2022-2023學(xué)年浙江省寧波市金蘭教育合作組織高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年浙江省寧波市金蘭教育合作組織高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若點(diǎn)，則直線AB的斜率是（

）A． B． C．1 D．2B【分析】根據(jù)斜率公式即得.【詳解】因?yàn)?，，所以直線AB的斜率是.故選：B.2．圓上的點(diǎn)到直線距離的最小值是（

）A． B．2 C． D．4A【分析】根據(jù)圓與直線的位置關(guān)系，以及點(diǎn)到直線的距離公式即得.【詳解】由圓，可得圓心，半徑為1，圓心到直線的距離設(shè)為，則，所以圓上的點(diǎn)到直線距離的最小值是為.故選：A.3．若方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．C【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程判斷求解．【詳解】由題意，解得，故選：C．4．在四面體OABC中記，，，若點(diǎn)M、N分別為棱OA、BC的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．B【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算，即得.【詳解】由題意得.故選：B.5．圓：與圓：的公共弦的弦長(zhǎng)等于（

）A．2 B．4 C． D．D【分析】計(jì)算圓心距確定兩圓相交，得到公共弦為，根據(jù)弦長(zhǎng)公式即得.【詳解】圓：，圓心為，半徑為；圓：，圓心為，半徑為；圓心距，，兩圓相交，聯(lián)立兩圓方程，得，即公共弦所在直線的方程為，故圓心到公共弦的距離為，公共弦長(zhǎng)為.故選：D.6．設(shè)為空間一組基底，若向量，則向量在基底下的坐標(biāo)為．若在基底下的坐標(biāo)為，則向量在基底下的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．C【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則，把表示為的線性和，然后由向量相等求得即得．【詳解】設(shè)=，為空間一組基底，所以，解得，所以的新坐標(biāo)為．故選：C．7．是從點(diǎn)P出發(fā)的三條射線，每?jī)蓷l射線夾角均為60°，則直線PC與平面PAB所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．A【分析】過上一點(diǎn)作平面，可得就是直線與平面所成的角，然后利用線面垂直的性質(zhì)及判定可得，再通過直角和直角，求出直線與平面所成角的余弦值．【詳解】過上一點(diǎn)作平面，過點(diǎn)作，，則就是直線與平面所成的角，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，，平面，平面，所以平面，平面，所以，同理可證，因?yàn)?，所以，所以，故，所以點(diǎn)在的平分線上，，設(shè)，則，，故，所以直線與平面所成角的余弦值是.故選：A.8．已知，為橢圓長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上異于，的任意一點(diǎn)，設(shè)直線，的斜率分別為，，若的最小值為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．D【分析】設(shè)，即可得到，不妨令，則，則，利用基本不等式求出的最小值，即可得到，從而求出橢圓的離心率.【詳解】解：設(shè)，則，又、，所以，顯然，不妨令，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，則，所以離心率為.故選：D.二、多選題9．正方體中，M為中點(diǎn)，O為中點(diǎn)，以下說法正確的是（

）A．平面 B．平面C．平面 D．平面AC【分析】設(shè)交于，利用線面平行的判定定理可判斷A，由題可得進(jìn)而可判斷BD，利用線面垂直的判定定理可得平面，進(jìn)而可判斷C.【詳解】連接交于，連接，則為的中點(diǎn)，所以，，又M為中點(diǎn)，，，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，故A正確；因?yàn)椋c平交且不垂直，所以與平面不平行且不垂直，故BD錯(cuò)誤；由題可知平面，平面，所以，由題可知，又平面，平面，所以平面，又，所以平面，故C正確.故選：AC.10．已知曲線C：，則下列說法正確的是（

）A．，曲線C為一個(gè)點(diǎn) B．，曲線C為一條直線C．，曲線C為直線 D．，曲線C恒過點(diǎn)BCD【分析】由可判斷AB，取可判斷C，由可得曲線恒過定點(diǎn)判斷D.【詳解】由，可得，而，所以，曲線C為一條直線，故A錯(cuò)誤，B正確；當(dāng)時(shí)，曲線C：，即，故C正確；由，可得，即曲線C恒過點(diǎn)，故D正確.故選：BCD.11．在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量（其中），定點(diǎn)，異于點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，則以下說法正確的是（

）A．若為直線的方向向量，則B．若為直線的方向向量，則C．若為平面的法向量，面經(jīng)過和P，則D．若為平面的法向量，面經(jīng)過和P，則AD【分析】由直線的方向向量、平面法向量的概念求解判斷．【詳解】直線是直線的一個(gè)方向向量，，為直線的方向向量，則，A正確，B錯(cuò)誤，在平面內(nèi)，為平面的法向量，則，所以，C錯(cuò)誤D正確．故選：AD．12．設(shè)，為橢圓的左，右焦點(diǎn)，直線過交橢圓于A，B兩點(diǎn)，則以下說法正確的是（

）A．的周長(zhǎng)為定值8 B．的面積最大值為C．的最小值為8 D．存在直線l使得的重心為ACD【分析】利用橢圓的定義可判斷A，根據(jù)基本不等式結(jié)合橢圓的定義可判斷C，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程利用韋達(dá)定理法，可表示出的面積，的重心進(jìn)而判斷BD.【詳解】由橢圓，可得，所以為，故A正確；因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，故C正確；由題可設(shè)直線的方程為，由，可得，設(shè)，則，所以，所以的面積為，令，則，，所以，因?yàn)椋蓪?duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知，所以，當(dāng)，即取等號(hào)，故B錯(cuò)誤；由上可知所以，又，所以的重心為，令，解得，所以當(dāng)直線的方程為時(shí)的重心為，故D正確.故選：ACD.三、填空題13．直線的傾斜角為______．【分析】將一般式方程整理為斜截式方程可得直線斜率，由斜率和傾斜角關(guān)系求得傾斜角.【詳解】由，可得，所以直線的斜率為，所以傾斜角為.故答案為.14．在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，點(diǎn)和點(diǎn)B關(guān)于坐標(biāo)平面Oxz對(duì)稱，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為______．【分析】?jī)牲c(diǎn)關(guān)于平面Oxz對(duì)稱，x、z對(duì)應(yīng)坐標(biāo)相等，y軸對(duì)應(yīng)坐標(biāo)護(hù)衛(wèi)相反數(shù).【詳解】點(diǎn)和點(diǎn)B關(guān)于坐標(biāo)平面Oxz對(duì)稱，則A、B兩點(diǎn)的x軸對(duì)應(yīng)坐標(biāo)和z軸對(duì)應(yīng)坐標(biāo)不變，y軸對(duì)應(yīng)坐標(biāo)互為相反數(shù)，故故15．點(diǎn)在圓外，則a的取值范圍為______．或.【分析】由題可得，進(jìn)而即得.【詳解】由，可得，因?yàn)辄c(diǎn)在圓外，所以，解得或.故或.16．在空間直角坐標(biāo)系中，，滿足，則線段AB與平面Oxy交點(diǎn)的軌跡方程為______．【分析】由題可得，然后根據(jù)空間向量共線可得，進(jìn)而即得.【詳解】因?yàn)?，，，所以，即，由題可設(shè)，則，所以，可得，所以，即線段AB與平面Oxy交點(diǎn)的軌跡方程為.故答案為.四、解答題17．已知直線：與直線：．(1)若直線與直線平行求a的值；(2)若直線與直線垂直求a的值．(1)(2)【分析】(1)利用兩直線平行的充要條件，列出方程，解之即可；(2)利用兩直線垂直的充要條件，列出方程，解之即可.【詳解】（1）因?yàn)橹本€：與直線：平行，所以，解得.（2）直線：與直線：垂直，所以，解得.18．在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為棱BC，CD的中點(diǎn)．(1)求點(diǎn)A到平面的距離；(2)求平面與平面CEF夾角的余弦值．(1)2；(2).【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)點(diǎn)到平面的距離向量公式即可求出；（2）利用向量法，根據(jù)空間向量的夾角公式即得.【詳解】（1）如圖所示，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，依題意，得，，，，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，∴，即，令，則，

所以點(diǎn)到平面的距離為；（2）由題可得平面的一個(gè)法向量可取，又平面的法向量為，所以，故平面與平面夾角的余弦值為.19．已知圓心在x軸正半軸上的圓C，過點(diǎn)，．(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)的直線與圓C交于兩點(diǎn)A，B，若，求直線l的方程．(1)；(2)或.【分析】（1）利用待定系數(shù)法即得；（2）由題可得圓心到直線的距離為1，利用點(diǎn)到直線的距離公式即得.【詳解】（1）由題可設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，解得，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由可知圓心，半徑為2，因?yàn)橹本€與圓交于兩點(diǎn)，，所以圓心到直線的距離為1，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線為，滿足題意；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，可設(shè)直線的方程為，則，解得，所以直線的方程為，即，綜上，直線的方程為或.20．在平行六面體中，，，．(1)求；(2)求和所成角的余弦值．(1)；(2).【分析】（1）利用、、表示向量、，利用空間向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律即得；（2）根據(jù)向量模長(zhǎng)公式及向量夾角公式即得.【詳解】（1）由題可得，，又，，，所以，所以；（2）由題可得，所以，又，所以，所以，故和所成角的余弦值為.21．在三棱錐中，平面，，，F(xiàn)為棱PC上一點(diǎn)，滿足于F．(1)求證：平面平面；(2)求與平面所成角的正弦值．(1)詳見解析；(2).【分析】（1）由題可得，利用線面垂直的性質(zhì)及判定定理可得平面，進(jìn)而平面，然后根據(jù)面面垂直的判定定理即得；（2）利用等積法可得點(diǎn)到平面的距離，再結(jié)合條件可得，進(jìn)而即得.【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，所以，，所以，又平面，平面，所以，又平面，平面，所以平面，又平面，所以，又，平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；?）由平面，又平面，所以，又，，所以，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，平面，，所以，即，又平面，平面，所以，又，所以，所以與平面所成角的正弦值為.22．已知橢圓C：經(jīng)過點(diǎn)，且離心率為．(1)求橢圓C的方程；(2)橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M，N（M，N與點(diǎn)A不重合）直線AM，AN的斜率之和為4，作于H．問：是否存在定點(diǎn)P，使得為定值．若存在，求出定點(diǎn)P的坐標(biāo)及的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．(1)；(2)存在定點(diǎn)，使得為定值且定值為．【分析】（1）由題意得，再由離心率，結(jié)合的關(guān)系求得得橢圓方程；（2）假設(shè)存在定點(diǎn)滿足題意，在的斜率存在，設(shè)直線的方程為，，直線方程代入橢圓方程整理后應(yīng)用韋達(dá)定理得，同時(shí)注意，利用求得的關(guān)系，得直線過定點(diǎn)，的中點(diǎn)即為定點(diǎn)．再驗(yàn)證斜率不存在時(shí)也滿足題意.【詳解】（1）由已知，，解得（負(fù)值舍去），橢圓方程為；（2）假設(shè)存在定點(diǎn)滿足題意，當(dāng)?shù)男甭蚀嬖?，設(shè)直線的方程為，，由得，，．，，所以，，，或，直線存在，直線方程為