概率論-4幾種離散型分布

0—1二項(xiàng)泊松1一 分 EXc,EX2c2,DXc2c2EXc,DX二、0--1分布(兩點(diǎn)分布P{X1}p,P{X0}1EXp,EX2p,DXpp2p(1p)EXp,DXp(1p).2三、n 試滿足下面四個(gè)特征每次試驗(yàn)都是在相同條各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立每次試驗(yàn)的結(jié)果發(fā)生的P(A)p,P(A)1p 如：拋一枚硬幣n次.有放回地抽取n件產(chǎn)品.301則重 為 P(k)Ck 試驗(yàn)的樣本空間包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)nCk

C0C1 Cnn

4 P{X0}P(A1A2A3A4A5)

555C155P{XiCi0.6i0.45ii55四、二項(xiàng)分 定義:如果 量X的概率分布為n ,)n其中0<p<1,q=1-p則稱X服從參數(shù)為np的二項(xiàng)分布,簡(jiǎn)記作X~B(n,p).其中n為試驗(yàn)次數(shù),p為每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率二二項(xiàng)分布中X的可能取值X的取值的概率分布6

EXkCnp

kCnp

k k!(nnn

k1(k1)!(n

Ck1pk1qnknp

k1

p p

nn

kCnp

k2Cknn

k2 pkqn k!(n

p

11)n

n

n(n1)Cn2p nCn1p

n

nn(n1)p2Ck2n(n1)p2

npCk1DXEX2(EX)2n(n1)p2npn2p2npnp2n ,)n :P{X2}P{X2}P{X1}P{X 可以看到當(dāng)較大時(shí)方算項(xiàng)分較n小于等于布隨 量的分布函數(shù)值.9例設(shè) 均射中次數(shù);(2)最多射中2次的概率;(3)至少射中2次的概率;;(4)射中4次的概率值. 量X,則F(4)P{XaP{Xa1F(a1);P{Xa}P{Xa}P{Xa1}F(a)F(aF(x)

Cnmpm(1CnX~B(np),YnX,Y~B(n,qpq,,, nP{Ym}P{nXm}P{XnnnCnmnY~

Cmqm

X~B(np),YnX~B(n,q),Y5X~P{X2}P{Y3}1P{Y2}10.9421條自動(dòng)生產(chǎn)線產(chǎn)品的正品率為0.8,假設(shè)各件產(chǎn)品是否為次品相互獨(dú)立連續(xù)生產(chǎn)20件求正品率不:例設(shè)一個(gè)汽車站某路 時(shí)間不超過4分鐘的人數(shù).X~U[0,5],Y~B(10p). 0

45

Z10Y,Z~P{Y8P{Z2例 X~B(n,p),EX6,DX4.2,P{XEX6DX4.2:q pX~

nP{X51P{X410.2375設(shè)X~B(n,p),X取值為0,1,...,n,使得概率最大的k,記為k0,稱為二項(xiàng)分布的最可能值其中[np+p]表示不超過np+p的最大整數(shù)例如:若X~B(4,0.8), 所以,P(X=4)和P(X=3)的概率值最 若X~B(10,0.8),np+p=11×0.8=8.8,所以,P(X=8)的概率值最大

kk0npp和npp[np當(dāng)npp例擲四 ,求“6點(diǎn)”出現(xiàn)的平均次數(shù)及點(diǎn)”出現(xiàn)的最可能的次數(shù)及相應(yīng)的概率解:令X表示四 中“6點(diǎn)”出現(xiàn)的次數(shù),顯然“6點(diǎn)”出現(xiàn)的平均次數(shù),即EXnp412 “6點(diǎn)”出現(xiàn)的最可能的次數(shù)npp21 [npp

105

5466 6 四、超幾何分 設(shè)N個(gè)元素分為兩類,有N1個(gè)元素屬于第抽取n個(gè),令X表示這n個(gè)元素中所含第一(或第二)類元素的個(gè)數(shù),則稱X服從以n,N1,N2為參數(shù)的超幾何分布.(此處有,n≤N1+N2)X的概率分布為P(Xm)

nCC N2CCCC

(m0,1, , EX mP( m) m m

C CnN NCC C mC m

m!(N1m)!

CnNC NCnN

m

(N11)!(m1)!(N1m)!

CnNNkm1NNnN

n1 N

n

nN1C2EX 1C2

C kC

1C

CNNEXEXnN1,DXnN1N2NNNNN例10件產(chǎn)品中有6件合格，4件不合格，解：X服從以n=3,N1=6,N24為參數(shù)的P(Xm)

3CC CCC3C

(m0,1,2,nNN1pNP(Xm)

CmCn N2CnCn

Cmpmqnm(pq當(dāng)N,nNn5%)NX~B(n,p)XnN1N2超幾何分布,其中,pN1N,n,N 解：設(shè)X表示15只燈泡中一等品的數(shù)量, P(X2)F(2)0.3980五、泊松(possion)義 X為 ,布k P{Xk} ,k .(k!X,記為X~P()X~k利用級(jí)數(shù)ex kk k

易知PXm}m

m m

EX

m0

eem

m

m(m令km1,EXe

k0 k

ee若X~P(),有EXDX泊松分布的應(yīng)用背 臺(tái)的呼喚次數(shù),候車的旅客數(shù),原子放射粒子數(shù),織機(jī)上斷頭的次數(shù),以及零件鑄造表面上一定大小的面積內(nèi)砂另外,對(duì)成功率為p的n重 例 P{X=2},P{X=5},因泊松分布的參數(shù)就是它的期望值=5.即泊松分布概率值表P{Xk} k!例設(shè)X~P(且PX1PX求PX X~p(

P{Xk} k!由P{X1P{X2}得 2！整理得,220, 即X~P(2).4于是PX

e24!Poisson定理：在n重實(shí)驗(yàn)中,成功次(0<pn<1),limnpn0,則有nlimP{Xm}limCmpm(1p m

(m0,1, ,m!很大,p很小時(shí),二項(xiàng)分布就可近似地看成是參數(shù)=np的泊松分布.(n≥100,p<0.1) 射擊,每次命中的概率為0.02,獨(dú)立射400次,試 次數(shù)不少于2次的概率解:設(shè)X表示400次 的次數(shù) 顯然X~B(400,0.02)n較大，p較小，所以可np4000.02的泊松分布近似代替于是P{X21P{X1P{X1}P{X查10.002684大批產(chǎn)品的廢品率為0.005,從中任取100件,解:設(shè)X表示100件產(chǎn)品中的廢品數(shù) 顯然X服從以n100為參數(shù)的超幾何分布.其中,N較大,n較小,可用參數(shù)為n100,p0.005二項(xiàng)分布近似代替.另一方面,在該二項(xiàng)分布中,由于p相對(duì)于n來說比較小,又可以用參數(shù)為np1000.005的泊松分布近似代替查于是P{X2P{X0P{X1P{X0.6065310.303265例某種產(chǎn)品每件表面上的疵點(diǎn)數(shù)服從泊松分由已知得X~P(),且EX0.8,X~P(0.8).PX4}1PX 查10.4493290.3594630.1437850.0383430.007669 例某種產(chǎn)品每件表面上的疵點(diǎn)數(shù)服從泊松分產(chǎn)品價(jià)值的平均值品的價(jià)值.由已知得Y關(guān)于X的函數(shù)為： XYg(X)

1X XEY10P{X1}8P{1X10(0.4493290.359463)8(0.1437850.0383430.007669) 例設(shè)書籍中每