2022-2023學(xué)年廣東省東莞市第四高級(jí)中學(xué)高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年廣東省東莞市第四高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．二元方程表示圓C,圓心的坐標(biāo)和半徑分別為（

）A． B． C． D．B【分析】根據(jù)方程化簡(jiǎn)為圓的標(biāo)準(zhǔn)形式,選出答案即可.【詳解】解:由題知方程,即,因?yàn)樵摱匠瘫硎緢A,所以圓心,半徑.故選:B2．在空間四邊形ABCD中，M，G分別是BC，CD的中點(diǎn)，則（

）A． B．2 C．3 D．3D【分析】利用中位線的性質(zhì)可以得出：，然后利用向量的線性運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)镸，G分別是BC，CD的中點(diǎn)，由三角形中位線的性質(zhì)可得：，又因?yàn)椋?，故選.3．將直線l上一點(diǎn)向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，得到的點(diǎn)B仍在直線l上，則直線l的方程是（

）A． B． C． D．A【分析】由平移求得點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)都在直線上，求出直線的斜率，從而可得出答案.【詳解】解：將向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，得，因?yàn)槎荚谥本€上，則，所以直線的方程為，即.故選：A.4．如圖，在正方形網(wǎng)格中，已知，，三點(diǎn)不共線，為平面內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)為平面外任意一點(diǎn)，則下列向量能表示向量的為（

）A． B．C． D．C【分析】根據(jù)，，，四點(diǎn)共面，可知存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)，使，結(jié)合圖形可得的值，即可得到答案；【詳解】根據(jù)，，，四點(diǎn)共面，可知存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)，使．由圖知，，故，故選：C.5．在長(zhǎng)方體中，若向量在單位正交基底下的坐標(biāo)為，則向量在單位正交基底下的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．B【分析】根據(jù)向量的線性與空間向量的基本定理即可求解【詳解】因?yàn)?，所以向量在單位正交基底下的坐?biāo)為，故選：B6．已知點(diǎn)A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，則△ABC的形狀是A．等腰三角形 B．等邊三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形C【分析】求出三點(diǎn)間任意兩點(diǎn)的距離，最后運(yùn)用勾股定理或者余弦定理判斷出三角形的形狀.【詳解】由兩點(diǎn)間的距離公式得，，，滿足，故選C.本題考查了空間兩點(diǎn)間的距離公式，以及判斷空間三點(diǎn)組成三角形的形狀問(wèn)題，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.7．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，直線BB1與面ACD1所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．D【分析】建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，利用向量法求出和平面的法向量，結(jié)合空間向量的數(shù)量積的定義即可求解.【詳解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，有，令，則，所以，故，設(shè)直線與平面所成的平面角為，則.故選：D.二、多選題8．如圖所示，已知空間四邊形每條邊和對(duì)角線長(zhǎng)都為，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，DC的中點(diǎn)，則下列向量的數(shù)量積等于的是（）A． B．C． D．AC【分析】利用向量數(shù)量積的定義，分別計(jì)算出四個(gè)選項(xiàng)對(duì)應(yīng)的數(shù)量積，即可得到答案.【詳解】在空間四邊形中，夾角為60°，所以.故A正確；夾角為120°，所以.故B錯(cuò)誤；因?yàn)辄c(diǎn)F，G分別是AD，DC的中點(diǎn)，所以且,所以?shī)A角為0°，所以.故C正確；因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，所以,所以?shī)A角為120°，所以.故D錯(cuò)誤.故選：AC9．若向量，，則（

）A． B．C． D．AD【分析】根據(jù)空間向量夾角公式判斷A，根據(jù)空間向量垂直的坐標(biāo)表示判斷B，根據(jù)空間向量平行的坐標(biāo)關(guān)系判斷C，根據(jù)空間向量的模的公式判斷D．【詳解】由已知，，D正確；，與不垂直．B錯(cuò)誤；，A正確；設(shè)，則，，，滿足條件的不存在，因此與不共線，C錯(cuò)誤；故選：AD．10．兩平行直線和間的距離為，若直線的方程為，則直線的方程為（

）A． B． C． D．BC【分析】設(shè)出直線的方程，由兩平行線間距離公式列出方程，求出，得到直線方程.【詳解】設(shè)直線的方程為，由兩平行線間距離公式可知：，解得：或，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，即，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，即，故直線的方程為或.故選：BC11．已知直線：和直線：，下列說(shuō)法正確的是（

）A．始終過(guò)定點(diǎn)B．若，則或-3C．若，則或2D．當(dāng)時(shí)，始終不過(guò)第三象限ACD【分析】將直線化為可判斷A；將或-3代入直線方程可判斷B；根據(jù)可判斷C；將直線化為，即可求解.【詳解】：過(guò)點(diǎn)，A正確；當(dāng)時(shí)，，重合，故B錯(cuò)誤；由，得或2，故C正確；：始終過(guò)，斜率為負(fù)，不會(huì)過(guò)第三象限，故D正確.故選：ACD本題考查了直線過(guò)定點(diǎn)、直線垂直求參數(shù)，考查了基本運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.12．若直線l：mx+(2m-1)y-6=0與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為3，則m的值是（

）A．2 B． C．3 D．-AD【分析】根據(jù)三角形面積公式求解即可．【詳解】解：∵直線l與兩坐標(biāo)軸圍成三角形，∴，，且，令，解得，令，解得，，，或，當(dāng)時(shí)，，方程無(wú)解；當(dāng)，解得或．故選：AD．三、填空題13．直線的傾斜角為_(kāi)________．【分析】求出直線的斜率，然后求解直線的傾斜角【詳解】，則，斜率為則，解得故答案為本題主要考查了直線的傾斜角，解題的關(guān)鍵是求出直線的斜率，屬于基礎(chǔ)題14．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(2，0)，B(0，4)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△ABO的外接圓的方程是__________.(x-1)2+(y-2)2=5【分析】由題意可知：，所以為直角三角形，其外接圓圓心為斜邊的中點(diǎn)，半徑為斜邊長(zhǎng)度的一半，進(jìn)而求解.【詳解】由題意可知:,故為直角三角形,的外接圓的圓心為的中點(diǎn)，半徑為,所以外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,故答案為:.15．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(0，2)，點(diǎn)B是直線l：x-2y-2=0的動(dòng)點(diǎn)，則|AB|的最小值為_(kāi)_________．【分析】根據(jù)時(shí)最小求解即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)最小，．故．16．在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，點(diǎn)F，G分別是AB，CC1的中點(diǎn)，則點(diǎn)D1到直線GF的距離為_(kāi)_______．【分析】以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出點(diǎn)到直線的距離．【詳解】以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)到直線的距離：．點(diǎn)到直線的距離為．故．四、解答題17．已知關(guān)于x，y的二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+3=0.(1)若方程表示的曲線是圓，求證：點(diǎn)在圓x2+y2=12外；(2)若方程表示的圓C的圓心在直線x+y-1=0上且在第二象限，半徑為，求圓C的方程.(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由二元二次方程能表示圓的一般方程的條件易證得所求；（2）利用圓的一般式得到圓心與半徑關(guān)于的表達(dá)式，進(jìn)而由題設(shè)條件得到關(guān)于的方程組，解之即可得到圓C的方程.【詳解】（1）因?yàn)榉匠蘹2+y2+Dx+Ey+3=0表示的曲線是圓，所以D2+E2-12>0，即D2+E2>12，因而點(diǎn)在圓x2+y2=12外.（2）由題意知，圓心，因?yàn)閳A心在直線x+y-1=0上，所以，即①，又因?yàn)榘霃?，即②，?lián)立①②，解得或，又因?yàn)閳A心在第二象限，所以，，即D>0，E<0.所以，故圓的一般方程為，即.18．在△ABC中，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，2)，頂點(diǎn)A在x軸上，邊BC上的高AH所在直線的方程為x-2y+1=0，邊AB，AC所在直線的傾斜角之和為180o.(1)求頂點(diǎn)A的坐標(biāo)和直線BC的方程；(2)求△ABC的面積.(1)(-1，0)，2x+y-4=0(2)12【分析】(1)A點(diǎn)的坐標(biāo)可以由AH與兩條直線聯(lián)立得到.由AH與BC垂直，可得BC斜率，點(diǎn)斜式就可得到BC的方程.(2)由AB，AC所在直線的傾斜角之和為180o與A點(diǎn)坐標(biāo)可求得AC的方程，聯(lián)立方程組得C點(diǎn)的坐標(biāo)，求BC長(zhǎng)度，用面積公示即可求出.【詳解】（1）由方程組求得點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1，0).因?yàn)锽C邊上的高所在直線的方程為x-2y+1=0，斜率為所以邊BC所在直線的斜率為-2，因而邊BC所在直線的方程為y-2=-2(x-1)，即2x+y-4=0.（2）因?yàn)檫匒B所在直線的斜率為kAB=1，邊AB，AC所在直線的傾斜角之和為180o所以邊AC所在直線的斜率為-1，其方程為y=-(x+1)，即x+y+1=0.聯(lián)立方程解得，即頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(5，-6)，所以|BC|=4點(diǎn)A到直線BC的距離，因而△ABC的面積為.19．如圖，已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，CC1=3，CD=2，且∠C1CB=∠C1CD=60°.(1)求證：BD⊥CA1；(2)求CA1的長(zhǎng).(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）利用空間向量的線性運(yùn)算得到，，再利用已知的模與夾角求得與的數(shù)量積為0，從而證得BD⊥CA1；（2）利用數(shù)量積的性質(zhì)，由已知的模與夾角求得，從而求得CA1的長(zhǎng).【詳解】（1）設(shè)，，，由已知條件，得，，，，而，，所以，所以，即BD⊥CA1..（2）由（1）得，則，所以，即A1C的長(zhǎng)為.20．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=，D是棱AC的中點(diǎn)，且AB=BC=BB1=2．(1)求異面直線AB1與BC1所成角的大??；(2)求直線AB1與平面BC1D的距離．(1)(2)【分析】（1）利用與的數(shù)量積求異面直線所成的角即可；（2）先證明AB1平面BC1D，再根據(jù)在平面BC1D法向量上的投影求解即可．【詳解】（1）解：以為基底建立空間直角坐標(biāo)系，連接于點(diǎn)O，則B(0，0，0)，A(0，2，0)，C1(2，0，2)，B1(0，0，2)．所以=(0，-2，2)，=(2，0，2)，===，設(shè)異面直線AB1與BC1所成的角為θ，則=，因?yàn)棣取剩驭?．（2）解：由（1）知D(1，1，0)，直線AB1的方向向量為=(0，-2，2)，設(shè)平面BC1D的法向量為=(x，y，z)，因?yàn)?(2，0，2)，=(1，1，0)，由0，0得，化簡(jiǎn)得，取，得，，∴平面BC1D的法向量為=(-1，1，1)，(0，-2，2)·(-1，1，1)=0-2+2=0，∴⊥，即AB1平面BC1D，∴直線AB1與平面BC1D的距離為點(diǎn)A到平面BC1D的距離，，∴直線AB1與平面BC1D的距離為．21．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，E，M分別是BC，AE的中點(diǎn)，AD=AA1=1，AB=2.(1)試問(wèn)在線段CD1上是否存在一點(diǎn)N，使MN∥平面ADD1A1?若存在，確定N的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)在（1）中，當(dāng)MN∥平面ADD1A1時(shí)，試確定直線BB1與平面DMN的交點(diǎn)F的位置，并求BF的長(zhǎng).(1)存在，N為CD1的中點(diǎn)(2)點(diǎn)F是線段BB1上靠近點(diǎn)B的一個(gè)三等分點(diǎn)，BF=【分析】(1)建立如圖空間直角坐標(biāo)系，假設(shè)CD1上存在點(diǎn)N使MN∥平面ADD1A1并設(shè)=λ利用空間向量法求出平面ADD1A1的法向量，根據(jù)⊥求出即可；(2)根據(jù)題意可知點(diǎn)F在平面DMN內(nèi)，設(shè)F（1，2，t)，結(jié)合空間向量的基本定理求出即可.【詳解】（1）如圖，以{}為基底建立空間直角坐標(biāo)系D(0，0，0)，A(1，0，0)，D1(0，0，1)，C(0，2，0)，E，M，所以=(0，2，0)，==(0，-2，1).法一：假設(shè)CD1上存在點(diǎn)N使MN//平面ADD1A1，并設(shè)=λ=λ(0，-2，1)=(0，-2λ，λ)

(0<λ<1)，則=+=(0，2，0)+(0，-2λ，λ)=，=-=，由題意知=(0，2，0)是平面ADD1A1的一個(gè)法向量，所以⊥，即2(1-2λ)=0，解得λ=.因?yàn)镸N?平面ADD1A1，所以當(dāng)N為CD1的中點(diǎn)時(shí)，MN//平面ADD1A1.法二：由CD1面Dyz，假設(shè)CD1上存在點(diǎn)N(0，y，z)，使MN//平面ADD1A1，在△CDD1中，由三角形相似的性質(zhì)知，，即①，=(0，2，0)是平面ADD1A1的一個(gè)法向量，而由得②，由①②得：y=1，，因?yàn)镸N?平面ADD1A1，所以當(dāng)N為CD1的中點(diǎn)時(shí)，MN//平面ADD1A1.，（2）法一：由已知，點(diǎn)F在直線BB1上，因直線BB1與z軸平行，可設(shè)F（1，2，t)，，又點(diǎn)F在平面DMN內(nèi)，因而存在實(shí)數(shù)，使得=+，即（1，2，t)=，，整理得：（1，2，t)=，因而，解得，所以F（1，2，)，故是線段BB1上靠近點(diǎn)B的一個(gè)三等分點(diǎn)，BF=.法二：由已知，點(diǎn)F在直線BB1上，因直線BB1與z軸平行，可設(shè)F（1，2，t)，，設(shè)平面DMN的法向量為=(x，y，z)，=，由·0，·0得化簡(jiǎn)得即，取得，，因而平面DMN的法向量為=(2，，3)，在平面DMN內(nèi)任取一點(diǎn)，不妨取點(diǎn)D，與點(diǎn)F組成的向量=（1，2，t)，可得·=0，即2×1+()×2+3t=0，解得，因而F（1，2，)，故是線段BB1上靠近點(diǎn)B的一個(gè)三等分點(diǎn)，BF=，法三：由已知，點(diǎn)F在直線BB1上，因直線BB1與z軸平行，可設(shè)F（1，2，t)，，設(shè)平面DMN內(nèi)任一點(diǎn)P(x，y，z)，在平面DMN內(nèi)任異于點(diǎn)P的一點(diǎn)，不妨取點(diǎn)D，與點(diǎn)P組成的向量=(x，y，z)，因?yàn)椤?0，即2xy+3z=0，，將F（1，2，t)代入，解得，因而F（1，2，)，故是線段BB1上靠近點(diǎn)B的一個(gè)三等分點(diǎn)，BF=.，法四：（思路）：由（1）N為CD1的中點(diǎn)，延長(zhǎng)DN，必過(guò)點(diǎn)C1，連結(jié)AB1，易證DC1//AB1.延長(zhǎng)DM交AB于點(diǎn)G，可證點(diǎn)G是線段AB的一個(gè)三等分點(diǎn).再過(guò)點(diǎn)G作GF//AB1與線段BB1交于點(diǎn)F，易得BF=.22．如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為1的菱形，底面，，，為的中點(diǎn).(1)求點(diǎn)到平面的距離；(2)求平面與平面所成夾角的余弦值.(1)；(2).【分析】(1)建立空間