高中數(shù)學(xué)必修復(fù)習(xí)第講必修三角形中的三角函數(shù)

關(guān)于高中數(shù)學(xué)必修復(fù)習(xí)第講必修三角形中的三角函數(shù)第1頁，共25頁，2022年，5月20日，17點28分，星期六1.能熟練利用正弦定理、余弦定理將三角形的邊角轉(zhuǎn)化.2.掌握三角形形狀的判斷，三角形內(nèi)三角函數(shù)的求值及三角恒等式的證明.第2頁，共25頁，2022年，5月20日，17點28分，星期六1.△ABC中,已知sinA=2sinBcosC,sin2A=sin2B+sin2C,則三角形的形狀是()DA.等邊三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形第3頁，共25頁，2022年，5月20日，17點28分，星期六

由sin2A=sin2B+sin2C,得a2=b2+c2.所以△ABC為直角三角形，∠A=90°，由sinA=2sinBcosC，得2sin2B=1.因為B為銳角，所以sinB=,從而B=45°，C=45°，所以△ABC為等腰直角三角形，故選D.第4頁，共25頁，2022年，5月20日，17點28分，星期六2.在銳角△ABC中，已知cosA=,sinB=,則cosC的值是()BA.B.C.或D.-

因為cosA=,sinB=,所以sinA==,cosB==,所以cosC=cos［π-(A+B)］=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=-×+×=.第5頁，共25頁，2022年，5月20日，17點28分，星期六3.在△ABC中,設(shè)命題p:==,命題q:△ABC是等邊三角形，則命題p是命題q的()CA.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

p:==，由正弦定理==，所以sinA=sinB=sinC,所以A=B=Ca=b=c,故選C.第6頁，共25頁，2022年，5月20日，17點28分，星期六4.在△ABC中，三個內(nèi)角滿足2A=B+C，且最大邊與最小邊分別是方程x2-12x+32=0的兩根，則△ABC外接圓的面積為()AA.16πB.64πC.124πD.156π第7頁，共25頁，2022年，5月20日，17點28分，星期六

由方程x2-12x+32=0，解得x=4或x=8,不妨設(shè)b=8,c=4,因為2A=B+C,所以A+B+C=3A=180°,A=60°,由余弦定理得，a2=b2+c2-2bccos60°=64+16-2×8×4×=48.所以a=4.由正弦定理，得2R=asinA==8,R=4,所以S圓=πR2=16π,故選A.第8頁，共25頁，2022年，5月20日，17點28分，星期六5.△ABC中，已知a=x,b=2,B=45°,若解此三角形有兩解,則x的取值范圍是

.(2,2)sinA=·x=x,因三角形有兩解，所以45°<A<135°,且∠A≠90°,所以x>2,且x<1,解得2<x<2.第9頁，共25頁，2022年，5月20日，17點28分，星期六1.判斷三角形的形狀特征必須從研究三角形的邊與邊的關(guān)系，或角的關(guān)系入手，充分利用正弦定理與余弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即化邊為角或化角為邊，邊角統(tǒng)一.三角形形狀的判斷依據(jù)：(1)等腰三角形:a=b或A=B；(2)直角三角形:b2+c2=a2或A=90°;(3)鈍角三角形:a2>b2+c2,或90°<A<180°;第10頁，共25頁，2022年，5月20日，17點28分，星期六(4)銳角三角形：若a為最大邊，且滿足a2<b2+c2或A為最大角，且0°<A<90°.2.在△ABC中常用的一些基本關(guān)系式(1)A+B+C=①

;(2)sin(B+C)=②

,cos(B+C)=③

，tan(B+C)=④

;(3)sin

=⑤

;(4)cos

=⑥

;(5)tanA+tanB+tanC=⑦

.πsinA-cosA-tanAtanAtanBtanC第11頁，共25頁，2022年，5月20日，17點28分，星期六題型一判斷三角形的形狀例1

在△ABC中，A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，且滿足(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sinC，試判斷△ABC的形狀.第12頁，共25頁，2022年，5月20日，17點28分，星期六(方法一)化成角的關(guān)系求解.由條件可得，a2[sin(A-B)-sin(A+B)[=-b2[sin(A+B)+sin(A-B)].利用和差角公式展開,得a2cosAsinB=b2sinAcosB,由正弦定理,上式化為sin2AcosAsinB=sin2BsinAcosB.因為sinAsinB≠0，所以sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B,因為A、B為三角形的內(nèi)角，所以A=B,或A+B=，故△ABC為等腰三角形或直角三角形.第13頁，共25頁，2022年，5月20日，17點28分，星期六(方法二)化為邊的關(guān)系求解.由條件(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sinC,可得(a2+b2)(acosB-bcosA)=(a2-b2)c(a2+b2)(-)=(a2-b2)c(a2+b2)(a2-b2)=(a2-b2)c2a2+b2=c2或a=b.故△ABC的形狀為直角三角形或等腰三角形.第14頁，共25頁，2022年，5月20日，17點28分，星期六三角形中的恒等式或三角形的形狀判斷等問題，要注意根據(jù)條件的特點靈活運(yùn)用正弦定理或余弦定理.一般考慮兩個方向進(jìn)行變形，一個方向是邊，走代數(shù)變形之路，通常是正弦定理、余弦定理結(jié)合使用；另一個方向是角，走三角變形之路.第15頁，共25頁，2022年，5月20日，17點28分，星期六題型二利用三角函數(shù)知識解三角形例2

在△ABC中，已知sinA(sinB+cosB)-sinC=0,sinB+cos2C=0，求角A、B、C的大小.第16頁，共25頁，2022年，5月20日，17點28分，星期六(方法一)由sinA(sinB+cosB)-sinC=0，得sinAsinB+sinAcosB-sin(A+B)=0，所以sinAsinB+sinAcosB-sinAcosB-cosAsinB=0,即sinB(sinA-cosA)=0.因為B∈(0,π)，所以sinB≠0，從而cosA=sinA,由A∈(0,π)，知A=，從而B+C=,由sinB+cos2C=0，得sinB+cos2(-B)=0,即sinB-sin2B=0,亦即sinB-2sinBcosB=0.由此得cosB=,B=,C=,所以A=，B=，C=.第17頁，共25頁，2022年，5月20日，17點28分，星期六(方法二)由sinB+cos2C=0，得sinB=-cos2C=sin(-2C).由0<B、C<π,所以B=-2C或B=2C-,即B+2C=或2C-B=,由sinA(sinB+cosB)-sinC=0,得sinAsinB+sinAcosB-sin(A+B)=0,所以sinAsinB+sinAcosB-sinAcosB-cosAsinB=0,第18頁，共25頁，2022年，5月20日，17點28分，星期六即sinB(sinA-cosA)=0.因為sinB≠0，所以cosA=sinA,由A∈(0,π),知A=，從而B+C=,知B+2C=不合要求，再由2C-B=，得B=，C=，所以A=，B=，C=.

本題主要考查三角形問題等知識，關(guān)鍵是運(yùn)用sin(A+B)=sinC代換及解題方向的確定.第19頁，共25頁，2022年，5月20日，17點28分，星期六題型三三角形中三角函數(shù)的應(yīng)用例3

有一塊半徑為1m,中心角為的扇形鐵皮材料，為了獲得面積最大的矩形鐵皮，工人師傅常讓矩形的一邊在扇形上，然后作其最大的內(nèi)接矩形.請求出最大面積.第20頁，共25頁，2022年，5月20日，17點28分，星期六

如圖，設(shè)∠COB=α(0<α<),則BC=sinα=AD,OB=cosα.又=tan,所以O(shè)A=AD=sinα，所以AB=cosα-sinα,則S矩形ABCD=sinα(cosα-sinα)=sin2α+cos２α-=sin(2α+)-,當(dāng)sin(2α+)=1,即α=時，矩形面積取最大值m2.6p6p6p第21頁，共25頁，2022年，5月20日，17點28分，星期六

與圓相關(guān)的最值問題，常設(shè)角參數(shù)（注意范圍），把題目中出現(xiàn)的邊角用含角的三角函數(shù)表示，再轉(zhuǎn)化求三角函數(shù)的最值.其中確定是什么樣的三角形，用哪些定理或哪些邊角關(guān)系，列出等式或不等式是關(guān)鍵.第22頁，共25頁，2022年，5月20日，17點28分，星期六1.解斜三角形問題往往用到正弦定理與余弦定理以及三角變換，解題時角度的選取是關(guān)鍵.并關(guān)注角的取值范圍.如已知兩邊及其中一邊的對角解三角形，要注意解的情況.2.對于解斜三角形的實際應(yīng)用問題，要理解題意，分清已知與所求，根據(jù)題意畫出示意圖，抽象或構(gòu)造出三角形，把實際問題轉(zhuǎn)化為解三角形，要明確先用哪個公式或定理，先求哪些量，確定解三角形的方法.在演算過程中，要算