2022-2023學(xué)年黑龍江省綏化市慶安縣高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年黑龍江省綏化市慶安縣高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若直線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，則直線的傾斜角為A． B． C． D．C【詳解】試題分析：設(shè)直線的傾斜角為，直線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，所以，即，又因?yàn)?，所以直線的斜率與傾斜角2．點(diǎn)的直線中，被圓截得的最長(zhǎng)弦所在的直線方程為（

）A． B．C． D．A【分析】要使得直線被圓截得的弦長(zhǎng)最長(zhǎng)，則直線必過(guò)圓心，利用斜率公式求得斜率，結(jié)合點(diǎn)斜式方程，即可求解.【詳解】由題意，圓，可得圓心坐標(biāo)為，要使得直線被圓截得的弦長(zhǎng)最長(zhǎng)，則直線必過(guò)圓心，可得直線的斜率為，所以直線的方程為，即所求直線的方程為.故選：A.3．拋物線的準(zhǔn)線方程是，則的值為（

）A． B． C． D．B【分析】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到其準(zhǔn)線方程，從而得到方程，解得即可.【詳解】解：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是，則其準(zhǔn)線方程為所以．故選：B．4．橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是，那么等于（

）A． B． C． D．A【分析】先將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再由焦點(diǎn)可知橢圓的值，再利用即可求得值.【詳解】由得，又因?yàn)闄E圓的一個(gè)焦點(diǎn)是，所以，，又，所以，解得，故.故選：A.5．直線與圓的位置關(guān)系是(

)A．相切 B．相交 C．相離 D．相交或相切B【分析】把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，求出圓心和半徑，求出圓心到直線的距離，再根據(jù)，可得，可得直線和圓相交．【詳解】圓，即，表示以為圓心、半徑等于3的圓．圓心到直線的距離．再根據(jù)，而的判別式，故有，即，故直線和圓相交，故選：B．6．橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為、，過(guò)作垂直于軸的直線與橢圓相交，一個(gè)交點(diǎn)為P，則A． B． C． D．4C【詳解】試題分析：，所以當(dāng)時(shí)，，而,所以,故選C.橢圓的性質(zhì)7．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為的直線與拋物線C上相交于P，Q兩點(diǎn)，且P，Q兩點(diǎn)在準(zhǔn)線上的投影分別為M，N兩點(diǎn)，則的面積為（

）A． B． C． D．D【分析】聯(lián)立直線與拋物線方程，利用韋達(dá)定理求出，，再求出，最后根據(jù)三角形的面積公式可求出結(jié)果.【詳解】依題意可得，過(guò)的直線為,聯(lián)立，消去并整理得，設(shè)、，則，，所以，所以的面積為.故選：D8．已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為、，點(diǎn)在雙曲線第一象限的圖象上，若的面積為1，且，，則雙曲線方程為A． B．C． D．B【分析】如圖，作垂足為，根據(jù)三角形的面積得到，再利用銳角三角函數(shù)求出、，再在利用銳角三角函數(shù)求出，由勾股定理求出，，由雙曲線的定義求出，從而求出，即可求出雙曲線方程；【詳解】解：如圖，作垂足為，因?yàn)?，因?yàn)榈拿娣e為1，所以，所以，在直角中，，所以，則，在直角中，，又，所以，解得，，所以，，所以，，根據(jù)雙曲線定義得，所以，則，，所以雙曲線方程為，即；故選：B二、多選題9．方程表示的圓，則以下敘述不正確的是（

）A．關(guān)于直線對(duì)稱 B．關(guān)于直線對(duì)稱C．其圓心在軸上，且過(guò)原點(diǎn) D．其圓心在軸上，且過(guò)原點(diǎn)ACD【分析】對(duì)其進(jìn)行配方得到圓心，一一代入選項(xiàng)判斷即可.【詳解】由題意知,方程表示圓,則有將方程進(jìn)行配方可得,圓心坐標(biāo)為對(duì)A選項(xiàng)，圓心不滿足直線方程,故不關(guān)于直線對(duì)稱，所以A不正確；對(duì)B選項(xiàng)，圓心滿足直線方程,故關(guān)于直線對(duì)稱，所以B正確；對(duì)C選項(xiàng)，由可知圓心不可能在軸上所以C不正確；對(duì)D選項(xiàng)，由可知圓心不可能在軸上所以D不正確.故選：ACD.10．（多選）已知方程表示曲線，則（

）A．當(dāng)時(shí)，曲線一定是橢圓B．當(dāng)或時(shí)，曲線一定是雙曲線C．若曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則D．若曲線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則BD【分析】根據(jù)題意，結(jié)合橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，一一判斷即可.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，曲線是圓，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，曲線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，當(dāng)時(shí)，曲線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，故B正確；對(duì)于C，若曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，解得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若曲線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則，解得，故D正確．故選BD．11．如圖所示，一個(gè)底面半徑為4的圓柱被與其底面所成的角的平面所截，截面是一個(gè)橢圓，則下列正確的是（

）A．橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8 B．橢圓的離心率為C．橢圓的離心率為 D．橢圓的一個(gè)方程可能為BD【分析】根據(jù)條件求得短半軸長(zhǎng)、長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，從而求得半焦距，進(jìn)而可求得結(jié)果.【詳解】由題意易知橢圓的短半軸長(zhǎng)，∵截面與底面所成的角為，∴橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，則，所以，離心率為，當(dāng)建立坐標(biāo)系以橢圓中心為原點(diǎn)，橢圓的長(zhǎng)軸為軸，短軸為軸時(shí)，則橢圓的方程為.故選：BD.12．已知兩點(diǎn)，，則在下列曲線上存在點(diǎn)滿足的方程有（

）A． B． C． D．BCD【分析】要使這些曲線上存在點(diǎn)滿足，需曲線與的垂直平分線相交．根據(jù)，的坐標(biāo)求得垂直平分線的方程，分別于題設(shè)中的方程聯(lián)立，看有無(wú)交點(diǎn)即可．【詳解】解：要使這些曲線上存在點(diǎn)滿足，需曲線與的垂直平分線相交．因?yàn)?，，所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為，斜率為，的垂直平分線為，即，，即與，斜率相同、縱截距不相同，故兩直線平行，可知兩直線無(wú)交點(diǎn)，進(jìn)而可知A不符合題意．由與，聯(lián)立消去得，，可知B中的曲線與的垂直平分線有交點(diǎn)，故B正確；與，聯(lián)立消去得，，可知C中的曲線與的垂直平分線有交點(diǎn)，故C正確；與，聯(lián)立消去得，，可知D中的曲線與的垂直平分線有交點(diǎn)，故D正確；故選：BCD．三、填空題13．直線x+2y=0被曲線x2+y2﹣6x﹣2y﹣15=0所截得的弦長(zhǎng)等于．【詳解】圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心，半徑為5，圓心到直線的距離為，因此所截弦長(zhǎng)為．故答案為.14．一個(gè)圓經(jīng)過(guò)橢圓的三個(gè)頂點(diǎn)，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)__________.【詳解】設(shè)圓心為（，0），則半徑為，則，解得，故圓的方程為.橢圓的幾何性質(zhì)；圓的標(biāo)準(zhǔn)方程15．已知拋物線方程為y2＝﹣4x，直線l的方程為2x+y﹣4＝0，在拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)A，點(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離為m，點(diǎn)A到直線l的距離為n，則m+n的最小值為_(kāi)_．－1【分析】點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)A到焦點(diǎn)F的距離，從而A到y(tǒng)軸的距離等于點(diǎn)A到焦點(diǎn)F的距離減1．因此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求得焦點(diǎn)到已知直線的距離后可得結(jié)論、【詳解】由題意，點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)A到焦點(diǎn)F的距離，從而A到y(tǒng)軸的距離等于點(diǎn)A到焦點(diǎn)F的距離減1．過(guò)焦點(diǎn)F作直線2x+y﹣4＝0的垂線，此時(shí)m+n＝|AF|+n﹣1最小，∵F（﹣1，0），則＝，則m+n的最小值為﹣1．故﹣1．16．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，若雙曲線上存在一點(diǎn)使，則該雙曲線的離心率的取值范圍是__________.【詳解】因?yàn)樵谥?，由正弦定理得，則由已知，得，即，,由雙曲線的定義知，由雙曲線的幾何性質(zhì)知所以解得又，故雙曲線的離心率四、解答題17．若直線經(jīng)過(guò)直線與直線的交點(diǎn)，且點(diǎn)到直線的距離為1，求直線的方程．或﹒【分析】聯(lián)立兩直線方程，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再由點(diǎn)(2，2)到直線m的距離為1求m的方程﹒【詳解】由得兩直線的交點(diǎn)為，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：，由點(diǎn)到直線距離公式可得，解得，此時(shí)直線的方程為；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，點(diǎn)(2，2)到直線的距離等于1，滿足條件．綜上，直線的方程為或﹒18．以橢圓的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，過(guò)直線上一點(diǎn)作橢圓，要使所作橢圓的長(zhǎng)軸最短，點(diǎn)應(yīng)在何處？求出坐標(biāo)，并求出此時(shí)的橢圓方程．答案見(jiàn)解析【分析】先結(jié)合圖像可知橢圓的長(zhǎng)軸最短時(shí)共線，從而利用關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)的知識(shí)求得，進(jìn)而求得與的最小值，則橢圓方程可得.【詳解】橢圓的焦點(diǎn)為，，如圖所示，要求所作橢圓的長(zhǎng)軸最短，即求的最小值，設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，即共線時(shí)，取得最小值，設(shè)，則有，解得，故，所以，故直線的方程為，即，聯(lián)立，解得，故，故所求橢圓的長(zhǎng)軸，所以，又，故，此時(shí)橢圓的方程為，所以的坐標(biāo)為，此時(shí)橢圓的方程為．19．已知，點(diǎn)，，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，求的最大值、最小值及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)．最大值為74，點(diǎn)坐標(biāo)；最小值為34，點(diǎn)坐標(biāo).【分析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，求出即得解.【詳解】解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，.當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取最大值74，解得，，點(diǎn)坐標(biāo)為.當(dāng)時(shí)，即，取最小值34，解得，，點(diǎn)坐標(biāo)為．20．已知曲線在軸右邊，上每一點(diǎn)到點(diǎn)的距離減去它到軸距離的差都是.（1）求曲線的方程；（2）是否存在正數(shù)，對(duì)于過(guò)點(diǎn)且與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)的任一直線，都有？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（1）；（2）存在，.【分析】（1）設(shè)，根據(jù)題意列方程，化簡(jiǎn)即可求解；（2）設(shè)，，直線的方程為，與曲線的方程聯(lián)立，消去可得、，再由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算列不等式，由不等式恒成立轉(zhuǎn)化為最值即可求解.【詳解】（1）設(shè)是曲線上任意一點(diǎn)，由題意可得：，整理可得：，（2）存在，理由如下：設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與曲線的交點(diǎn)為，，設(shè)直線的方程為，由得：，，所以，又，，由，可得，所以，，將代入上式可得：對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立，所以，解得：，所以存在正數(shù)，對(duì)于過(guò)點(diǎn)且與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)的任一直線，都有，且的取值范圍.21．已知焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的兩條漸近線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且兩條漸近線與以點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓相切，又知的一個(gè)焦點(diǎn)與關(guān)于直線對(duì)稱．(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)直線與雙曲線的左支交于、兩點(diǎn)，另一直線經(jīng)過(guò)及的中點(diǎn)，求直線在軸上的截距的取值范圍．(1)；(2).【分析】(1)根據(jù)兩條漸近線與圓相切，可得雙曲線的兩條漸近線方程，從而得到a、b關(guān)系．利用雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)求出c，可求雙曲線的方程；(2)設(shè)，、，，直線與雙曲線方程聯(lián)立消去，根據(jù)直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn)，求出m的范圍，表示出中點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出直線的方程，令求得關(guān)于m的表達(dá)式，根據(jù)的范圍求得的范圍．【詳解】(1)設(shè)雙曲線的漸近線方程為，則，由題可知，，故雙曲線為等軸雙曲線，設(shè)雙曲線的方程為，由題可知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，∴c＝，，，：；(2)設(shè)，，由得，直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn)，∴，，∴中點(diǎn)為，即，則直線l的斜率為：，直線的方程為：，令，得，，，．22．已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且離心率為，直線與橢圓交于、兩點(diǎn)．若直線上存在點(diǎn)，使得四邊形是平行四邊形，求的值．或．【分析】依題意得到，求出、