2022-2023學(xué)年廣東省肇慶市高二年級上冊學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年廣東省肇慶市高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．圓的圓心和半徑分別是（

）A．， B．， C．， D．，D【分析】先化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再求圓心半徑即可.【詳解】先化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得，故圓心為，半徑為.故選：D.2．若過點(diǎn)（2，1）的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線的距離為（

）A． B． C． D．B【分析】由題意可知圓心在第一象限，設(shè)圓心的坐標(biāo)為，可得圓的半徑為，寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用點(diǎn)在圓上，求得實(shí)數(shù)的值，利用點(diǎn)到直線的距離公式可求出圓心到直線的距離.【詳解】由于圓上的點(diǎn)在第一象限，若圓心不在第一象限，則圓與至少與一條坐標(biāo)軸相交，不合乎題意，所以圓心必在第一象限，設(shè)圓心的坐標(biāo)為，則圓的半徑為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.由題意可得，可得，解得或，所以圓心的坐標(biāo)為或，圓心到直線的距離均為；圓心到直線的距離均為圓心到直線的距離均為；所以，圓心到直線的距離為.故選：B.本題考查圓心到直線距離的計(jì)算，求出圓的方程是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于中等題.3．在正方體中，P為的中點(diǎn)，則直線與所成的角為（

）A． B． C． D．D【分析】平移直線至，將直線與所成的角轉(zhuǎn)化為與所成的角，解三角形即可.【詳解】如圖，連接，因?yàn)椤?，所以或其補(bǔ)角為直線與所成的角，因?yàn)槠矫?，所以，又，，所以平面，所以，設(shè)正方體棱長為2，則，，所以.故選：D4．如圖，ABCD－EFGH是棱長為1的正方體，若P在正方體內(nèi)部且滿足，則P到AB的距離為（

）A． B．C． D．C【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AE所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，由題意，計(jì)算出和的坐標(biāo)，然后根據(jù)向量法求點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.【詳解】解：如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AE所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，因?yàn)?，所以，?所以點(diǎn)P到AB的距離．故選：C.5．直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC為等邊三角形，AA1＝AB，M是A1C1的中點(diǎn)，則AM與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．B【分析】取的中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，即可根據(jù)線面角的向量公式求出．【詳解】如圖所示，取的中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，所以，平面的一個(gè)法向量為設(shè)AM與平面所成角為，向量與所成的角為，所以，即AM與平面所成角的正弦值為．故選：B．6．已知直線過定點(diǎn)，且方向向量為，則點(diǎn)到的距離為（

）A． B． C． D．A【分析】本題首先可根據(jù)題意得出，然后求出與，最后根據(jù)空間點(diǎn)到直線的距離公式即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，所以，則，，由點(diǎn)到直線的距離公式得，故選：A.7．若圓上總存在兩個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)的距離為2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．A【分析】將問題轉(zhuǎn)化為圓與相交，從而可得，進(jìn)而可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】到點(diǎn)的距離為2的點(diǎn)在圓上，所以問題等價(jià)于圓上總存在兩個(gè)點(diǎn)也在圓上，即兩圓相交，故，解得或，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為，故選：A．8．已知邊長為2的等邊三角形，是平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則三角形面積的最小值是（

）A． B． C． D．A【分析】建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，寫出的坐標(biāo)，利用列式得關(guān)于的等式，可得點(diǎn)的軌跡為以為圓心，以為半徑的圓，寫出直線的方程，計(jì)算和點(diǎn)距離直線的最小距離，代入三角形面積公式計(jì)算.【詳解】以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，因?yàn)?，所以，得，所以點(diǎn)的軌跡為以為圓心，以為半徑的圓，當(dāng)點(diǎn)距離直線距離最大時(shí)，面積最大，已知直線的方程為：，，點(diǎn)距離直線的最小距離為：，所以面積的最小值為.故選：A二、多選題9．在下列條件中，不能使M與A，B，C一定共面的是（

）A．＝2－－ B．C． D．＋＋＋ABD【分析】根據(jù)四點(diǎn)共面的條件對選項(xiàng)逐一分析，由此確定正確選項(xiàng)．【詳解】與，，一定共面的充要條件是，對于A選項(xiàng)，由于，所以不能得出共面，對于B選項(xiàng)，由于，所以不能得出共面，對于C選項(xiàng)，由于，則為共面向量，所以共面，對于D選項(xiàng)，由得，而，所以不能得出共面．故選：ABD10．已知直線，，則（

）A．恒過點(diǎn) B．若，則C．若，則 D．當(dāng)時(shí)，不經(jīng)過第三象限BD【分析】A.直線寫成，判斷直線所過的定點(diǎn)；B.若兩直線平行，則一定有；C.兩直線垂直，根據(jù)公式有；D.根據(jù)直線不經(jīng)過第三象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】，當(dāng)，即，即直線恒過點(diǎn)，故A不正確；若，則有，解得：，故B正確；若，則有，得，故C不正確；若直線不經(jīng)過第三象限，則當(dāng)時(shí)，，，解得：，當(dāng)時(shí)，直線，也不過第三象限，綜上可知：時(shí)，不經(jīng)過第三象限，故D正確.故選：BD11．已知直線：與直線：的交點(diǎn)在第三象限，則實(shí)數(shù)k的值可能為（

）A． B． C． D．2BC【分析】聯(lián)立直線方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)象限列出不等式，求出的范圍即可得出.【詳解】聯(lián)立方程組，解得交點(diǎn)為，因?yàn)榻稽c(diǎn)在第三象限，所以，解得，所以實(shí)數(shù)k的值可能為和.故選：BC.12．如圖，一個(gè)結(jié)晶體的形狀為平行六面體，其中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長都相等，且它們彼此的夾角都是60°，下列說法中正確的是（

）A． B．C．向量與的夾角是60° D．與AC所成角的余弦值為AB直接用空間向量的基本定理，向量的運(yùn)算對每一個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷.【詳解】以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長都相等,它們彼此的夾角都是60°，可設(shè)棱長為1,則而，所以A正確.=0,所以B正確.向量,顯然為等邊三角形，則.所以向量與的夾角是,向量與的夾角是,則C不正確又，則，所以，所以D不正確.故選：AB本題考查空間向量的運(yùn)算，用向量求夾角等，屬于中檔題.三、填空題13．已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P（0，1）且一個(gè)方向向量為（2，1），則直線l的方程為______．【分析】根據(jù)方向向量可得直線的斜率，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)斜式求解方程即可.【詳解】因?yàn)橹本€l的一個(gè)方向向量為（2，1），所以其斜率為，所以直線l的方程為，即．故14．已知圓與圓外切，此時(shí)直線被圓所截的弦長_________．【分析】將圓的方程寫成標(biāo)準(zhǔn)形式，然后根據(jù)兩圓外切，可得圓心距離為半徑之和，可得，接著計(jì)算到直線的距離，最后根據(jù)圓的弦長公式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】由題可知：，即且由兩圓向外切可知，解得所以到直線的距離為，設(shè)圓的半徑為則直線被圓所截的弦長為故15．已知函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則常數(shù)的取值范圍是___________.【分析】根據(jù)題意，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，等價(jià)于與的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，作出圖象，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】由函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，可知與的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，故作出如下圖象，當(dāng)與的圖象相切時(shí)，，即，由圖可知，故相切時(shí)，因此結(jié)合圖象可知，當(dāng)時(shí)，與的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn).故答案為.16．已知空間四邊形OABC，其對角線為OB，AC，M，N分別是OA，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段MN上，且，現(xiàn)用基底{}表示向量，有=x+y+z，則x，y，z的值分別為____．x=，y=，z=．【分析】利用向量的加法公式得出=+=+，再用表示出，即可求出x，y，z的值.【詳解】∵=+=+=++=∴x=，y=，z=．故x=，y=，z=．四、解答題17．已知直線l.（1）求證：不論a為何值，直線l總經(jīng)過第一象限；（2）為使直線l不經(jīng)過第二象限，求a的取值范圍.（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）將直線方程整理得到，求出直線所過定點(diǎn)，即可證明結(jié)論成立；（2）根據(jù)直線的特征，列出不等式求解，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）直線l為，即，，解得，不論a為何值，直線l總過第一象限的點(diǎn)，即直線l過第一象限；（2）因?yàn)橹本€的斜率顯然存在，又直線l不經(jīng)過第二象限，直線l過第一象限，所以斜率只能為正，且直線與軸不能交于正半軸；因此；解得，的取值范圍是.18．已知圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，圓心在x軸正半軸上，且與直線相切．（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線與圓C交于A，B兩點(diǎn)．①求k的取值范圍；②證明：直線OA與直線OB的斜率之和為定值．（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）具體見解析.【分析】（1）設(shè)出圓心，進(jìn)而根據(jù)題意得到半徑，然后根據(jù)圓與直線相切求出圓心，最后得到答案；（2）（ⅰ）聯(lián)立直線方程和圓的方程并化簡，根據(jù)判別式大于零即可得到答案；（ⅱ）設(shè)出兩點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而通過根與系數(shù)的關(guān)系與坐標(biāo)公式進(jìn)行化簡，即可得到答案.【詳解】（1）由題意，設(shè)圓心為，因?yàn)閳AC過原點(diǎn)，所以半徑r=a，又圓C與直線相切，所以圓心C到直線的距離（負(fù)值舍去），所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）（?。⒅本€l代入圓的方程可得：，因?yàn)橛袃蓚€(gè)交點(diǎn)，所以，即k的取值范圍是.（ⅱ）設(shè)，由根與系數(shù)的關(guān)系：，所以.即直線OA,OB斜率之和為定值.19．如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為．(1)求A到平面的距離；(2)設(shè)D為的中點(diǎn)，，平面平面，求二面角的正弦值．(1)(2)【分析】（1）由等體積法運(yùn)算即可得解；（2）由面面垂直的性質(zhì)及判定可得平面，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法即可得解.【詳解】（1）在直三棱柱中，設(shè)點(diǎn)A到平面的距離為h，則，解得，所以點(diǎn)A到平面的距離為；（2）取的中點(diǎn)E,連接AE,如圖，因?yàn)?，所?又平面平面，平面平面，且平面，所以平面，在直三棱柱中，平面，由平面，平面可得，，又平面且相交，所以平面，所以兩兩垂直，以B為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，由（1）得，所以，，所以，則,所以的中點(diǎn)，則，,設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，可取，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，可取，則，所以二面角的正弦值為.20．如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，M，N分別為的中點(diǎn)，.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）要證，可證，由題意可得，，易證，從而平面，即有，從而得證；（2）取中點(diǎn)，根據(jù)題意可知，兩兩垂直，所以以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，再分別求出向量和平面的一個(gè)法向量，即可根據(jù)線面角的向量公式求出．【詳解】（1）在中，，，，由余弦定理可得，所以，．由題意且，平面，而平面，所以，又，所以．（2）由，，而與相交，所以平面，因?yàn)椋?，取中點(diǎn)，連接，則兩兩垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系,則,又為中點(diǎn)，所以.由（1）得平面，所以平面的一個(gè)法向量從而直線與平面所成角的正弦值為．本題第一問主要考查線面垂直的相互轉(zhuǎn)化，要證明，可以考慮，題中與有垂直關(guān)系的直線較多，易證平面，從而使問題得以解決；第二問思路直接，由第一問的垂直關(guān)系可以建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)線面角的向量公式即可計(jì)算得出．21．已知三條直線，直線和直線，且和的距離是.(1)求的值.(2)能否找到一點(diǎn)，使得點(diǎn)同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：①是第一象限的點(diǎn)；②點(diǎn)到的距離是點(diǎn)到的距離的；③點(diǎn)到的距離與點(diǎn)到的距離之比是？若能，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不能，請說明理由.(1)(2)能，【分析】（1）根據(jù)平行間的距離公式建立方程，求解可得答案；（2）設(shè)存在點(diǎn)滿足，由平行間的距離公式可求得或．得出滿足條件②的點(diǎn)滿足或．再由點(diǎn)到直線的距離公式可得或，聯(lián)立方程，求解可得結(jié)論.【詳解】（1）因?yàn)榭苫癁椋耘c的距離為．因?yàn)?，所以．?）設(shè)存在點(diǎn)滿足，則點(diǎn)在與，平行直線上．且，即或．所以滿足條件②的點(diǎn)滿足或．若點(diǎn)滿足條件，由點(diǎn)到直線的距離公式，有，即，所以或，因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，所以不成立．聯(lián)立方程和，解得（舍去），聯(lián)立方程和，解得，所以即為同時(shí)滿足條件的點(diǎn).22．已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，D為棱上的點(diǎn)．（1）證明：；（2）當(dāng)為何值時(shí)，面與面所成的二面角的正弦值最小?（1）證明見解析；（2）【分析】（1）方法二：通過已知條件，確定三條互相垂直的直線，建立合適的空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量證明線線垂直；（2）方法一：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出二面角的平面角的余弦值最大，進(jìn)而可以確定出答案；【詳解】（1）[方法一]：幾何法因?yàn)?，所以．又因?yàn)椋?，所以平面．又因?yàn)?，?gòu)造正方體，如圖所示，過E作的平行線分別與交于其中點(diǎn)，連接，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，所以是BC的中點(diǎn)，易證，則．又因?yàn)?，所以．又因?yàn)椋云矫妫忠驗(yàn)槠矫?，所以．[方法二]【最優(yōu)解】：向量法因?yàn)槿庵侵比庵酌?，，，，又，平面．所以兩兩垂直．以為坐?biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．，．由題設(shè)（）．因?yàn)?，所以，所以．[方法三]：因?yàn)椋?，所以，故，，所以，所以．?）[方法一]【最優(yōu)解】：向量法設(shè)平面的法向量為，因?yàn)椋?，即．令，則因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛?，設(shè)平面與平面的二面角的平面角為，則．當(dāng)時(shí)，取最小值為，此時(shí)取最大值為．所以，此時(shí)．[方法二]：幾何法如圖所示，延長交的延長線于點(diǎn)S，聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)T，則平面平面．作，垂足為H，因?yàn)槠矫?，?lián)結(jié)，則為平面與平面所成二面角的平面角．設(shè)，過作交于點(diǎn)G．由得．又，即，所以．又，即，所以．所以．則，所以，當(dāng)時(shí)，．[方法三]：投影法如圖，聯(lián)結(jié)，在平面的投影為，記面與面所成的二面角的平面角為，則．設(shè)，在中，．在中，，過D作的平行線交于點(diǎn)Q．在中，．在中，由余弦定理得，，，，，當(dāng)，即，面與面所成的二面角的正弦值最小，最小值為．【整體點(diǎn)評】第