2022-2023學(xué)年山東省青島市青島高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年山東省青島市青島高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知向量，，則與的夾角為（

）A．0° B．45° C．90° D．180°C【分析】根據(jù)向量夾角的坐標(biāo)運(yùn)算公式可求得答案.【詳解】解：∵＝＝＝0，∴.故選：C.2．如圖，直三棱柱中，若，，，則等于（

）A． B． C． D．D【分析】由空間向量的線性運(yùn)算求解．【詳解】因?yàn)槿庵侵比庵?，所以四邊形是平行四邊形，故，所以．故選：D．3．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直線上，這條直線后人稱之為三角形的歐拉線.已知的頂點(diǎn)，則其歐拉線的一般式方程為（

）A． B． C． D．C【分析】根據(jù)題意得出為直角三角形，利用給定題意得出歐拉線，最后點(diǎn)斜式求出方程即可.【詳解】顯然為直角三角形，且為斜邊，所以其歐拉線方程為斜邊上的中線，設(shè)的中點(diǎn)為，由，所以，由所以的方程為，所以歐拉線的一般式方程為.故選：C.4．已知矩形，為平面外一點(diǎn)，且平面，、分別為、上的點(diǎn)，且，，，則的值為（

）A． B． C． D．B【分析】將、用、、加以表示，利用空間向量的減法法則可得出關(guān)于、、的表達(dá)式，由此可求得的值.【詳解】因?yàn)槠矫妫宜倪呅螢榫匦?，故、、為空間向量的一個(gè)基底，，故，，則，因此，，所以，，，，所以，.故選：B.5．設(shè)、為橢圓的左、右焦點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在橢圓上，當(dāng)面積最大時(shí)，的值等于（

）A．0 B．1 C．2 D．4C【分析】根據(jù)面積公式可知當(dāng)為上或下頂點(diǎn)時(shí)，面積取最大值，求出點(diǎn)坐標(biāo)，由數(shù)量積公式即可求出結(jié)果．【詳解】根據(jù)對(duì)稱性不妨設(shè)點(diǎn)，因?yàn)樗詣t面積為當(dāng)時(shí)，面積取最大值，此時(shí)，又則，所以故選：C．6．設(shè)雙曲線的半焦距為，直線過(guò)，兩點(diǎn)．已知原點(diǎn)到直線的距離為，則雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C． D．A【分析】易得直線的方程為，然后由原點(diǎn)到的距離求解.【詳解】因?yàn)橹本€過(guò)，兩點(diǎn)．所以直線的方程為，即，所以原點(diǎn)到的距離①．又②，所以，即，故，解得或．當(dāng)時(shí)，，與矛盾，所以．故選：A7．直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC為等邊三角形，AA1＝AB，M是A1C1的中點(diǎn)，則AM與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．B【分析】取的中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，即可根據(jù)線面角的向量公式求出．【詳解】如圖所示，取的中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，所以，平面的一個(gè)法向量為設(shè)AM與平面所成角為，向量與所成的角為，所以，即AM與平面所成角的正弦值為．故選：B．8．如果圓上總存在兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離均為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．A【分析】根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為圓與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，利用圓與圓的位置關(guān)系，即可求的取值范圍.【詳解】到原點(diǎn)的距離為的點(diǎn)的軌跡為圓，因此圓上總存在兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離均為轉(zhuǎn)化為圓與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，∵兩圓的圓心和半徑分別為，，，，∴，∴，解得實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A.二、多選題9．下列關(guān)于曲線的說(shuō)法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，曲線表示圓；B．當(dāng)時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在軸的橢圓；C．點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心；D．曲線表示橢圓時(shí)，其焦距為.ACD【分析】根據(jù)給定的方程，結(jié)合圓、橢圓的定義、性質(zhì)逐項(xiàng)判斷作答.【詳解】曲線，對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，方程為表示圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓，A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，方程為，，則曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，B不正確；對(duì)于C，曲線上任意點(diǎn)，顯然有，即點(diǎn)也在曲線上，因此點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心，C正確；對(duì)于D，曲線表示橢圓，則，令曲線的半焦距為c，則，因此橢圓的焦距，D正確.故選：ACD10．已知直線l的一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，則（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則AD【分析】根據(jù)直線的方向向量和平面的法向量，以及線面的位置關(guān)系求得正確答案.【詳解】若，則，即有，即，即有，故A正確，C錯(cuò)誤；若，則，即有，可得，解得，則，故B錯(cuò)誤，D正確．故選：AD11．已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的雙曲線與橢圓有相同的焦距，且一條漸近線方程為，則雙曲線的方程可能為（

）A． B． C． D．AD【分析】求出橢圓的焦距即雙曲線的焦距，從而可設(shè)雙曲線方程為，分和兩種情況討論，即可求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【詳解】解：橢圓中，，焦距，雙曲線與橢圓有相同的焦距，一條漸近線方程為，設(shè)雙曲線的方程為，即，當(dāng)時(shí)，，解得，雙曲線的方程為；當(dāng)時(shí)，，解得，雙曲線的方程為；綜上，雙曲線的方程可能為或．故選：AD.12．設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)P在橢圓上，且，，，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且A，B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，則下列結(jié)論正確的有（

）A．橢圓的方程為B．橢圓的焦距為C．橢圓上存在2個(gè)點(diǎn)Q，使得D．直線的方程為AD【分析】根據(jù)，，，利用勾股定理和橢圓的定義求得a，b，c,得得到焦距和橢圓方程判斷選項(xiàng)AB；然后根據(jù)，得到點(diǎn)Q在以為直徑的圓上，再根據(jù)，判斷選項(xiàng)C；根據(jù)過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且A，B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，得到點(diǎn)為弦AB的中點(diǎn)，利用點(diǎn)差法求解判斷選項(xiàng)D.【詳解】因?yàn)?，，，所以，則，所以橢圓的方程為，橢圓的焦距為，故A正確；B錯(cuò)誤；由知：，所以點(diǎn)Q在以為直徑的圓上，因?yàn)?，所以圓與橢圓有4個(gè)交點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且A，B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，所以點(diǎn)為弦AB的中點(diǎn)，設(shè)，則，兩式相減得：，所以直線l的方程為，即，故D正確，故選：AD三、填空題13．設(shè)點(diǎn)M在直線上，點(diǎn)和均在上，則的方程為_(kāi)_____________．【分析】設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用和均在上，求得圓心及半徑，即可得圓的方程.【詳解】[方法一]：三點(diǎn)共圓∵點(diǎn)M在直線上，∴設(shè)點(diǎn)M為，又因?yàn)辄c(diǎn)和均在上，∴點(diǎn)M到兩點(diǎn)的距離相等且為半徑R，∴，，解得，∴，，的方程為.故[方法二]：圓的幾何性質(zhì)由題可知，M是以（3，0）和（0，1）為端點(diǎn)的線段垂直平分線y=3x-4與直線的交點(diǎn)(1,-1).,的方程為.故14．已知，，則在上的投影向量為_(kāi)______（用坐標(biāo)表示）【分析】利用投影向量的定義求解.【詳解】因?yàn)?，，所以，設(shè)在上的投影向量為，則，故15．如圖，平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，，∠BAD＝∠BAA1＝120°，∠DAA1＝60°，則線段AC1的長(zhǎng)度是_______．【分析】利用，即可求解．【詳解】，，，故．本題考查了空間向量的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平．四、雙空題16．已知不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與圓：交于A，B兩點(diǎn)，若銳角的面積為，則___________，___________.

或【分析】根據(jù)已知利用面積公式可求得，即可求得，由同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半及圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，可求得或150°，計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)閳AC的半徑，所以的面積，所以.又為銳角三角形，所以，.因?yàn)辄c(diǎn)O在圓C上，所以或150°，故或.故；或五、解答題17．如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為．(1)求A到平面的距離；(2)設(shè)D為的中點(diǎn)，，平面平面，求二面角的正弦值．(1)(2)【分析】（1）由等體積法運(yùn)算即可得解；（2）由面面垂直的性質(zhì)及判定可得平面，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法即可得解.【詳解】（1）在直三棱柱中，設(shè)點(diǎn)A到平面的距離為h，則，解得，所以點(diǎn)A到平面的距離為；（2）取的中點(diǎn)E,連接AE,如圖，因?yàn)?，所?又平面平面，平面平面，且平面，所以平面，在直三棱柱中，平面，由平面，平面可得，，又平面且相交，所以平面，所以兩兩垂直，以B為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，由（1）得，所以，，所以，則,所以的中點(diǎn)，則，,設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，可取，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，可取，則，所以二面角的正弦值為.18．已知點(diǎn)，設(shè)(1)若，求；(2)求；(3)若與垂直，求．(1)或(2)(3)或【分析】（1）利用向量平行設(shè)的坐標(biāo)，結(jié)合向量的模的坐標(biāo)表示可得；（2）由向量夾角的坐標(biāo)表示直接可求；（3）根據(jù)向量垂直其數(shù)量積為0可解.【詳解】（1）解：由題知，因?yàn)?，故設(shè)，又因?yàn)椋?，得，故或?）解：由題知，，所以，（3）解：因?yàn)?，所以，又與互相垂直，所以，解得或所以或19．已知圓C的圓心在直線上，且圓C與x軸相切，點(diǎn)在圓C上，點(diǎn)在圓C外．（1）求圓C的方程；（2）若過(guò)點(diǎn)的直線l交圓C于A，B兩點(diǎn)，且，求直線l的方程．（1）；（2）或．【分析】（1）由題意設(shè)圓的方程為，再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程中可求出的值，眾而可求出圓的方程；（2）利用圓心距、弦和半徑的關(guān)系求出圓心距的長(zhǎng)，然后分直線的斜率存在和不存在兩種情況，利用點(diǎn)到直線的距離公式列方程求解即可【詳解】（1）設(shè)圓心，半徑，

則圓C的方程可設(shè)為，因?yàn)辄c(diǎn)在圓C上，所以，解得或．

因?yàn)辄c(diǎn)在圓C外，經(jīng)檢驗(yàn)不符，舍去．所以圓C的方程為．

（2）由（1）可知圓C的半徑，，所以圓心到直線的距離．

當(dāng)k不存在時(shí)，直線方程，符合題意；

當(dāng)k存在時(shí)，設(shè)直線方程為，整理得所以圓心C到直線l的距離，即，解得，

所以，所以直線l的方程為．

∴綜上，直線方程為或．20．如圖，在三棱柱中，四邊形為矩形，，，點(diǎn)E為棱的中點(diǎn)，.(1)求證：平面平面；(2)求平面AEB與平面夾角的余弦值.(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)矩形及勾股定理的逆定理可得線面垂直的條件，再由平面，即可證明面面垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)后，求出相關(guān)法向量，再用夾角公式即可.【詳解】（1）證明：由三棱柱的性質(zhì)及可知四邊形為菱形又∵∴為等邊三角形∴，又∵，∴，∴又∵四邊形為矩形∴又∵∴平面又∵平面∴平面平面.（2）以B為原點(diǎn)BE為x軸，為y軸，BA為E軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，，，，，，設(shè)平面的法向量為.則即∴，又∵平面ABE的法向量為，∴，∴平面ABE與平面夾角的余弦值為.21．已知點(diǎn)在雙曲線上．(1)求雙曲線的方程；(2)是否存在過(guò)點(diǎn)的直線l與雙曲線相交于A,B兩點(diǎn)，且滿足P是線段的中點(diǎn)？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(1)(2)不存在，理由見(jiàn)解析【分析】（1）代入點(diǎn)的坐標(biāo)，解方程可得的值，即可得雙曲線方程；（2）假設(shè)存在，設(shè)過(guò)的直線方程為：，，兩點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，代入雙曲線方程，再相減，運(yùn)用平方差公式和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，及斜率公式，即可得到所求直線的斜率，進(jìn)而得到直線方程，代入雙曲線方程，檢驗(yàn)判別式即可判斷．【詳解】（1）解：已知點(diǎn)在雙曲線上所以，整理得：，解得：，則所以雙曲線方程為.（2）解：由題可知若直線存在則直線的斜率存在，故設(shè)直線的方程為：且設(shè)交點(diǎn)則，兩式相間得：由于為中點(diǎn)，則則即有直線的方程：，即檢驗(yàn)判別式為，方程無(wú)實(shí)根．故不存在過(guò)點(diǎn)的直線與該雙曲線相交A,B兩點(diǎn)，且滿足P是線段的中點(diǎn).22．已知直線與橢圓相交于兩點(diǎn).（1）若橢圓的離心率為，焦距為2，求線段的長(zhǎng)；（2）若（共中為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)橢圓的離心率時(shí)，求橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最大值.（1）（2）【分析】(1)根據(jù)橢圓中基本量的關(guān)系計(jì)算橢圓的方程,再聯(lián)立直線與橢圓的方程,利用弦長(zhǎng)公式求解線段的長(zhǎng)即可.(2)設(shè),,根據(jù)可得,再聯(lián)立方程利用韋達(dá)定理表達(dá)出關(guān)于橢圓的基本量的關(guān)系,再根據(jù)橢圓的離心率可列出不等式求解關(guān)于的不等式,從而得到長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最大值.【詳解】解：（1）,,,,則,橢圓的方為,聯(lián)立消去得：,設(shè),,則,（2）設(shè),,,,即,由,消去得,由,整理得,又,,,由,得：,,整理得：,,代入上式得,,,,,,,,適合條件,由此得,,故長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最大值為.本題主要考查了橢圓中基本量的計(jì)算以及聯(lián)立直線與橢圓的方程,根據(jù)韋達(dá)定理求解基本量參數(shù)的關(guān)系,進(jìn)而求得基本量的最值問(wèn)題.屬于難題.23．在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)方程所確定的曲線C上點(diǎn)的直線與曲線C相切，則此切線的方程.（1）若，直線過(guò)點(diǎn)被曲線C截得的弦長(zhǎng)為2，求直線的方程；（2）若，，點(diǎn)A是曲線C上的任意一點(diǎn)，曲線過(guò)點(diǎn)A的切線交直線于M，交直線于N，證明：；（3）若，，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)斜率的直線交C于P、Q兩點(diǎn)，且點(diǎn)P位于第一象限，點(diǎn)P在x軸上的投影為E，延長(zhǎng)QE交C于點(diǎn)R，求的值.（1）或；（2）證明見(jiàn)解析；（3）0.【分析】（1）利用圓的弦長(zhǎng)公式計(jì)算求解，注意先驗(yàn)證直線斜率不存在的情況；（2）設(shè),根據(jù)已知求得切線方程，聯(lián)立方程組求得M，N的坐標(biāo)，證明,得到A為線段MN的中點(diǎn)，進(jìn)而證得結(jié)論；（3）設(shè)P(x1,y1),R(x2,y2),則Q(-x1,-y1),E(x1,0),寫出EQ的方程，與曲線C的方程聯(lián)立，根據(jù)Q，R的橫坐標(biāo)-x1,x2是這個(gè)方程的兩實(shí)數(shù)根，利用韋達(dá)定理求得，進(jìn)而計(jì)算可得.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，曲線C的方程為,這是以原點(diǎn)為圓心，r=2為半徑的圓，直線l過(guò)點(diǎn),當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為,代入圓的方程得,，∴直線l被圓所截得弦長(zhǎng)為2，符合題意；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k,則直線l的方程為，即,由弦長(zhǎng)為2，半弦長(zhǎng)