2018年高考二項式定理十大典型問題及例題

學科教師輔導講義1.二項式定理：(a+b)n=C0an+C1an—1b+nn+Cran—rbr+n+Cnbn(neN*)，n?基本概念：……二項式展開式：右邊的多項式叫做(a+b)n的二項展開式。二項式系數(shù):展開式中各項的系數(shù)Cr(r=0,1,2,…,n)?n項數(shù)：共(r+1)項，是關于a與b的齊次多項式通項：展開式中的第r+1項Cran—rbr=Cran—rbr表示。nr+1n?注意關鍵點：項數(shù)：展開式中總共有(n+1)項。順序：注意正確選擇a，b，其順序不能更改。(a+b)n與(b+a)”是不同的。指數(shù)：a的指數(shù)從n逐項減到0，是降幕排列。b的指數(shù)從0逐項減到n，是升幕排列。各項的次數(shù)和等于n?系數(shù)：注意正確區(qū)分二項式系數(shù)與項的系數(shù)，二項式系數(shù)依次是C0,C1,C2,…,Cr，…,Cn.項的系數(shù)是a與b的系數(shù)(包括二項式系數(shù))。TOC\o"1-5"\h\znnnnn4?常用的結論：令a=1,b=x,(1+x)n=Co+Cix+C2x2++Crxr++Cnxn(neN*)nnnnn令a=1,b=—x,(1—x)n=C0—C1x+C2x2—+Crxr++(—1)nC”x”(neN*)nnnnn\o"CurrentDocument"5?性質：……①二項式系數(shù)的對稱性：與首末兩端“對距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即C0=Cn，???Ck=Ck-1②二項式系數(shù)和：令ab1,②二項式系數(shù)和：令ab1,則二項式系數(shù)的和為CClC2nnCrCn2n,nn變形式ClC2CrCn2n1。變形式nnnn③奇數(shù)項的二項式系數(shù)和=偶數(shù)項的二項式系數(shù)和:在二項式定理中，令a1,b1，^C在二項式定理中，令a1,b1，^CnC2Cn從而得到：C0C2C4C2rC1C3nnnnnn④奇數(shù)項的系數(shù)和與偶數(shù)項的系數(shù)和：C2r1n(1)nCnn…-2n2

2(11)n0,⑤二項式系數(shù)的最大項：如果二項式的冪指數(shù)n是偶數(shù)時，則中間一項的二項式系數(shù)C；取得最大值。n如果二項式的冪指數(shù)n是奇數(shù)時，則中間兩項的二項式系數(shù)C〒，CT同時取得最大nn值。⑥系數(shù)的最大項：求(abx)n展開式中最大的項，一般采用待定系數(shù)法。設展開式中各項系數(shù)分別為A,A,,A12n1從而解出r來。設第r1項系數(shù)最大，應有為A,A,,A12n1從而解出r來。AAr1r2題型一：二項式定理的逆用;例:C1例:C1C26C362Cn6n1nnnn解:(16)nC0C16T262C363nnnn練:C13C29C33n1Cn???nnnn解:設SC13C2?-9C33n1Cn，則nnnnn3SC13C232C333…Cn3nC0nnnnnnS(13)n14n1n33Cn6n與已知的有一些差距,nC13C232C333Cn3n1(13)n1nnnn題型二：利用通項公式求xn的系數(shù);例：在二項式（41+市的展開式中倒數(shù)第3項的系數(shù)為45，求含有x3的項的系數(shù)?解：由條件知Cn-2二45，即C2二45，???n2-n-90=0，解得n=-9（舍去）或n=10，由TOC\o"1-5"\h\znnT=Cr(X4)10-r(X3)r=CrX~4+3，由題意、—+r=3,解得f=6r+1101043則含有x3的項是第7項T=C6X3=210X3系數(shù)為2106+110練：求（X2-丄）9展開式中X9的系數(shù)？2x解：T=Cr(X2)9-r(-丄)r=CrX18-2r(—丄)rX-r=Cr(-—)rX18-3r，18-3r=9r=3r+192X9292故X9的系數(shù)為C3(-丄)3=-21。922題型三：利用通項公式求常數(shù)項；例:求二項式的展開式中的常數(shù)項?例:求二項式的展開式中的常數(shù)項?解：T=Cr(X2)10—r(_^)r=Cr(^rX20-｝，令20--r=0，得廠=8，所以T=C8('=TOC\o"1-5"\h\zr+1102X10229102256練：求二項式(2X-丄)6的展開式中的常數(shù)項？2x解T=Cr(2X)6-r(-1)r(丄)r=(-“Cr26-r(1)rX6-2r，令6-2廠=0，得廠=3，所以T=(-1)3C3=-20r+162X6246練：若(X2+1)n的二項展開式中第5項為常數(shù)項，則n=____.X解：T=C4(X2)n-4(丄)4=C4x2n-12，令2n-12=0，得n=65nXn題型四：利用通項公式，再討論而確定有理數(shù)項;例：求二項式（質-応）9展開式中的有理項?解：T=Cr(x2)9-r(-x3)r=(-1)rCrx6，令27gZ，(0<r<9)得r=3或r=9r+1996所以當r=3時,27-r=4，T=(-1)3C3x4=-84x4649當r=9時，27-r=36109題型五：奇數(shù)項的二項式系數(shù)和二偶數(shù)項的二項式系數(shù)和;

展開式中偶數(shù)項系數(shù)和為一256展開式中偶數(shù)項系數(shù)和為一256，求n?解：設（獲—-）n展開式中各項系數(shù)依次設為a,a,…a,01n令x=—1，貝U有a+a+…a=0,①，令x=1，貝U有a一a+a一aH—+(一l?a=2n,②TOC\o"1-5"\h\z01n0123n將①-②得：2(a+a+a+…)=一2n,/.a+a+a+…=—2n—1,35135^有題丿意、得，一2n—1=—256=—28，n=9。練：若（詁+5：丄）n的展開式中，所有的奇數(shù)項的系數(shù)和為1024，求它的中間項。xX2解：C0+C2+C4…+C2r+???=C1+C3++C2r+1+…=2n-1，/.2n-1=1024，解得n=11nnnnnnn?????所以中間兩個項分別為n=6,n=7，T=C5（3丄）6（5丄）5=462-x—4，T=462-x一管5+1nYxVx26+1題型六：最大系數(shù)，最大項；例：已知（1+2x）n，若展開式中第5項，第6項與第7項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，2求展開式中二項式系數(shù)最大項的系數(shù)是多少？解：C4+C6=2C5,「.n2一21n+98=0,解出n=7或n=14，當n=7時，展開式中二項式系數(shù)TOC\o"1-5"\h\znnn??最大的項是T和TT的系數(shù)=C3（!）423=藝,，T的系數(shù)=C4（!）324=70,當n=14時，展454722572開式中二項式系數(shù)最大的項是T，...T的系數(shù)=C7（丄）727=343288142練：在（a+b）2n的展開式中，二項式系數(shù)最大的項是多少？解：二項式的幕指數(shù)是偶數(shù)2n，則中間一項的二項式系數(shù)最大，即T=T，也就牛1n+12是第n+1項。練：在（蘭—丄）n的展開式中，只有第5項的二項式最大，則展開式中的常數(shù)項是多23x少？解：只有第5項的二項式最大，則n+1=5，即n=8，所以展開式中常數(shù)項為第七項等2

于CP2=7練：寫出在(a-b)7的展開式中，系數(shù)最大的項？系數(shù)最小的項?解：因為二項式的幕指數(shù)7是奇數(shù)，所以中間兩項(第4,5項)的二項式系數(shù)相等，且同時取得最大值，從而有T=-C3a4b3T=C4a3b4系數(shù)最大。4757解:練：若展開式前三項的二項式系數(shù)和等于79，求(1+2x)n的展開式中系數(shù)最大的項?2解:由C0+C1+C2=79,解出n=12，假設T項最大，(丄+2x)12=(丄)12(1+4x)12nnnr+122A>Ar+1A>Ar+1rA>AJr+1r+2Cr4r>Cr-14r-11212Cr4r>Cr+14r+11212，化簡得到9.4<r<10.4，又0<r<12=10，展開式中系數(shù)最大的項為T，有T=1111Cio4ioxio=16896xio12練:解:假設T項最大，r+1練:解:假設T項最大，r+1T=Cr-2rxrr+110A>Ar+1rA>Ar+1r+20<r<10，Cr2r>Cr-12r-11010解得4Cr2r>Cr+12r+1,J10107，展開式中系數(shù)最大的項為T=C727x7=15360x7.8102^1-篇1r)'化簡得到6-3<k<7.3，又在(1+2x)10的展開式中系數(shù)最大的項是多少?題型七：含有三項變兩項例：求當(x2+3x+2)5的展開式中x的一次項的系數(shù)?解法①：(x2+3x+2)5=[(x2+2)+3x]5，T=Cr(x2+2)5-r(3x)r，當且僅當r=1時，T的展TOC\o"1-5"\h\zr+15r+1開式中才有X的一次項，此時t=T所以得一次項為\o"CurrentDocument"r+125C1C4243x54它的系數(shù)為C1C4243=240。54角牛法②：(x2+3x+2)5=(x+1)5(x+2)5=(C0x5+C1x4+…+C5)(C0x5+C1x42+…+C525)555555故展開式中含x的項為C4xC525+C4x24=240x，故展開式中x的系數(shù)為240.55練：求式子(|x|+丄-2)3的常數(shù)項?x

解:，設第r解:，設第r+1項為常數(shù)項,T二Cr(-1)rXr+166-r(―)r=(—1)6T二Cr(-1)rXr+166-r(―)r=(—1)6CrX6

X6TOC\o"1-5"\h\z3+16題型八：兩個二項式相乘;例：求(1+2X)3(1-X)4展開式中X2的系數(shù).解：(1+2X)3的展開式的通項是Cm.(2X)m=Cm?2m?Xm,3??令m+n=2,則m=0且n=2,m=1且n=1,m=2且n=0,因此(1+2x)3(1-x)4的展開式中X2的系數(shù)等于C0?20?C2?(-1)2+C1?21?C1?(-1)1+C2?22?Co?(-1)o=-6-343434練：求(1+任)6(1+丄)10展開式中的常數(shù)項.4x解:(1+3匚)6(1+解:(1+3匚)6(1+10展開式的通項為CmX3?Cn610=Cm?Cn?X12610時得展開式中的常數(shù)項為C0?C0+C3?C4+C6?C8=4246610610610練：已知（1+x+x2）（X+丄）n的展開式中沒有常數(shù)項,neN*且2<n<8,貝切=.X3解：（X+丄）n展開式的通項為Cr?Xn-r?X-3r=Cr?Xn-4r,通項分別與前面的三項相乘可得X3nn題型九：奇數(shù)項的系數(shù)和與偶數(shù)項的系數(shù)和例：在（X-^2）200的二項展開式中,含X的奇次幕的項之和為S,當X=V!時,S=解：設(X-y解：設(X-y2)2006二a0+aX1+aX2+aX3+123+aX20062006①題型十：賦值法;例：設二項式（3貢+!）n的展開式的各項系數(shù)的和為p，所有二項式系數(shù)的和為s，若X解:p+s=272，則n等于多少？解:+丄)n=a+aX+ax2+???+aXn，有P=a+a+???+a，S=C0+??+Cn=2n

X012n01nnn令X=1得P=4n，又p+s=272,即4n+2n=272n(2n+17)(2n-16)=0解得2n=16或2n=-17(舍去)，/.n=4

練：若3丘丄’的展開式中各項系數(shù)之和為64，則展開式的常數(shù)項為多少？解：令x1,心展±n的展開式中各項系數(shù)之和為2n64，所以n6,則展開式x的常數(shù)項為C3(3任的常數(shù)項為C3(3任)3(6占3540練:若(12x)2009aax1aX2012解:令X二可得aaa1220222練:若(x2)5aX5aX4aX3543解:令X0得a32,令x01得a0aX3aX2009(xR)則殳a232009222a0；aaaa22009222220090aX2ax1a，則aaaaa21012345aaaaa1,12345人的值為22009題型十一：整除性;例：證明：32n28n9(nN*)能被64整除證：32n28n99n18n9(81)n18n9由于各項均冃能被64整除32n28n9(nN*)能被64整除1、(X-1)11展開式中X的偶次項系數(shù)之和是1、設f(x)=(x-1)11,偶次項系數(shù)之和是f1)f(1)(2)11/2102422、C03C132C23nCn2、nnnn2、4n3、@5±)20的展開式中的有理項是展開式的第項,53、3,9,15,214、(2x-1)5展開式中各項系數(shù)絕對值之和是4、(2x-1)5展開式中各項系數(shù)系數(shù)絕對值之和實為(2x+1)5展開式系數(shù)之和，故令x=1,則所求和為35：5、求(1+x+x2)(1-x)10展開式中X4的系數(shù)5、(1+X+X2)(l-X)10二(1-X3)(l-X)9,要得到含X4的項，必須第一個因式中的1與(1-X)9展開式中的項C4(-X)4作積，第一個因式中的一X3與(1-X)9展開式中的項ci(-x)作積,TOC\o"1-5"\h\z99故X4的系數(shù)是Ci+C4二135.996、求(1+X)+(1+X)2+???+(1+x)10展開式中X3的系數(shù).6、(1+X)+(1+X)2+…(1+X)10=(1+X)[1-(1+X)10]=(X+1)11-(X+D，原式中X3實為這分子中1-(1+X)X的X4,則所求系數(shù)為C7+117、若f(x)二(1+x)m+(1+x)n(m-nGN)展開式中，X的系數(shù)為21,問m、n為何值時,X2的系數(shù)最?。?、由條件得m+n=21,X2的項為C2X2+C2X2貝I」因n^N,故當mnmn24n=10或11時上式有最小值，也就是m=11和n=10，或m=10和n=11時，X2的系數(shù)最小8、自然數(shù)n為偶數(shù)時，求證：8、原式二(Co+C1+C2+???+Cn-1+Cn)+(C1+C3+C5+???+Cn-1)二2n+2n-1二3.2n-1nnnnnnnnn9、求8011被9除的余數(shù).9、8011二(81-1)11二C08111-C18110+…+C1081-1二81k-1(kgZ)111111???kwz,???9k-1wZ,???8111被9除余810、在(X2+3x+2)5的展開式中，求x的系數(shù).10、(X2+3x+2)5二(X+1)5(X+2)5在(x+1)5展開式中，常數(shù)項為1,含X的項為C1二5X，在(2+x)5展開式中，常數(shù)項5為25=32，含x的項為5???展開式中含X的項為1-(80x)+5x(32)=240X此展開式中X的系數(shù)為240*11、求(2x+1)12展開式中系數(shù)最大的項.11、設T的系數(shù)最大，則T的系數(shù)不小于T與T的系數(shù)，即有r+1r+1rr+2???展開式中系數(shù)最大項為第5項，T=I6C4X4=7920x4512二項式定理?二項式定理：(a+b)n=Coan+C1an-ib++Cran-rbr++Cnbn(neN*)，nnnn?基本概念：……二項式展開式：右邊的多項式叫做(a+b)”的二項展開式。二項式系數(shù):展開式中各項的系數(shù)Cr(r=0,1,2,…,n)?n項數(shù)：共(r+1)項，是關于a與b的齊次多項式通項：展開式中的第r+1項Cran—rbr=Cran—rbr表示。nr+1n3注意關鍵點：項數(shù)：展開式中總共有(n+1)項。順序：注意正確選擇a,b，其順序不能更改。(a+b)n與(b+a)”是不同的。指數(shù)：a的指數(shù)從n逐項減到0，是降幕排列。b的指數(shù)從0逐項減到n，是升幕排列。各項的次數(shù)和等于n?系數(shù)：注意正確區(qū)分二項式系數(shù)與項的系數(shù)，二項式系數(shù)依次是C0,C1,C2,-,Cr,...,Cn.項的系數(shù)是a與b的系數(shù)(包括二項式系數(shù))。TOC\o"1-5"\h\znnnnn4?常用的結論：令a=1,b=x,(1+x)n=C0+C1x+C2x2++Crxr++Cnxn(neN*)nnnnn令a=1,b=—x,(1—x)”=C0—C1x+C2x2—+Crxr++(—1)nC”x”(neN*)nnnnn\o"CurrentDocument"5?性質：……①二項式系數(shù)的對稱性：與首末兩端“對距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即C0二Cn，???Ck二Ck-1TOC\o"1-5"\h\znnnn二項式系數(shù)和：令a=b=1，則二項式系數(shù)的和為Co+C1+C2++Cr++Cn二2n，nnnnn變形式C1+C2++Cr++Cn二2n—1?！璶nnn奇數(shù)項的二項式系數(shù)?和=偶數(shù)項的二項式系數(shù)和：在二項式定理中，令a=1,b=—1，則Co一C1+C2-C3++(-1)”C”=(1-1)”=0，nnnnn從而得至U：Co+C2+C4…+C2r+-.=C1+C3++C2r+1+??:'=-X2n=2n-1nnnnnnn2奇數(shù)項的系數(shù)和與偶數(shù)項的系數(shù)和：…二項式系數(shù)的最大項：如果二項式的幕指數(shù)n是偶數(shù)時，則中間一項的二項式系數(shù)C；取得最大值。n如果二項式的幕指數(shù)”是奇數(shù)時，則中間兩項的二項式系數(shù)cT,CT同時取得最大nn值。系數(shù)的最大項：求(a+bx)n展開式中最大的項，一般采用待定系數(shù)法。設展開式中各項系數(shù)分別為AA…A，設第r+1項系數(shù)最大，應有/Ar+1-Ar,從而解出r來。12n+1IA>ATOC\o"1-5"\h\zr+1r+2題型一：二項式定理的逆用；例:C1+C2:6+C3:62++Cn?6n—1=.nnnn練：C1+3C2+9C3++3n-1Cn=：nnnn題型二：利用通項公式求xn的系數(shù)；例：在二項式('!+3：$)n的展開式中倒數(shù)第3項的系數(shù)為45，求含有x3的項的系數(shù)？練：求(x2—丄)9展開式中x9的系數(shù)？2x題型三：利用通項公式求常數(shù)項；例：求二項式（x2+丄）10的展開式中的常數(shù)項?2石練：求二項式（2X-丄）6的展開式中的常數(shù)項？2x練：若（X2+1）n的二項展開式中第5項為常數(shù)項，則n=x題型四：利用通項公式，再討論而確定有理數(shù)項;例：求二項式（衣―五）9展開式中的有理項?題型五：奇數(shù)項的二項式系數(shù)和二偶數(shù)項的二項式系數(shù)和；例：若（忘-丄）n展開式中偶數(shù)項系數(shù)和為—256，求n.3~X2練：若（工+'!）n的展開式中，所有的奇數(shù)項的系數(shù)和為1024，求它的中間項。XX2題型六：最大系數(shù)，最大項；例：已知（1+2X）n，若展開式中第5項，第6項與第7項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，2求展開式中二項式系數(shù)最大項的系數(shù)是多少？練：在（a+b）2n的展開式中，二項式系數(shù)最大的項是多少？練：在（蘭—丄）n的展開式中，只有第5項的二項式最大，則展開式中的常數(shù)項是多23X少？練：寫出在（a—b）7的展開式中，系數(shù)最大的項？系數(shù)最小的項？練：若展開式前三項的二項式