2016屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題能力訓(xùn)練14空間向量在立體幾何中的應(yīng)用含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精專題能力訓(xùn)練14空間向量在立體幾何中的應(yīng)用能力升級訓(xùn)練第27頁一、選擇題1.在長方體ABCD—A1B1C1D1中，AB=AA1=2，AD=1，E為CC1的中點(diǎn),則異面直線BC1與AE所成角的余弦值為( )1030C。215310A.√10B.√1010√D.√10答案:B剖析：建立坐標(biāo)系如圖,則A(1，0,0),E（0,2，1），B（1，2，0）,C1(0,2,2）.???????=（—1，0，2），????=?(-1,2,1）,1cos<1,>=?????·????30.所以異面直線BC1與AE所成角的余弦值=10?????????1√1為√1030。學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2。已知三棱錐D-ABC的三個側(cè)面與底面全等，且AB=AC=√3,BC=2，則以BC為棱,面BCD與面BCA所成的二面角的余弦值為( )A?！?3B。13C.0D?！?2答案:C剖析:取BC的中點(diǎn)E，連接AE，DE,可證BC⊥AE,BC⊥DE,則∠AED為二面角A-BC-D的平面角。又AE=ED=√2，AD=2，∴∠AED=90°.故所求余弦值為

0。3。(2014浙江嘉興3月測試(一))如圖①,在等腰△ABC中,∠A=90°，BC=6,D，E分別是AC，AB上的點(diǎn),CD=BE=√2，O為BC的中點(diǎn)，將△ADE沿DE折起，獲取如圖②所示的四棱錐A’-BCDE。若A’O⊥平面BCDE,則A'D與平面A’BC所成角的正弦值等于（)學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精A?！?2B?！?3C?！?2D?！?2答案：D剖析:過點(diǎn)D作線段BC的垂線,垂足為F,則DF⊥平面A'BC，所以DA’F為A'D與平面A’BC所成角.????又因?yàn)镈F=√2=1，A'D=AD=AC-CD=2√2，2所以sin∠DA'F=??'??=√4。4。在平面四邊形ABCD中，AD=AB=√2,CD=CB=√5，且AD⊥AB，現(xiàn)將△ABD沿著對角線BD翻折成△A'BD，則在△A'BD折起至轉(zhuǎn)到平面BCD內(nèi)的過程中,直線A'C與平面BCD所成的最大角的正切值為（)A.1B.12C?！?3D.√3答案：C學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精剖析：如圖,OA=1，OC=2.當(dāng)A'C與圓相切時,直線A’C與平面BCD所成角最大，最大角為3?！?.(2014江西新課程三適)如圖，在棱長均為點(diǎn)E為PC的中點(diǎn)，則以下命題正確的選項(xiàng)是

(

2的四棱錐)

P—ABCD

中,A.BE∥平面PAD,且直線BE到面PAD的距離為√3B.BE∥平面PAD,且直線BE到平面PAD的距離為2√36C。BE不平行于面PAD，且BE與平面PAD所成角大于30°D。BE不平行于面PAD,且BE與平面PAD所成角小于30°答案：D剖析：以下列圖，取PD的中點(diǎn)F,連接FE，F(xiàn)A，因?yàn)镋F平行于AB，且EF=12AB，故四邊形ABEF為梯形,則BE不平行于平面PAD,所以A，B錯;設(shè)點(diǎn)E到平面PAD的距離為h,四棱錐的高為√2，則VE-PAD=1111162VC—PAD=2VP-CAD?3S△PAD×h=2×3S△ADC×√2，可得h=√3.學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精所以BE與平面PAD夾角的正弦值為?=√2<1sinθ=????32.所以θ〈30°.6.如圖，在四棱錐P—ABCD中，側(cè)面PAD為正三角形，底面ABCD為正方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD,M為底面ABCD內(nèi)的一個動點(diǎn)，且滿足MP=MC，則點(diǎn)M在正方形ABCD內(nèi)的軌跡為( )答案:A剖析:以D為原點(diǎn),DA，DC分別為x軸、y軸建立以下列圖的空間直角坐標(biāo)系。設(shè)M(x，y，0),設(shè)正方形的邊長為a,學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3則P(2,0,√2a)，C(0，a,0），則MC=√??2+(y-a)2,MP=??232√(??-a))+??+(由MP=MC，得x=2y，所以點(diǎn)M在正方形ABCD內(nèi)的軌跡為一條直線y=12x，應(yīng)選A.二、填空題7。以下列圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M和N分別是A1B1和BB1的中點(diǎn),那么直線AM與CN所成角的余弦值為.答案：25剖析：以D為坐標(biāo)原點(diǎn),????為?x軸,????為?y軸，????1為????z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，以下列圖。則A（1,0,0),M(1,12,1)，C（0,1，0)，N(1,1,12),學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精所以=(0,2,1),=(1,0,2).??????1?????1設(shè)直線AM與CN所成的角為θ,|??·????|?則cosθ=｜c(diǎn)os〈????,?????>｜=|??||????|?12=112√1+×√1+448。在四棱錐S—ABCD中,四邊形ABCD為正方形，O為極點(diǎn)在底面上的射影，P為側(cè)棱SD的中點(diǎn)，且SO=OD,則直線BC與平面PAC所成的角是。答案:30°剖析:如圖，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz。設(shè)OD=SO=OA=OB=OC=a,??則A(a,0，0),B（0，a,0),C（—a,0,0),P(0,-2,2)，??則?????=（2a,0,0)，????=(-??,-2,2),???=?(a，a，0).設(shè)平面PAC的法向量為n，可求得n=（0，1，1），????CB·??1則cos〈???,?n〉=|CB????|||?=√2a2·√2=2.學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精得〈???,?n〉=60°,故直線BC與平面PAC所成的角為90°—60°=30°。9.已知棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1,點(diǎn)M是線段DC1上的動點(diǎn),則點(diǎn)M到直線AD1距離的最小值是.答案：√33a剖析：以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系(以下列圖），則A(a，0,0）,D1（0，0,a）。設(shè)M(0,x，x）(0≤x≤a)，有????=??(—a,x，x），????1=???(—a,0，a），則cos〈?????????????·???????2??1??+ax,????1=√??+2??·√2??則點(diǎn)M到直線AD1的距離d為d=｜??????｜·sin<????,???????>1=2222√(??+ax)√??+2??·1-(??+2??22)·2??2學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3??222()+??=√323,故當(dāng)x=??3時，dmin=√33a。三、解答題10.如圖,四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD,PD=AD=2。(1）求PC與平面PBD所成的角;2)在線段PB上可否存在一點(diǎn)E,使得PC⊥平面ADE？并說明原由.解：(1）連接AC,設(shè)AC∩BD=O，連接PO。因?yàn)镻D⊥平面ABCD,CO?平面ABCD,所以PD⊥CO。由ABCD為正方形，知CO⊥BD。又PD∩BD=D，所以CO⊥平面PBD。所以∠CPO是PC與平面PBD所成的角。????21在Rt△POC中，sin∠CPO==√=，????2√22學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精所以∠CPO=π6,即PC與平面PBD所成的角為π6.(2）建立以下列圖的空間直角坐標(biāo)系D-xyz。設(shè)線段PB上存在點(diǎn)E，使得PC⊥平面ADE.則存在實(shí)數(shù)λ，使得????=λ????（?0≤λ≤1）.因?yàn)镻(0,0，2),B(2，2，0)，所以?????=（2,2,-2），?????=?????+????=?????+λ????=?（0,0，2)+λ（2，2,—2）=（2λ,2λ,2—2λ).因?yàn)镃(0，2,0），所以????=（0，2，—2）。由題意,顯然有AD⊥平面PCD，所以PC⊥AD.要使PC⊥平面ADE,只需再有???⊥?????，即????·?????=0，即0·(2λ)+2·（2λ)-2(2-2λ）=0.解得λ=12∈[0,1].學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精故在線段PB上存在一點(diǎn)E(E為線段PB的中點(diǎn))，使得PC⊥平面ADE。11。（2014北京東城二模)如圖，四棱錐E—ABCD中,平面EAD⊥平面ABCD，DC∥AB,BC⊥CD，EA⊥ED,且AB=4,BC=CD=EA=ED=2.(1）求證：BD⊥平面ADE；2）求BE和平面CDE所成角的正弦值；3)在線段CE上可否存在一點(diǎn)F使得平面BDF⊥平面CDE？請說明原由.解:(1）由BC⊥CD,BC=CD=2,可得BD=2√2。由EA⊥ED，且EA=ED=2，可得AD=2√2.又AB=4,所以BD⊥AD.又平面ADE⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD=AD，BD?平面ABCD,所以BD⊥平面ADE。學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精（2)如圖建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,則D（0,0，0),B（0，2√2，0）,C（-√2,√2，0),E（√2,0，√2),????=?(√2，-2√2,√2），????=?（√2,0，√2），????=?（—√2,√2,0).設(shè)n=(x,y，z)是平面CDE的一個法向量，則n·????=?0，n·????=?0，??+??=0,即{令x=1,則n=(1,1,—1）.設(shè)直線BE與平面CDE所成的角為α，則sinα=｜c(diǎn)os<????,n>?｜=|BE????·||√2-2√2-√2|2。|BE||????|=23×3=√3√√2所以BE和平面CDE所成的角的正弦值為√3.3)設(shè)???=λ???,λ∈［0,1]。?????=（-√2,√2，0），????=(2√2,-√2,√2）,????=(0，2√2,0).則?????=?????+????=?????+λ????=√2(2λ-1，-λ+1,λ)。設(shè)m=(x',y',z’)是平面BDF的一個法向量，學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精則n·???=0，n·????=?0,??'=0,即{(2??-1)??'+(-??+1)??'+????'=0.2??-1令x’=1,則m=(1,0,-??)。若平面BDF⊥平面CDE，則m·n=0,即1+2??-11??=0,λ=3∈［0，1］.所以,在線段CE上存在一點(diǎn)F使得平面BDF⊥平面CDE。12.如圖，在周圍體A—BCD中，AD⊥平面BCD,BC⊥CD,AD=2,BD=2√2。M是AD的中點(diǎn)，P是BM的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段AC上,且AQ=3QC。(1）求證:PQ∥平面BCD；(2）若二面角C—BM—D的大小為60°，求∠BDC的大小。解：方法一：(1)證明取BD的中點(diǎn)O,在線段CD上取點(diǎn)F，使得DF=3FC,連接OP，OF,FQ，因?yàn)锳Q=3QC,所以QF∥AD,且QF=14AD.學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精因?yàn)镺，P分別為BD,BM的中點(diǎn)，所以O(shè)P是△BDM的中位線,所以O(shè)P∥DM,且OP=12DM。又點(diǎn)M為AD的中點(diǎn)，所以O(shè)P∥AD,且OP=14AD。從而OP∥FQ,且OP=FQ，所以四邊形OPQF為平行四邊形,故PQ∥OF.又PQ?平面BCD，OF?平面BCD,所以PQ∥平面BCD。(2）解作CG⊥BD于點(diǎn)G，作GH⊥BM于點(diǎn)H,連接CH.因?yàn)锳D⊥平面BCD,CG?平面BCD,所以AD⊥CG,又CG⊥BD，AD∩BD=D,故CG⊥平面ABD。又BM?平面ABD，所以CG⊥BM.又GH⊥BM，CG∩GH=G，故BM⊥平面CGH,學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精所以GH⊥BM,CH⊥BM.所以∠CHG為二面角C—BM—D的平面角,即∠CHG=60°.設(shè)∠BDC=θ。在Rt△BCD中,CD=BDcosθ=2√2cosθ，CG=CDsinθ=2√2cosθsinθ，BG=BCsinθ=2√2sin2θ。在Rt△BDM中,HG=????·???22sin2θ????=√3.????3cos??在Rt△CHG中，tan∠CHG=????=sin??=√3。所以tanθ=√3.從而θ=60°，即∠BDC=60°.方法二：（1)證明：如圖，取BD的中點(diǎn)O,以O(shè)為原點(diǎn),OD，OP所在射線為y軸、z軸的正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz.由題意知A（0，√2，2)，B（0,-√2，0)，D（0，√2，0）。設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x0，y0,0).因?yàn)????=?3????,?所以Q(3??,√2+3??,1).404402因?yàn)镸為AD的中點(diǎn)，故M(0,√2,1)。學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精又P為BM的中點(diǎn)，故P(0,0,12)，所以?????30√230.=(??,+??,0)又平面BCD的一個法向量為u=(0，0，1),故????·?u=0。又PQ?平面BCD,所以PQ∥平面BCD。（2)解:設(shè)m=(x,y,z)為平面BMC的一個法向量.由????=??(—x0,√2—y0，1）,????=??（0，2√2，1)，知{-??x+(√2-??)y+z=0,002√2y+z=0.??+√2取y=-1,