步步高浙江新高考數(shù)學(xué)理科一輪復(fù)習(xí)配套練習(xí)86空間向量及其運(yùn)算(含答案詳析)

第6講空間向量及其運(yùn)算一、選擇題1．以下四個(gè)命題中正確的選項(xiàng)是()．．空間的任何一個(gè)向量都可用其他三個(gè)向量表示B．若{a，b，c}為空間向量的一組基底，則{a＋b，b＋c，c＋a}構(gòu)成空間向量的另一組基底→→C．△ABC為直角三角形的充要條件是AB·AC＝0D．任何三個(gè)不共線的向量都可構(gòu)成空間向量的一組基底剖析若a＋b、b＋c、c＋a為共面向量，則a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，(1－μ)a＝(λ－1)b＋(λ＋μ)c，λ，μ不可以能同時(shí)為1，設(shè)μ≠1，則a＝λ－1λ＋μb＋c，1－μ1－μ則a、b、c為共面向量，此與{a，b，c}為空間向量基底矛盾．答案B2．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，滿足條件(c－a)·(2b)＝－2，則x＝()．A．－4B．－2C．4D．2剖析∵a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，∴c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)．∴(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝－2，∴x＝2.答案D3．若{a，b，c}為空間的一組基底，則以下各項(xiàng)中，能構(gòu)成基底的一組向量是()．A．{a，a＋b，a－b}B．{b，a＋b，a－b}C．{c，a＋b，a－b}D．{a＋b，a－b，a＋2b}剖析若c、a＋b、a－b共面，則c＝λ(a＋b)＋m(a－b)＝(λ＋m)a＋(λ－m)b，則a、b、c為共面向量，此與{a，b，c}為空間向量的一組基底矛盾，故c，a＋b，a－b可構(gòu)成空間向量的一組基底．答案C4.以下列圖，已知空間四邊形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝π→→()．3，則cos〈OA，BC〉的值為1A．0B.232C.2D.2剖析→→＝，→＝，OCaOBbcπ由已知條件〈a，b〉＝〈a，c〉＝3，且|b|＝|c|，→→11→→OA·BC＝a·(c－b)＝a·c－a·b＝2|a||c－2|a||b|＝0，∴cos〈OA，BC〉＝0.答案A5．以下列圖，在長(zhǎng)方體1111中，M為ABCD－ABCDA1C1與B1→→→＝c，D1的交點(diǎn)．若AB＝a，AD＝b，AA1則以下向量中與→相等的向量是()．BM1111A．－2a＋2b＋cB.2a＋2b＋c1111C．－2a－2b＋cD.2a－2b＋c剖析→→1＋→＝→＋1→－→BM＝BB1M1AB)BAA2(AD111＝c＋2(b－a)＝－2a＋2b＋c.答案A6．如圖，在大小為°的二面角A－EF－D中，四邊形ABFE，CDEF都是邊長(zhǎng)為451的正方形，則B，D兩點(diǎn)間的距離是()32C．1D.3－2→→→→→2→2＋→2＋→2＋→→→→剖析＝BF＋FE＋ED，∴BD＝BFFEEDBF·FE＋FE·ED||||||||22∵BD→→→＝－BF·ED＝＋＋－＝－，故|BD|2.＋21112323答案D二、填空題7.設(shè)x,yR，向量ax,1,b1,y,c2,4，且ac,b//c，則ab_______ac,b//c2x40x2ab(3,1)10剖析2y4y2.答案10在空間四邊形→→→→→→＝8.ABCD中，AB·CDDBBC________.剖析→→＝，→＝，如圖，設(shè)AB＝，ACADabc→→→→→→AB·CD＋AC·DB＋AD·BC＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝0.答案09．已知ABCD－A1B1C1D1為正方體，①(A1A1＋A1D1＋A1B1)2＝3A1B12；②·(－A1A1)＝0；③向量AD1與向量A1B的夾角是60°；④正方體A1CA1B1ABCD－A1B1C1D1的體積為|AB·AA1·AD|.其中正確命題的序號(hào)是________．剖析由AA1⊥A1D1，AA1⊥A1B1，A1D1⊥A1B1⊥A1B1，得(A1A＋A1D1＋A1B1)2＝3(A1B1)2，故①正確；②中A1B1－A1A＝AB1，由于1⊥A1C，故AB②正確；③中A1B與AD1兩異面直線所成角為°，但AD1與A1B的夾角為60120°，故③不正確；④中|AB·AA1·AD|＝0.故④也不正確．答案①②10．如圖，空間四邊形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，則OA與BC所成角的余弦值等于________．剖析→→→＝OCc.aOBbOA與BC所成的角為θ，→→→→→→OA·BC＝a(c－b)＝a·c－a·b＝a·(a＋AC)－a·(a＋AB)＝a2＋a·AC－a2－a·AB＝24－162.→→|OA·BC|∴cosθ＝→→＝|OA|·|BC|

24－168×5

23－22.53－22答案5三、解答題→111．已知A、B、C三點(diǎn)不共線，對(duì)平面ABC外的任一點(diǎn)O，若點(diǎn)M滿足OM＝3→→→(OA＋OB＋OC)．→→→(1)判斷MA、MB、MC三個(gè)向量可否共面；(2)判斷點(diǎn)M可否在平面ABC內(nèi)．→→→→解(1)由已知OA＋OB＋OC＝3OM，→→→→＋→→，(OM))→→→→→即MA＝BM＋CM＝－MB－MC，→→→∴MA，MB，MC共面．→→→(2)由(1)知，MA，MB，MC共面且基線過同一點(diǎn)M，∴四點(diǎn)M，A，B，C共面，從而點(diǎn)M在平面ABC內(nèi)．12．把邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD沿對(duì)角線AC折起成直二面角，點(diǎn)E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)O是原正方形的中心，求：EF的長(zhǎng)；折起后∠EOF的大小．解如圖，以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz，則A（，－2020B（2a,），C（，2a,），D（，2，－22a），0,000,0202204422F（4a，4a,0）.→2＝22222＋2232EF＝3a(1)|EFa－＋a＋a－a＝a，∴|0||.4440442→22→22(2)OE＝0，－4a，4a，OF＝4a，4a，0，→→2222a2OE·OF＝0×4a＋－4a×4a＋4a×0＝－8，→a→a→→→→1OE·OFOE＝，OF＝，cos〈OE，OF〉＝→→＝－2，||2||2|OE||OF|∴∠EOF＝120°.13．如圖，已知M、N分別為周圍體ABCD的面BCD與面ACD的重心，且G為AM上一點(diǎn)，且GM∶GA＝1∶3.求證：B、G、N三點(diǎn)共線．證明→→→設(shè)AB＝a，AC＝b，AD＝c，則→→→→3→BG＝BA＋AG＝BA＋4AM＝－a＋1＋＋＝－3＋1＋1，4(abc)4a4b4c→→→→1→→BN＝BA＋AN＝BA＋3(AC＋AD)＝－a＋1＋1＝4→3b3c3BG.→→三點(diǎn)共線．∴BN∥BG，即B、G、N14．以下列圖，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線長(zhǎng)都等于1，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是AB、AD、CD的中點(diǎn)，計(jì)算：→→→→；(3)EG的長(zhǎng)；·；(2)EF·(1)EFBADC(4)異面直線AG與CE所成角的余弦值．→→→解設(shè)AB＝a，AC＝b，AD＝c.則|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，→＝1→＝1－1→→(1)EF2BD，＝－a，DC＝b－c，2c2aBA→→11·－＝12－1·＝1，·＝c－aa)EFBA22(2a2ac4→→1(2)EF·DC＝2(c－a)·(b－c)＝1·－·－2＋a·c)＝－1；2(bcabc4→→→→＋－＋1－1＝EB＋BC＋CG＝1(3)EG2aba2c2b111＝－2a