2022-2023學(xué)年江蘇省南京師范大學(xué)蘇州實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年江蘇省南京師范大學(xué)蘇州實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．直線的傾斜角是（

）A． B． C． D．D【分析】由可得，可得斜率為從而求得傾斜角．【詳解】由可得，所以直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜為，則，因?yàn)?，所以．故選：D2．已知直線：，：，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件B【分析】求得當(dāng)時(shí)，推不出，反之，可以推出，即可判斷出答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，經(jīng)驗(yàn)證時(shí)，不重合，故時(shí)，推不出，當(dāng)時(shí)，“”成立，故“”是“”的必要不充分條件，故選：B3．直線經(jīng)過點(diǎn)和以為端點(diǎn)的線段相交，直線斜率的取值范圍是（

）A． B． C． D．D【分析】求得直線和的斜率，結(jié)合圖象求得正確答案.【詳解】，畫出圖象如下圖所示，由圖可知，直線l的斜率滿足或所以直線的斜率的取值范圍是.故選：D4．如圖，在四面體中，，，，且，，則（

）A． B．C． D．C【分析】由平面向量的線性運(yùn)算求解．【詳解】連接，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以．故選：C．5．已知直線與圓交于兩點(diǎn)，則當(dāng)弦最短時(shí)，圓與圓的位置關(guān)系是（

）A．內(nèi)切 B．外離 C．外切 D．相交B【分析】由直線過定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，當(dāng)弦最短時(shí)直線垂直，根據(jù)斜率乘積為求出，進(jìn)而求出圓的方程，再根據(jù)圓心距與兩圓半徑的關(guān)系確定答案.【詳解】易知直線即過定點(diǎn)，因?yàn)椋试趫A內(nèi).故弦最短時(shí)直線垂直，又，所以，解得，此時(shí)圓的方程是.兩圓圓心之間的距離，半徑分別為5，3又，所以這兩圓外離.故選：B.6．過坐標(biāo)原點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．D【分析】求出直線直線過的定點(diǎn)A，由題意可知垂足是落在以O(shè)A為直徑的圓上，由此可利用的幾何意義求得答案,【詳解】直線，即，令，解得，即直線過定點(diǎn),由過坐標(biāo)原點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，可知：落在以O(shè)A為直徑的圓上，而以O(shè)A為直徑的圓為，如圖示：故可看作是圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，而圓過原點(diǎn)，圓上點(diǎn)到原點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為，但將原點(diǎn)坐標(biāo)代入直線中，不成立，即直線l不過原點(diǎn)，所以不可能和原點(diǎn)重合，故，故選：D7．已知矩形ABCD，AB＝1，BC，沿對(duì)角線AC將△ABC折起，若平面ABC與平面ACD所成角的余弦值為，則B與D之間距離為（

）A．1 B． C． D．C【分析】過B和D分別作BE⊥AC，DF⊥AC，根據(jù)向量垂直的性質(zhì)，利用向量數(shù)量積進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．【詳解】過B和D分別作BE⊥AC，DF⊥AC，∵AB＝1，BC，∴AC＝2，∵，∴BE＝DF，則AE＝CF，即EF＝2﹣1＝1，∵平面ABC與平面ACD所成角的余弦值為，∴，∵，∴，則||，即B與D之間距離為，故選：C．8．如圖，正方體中，，，，當(dāng)直線與平面所成的角最大時(shí)，（

）A． B． C． D．C【分析】利用坐標(biāo)法，利用線面角的向量求法，三角函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，∴，令，可得，又，設(shè)直線與平面所成的角為，則，又，∴當(dāng)時(shí)，有最大值，即直線與平面所成的角最大.故選：C.二、多選題9．已知空間向量，則下列說法正確的是（

）A．B．向量與向量共線C．向量關(guān)于軸對(duì)稱的向量為D．向量關(guān)于平面對(duì)稱的向量為ABC【分析】根據(jù)空間向量模的公式，結(jié)合共線向量、線對(duì)稱、面對(duì)稱的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】A：因?yàn)?，所以本選項(xiàng)說法正確；B：因?yàn)?，所以向量與向量共線，因此本選項(xiàng)說法正確；C：設(shè)的起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所以該向量的終點(diǎn)為，因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以向量關(guān)于軸對(duì)稱的向量為，因此本選項(xiàng)說法正確；D：設(shè)的起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所以該向量的終點(diǎn)為，因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以向量關(guān)于平面對(duì)稱的向量為，故選：ABC10．已知，是圓O：上兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則B．若點(diǎn)O到直線AB的距離為，則C．若，則的最大值為D．若，則的最大值為4AD【分析】對(duì)于選項(xiàng)A，B，根據(jù)垂徑定理可判斷，對(duì)于選項(xiàng)C，D，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可求解判斷.【詳解】對(duì)于A，若，則可知點(diǎn)到的距離為，從而可知，故A正確；對(duì)于B，若點(diǎn)O到直線AB的距離為，則可知，從而得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，D，的值可轉(zhuǎn)化為單位圓上的兩點(diǎn)到直線的距離之和，又，所以三角形是等腰直角三角形，設(shè)是的中點(diǎn)，則，且，則在以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓上，兩點(diǎn)到直線的距離之和為的中點(diǎn)到直線的距離的兩倍.點(diǎn)到直線的距離為，所以點(diǎn)到直線的距離的最大值為，所以的最大值為.因此的最大值為4.從而可知C錯(cuò)誤，D正確..故選：AD.11．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，是直線上的點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（

）A．點(diǎn)的軌跡是圓 B．的最大值為 C．的最小值為 D．ACD【分析】設(shè)，由數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出點(diǎn)軌跡方程，再利用直線和圓的位置關(guān)系求解，判斷各選項(xiàng)．【詳解】設(shè)，則，即，所以點(diǎn)軌跡是圓，此圓圓心為，半徑為．是圓的一條直徑．點(diǎn)到直線的距離為，直線與圓相離，無最大值，最小值為，由于已知直線與以為直徑的圓相離，，因此ACD正確．故選：ACD12．在四邊形中(如圖1)，，將四邊形沿對(duì)角線折成四面體（如圖2所示），使得，E，F(xiàn)，G分別為的中點(diǎn)，連接為平面內(nèi)一點(diǎn)，則（

）A．三棱錐的體積為B．直線與所成的角的余弦值為C．四面體的外接球的表面積為D．若，則Q點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為ABD【分析】取中點(diǎn)，先證平面，再由計(jì)算體積即可判斷A選項(xiàng)；用表示出，再由向量的運(yùn)算求出夾角的余弦值即可判斷B選項(xiàng)；取的中點(diǎn)，由求出外接球半徑，即可判斷C選項(xiàng)；作交延長(zhǎng)線于，由平面，進(jìn)而求得，得出Q點(diǎn)的軌跡即可求得D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，如圖，取中點(diǎn)，連接，易得，又，平面，則平面，易得，則，則，，則，A正確；對(duì)于B，，則，則，，則，，又，則，即直線與所成的角的余弦值為，B正確；對(duì)于C，易得，，則，取的中點(diǎn)，連接，易得，則四面體的外接球的半徑為，則外接球表面積為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，作交延長(zhǎng)線于，由A選項(xiàng)知，，又，平面，則平面，又平面，則，又，則，又，則，即Q點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，則Q點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，D正確.故選：ABD.求三棱錐的體積關(guān)鍵在于找出棱錐的高，本題通過分割三棱錐進(jìn)而得到棱錐的高求出體積；求異面直線的夾角，可以通過向量法進(jìn)行解決，通過基底表示出兩條異面直線所在向量，再由向量的運(yùn)算求解即可；本題外接球問題屬于共斜邊的直角三角形模型，求出半徑即可求解；立體幾何中的軌跡問題通常借助平面的垂線段轉(zhuǎn)化為平面的軌跡問題加以處理.三、填空題13．設(shè)圓的圓心為C，直線l過，且與圓C交于A，B兩點(diǎn)，若，則直線l的方程為___________.或【分析】當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為，求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再判斷是否成立，當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，再利用弦心距，弦和半徑的關(guān)系列方程可求出，從而可求出直線方程【詳解】當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為，由，得或，此時(shí)，符合題意.當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線，因?yàn)閳A的圓心，半徑，所以圓心C到直線l的距離.因?yàn)椋?，解得，所以直線l的方程為，即.綜上，直線l的方程為或.故或14．已知平面內(nèi)點(diǎn)一定點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別是x軸和直線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為______．##【分析】利用對(duì)稱性，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，，利用數(shù)形結(jié)合求的的最小值.【詳解】作出點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn),則,最小值即為到直線的距離,所以的最小值為.故答案為.15．四葉草也叫幸運(yùn)草，四片葉子分別象征著：成功?幸福?平安?健康，表達(dá)了人們對(duì)美好生活的向往.梵克雅寶公司在設(shè)計(jì)四葉草吊墜的時(shí)候，利用了曲線方程（如圖所示）進(jìn)行圖案繪制.試求曲線圍成的封閉圖形的面積___________.【分析】先對(duì)分情況討論，去掉絕對(duì)值，然后結(jié)合方程表示的圖形求解面積.【詳解】當(dāng)時(shí)，方程可化為它表示圓心在，半徑為的圓在第一象限的部分；當(dāng)時(shí)，方程可化為它表示圓心在，半徑為的圓在第四象限的部分；當(dāng)時(shí)，方程可化為它表示圓心在，半徑為的圓在第二象限的部分；當(dāng)時(shí)，方程可化為它表示圓心在，半徑為的圓在第三象限的部分；綜上，四個(gè)部分都是半圓，并且它們正好圍成了一個(gè)封閉的區(qū)域.這個(gè)區(qū)域的面積可以割成四個(gè)半圓和一個(gè)正方形，其中正方形的邊長(zhǎng)就是半圓的直徑.所以總面積為.故答案為.16．如圖所示，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，P，Q分別是線段，上的點(diǎn)，滿足平面，則與平面所成角的范圍是__________．【分析】以為原點(diǎn)，為軸、軸、為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，且，其中，求得向量和平面的一個(gè)法向量，結(jié)合向量的夾角公式，求得的范圍，即可求解.【詳解】以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，可得，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，所以，易得不重合，設(shè)，其中，且，所以，所以，，因?yàn)槠矫?，所以，可得，所以，，因?yàn)槠矫妫缘囊粋€(gè)法向量為，設(shè)與平面所成的角為，則，當(dāng)，可得，因?yàn)?，所以?dāng)，可得，因?yàn)?，所以，所以與平面所成的角的范圍是為.故四、解答題17．已知直線經(jīng)過直線與直線的交點(diǎn).（1）若直線垂直于，求直線的方程；（2）若直線與經(jīng)過兩點(diǎn)，的直線平行，求直線的方程.(1)；(2).【詳解】試題分析:（1）易得點(diǎn)的坐標(biāo)為，利用垂直關(guān)系得到斜率即可求出直線的方程；（2）利用平行關(guān)系得到斜率即可求出直線的方程.試題解析：由，解得∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.（1）∵直線的斜率為，∴與該直線垂直的直線的斜率為，∴直線的方程為，即.（2）直線的斜率為，∵直線與直線平行，∴，∴直線的方程為，即.18．已知圓的圓心在直線上，且與軸相切于點(diǎn).（Ⅰ）求圓的方程；（Ⅱ）若圓與直線：交于，兩點(diǎn)，_____________，求的值.從下列兩個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面問題中并作答：條件①：；條件②.注：如果選擇多個(gè)條件分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分.（Ⅰ）；（Ⅱ）答案見解析.【分析】（Ⅰ）設(shè)圓心，易知，由圓與軸相切于點(diǎn)，可求以及，寫出圓的方程即可.（Ⅱ）所給的兩個(gè)條件，均可得到直線的距離，結(jié)合點(diǎn)線距離公式即可求的值.【詳解】（Ⅰ）設(shè)圓心坐標(biāo)為，半徑為.由圓的圓心在直線上，知.又∵圓與軸相切于點(diǎn)，∴，，則.∴圓的圓心坐標(biāo)為，則圓的方程為.（Ⅱ）如果選擇條件①：，而，∴圓心到直線的距離，則，解得或.如果選擇條件②：，而，∴圓心到直線的距離，則，解得或.19．在如圖所示的五面體中，面是邊長(zhǎng)為2的正方形，平面，，且，為的中點(diǎn),M為CD中點(diǎn)，(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離.(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量法證線面平行，（2）利用平面法向量的夾角求二面角，（3）利用空間向量即可求解點(diǎn)面距離.【詳解】（1）因?yàn)槠矫妫矫?，所以，因?yàn)?，所以兩兩垂直，所以以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，因?yàn)槠矫媸沁呴L(zhǎng)為2的正方形，，且，為的中點(diǎn)，所以，，，，，，，所以，因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄靠梢詾?，所以，即，又平面，所以平面；?）因?yàn)?，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，因?yàn)槠矫?，，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)槠矫?，所以平面，所以平面的法向量可以為，設(shè)二面角為，由圖可知二面角為鈍角，則，所以二面角的余弦值為；（3）由（2）知平面的法向量為，又，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，所以點(diǎn)到平面的距離；20．已知圓過點(diǎn)，，且圓心在直線：上.(1)求圓的方程；(2)若從點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過直線反射，反射光線恰好平分圓的圓周，求反射光線的一般方程.(3)若點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，求的最小值.(1)(2)(3)【分析】（1）由題意可求線段的中垂線方程，聯(lián)立直線方程可得圓心，進(jìn)而可得半徑與圓的方程；（2）由恰好平分圓的圓周，得經(jīng)過圓心，求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，求出直線即為；（3）由題意設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得，進(jìn)而可得最小值.【詳解】（1）由，，得直線的斜率為，線段中點(diǎn)，所以，直線的方程為，即，聯(lián)立，解得，即，所以半徑，所以圓的方程為；（2）由恰好平分圓的圓周，得經(jīng)過圓心，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則直線與直線垂直，且線段的中點(diǎn)在上，即，解得，所以，所以直線即為直線，且，直線方程為，即；（3）由已知點(diǎn)在直線上，設(shè)，則，所以當(dāng)時(shí)，取最小值為.21．四棱錐中，底面為梯形，，，，，為直二面角．(1)證明：；(2)若直線與平面所成角的正弦值為，求平面與平面的夾角的余弦值．(1)證明見解析(2)【分析】（1）取中點(diǎn)，首先證得四邊形為平行四邊形，從而得到，可證得；結(jié)合面面垂直和線面垂直的性質(zhì)即可證得結(jié)論；（2）連接，交于點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)和線面垂直可知可以以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用線面角的向量求法可構(gòu)造方程求得，從而利用面面角的向量求法可求得結(jié)果.【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，，，四邊形為平行四邊形，，即，；又為直二面角，平面平面，平面，平面，又平面，.（2）連接，交于點(diǎn)，由（1）知：四邊形為平行四邊形，為中點(diǎn)，，，分別為中點(diǎn)，，又平面，平面，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量，，令，解得：，，；直線與平面所成角的正弦值為，，解得：，，，，平面的法向量，，，設(shè)平面的法向量，，令，解得：，，；，平面與平面的夾角的余弦值為.22．已知圓和定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)?在圓上.(1)過點(diǎn)作圓的