2022-2023學(xué)年江蘇省蘇州市常熟中學(xué)高一強(qiáng)基英才班上學(xué)期10月陽光調(diào)研數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年江蘇省蘇州市常熟中學(xué)高一強(qiáng)基英才班上學(xué)期10月陽光調(diào)研數(shù)學(xué)試題一、單選題1．下列方程中是一元二次方程的是（

）A． B． C． D．C【分析】根據(jù)一元二次方程的定義逐個判斷即可.【詳解】對于A，方程為一元一次方程，故A錯誤；對于B，方程為分式方程，故B錯誤；對于C，方程為一元二次方程，故C正確；對于D，當(dāng)時，方程不是一元二次方程，故D錯誤；故選：C2．如圖，點(diǎn)為外一點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線、，記切點(diǎn)為、，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接、．若，則等于（

）A． B． C． D．D【分析】先根據(jù)切線的性質(zhì)得，再利用四邊形的內(nèi)角和與圓周角定理即可求解【詳解】因?yàn)?、是切線，所以，所以,所以因?yàn)?，所以，所以，故選：D3．若關(guān)于的一元二次方程有一個根是0，則的值是（

）A． B．2 C．0 D．或2A【分析】將一元二次方程的根代入方程，結(jié)合二次項(xiàng)系數(shù)不為，可求出的值．【詳解】∵關(guān)于x的一元二次方程有一個根為0，∴且，解得.故選：A4．已知的圖象過點(diǎn)，，，則，，的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．B【分析】由拋物線的解析式可得拋物線開口方向與對稱軸，根據(jù)三點(diǎn)到對稱軸的距離大小關(guān)系求解即可【詳解】因?yàn)?，所以拋物線開口向下，對稱軸為，因?yàn)?，所以，故選：B5．我國古代數(shù)學(xué)家趙爽（公元3世紀(jì)）在其所著的《勾股圓方圖注》中記載過一元二次方程（正根）的幾何解法．以方程即為例說明，記載的方法是：構(gòu)造如圖，大正方形的面積是．同時它又等于四個矩形的面積加上中間小正方形的面積，即，因此．則在下面四個構(gòu)圖中，能正確說明方程解法的構(gòu)圖是（

）A． B． C． D．D【分析】根據(jù)題意，畫出方程，即的拼圖過程，由面積之間的關(guān)系可得出答案.【詳解】方程，即的拼圖，如圖所示：中間小正方形的邊長為，其面積為25,大正方形的面積：，其邊長為7.因此，D選項(xiàng)所表示的圖形符合題意,故選：D.6．已知，是方程的兩個根，則（

）A．2008 B．8002 C．2009 D．2020A【分析】由題意得，，，進(jìn)而化簡，即可求解【詳解】因?yàn)?，是方程的兩個根，所以，，，所以，，所以，，所以，故選：A7．如圖，將半徑為的半圓圍成一個圓錐，在圓錐內(nèi)接一個圓柱，當(dāng)圓柱的側(cè)面面積最大時，圓柱的底面半徑是（

）A． B． C． D．C【分析】先求出圓錐的底面半徑與高，設(shè)出圓柱的底面半徑與高，利用三角形相似與側(cè)面積公式以及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解【詳解】因?yàn)樯刃蔚幕￠L為，所以圓錐的底面半徑為，圓錐的高為，設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，由題意得，解得，所以圓柱的側(cè)面積為，所以當(dāng)時，圓柱的側(cè)面積有最大值，故選：C8．設(shè)為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)、為該拋物線上的兩個動點(diǎn)，且．連接點(diǎn)、，過作于點(diǎn)，則點(diǎn)到軸距離的最大值（

）A． B． C． D．2B【分析】如圖，以M為原點(diǎn)建立新坐標(biāo)系.過點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，AH⊥BE于點(diǎn)H，交軸于點(diǎn)G，設(shè)AB交軸于點(diǎn)K，首先證明直線AB經(jīng)過定點(diǎn)K(0,1)，判斷出點(diǎn)C的運(yùn)動軌跡，可得結(jié)論.【詳解】如圖，以M為原點(diǎn)建立新坐標(biāo)系.過點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，AH⊥BE于點(diǎn)H，交軸于點(diǎn)G，設(shè)AB交軸于點(diǎn)K，則拋物線在新坐標(biāo)系下的解析式，頂點(diǎn).設(shè)，則，，，，，，，，，，，，，，，，，，，點(diǎn)C的運(yùn)動軌跡是以MK為直徑的圓，當(dāng)點(diǎn)C在的右側(cè)，到軸的距離為時，點(diǎn)C到y(tǒng)軸的距離最大，最大值為.故選：B二、多選題9．下列關(guān)于的方程的說法正確的是（

）A．一定有兩個實(shí)數(shù)根 B．可能只有一個實(shí)數(shù)根C．可能無實(shí)數(shù)根 D．當(dāng)時，方程有兩個負(fù)實(shí)數(shù)根BD【分析】當(dāng)時，可判斷A；當(dāng)時，由判別式可判斷BC；由根與系數(shù)的關(guān)系可判斷D【詳解】當(dāng)時，方程可轉(zhuǎn)化為，解得，故A錯誤；B正確，當(dāng)時，方程關(guān)于的方程為一元二次方程，且，此時方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，故C錯誤；又，當(dāng)時，，所以，故D正確；故選：BD10．下列語句說法錯誤的是（

）A．平分弦的直徑垂直于弦B．三角形的內(nèi)心到三角形各邊的距離相等C．在同圓或等圓中，相等的弦所對的圓周角相等D．過平面內(nèi)三點(diǎn)可以作一個圓ACD【分析】利用圓的垂徑定理、三角形內(nèi)心的性質(zhì)、圓周角定理及確定圓的條件判斷選項(xiàng)即可得解.【詳解】只有平分不是直徑的弦的直徑垂直于弦，平分直徑的直徑不一定垂直于弦（直徑），故A錯誤;三角形的內(nèi)心即三角形的內(nèi)切圓圓心，到三角形三邊的距離都等于半徑，故B正確;在同圓或等圓中，相等的弧所對的圓周角相等，相等的弦所對的圓周角不一定相等，故C錯誤;只有不共線的三點(diǎn)確定一個圓，故D錯誤;故選：ACD11．如圖，為的直徑，，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，，下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．劣弧是劣弧的2倍ABD【分析】由AB是直徑，得出△ABE是等腰直角三角形，得出，由AB=AC,，可得的度數(shù)，進(jìn)而判斷選項(xiàng)A；由等腰三角形“三線合一”可判斷選項(xiàng)B；在中，由的度數(shù)可判斷與的關(guān)系，進(jìn)而判斷BE與EC的關(guān)系，從而判斷選項(xiàng)C；由AE=BE可得=，由可得，可判斷選項(xiàng)D.【詳解】如圖，連接，為的直徑，，，，，，故A正確；，，，故B正確；，，，，，，，，故C錯誤；，，，，，故D正確.故選：ABD12．如圖，等邊三角形邊長是定值，點(diǎn)是它的外心，過點(diǎn)任意作一條直線分別交，于點(diǎn)，，將沿直線折疊，得到，若，分別交于點(diǎn)，，連接，，則下列判斷正確的有（

）A． B．的周長是的長度C．四邊形的面積等于 D．四邊形的面積是一個定值A(chǔ)BC【分析】由題意結(jié)合三角形全等可判斷A，B；四邊形的面積等于，依次換成面積相等的三角形可判斷C，同理可判斷D【詳解】對于A：連接因?yàn)辄c(diǎn)是等邊三角形的外心，所以點(diǎn)是等邊三角形的內(nèi)心，所以平分,所以點(diǎn)到的距離相等，由折疊得：平分,所以點(diǎn)到的距離相等，所以點(diǎn)到的距離相等，所以平分,,由折疊得：，所以，所以，同理可得，所以，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，同理得，所以，所以，故A正確；對于B：因?yàn)椋?，因?yàn)?，，所以，所以，所以的周長（定值），故B正確；對于C：四邊形的面積等于，故C正確；對于D：四邊形的面積等于，過點(diǎn)作于，所以，由于是定值，變化，故的面積變化，從而四邊形的面積也變化，故D錯誤；故選：ABC三、填空題13．一元二次方程的解為___________．【分析】利用一元二次方程的直接開平方法，進(jìn)行計算即可.【詳解】即或解得：故14．如圖，為的直徑，弦于點(diǎn)，直線切于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，若，，則的長度為___________．【分析】根據(jù)垂徑定理可得，進(jìn)而得到為等腰直角三角形，求得，根據(jù)切線的性質(zhì)可得，進(jìn)而得到為等腰直角三角形，從而得出.【詳解】因?yàn)锽C為圓O的直徑，，所以，所以,故為等腰直角三角形，有，所以，又直線l切圓O于點(diǎn)C，所以，故為等腰直角三角形，有，因?yàn)?，所?故15．若二次函數(shù)（，，均為常數(shù)）的圖象與軸兩個交點(diǎn)的坐標(biāo)是和，則方程的解是___________．【分析】拋物線是由拋物線向左平移2個單位所得，從而可得拋物線與軸兩個交點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而即可求解【詳解】因?yàn)閽佄锞€是由拋物線向左平移2個單位所得，所以拋物線與軸兩個交點(diǎn)的坐標(biāo)是和，所以方程的解是，故16．已知、為拋物線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則的值為___________．【分析】由拋物線與x軸的交點(diǎn)，利用公式法解方程（設(shè)）得，代入求解即可.【詳解】當(dāng)時，（設(shè)），整理得，，，所以，所以，故四、解答題17．解下列于的不等式(1)；(2)；(3)；(4)（其中）．(1);(2);(3);(4)答案見解析.【分析】（1）分解因式后解不等式；（2）滿足時，兩邊平方后求解；（3）化為分式不等式，由數(shù)軸穿根法求解；（4）分解因式后，對分類討論求解即可.【詳解】(1)，原不等式可化為，解得，所以不等式的解集為.(2)由，所以不等式的解集為.(3)由可得，即，如圖，由數(shù)軸穿根法，解得或或，所以不等式的解集為.(4)由原不等式可得，即，①當(dāng)時，解得，②當(dāng)時，由知，可解得或，③當(dāng)時，由知，可解得，④當(dāng)時，由知，，⑤當(dāng)時，由知，可解得.綜上，時，不等式解集為；時，不等式解集為或；時，不等式解集為；時，不等式解集為；時，不等式解集為.18．某景區(qū)要建一個游樂場（如圖所示），其中、分別靠現(xiàn)有墻、（墻長為27米，墻足夠長），其余用籬笆圍成．籬笆將游樂場隔成等腰直角和長方形兩部分，并在三處各留2米寬的大門，已知籬笆總長為54米，設(shè)長為米，面積為平方米．(1)求與的函數(shù)關(guān)系式及的取值范圍；(2)當(dāng)多長時，游樂場的面積為320平方米？(1)，；(2)16米【分析】（1）用含的式子表達(dá)出各邊長，求出與長方形的面積，相加即可，再結(jié)合墻的長度，列出不等式組，求出的取值范圍；（2）在第一問的基礎(chǔ)上，令平方米，求出，舍去不合要求的解，求出的長度.【詳解】（1），因?yàn)殚L為米，所以米，因?yàn)榛h笆總長為54米，三處各留2米寬的大門,所以米，由長為27米，墻足夠長，可知，解得：，所以長方形的面積為，所以，；（2）令平方米，即，解得：或8，因?yàn)?，所以，所以?dāng)長為16米時，游樂場的面積為320平方米.19．如圖，已知是的直徑，交邊于點(diǎn)，連接，且滿足，點(diǎn)在的延長線上，交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)如果，，，求直徑的長．(1)證明見解析；(2)4.【分析】（1）利用得到，結(jié)合半徑相等得到，等量代換得到，故；（2）由得到為等邊三角形，由得到，求出，從而求出，進(jìn)而求出直徑.【詳解】(1)因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以?2)因?yàn)椋?，所以，因?yàn)椋詾榈冗吶切危?，因?yàn)椋?，所以，故，，所以，所以，則，.20．已知是方程的一個根，求：(1)的值；(2)代數(shù)式的值．(1)-5；(2)2019.【分析】（1）根據(jù)是方程的一個根，得到，對代數(shù)式變形后，整體代入求出答案；（2）由題意得到，，將代數(shù)式變形，整體代入求出答案.【詳解】(1)因?yàn)槭欠匠痰囊粋€根，所以，即，故；(2)由得：，，結(jié)合，可得.21．如圖，D是的邊上一點(diǎn)，連接，作的外接圓O，將沿直線折疊，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)E落在上．(1)若，如圖1．①求的度數(shù)．②若，求的度數(shù)．(2)若，如圖2．求的長．(1)①30，②60(2)6【分析】根據(jù)折疊的原理，分析圖中的幾何關(guān)系，運(yùn)用等弧所對的圓周角相等即可.【詳解】(1)①，，，將沿直線折疊，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)E落在上，；②，，，，將沿直線折疊，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)E落在上，，中，，則，，，；(2)，，，，折疊，，，，；綜上，，，.22．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線（為常數(shù)）．(1)當(dāng)，在拋物線上，求的值．(2)當(dāng)拋物線的最低點(diǎn)到直線的距離恰好是時，求的值．(3)已知、，連接．當(dāng)拋物線與線段有交點(diǎn)時，記交點(diǎn)為（點(diǎn)不與、重合），將線段繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，以、為鄰邊構(gòu)造矩形．①若拋物線在矩形內(nèi)部的圖象的函數(shù)值隨自變量的增大而減小時，求的取值范圍．②當(dāng)拋物線在矩形內(nèi)部（包含邊界）圖象所對應(yīng)的函數(shù)的最大值與最小值的差為時，直接寫出的值．(1)；(2)或或；(3)①或；②或或.【分析】（1）將代入解析式即可求解；（2）求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，由題意列出方程即可求解；（3）①通過數(shù)形結(jié)合，討論拋物線對稱軸與矩形邊的位置關(guān)系與拋物線經(jīng)過臨界點(diǎn)時的值求解；②分類討論點(diǎn)在點(diǎn)上方與點(diǎn)在點(diǎn)下方兩種情況，分別求出最高點(diǎn)與最低點(diǎn)坐標(biāo)作差求解；【詳解】(1)將代入可得：，所以；(2)因?yàn)?，所以拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)閽佄锞€的最低點(diǎn)到直線的距離恰好是，所以，解得或或；(3)①所在的直線解析式為，將代入，得，所以點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)上方時，，解得，因?yàn)?，所以點(diǎn)橫坐標(biāo)為，因?yàn)?，所以拋物線對稱軸在點(diǎn)的右側(cè)，滿足題意，所以；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)下方時，，解得，因?yàn)?，所以點(diǎn)橫坐標(biāo)為，當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)時，，解得，所以滿