2022-2023學(xué)年江蘇省徐州市睢寧縣高二年級上冊學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年江蘇省徐州市睢寧縣高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．過點(diǎn)A（1，2）的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為（

）A．x-y+1=0 B．x+y-3＝0 C．y＝2x或x+y-3＝0 D．y＝2x或x-y+1＝0D【分析】考慮直線是否過坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)出直線方程，分別求解出直線方程.【詳解】當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，其斜率為，故直線方程為y＝2x；當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，代入點(diǎn)（1，2）可得，解得a＝－1，故直線方程為x-y+1＝0.綜上，可知所求直線方程為y＝2x或x-y+1＝0，故選：D.本題主要考查直線方程的截距式以及分類討論思想的應(yīng)用，考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算.在利用直線方程的截距式解題時(shí)，一定要注意討論直線的截距是否為零.2．下列四個(gè)命題中，正確的是（

）A．直線在軸上的截距為2B．直線的傾斜角和斜率均存在C．若兩直線的斜率滿足，則兩直線互相平行D．若兩直線的傾斜角相等，則它們的斜率也一定相等B【分析】根據(jù)方程直接求解可判斷A；由傾斜角和斜率的定義可判斷B；根據(jù)直線平行與斜率的關(guān)系可判斷C；由傾斜角為時(shí)斜率不存在可判斷D.【詳解】對于直線，令得，所以直線在軸上的截距為，故錯(cuò)誤；直線的傾斜角為0，斜率為0，存在，故B正確；若兩直線的斜率滿足，則兩直線互相平行或重合，所以C錯(cuò)誤；若兩直線的傾斜角為，則它們的斜率不存在，所以D錯(cuò)誤；故選：B3．經(jīng)過點(diǎn)作直線，若直線與連接的線段總有公共點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍是（

）A． B． C． D．A【分析】作出線段及點(diǎn)，即可得出直線變化范圍，即可確定斜率取值范圍.【詳解】如圖所示，，故直線的斜率的取值范圍是.故選：A4．若橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)重合，則該雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．xA求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，再求出，再求漸近線方程即可.【詳解】的焦點(diǎn)為，所以漸近線的方程為故選：A5．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過點(diǎn)且傾斜角為30°的直線交拋物線于點(diǎn)（在第一象限），，垂足為，直線交軸于點(diǎn)，若，則拋物線的方程是（

）A． B．C． D．C【分析】如圖所示，過點(diǎn)作，垂足為.先證明是等邊三角形，再求出，求出的值即得解.【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)作，垂足為.由題得,所以.因?yàn)?，所以是等邊三角?因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，所以，所以.所以.所以所以拋物線的方程是.故選：C6．古希臘幾何學(xué)家阿波羅尼斯證明過這樣一個(gè)平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓．若平面內(nèi)兩定點(diǎn)A，B的距離為2，動點(diǎn)P滿足，若點(diǎn)P不在直線上，則面積的最大值為（

）A．1 B． C．2 D．B【分析】設(shè)經(jīng)過點(diǎn)A，B的直線為x軸，的方向?yàn)閤軸正方向，線段AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法計(jì)算.【詳解】設(shè)經(jīng)過點(diǎn)A，B的直線為x軸，的方向?yàn)閤軸正方向，線段AB的垂直平分線為y軸，線段AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系.則，，設(shè)，∵，∴，兩邊平方并整理得，即．要使的面積最大，只需點(diǎn)P到AB（x軸）的距離最大時(shí)，即為圓的半徑，此時(shí)面積為．故選：B.7．若直線被圓截得的弦長為4，則的最小值是（

）A．9 B．4 C． D．B【分析】由題可得圓心在直線上，即，然后利用基本不等式即得.【詳解】由題意得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，∴圓心為，半徑．∵直線被圓截得的弦長為4，∴圓心在直線上，∴，即，又，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號成立，∴的最小值是4．故選：B．8．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P為雙曲線C在第一象限上的點(diǎn)，直線PO交雙曲線C的左支于點(diǎn)M，若，且，則雙曲線C的離心率為（

）A． B．3 C．2 D．D【分析】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F1，則四邊形MFPF1為平行四邊形，根據(jù)雙曲線定義可得，在△△POF中利用余弦定理得出a，c的關(guān)系即可求出離心率．【詳解】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F1，由雙曲線的對稱性可知四邊形MFPF1為平行四邊形．∴．設(shè)，則，，∴，得，即，∵，∴在△MFP中，由余弦定理可得：，得，∴，，在△POF中，由余弦定理可得：，整理，得，即.故選：D二、多選題9．下列說法正確的是（

）A．直線的斜率為B．若直線的傾斜角為α，則C．若兩條直線的斜率之積等于－1，則這兩條直線垂直D．若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則該直線的方程為BC【分析】特殊值判斷A；由傾斜角判斷B；由直線垂直的判定判斷C；選項(xiàng)D中注意要加的條件.【詳解】A：當(dāng)時(shí)，直線斜率不存在，錯(cuò)誤；B：由題意，，故，正確；C：由直線垂直的判定知：兩條直線的斜率之積等于－1，則兩條直線垂直，正確；D：直線在兩坐標(biāo)軸上的截距都為0,且斜率不低于-1，直線的方程不可寫為，錯(cuò)誤.故選：BC10．設(shè)橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，，左?右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是橢圓上的動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．離心率B．△面積的最大值為1C．以線段為直徑的圓與直線相切D．為定值BD【分析】由，直接求橢圓離心率即可，將看成△的底，高的最大值即為，即可求出△面積的最大值，寫出以線段為直徑的圓方程，圓心到直線的距離即可判定直線和圓的位置關(guān)系，直接用斜率公式求解即可.【詳解】對于選項(xiàng),由已知得，，則，即，故錯(cuò)；對于選項(xiàng),由已知得，要使△的面積最大，當(dāng)?shù)走吷系母咦畲蠹纯桑叩淖畲笾导礊?，則△的面積最大值為，故正確；對于選項(xiàng),以線段為直徑的圓的方程為，則該圓的圓心到直線的距離為,即以線段為直徑的圓與直線相交，故不正確；對于選項(xiàng),設(shè)點(diǎn)，則,故正確.故選：BD.11．已知圓和圓的交點(diǎn)為A，B，則（

）.A．兩圓的圓心距B．直線AB的方程為C．圓上存在兩點(diǎn)P和Q使得D．圓上的點(diǎn)到直線AB的最大距離為BD【分析】由圓的一般方程，采用配方法，整理標(biāo)準(zhǔn)方程，可得圓的圓心坐標(biāo)和半徑，根據(jù)兩點(diǎn)距離公式，公共弦求解方法（一般方程作差），圓的性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，逐一驗(yàn)證，可得答案.【詳解】由圓和圓，可得圓和圓，則圓的圓心坐標(biāo)為和半徑為，圓的圓心坐標(biāo)和半徑，對于A，因?yàn)閮蓚€(gè)圓相交，所以兩圓的圓心距，故A錯(cuò)誤；對于B，將兩圓方程作差可得，即得公共弦AB的方程為，故B正確；對于C，直線AB經(jīng)過圓的圓心坐標(biāo)，所以線段AB是圓的直徑，故圓中不存在比AB長的弦，故C錯(cuò)誤；對于D，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為2，圓心到直線AB：的距離為，所以圓上的點(diǎn)到直線AB的最大距離為，故D正確．故選：BD12．已知過拋物線：的焦點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，交圓于，兩點(diǎn)，其中，位于第一象限，則的值可能為（

）A．3 B．4 C．5 D．6BCD【分析】設(shè)，，直線的斜率不存在時(shí)，的直線方程為，分別與拋物線、圓的方程聯(lián)立求出點(diǎn)，坐標(biāo)，可得及；當(dāng)過點(diǎn)的直線的斜率存在時(shí)，可設(shè)該直線方程為，代入拋物線方程聯(lián)立得，由拋物線的定義得，再利用基本不等式結(jié)合選項(xiàng)可得答案.【詳解】設(shè)，．可化為，所以圓的半徑，圓心．由，知焦點(diǎn)，當(dāng)過點(diǎn)的直線的斜率不存在時(shí)，的直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立得，所以，與圓的方程聯(lián)立得，所以，所以，此時(shí)．當(dāng)過點(diǎn)的直線的斜率存在時(shí)，可設(shè)該直線方程為，代入拋物線方程并消去，得，所以．由拋物線的定義可知，，，因?yàn)?，所以，，所以，故，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號成立，結(jié)合選項(xiàng)BCD正確．故選：BCD．三、填空題13．已知拋物線上一點(diǎn)P到x軸的距離是8，則點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離是___________.9先作出圖形，再結(jié)合拋物線的定義進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線方程為,如圖所示,,,由拋物線的定義可得.故9.14．已知圓.若圓與圓有三條公切線，則的值為___________.【分析】根據(jù)已知條件得出兩圓的位置關(guān)系，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式即可求解.【詳解】由，得，所以圓的圓心為，半徑為，因?yàn)閳A，所以圓的圓心為，半徑為，因?yàn)閳A與圓有三條公切線，所以圓與圓相外切，即，解得，所以的值為.故答案為.15．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)，若點(diǎn)P為橢圓C上的一個(gè)動點(diǎn)，則的最小值為____________.1根據(jù)已知可以轉(zhuǎn)化為，然后由三點(diǎn)共線即兩點(diǎn)之間線段最短可得答案.【詳解】由已知得，，因?yàn)?，所以，所以，所以?dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，即.故1.本題考查了橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)和定點(diǎn)距離和的問題，解題關(guān)鍵是利用定義轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短的問題，考查了學(xué)生分析問題、解決問題的能力.四、雙空題16．已知直線，若直線與直線平行，則實(shí)數(shù)的值為______，動直線被圓截得弦長的最小值為______．

【分析】根據(jù)兩直線的一般方程，利用直線平行的公式，代入即可求解；首先判斷直線過定點(diǎn)，利用直線與圓的位置關(guān)系，判斷當(dāng)過點(diǎn)且與垂直的弦的弦長最短.【詳解】由題意得，所以．當(dāng)時(shí)，兩直線重合，舍去，故．因?yàn)閳A的方程可化為，即圓心為，半徑為5．由于直線過定點(diǎn)，所以過點(diǎn)且與垂直的弦的弦長最短，且最短弦長為．故；五、解答題17．在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)直線，直線，.（1）求證：直線過定點(diǎn)，并求出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)直線，的交點(diǎn)為，過作軸的垂線，垂足為，求點(diǎn)到直線的距離，并求的面積.（1）證明見解析，定點(diǎn)；（2），.【分析】（1）變形為直線，，根據(jù)恒等式的思想可求得直線過定點(diǎn).（2）聯(lián)立求得點(diǎn)，.得出直線的方程，點(diǎn)到直線的距離，由三角形的面積公式可求得答案.【詳解】解：（1）∵直線，∴，由，得，∴直線過定點(diǎn).（2）當(dāng)時(shí)，直線，直線，由，得，即，∴.所以直線的方程為，即，∴點(diǎn)到直線的距離.∵點(diǎn)到直線的距離為3-2=1，，∴的面積.18．已知P是橢圓上的一點(diǎn)，、為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)．(1)若，求的面積；(2)求的最大值．(1)9(2)25【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義以及的關(guān)系，結(jié)合余弦定理和面積公式即可求得；（2）由橢圓的定義結(jié)合基本不等式即可求得答案.【詳解】(1)在橢圓中，a＝5，b＝3，則．則，2c＝8，在中，，即有，即，所以，則的面積為．(2)設(shè)，，則m＋n＝10，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝5時(shí)取等號．所以的最大值為25．19．已知圓的方程為.（1）試求的值，使圓的周長最?。唬?）求與滿足（1）中條件的圓相切，且過點(diǎn)的直線方程.（1）；（2）或.【分析】（1）先求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，由半徑最小則周長最小；（2）由，則圓的方程為：，直線和圓線切則圓心到直線的距離等于半徑，分直線與軸垂直和直線與軸不垂直兩種情況進(jìn)行討論即可得解.【詳解】（1），配方得：，當(dāng)時(shí)，圓的半徑有最小值2，此時(shí)圓的周長最小.（2）由（1）得，，圓的方程為.當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，，此時(shí)直線與圓相切，符合條件；當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)為，由直線與圓相切得：，解得，所以切線方程為，即.綜上，直線方程為或.20．已知拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于圓的半徑．(1)求拋物線的方程；(2)過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線與，直線交于，兩點(diǎn)，直線交于，兩點(diǎn)，求四邊形面積的最小值．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)圓的半徑及拋物線的定義可得方程；（2）分別聯(lián)立兩條直線與拋物線，可得線段與長度，進(jìn)而可得面積，結(jié)合基本不等式可得最小值.【詳解】(1)由題設(shè)知，拋物線的準(zhǔn)線方程為，由點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于圓的半徑，而可化為，即該圓的半徑為，所以，解得，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；(2)由題意可知，直線與直線的斜率都存在，且焦點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)?，不妨設(shè)直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立，得，恒成立．設(shè)，，則，，所以，同理，得，所以四邊形的面積，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立）所以四邊形的面積的最小值是．(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn)，若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點(diǎn)，則必須用一般弦長公式．21．已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，離心率為（1）求橢圓的方程（2）如圖，過作斜率為的兩條直線，分別交橢圓于，且證明：直線過定點(diǎn)并求定點(diǎn)坐標(biāo)（1）；（2）證明見解析，恒過定點(diǎn)．【分析】（1）利用橢圓過點(diǎn)，以及離心率為．求出，，即可得到橢圓方程．（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，設(shè)直線方程為，則，，然后求解．當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為：，與橢圓方程聯(lián)立：，得，設(shè)，，，，利用韋達(dá)定理以及，得到與的關(guān)系，然后求解直線，恒過定點(diǎn)．【詳解】解：（1）橢圓過點(diǎn)，可得，且離心率為．，解得，所求橢圓方程為：（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，設(shè)直線方程為，則，，，則，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為：，與橢圓方程聯(lián)立：，得，設(shè)，，，，有則將式代入化簡可得：，即，直線，恒過定點(diǎn).方法點(diǎn)睛：解決曲線過定點(diǎn)問題一般有兩種方法：①探索曲線過定點(diǎn)時(shí)，可設(shè)出曲線方程，然后利用條件建立等量關(guān)系進(jìn)行消元，借助于曲線系的思想找出定點(diǎn)，或者利用方程恒成立列方程組求出定點(diǎn)坐標(biāo).②從特殊情況入手，先探求定點(diǎn)，再證明與變量無關(guān).22．已知雙曲線的焦距為，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離是，其中，的坐標(biāo)分別為，.（1）求雙曲線的方程；（2）是否存在過點(diǎn)的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，使得構(gòu)成以為頂點(diǎn)的等腰三角形?若存在，求出所有直線的方程；若不存在，請說明理由.（1）；（2）存在，直線的方程為.（1）記雙曲線的焦距為，得到；根據(jù)題中條件，得到直線的方程，由點(diǎn)到直線距離公式，求出，進(jìn)而可求出，得出雙曲線方程；（2）先假設(shè)存在過點(diǎn)的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，使得構(gòu)成以為頂點(diǎn)的等腰三角形，設(shè)，，，聯(lián)立直線與雙曲線方程，根據(jù)判別式確定的范圍；記的中點(diǎn)為，根據(jù)韋達(dá)定理求出的坐標(biāo)，由為等腰三角形，得到，由斜率之積為，列出方程求出，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）記雙曲線的焦距為，由題意，可得，即，又，的坐標(biāo)分別為，，所以直線的方程為，即，又坐標(biāo)原點(diǎn)到直