三角形式中，輻角可以用角度來表示，也可以用弧度來表示，而在指數(shù)形式中，輻角的單位只能是弧度．例10是把兩個(gè)代數(shù)形式的復(fù)數(shù)化為指數(shù)形式的知識鞏固性題目，解題關(guān)鍵是求出復(fù)數(shù)的模和輻角，與介紹復(fù)數(shù)的三角形式時(shí)一樣，可借助數(shù)形結(jié)合的方法求復(fù)數(shù)的模和輻角，另外要提醒學(xué)生注意，輻角不要用角度表示，一定要用弧度表示．例11是把指數(shù)形式的復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式的知識鞏固性題目，例12、例13分別介紹了如何使用復(fù)數(shù)指數(shù)形式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，例14、例15、例16是有關(guān)復(fù)數(shù)極坐標(biāo)等形式的知識鞏固性題目，這些知識為復(fù)數(shù)的應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)．【課時(shí)安排】1課時(shí)．【教學(xué)過程】（接上節(jié)）例12計(jì)算：(1)；(2)．解(1)＝＝.(2).例13計(jì)算,并將結(jié)果用代數(shù)形式表示．解動腦思考探索新知2．復(fù)數(shù)的極坐標(biāo)形式在電學(xué)中，經(jīng)常采用更簡潔的記號，來表示模為r、輻角為的復(fù)數(shù)，這種形式叫做復(fù)數(shù)的極坐標(biāo)形式.即＝．設(shè)復(fù)數(shù)，，，復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算法則可以用極坐標(biāo)形式表示為 （3.16） （3.17） （3.18）鞏固知識典型例題例14把復(fù)數(shù)化為極坐標(biāo)形式．解因?yàn)樗裕?5把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式．解.．例16已知復(fù)數(shù)求解，．運(yùn)用知識強(qiáng)化練習(xí) 1.把下列復(fù)數(shù)化為指數(shù)形式：（1）；（2）．2.把化為代數(shù)形式．3.計(jì)算下列各題：(1)；(2)． 4.已知復(fù)數(shù)，，求，，繼續(xù)探索活動探究(1)讀書部分：教材書面作業(yè)：教材習(xí)題3．2（必做）；學(xué)習(xí)與訓(xùn)練訓(xùn)練題3．2（選做）第四十四：應(yīng)用舉例（一）【教學(xué)目標(biāo)】知識目標(biāo)：了解復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的幾何意義和旋轉(zhuǎn)因子的作用.會進(jìn)行同頻率正弦量合成的有關(guān)計(jì)算能力目標(biāo)：通過對復(fù)數(shù)應(yīng)用舉例的學(xué)習(xí)，使學(xué)生分析與解決問題的能力得到鍛煉和提高．【教學(xué)重點(diǎn)】會進(jìn)行同頻率正弦量合成的有關(guān)計(jì)算.【教學(xué)難點(diǎn)】對旋轉(zhuǎn)因子的理解及應(yīng)用．【課時(shí)安排】1課時(shí)【教學(xué)過程】動腦思考探索新知我們首先通過一道例題來研究復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的幾何意義．例1已知復(fù)數(shù)，求（1）（2）在同一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)畫出與所對應(yīng)的向量，觀察它們的模與輻角之間的關(guān)系．解（1）由于，所以， ．（2）在同一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)畫出與所對應(yīng)的向量（如圖3－7）．